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Dinamica di sistemi aerospaziali - Dinamica del corpo rigido

Materiale didattico scritta per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, riguardante: dinamica del corpo rigido; scrittura delle equazioni di moto mediante approcci energetici; cenni di dinamica del corpo rigido nello spazio; cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi; dinamica dei sistemi di corpi rigidi mediante le equazioni... Vedi di più

Esame di Dinamica di Sistemi Aerospaziali docente Prof. P. Masarati

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ESTRATTO DOCUMENTO

Figura 6.12: Sistema vibrante per squilibrio dinamico.

del tutto analogo al coefficiente di amplificazione H già definito. Pertanto, una molla potrà essere definita

“rigida” quando non vi è moto relativo, e quindi

X ∼

=1 (6.68)

b

ovvero 2 2

ω ω (6.69)

0

Considerando ora l’osservatore relativo, la (6.63) diventa

2

mẍ + kx = mω b sin (ωt) (6.70)

r r

e quindi 2

mω b sin (ωt) = X sin (ωt) (6.71)

x (t) = r

rp 2

k ω m

che, in termini adimensionali, diventa

! 2

ω

ω

X 0

r (6.72)

= ! 2

b ω

1 ω 0

Moto forzato dovuto a squilibri rotanti. Supponiamo di avere una macchina con una parte rotante,

avente massa propria M e uno squilibrio di momento statico rispetto all’asse di rotazione, definito

attraverso una massa m e un braccio e rispetto all’asse di rotazione. Supponiamo che la velocità angolare

ω sia costante.

L’accelerazione assoluta della massa eccentrica sarà

¨

2 iωt

~a = ~a + ~a = ω e e + ~x (6.73)

r t

dove, con un certo abuso di notazione, si sono combinati il formalismo esponenziale dei fasori per quanto

riguarda l’accelerazione relativa, centripeta, a cui è soggetta la massa eccentrica, e la notazione vettoriale

6-12

più classica per l’accelerazione di trascinamento a cui è soggetta la massa M . Avremo quindi, misurando

gli spostamenti x, positivi verso l’alto, a partire dalla posizione di equilibrio statico, l’equazione della

dinamica dell’intero sistema

2

−ω

M ẍ + m e sin (ωt) + ẍ + 2kx = 0 (6.74)

ovvero 2

(M + m) ẍ + 2kx = mω e sin (ωt) (6.75)

e l’integrale particolare, in condizioni di regime, varrà

2

meω

x (t) = sin (ωt) = X (ω) sin (ωt) (6.76)

p 2

2k (M + m) ω

e quindi ! 2

ω

ω

2

ω m

m

X (ω) 0 (6.77)

=

= ! 2

2 2

− ω

e M + m ω M + m ω

0 −

1 ω 0

Si noti che la macchina al variare della velocità trasmetterà al terreno una forza variabile nel tempo pari

a F = 2kX sin (ωt) (6.78)

tr

che forzerà il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzerà a sua

volta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso.

Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia bari-

centrico (e anche principale d’inerzia come vedremo), la forzante si annulla e il fenomeno scompare in

quanto l’equazione di moto risulta essere la soluzione di

(M + m) ẍ + 2kx = 0 (6.79)

6.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica

La soluzione a regime per un’eccitazione di tipo armonico ha una validità del tutto generale in quanto:

• un’eccitazione periodica è scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nella prat-

ica, in una serie di eccitazioni armoniche (serie di Fourier);

• i sistemi meccanici di cui ci occupiamo sono descritti da equazioni differenziali lineari e quindi vale

il principio di sovrapposizione degli effetti.

Quindi, la risposta del sistema meccanico è fornita dalla sovrapposizione delle risposte alle singole

componenti armoniche in cui è sviluppabile la generica eccitazione periodica.

Inoltre, tali risposte, in condizioni di regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gli

integrali generali delle omogenee associate, per effetto delle inevitabili dissipazioni, tendono comunque a

zero in un tempo più o meno lungo.

L’equazione differenziale del moto può essere scritta come

iωt

mẍ + rẋ + kx = F e (6.80)

0

la cui soluzione è data da

x (t) = x (t) + x (t) (6.81)

g p 6-13

Figura 6.13: Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.

