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Dipendenza e indipendenza lineare

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Forma parametrica di una retta: vettore direzione. Combinazione lineare di due o più vettori in uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali generati da uno o più vettori di uno spazio vettoriale: proprietà. Dipendenza lineare e indipendenza... Vedi di più

Esame di Matematica Generale docente Prof. M. Castellani

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Lezione 26

Retta in forma parametrica −1)

u v

Quindi la retta passante per 1) ed avente direzione

= (3, = (2,

è l’insieme dei punti y tali che

(x, )

x 3 2 3 2t

+

t

= + =

−1 −

y 1 1 t

al variare di t In altre parole verificano il sistema

R. x 3 2t

= +

y 1 t

=

che prende il nome di forma parametrica della retta. Mettendo in

evidenza t 1 y nella seconda equazione e sostituendola nella

= −

prima si ricava la retta in forma implicita x 2y 5 0.

+ =

12

Domanda: il coefficiente angolare è ; si poteva dedurre dalla forma

parametrica? dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 3 / 20

Lezione 26

Combinazione lineare (CL)

La somma di vettori preventivamente moltiplicati per degli scalari è

un’operazione tipica dell’algebra vettoriale che andiamo a battezzare.

Definizione

1 2 k n

∈ ∈

v v v

Siano e x x x il vettore

, , . . . , , , . . . ,

R R;

1 2 k

k

X i 1 2 k

v v v v v

x x x x

= = + + . . . +

i 1 2 k

i=1 1 2 k

v v v

si dice combinazione lineare (acronimo CL) di con

, , . . . ,

v

coefficienti x x x . Si dice anche che è generato da

, , . . . ,

1 2 k

1 2 k

v v v .

, , . . . , dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 4 / 20

Lezione 26

Combinazione lineare (CL)

1 2 2

v v

Esempio. Dati 2) e 1) vettori di e gli scalari

= (1, = (−1, R

−3,

x 2 e x allora

= =

1 2

−1

1 2 3 5

1 2 · ·

v v

x x 2

+ = + (−3) = + = .

1 2 −3

2 1 4 1

1 2

v v v

Quindi il vettore 1) è CL dei vettori e .

= (5, 1

2v

@

@

@

1

v @

@

R

@

: 1 2

2v 3v

I

@

2

v v

@

dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 5 / 20

Lezione 26

Combinazione lineare (CL)

Invertendo la richiesta dell’esempio otteniamo una classica domanda

da compito.

Esempio 3 1 2

−5) ∈ −1)?

v v v

Il vettore 3, è CL di 1, 3) e 2,

= (0, = (2, = (1,

R

Per rispondere a questa domanda dobbiamo determinare due scalari

x e x tali che

1 2 1 2

v v v

x x

= +

1 2

Svolgendo i calcoli si ha

           

0 2 1 2x x 2x x

+

1 2 1 2

3 1 2 x 2x x 2x

x x +

= + = + =

1 2 1 2

1 2

           

−5 −1 −x −

3 3x 3x x

1 2 1 2 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 6 / 20

Lezione 26

Combinazione lineare (CL)

Affinché i due vettori siano uguali devono essere uguali le rispettive

componenti e quindi x e x devono risolvere il sistema

1 2

 2x x 0

+ =

1 2

 x 2x 3

+ =

1 2

− −5

3x x =

 1 2 −2x

Dalla prima equazione ricaviamo x ; sostituita nelle altre si ha

=

2 1

−3x 3

=

1 −5

5x =

1 1 2

−1 v v v

la cui soluzione è x e x 2. Quindi è CL di e .

= =

1 2 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 7 / 20

Lezione 26

Combinazione lineare (CL) v u

Cosa succedeva se avessimo sostituito con 1, 1)? Ripetendo

= (1,

il ragionamento ottenevamo il sistema

 2x x 1

+ =

1 2

 x 2x 1

+ =

1 2

3x x 1

=

 1 2 −

Questa volta dalla prima equazione si ricava x 1 2x e

=

2 1

sostituendola nelle altre due si ottiene

−3x −1

=

1

5x 2

=

1 1 2

u v v

che risulta impossibile. Quindi il vettore non è CL dei vettori e .

dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 8 / 20

Lezione 26

Combinazione lineare (CL)

Domanda: che cosa avevano in comune i due sistemi e cosa di

diverso?

In comune hanno i coefficienti delle variabili che potremmo sintetizzare

nella seguente tabella  

2 1

A 1 2

=  

−1

3

Osserviamo che le colonne di questa tabella sono esattamente i vettori

1 2

v v

e . Di diverso hanno i termini noti del sistema che coincidono con

v u.

i vettori e

In seguito individueremo una condizione che ci permetterà di stabilire

se un vettore è CL di altri vettori oppure, equivalentemente, se un

sistema di equazioni lineari ha soluzione oppure no. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 9 / 20

Lezione 26

Sottospazio vettoriale generato

Definizione 1 2 k n

v v v

Dati i vettori di indicheremo con

, , . . . , R k )

( X i n

1 k ∈ ∈

C(v v

v u x x x

: , . . . ,

, . . . , ) = = R R

i 1 k

i=1 1 2 k

v v v

l’insieme di tutte le CL dei vettori . Tale insieme è detto

, , . . . , 1 2 k

v v v

sottospazio vettoriale (acronimo SSV) generato da ed i

, , . . . ,

1 2 k

v v v

vettori si dicono generatori.

, , . . . ,

Spieghiamo il nome: n

sottospazio in quanto è un sottoinsieme di R

vettoriale in quanto

1 2 k 1 2 k

∈ C(v ∈ C(v

u, v v v u v v v

se allora

, , . . . , ) + , , . . . , ),

I dsm

1 2 k 1 2 k

∈ C(v ∈ ∈ C(v

u v v v v

se e a allora au

, , . . . , ) , , . . . , ).

I R

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 10 / 20

Lezione 26

Sottospazio vettoriale generato 6

v 0?

Domanda: cos’è il SSV generato da un vettore =

C(v) {tv ∈ 0

Abbiamo visto che t è la retta passante per e

= : R}

v.

contenente 6 6

u 0 v 0?

Domanda: cos’è il SSV generato da due vettori e

= =

In questo caso il SSV generato assume la seguente forma

C(u, {su ∈

v) tv s, t

= + : R}.

Tuttavia, a differenza del caso precedente, ci saranno due possibilità

C(u, v)

Se i due vettori sono multipli fra loro allora è una retta

0 u v.

passante per e contenente e C(u, v)

Se invece non sono multipli fra loro allora è un piano

0 u v.

passante per e contenente e dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 26 11 / 20


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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Forma parametrica di una retta: vettore direzione. Combinazione lineare di due o più vettori in uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali generati da uno o più vettori di uno spazio vettoriale: proprietà. Dipendenza lineare e indipendenza lineare di due o più vettori di uno spazio vettoriale: interpretazione geometrica.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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