Tralasciamo, per quanto più volte detto, il contributo dell’integrale generale dell’omogenea associata;

quindi, a regime:

∼ x (t) (6.82)

x (t) = p

con iωt iφ iωt i(ωt+φ)

|X| |X| ÷ |X|

x (t) = Xe = e e = e sin (ωt + φ) (6.83)

p

con X e φ calcolati sostituendo nell’equazione differenziale l’integrale particolare. Sostituendo quindi

la (6.83) nell’equazione differenziale (6.80) di partenza otteniamo

2 iωt iωt

−mω + irω + k Xe = F e (6.84)

0

che ammette come soluzione valida per tutti i valori di t

F

F 0

0 iφ

e (6.85)

=

X = q

2

k mω + irω 2

2 2 2

(k mω ) + r ω

con

ωr

−1

φ = tan (6.86)

2

k mω

Ricordando che

p

• k/m è la frequenza propria del sistema non smorzato;

ω =

0

• ξ = r/r è il fattore di smorzamento, rapporto tra lo smorzamento ed il suo valore critico;

c

• r = 2mω è lo smorzamento critico;

c 0

• X (0) = F /k è la freccia statica, per effetto della forzante F a pulsazione nulla,

0 0

otteniamo

|X| 1

= (6.87)

v

X   2

u

0 ! !

2 2

u ω ω

u −

1 + 2ξ

 

t ω ω

0 0 6-14

Figura 6.14: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω 0

è indicato con ω/ω , lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno

n

opposto).

e 

 ω 

 2ξ 

 ω

−1 0 

φ = tan (6.88)

 ! 2 

 ω 

 −

1 ω 0

Possiamo rappresentare graficamente in figura 6.14 l’andamento dell’integrale particolare in funzione del

rapporto ω/ω . Si notano due zone: per ω/ω < 1 e per ω/ω > 1, con il caso ω/ω = 1 a fare da

0 0 0 0

spartiacque.

Si può effettuare un’interessante analisi qualitativa del comportamento del sistema studiando il

diagramma vettoriale delle forze agenti sulla massa: dall’equazione di equilibrio

iωt

mẍ + rẋ + kx = F e (6.89)

0

una volta sostituita la soluzione particolare

iωt

x (t) = Xe (6.90)

p

con X complesso, le singole forze sono descritte da coefficienti complessi che hanno una rappresentazione

iωt

molto chiara nel piano complesso avente come riferimento la direzione e :

2 iωt iωt iωt iωt

−mω Xe + irωXe + kXe = F e (6.91)

0

ovvero

2 iωt

−mω −

+ irω + k X F e = 0 (6.92)

0

quindi in generale si può costruire graficamente un trapezio rettangolo, avente come basi le forze elastica

e inerziale, come altezza la forza viscosa, e come quarto lato la forzante esterna. Ad una data pulsazione

ω corrispondono ben precise lunghezze delle basi e dell’altezza; data l’ampiezza della forzante F , la

0

chiusura del trapezio si ottiene variando il modulo e la fase attraverso la scelta di X.

6-15

(a) ω/ω < 1.

0

(b) ω/ω = 1.

0

(c) ω/ω > 1.

0

Figura 6.15: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.

6-16

• ω/ω < 1: l’angolo di fase è piccolo e quindi è principalmente la forza della molla ad equilibrare la

0

forzante esterna, cui si somma la forza d’inerzia, come illustrato in figura 6.15(a).

• ω/ω = 1: l’angolo di fase è pari a 90 gradi, per cui la forzante esterna è equilibrata dalla sola forza

0

viscosa, come illustrato in figura 6.15(b). L’ampiezza di vibrazione a regime è pari a

X (0)

F 0

|X| = (6.93)

= rω 2ξ

0

• ω/ω > 1: l’angolo di fase cresce e si avvicina a 180 gradi; la forza impressa è equilibrata quasi

0

integralmente da quella d’inerzia, come illustrato in figura 6.15(c).

Esercizio 6.1 Si consideri un motore elettrico in c.c. che comanda un carico costituito da una inerzia

J collegata al motore da un albero flessibile, descrivibile mediante una molla rotazionale di rigidezza k

u θ

e uno smorzamento strutturale r . Si progetti un controllo proporzionale tra la tensione di alimentazione

θ

e la rotazione del motore, facendo attenzione a come le caratteristiche dinamiche del carico possono

influenzare il progetto. 6-17

6-18

Capitolo 7

Cenni sulla stabilità

Generato il 16 gennaio 2012

7.1 Che cosa si intende per stabilità

Il termine “stabilità” indica la sensitività della soluzione di un problema matematico alle perturbazioni.

Spesso la definizione di stabilità, la sua portata ed il significato sia fisico che matematico che essa sottende

sfuggono allo studente frettoloso o distratto. Queste brevi note non vogliono tanto rappresentare una

trattazione rigorosa e completa dal punto di vista matematico, quanto una sorta di breviario che aiuti

non solo lo studente del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali a superare l’esame, ma in generale

gli studenti di Ingegneria Aerospaziale ad orientarsi nella terminologia e nella scelta degli strumenti più

adatti a risolvere i problemi fondamentali della dinamica dei sistemi, in un linguaggio che sia il più

possibile corretto e allo stesso tempo conforme alla terminologia in uso nel settore.

Lo studio della stabilità cosı̀ come interessa il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali si applica

tipicamente alle soluzioni

y = y (t) (7.1)

dei problemi

f (y, ẏ, t) = 0, y (t ) = y . (7.2)

0 0

In generale, non è possibile affermare che un generico sistema sia stabile; tuttavia, è possibile studiare

la stabilità di una particolare soluzione. 1

Solo in caso di sistemi lineari a coefficienti costanti si può studiare la stabilità del sistema, in quanto

la struttura della generica soluzione, il cosiddetto integrale generale, è nota a partire dalle caratteristiche

del sistema, e ha la forma

λ(t−t )

y (t) = y (t ) e (7.3)

0

0

con λ complesso e dipendente solo dai coefficienti del sistema, mentre y (t ) rappresenta le condizioni

0

iniziali. Anche in questo caso, quindi, lo studio della stabilità si applica ad una specifica soluzione, e solo

per la specificità del problema, ovvero per l’unicità della soluzione di un sistema lineare, è possibile da

questo studio risalire a caratteristiche globali di stabilità del sistema.

7.2 Definizione di stabilità

Esistono diverse definizioni di stabilità, a seconda di che cosa venga perturbato (stato, parametri, . . . ).

Nel caso in esame, oggetto del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, si intende studiare la stabilità

alla perturbazione dello stato.

1 In caso di sistemi lineari a coefficienti dipendenti dal tempo, se periodici, è ancora possibile studiare la stabilità con

metodi dedicati; si veda ad esempio la teoria di Floquet. 7-1

Si considerino gli enunciati:

Una soluzione si dice stabile se, comunque venga fissata la misura della distanza tollerabile, è

possibile determinare un valore non nullo di perturbazione iniziale della soluzione che consente

alla soluzione perturbata di rimanere al di sotto di tale distanza per tutti gli istanti di tempo

2

successivi a quello iniziale . In forma rigorosa: una soluzione di equilibrio y si dice stabile

e

ky − k

al tempo t se e solo se per ogni ǫ > 0 esiste un valore δ (ǫ) > 0 tale che (t ) y < δ (ǫ)

0 0 e

ky − k ≥

implica (t) y < ǫ qualunque sia t t .

e 0

Una soluzione si dice asintoticamente stabile se è stabile e la soluzione perturbata, dopo un

tempo sufficientemente lungo (al limite, infinito), ritorna alla soluzione di riferimento.

Una soluzione si dice instabile se non è stabile, ovvero non è possibile determinare un valore

non nullo della perturbazione iniziale che le consenta di rimanere al di sotto della distanza

fissata per tutti gli istanti successivi a quello iniziale.

Si badi bene che la perturbazione si applica allo stato, ovvero, per un sistema meccanico descritto

da un’equazione o da un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, può essere applicata

separatamente alla posizione e alla velocità.

Quando si parla di perturbazione di una soluzione, si intende che viene perturbato lo stato ad un dato

istante di tempo t ; quindi, in quell’istante di tempo, lo stato perturbato presenta un salto (uno scalino)

0

rispetto al valore della soluzione di riferimento.

Come questa perturbazione venga applicata non riveste alcuna importanza; quindi, nel caso di un

problema meccanico, è limitativo parlare di forze usate per applicare la perturbazione; ciò non toglie che

la definizione di stabilità come effetto sulla soluzione di un ingresso impulsivo, come viene proposto da

altri corsi, sia collegato alla definizione proposta. Infatti, si può dimostrare che, in un sistema meccanico,

3

una forza impulsiva corrisponde ad una perturbazione della velocità .

7.3 Stabilità ed equilibrio

Si noti bene che la definizione di stabilità si riferisce ad una soluzione qualunque, anche dipendente dal

tempo; infatti, in essa, non si parla mai di equilibrio.

Equilibrio e stabilità sono due concetti distinti.

La soluzione di equilibrio,

y (t) = y = costante, (7.4)

e

in cui la derivata di ordine minimo da cui dipende il problema è costante nel tempo, assume un’importanza

fondamentale in meccanica ed in dinamica in generale. In corrispondenza di una soluzione di equilibrio, lo

studio della stabilità delle piccole oscillazioni è significativo in quanto, se la configurazione di riferimento

è di equilibrio e l’ampiezza delle oscillazioni è limitata, da una parte può essere lecito ritenere che il

comportamento di un modello linearizzato del problema non si discosti molto da quello del sistema

reale (ma non è detto che ciò sia sempre lecito); dall’altra, i coefficienti risultanti dalla linearizzazione

del problema, valutati nella soluzione di equilibrio, possono essere ritenuti costanti a meno che non

contengano una dipendenza esplicita dal tempo.

Quindi si ricade nel caso del problema lineare a coefficienti costanti, per il quale, dallo studio della

stabilità della soluzione generale, è possibile risalire a risultati di validità generale, a condizione che le

ipotesi fatte sulla linearizzazione siano rispettate.

2 Questa definizione di stabilità si dice uniforme; la definizione più generale prevede che il valore della perturbazione

possa dipendere dall’istante in cui viene applicata.

3 Ciò che in effetti viene applicato è un impulso di quantità di moto per perturbare la velocità, oppure una derivata di

impulso di quantità di moto per perturbare la posizione. Tuttavia, questo approccio presuppone che attraverso l’ingresso

del sistema sia possibile perturbare tutto lo stato; allo stesso modo, si assume che osservando l’uscita sia possibile osservare

tutto lo stato. Entrambe le condizioni potrebbero non essere verificate per sistemi con stati cosiddetti non raggiungibili

oppure non osservabili. 7-2

Riassumendo: lo studio della stabilità attorno ad una soluzione di equilibrio riveste per noi un’im-

portanza fondamentale essenzialmente perché tale tipo di movimento è molto importante nella pratica, e

perché tale studio può essere effettuato, sotto certe ipotesi, con strumenti analitici relativamente semplici.

Tuttavia lo studio della stabilità non è limitato a questo tipo di problemi, e ha valenza molto più ampia.

7.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio

Il generico problema dinamico del secondo ordine, rappresentativo di un problema meccanico ad un grado

4

di libertà

f (y, ẏ, ÿ, t) = 0, (7.5)

una volta linearizzato attorno ad una soluzione di equilibrio y (t) = y costante, in un problema meccanico

e

ad un grado di libertà assume la forma

M ∆ÿ + R∆

ẏ + K∆y = f (y , 0, 0, t) , (7.6)

e

ove le forze dipendenti dalla coordinata libera y sono state riassunte dai coefficienti di massa M , resistenza

R e rigidezza K equivalenti, ovvero

∂f ∂f

∂f − −

− , R = , K = . (7.7)

M = ∂ ÿ ∂ ẏ ∂y

La soluzione dell’equazione omogenea associata

M ÿ + Rẏ + Ky = 0, (7.8)

indicata in Equazione (7.3) e qui riprodotta per chiarezza

λt

y (t) = Ce , (7.9)

è rappresentata da un movimento esponenziale che, in caso di esponente complesso, modula un movimento

oscillante armonicamente, in quanto se λ = σ + iω, con σ e ω reali,

(σ+iω)t σt

e = e (cos (ωt) + i sin (ωt)) . (7.10)

7.3.2 Stabilità della soluzione del problema linearizzato

La parte reale dell’esponente λ determina l’evoluzione del movimento.

Se la parte reale è positiva, il movimento è instabile.

Se la parte reale è negativa, il movimento è asintoticamente stabile.

Se la parte reale è nulla, il movimento è stabile (secondo alcuni autori, semplicemente stabile).

Dal momento che la soluzione indicata in Equazione (7.3) per la linearità del sistema è unica, e

dipende dalle condizioni iniziali solo nel coefficiente moltiplicativo C, le considerazioni precedenti si

applicano all’intero sistema, ovvero a tutte le sue soluzioni, dal momento che fra loro si distinguono solo

per il coefficiente C, che non ha alcuna influenza sulle caratteristiche di stabilità della soluzione.

L’esponente λ, radice del polinomio caratteristico, è dato da

r 2 K

R R

± −

− . (7.11)

λ = 2

2M 4M M

In base al valore del discriminante

2 K

R − (7.12)

∆= 2

4M M

si possono distinguere tre casi.

4 In questa trattazione si fa essenzialmente riferimento a problemi meccanici, anche se la trasposizione a problemi generici

delle considerazioni svolte è, o dovrebbe essere, immediata. 7-3

Figura 7.1: Stabilità del pendolo.

1. Per ∆ > 0, le radici sono reali e distinte, e sono date dall’Equazione (7.11). A seconda dei valori

dei parametri, possono essere tutte positive; in ogni caso, per R/M 0 almeno una è positiva, ma

anche per R/M > 0 si può avere una radice positiva, qualora K/M < 0; in tale caso, infatti, la

radice positiva del discriminante è maggiore in modulo di R/ (2M ).

2. Per ∆ = 0, le radici sono reali e coincidenti

R

− . (7.13)

λ = 2M

Se R/M < 0 sono entrambe positive e quindi la soluzione è instabile.

3. Per ∆ < 0, le radici sono complesse coniugate

r 2

K

R R

− ± − . (7.14)

λ = i 2

2M M 4M

Il segno della parte reale è determinato da R/M ; anche in questo caso per R/M < 0 la soluzione è

instabile.

7.3.3 Validità dello studio del problema linearizzato

Lo studio della stabilità della soluzione linearizzata ha valore solamente nella misura in cui sono rispettate

le ipotesi che hanno portato alla linearizzazione, ovvero:

• se la soluzione attorno alla quale la linearizzazione è avvenuta è di equilibrio;

• se l’ampiezza del movimento è sufficientemente limitata da non far allontanare la soluzione dell’e-

quazione linearizzata dal bacino di attrazione della soluzione di equilibrio.

Quest’ultima condizione può essere decisamente critica, in quanto il suo soddisfacimento non è di agevole

valutazione.

Problema: pendolo. Si studi la stabilità del problema di un pendolo costituito da una massa pun-

tiforme m, incernierata nel piano verticale ad una distanza L dall’asse di rotazione, soggetta all’acceler-

2

azione di gravità g e ad uno smorzamento che dà un momento Rθ̇ , come illustrato in figura 7.1.

L’equazione del moto è

2 2

mL θ̈ + Rθ̇ + mLg cos θ = 0 (7.15)

ove si è indicato con θ l’angolo che il pendolo forma rispetto all’orizzontale. La soluzione di equilibrio

statico è π ∈N

+ nπ, n (7.16)

θ = 2 7-4

Figura 7.2: Stabilità in presenza di attrito.

−π/2;

Si consideri la soluzione di equilibrio θ = l’equazione del moto linearizzata diventa:

1

2

mL ∆

θ̈ + mLg∆θ = 0 (7.17)

le cui radici del polinomio caratteristico sono

r g

±i

λ = (7.18)

L

Si consideri ora la soluzione di equilibrio θ = π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:

2

2 −

mL ∆

θ̈ mLg∆θ = 0 (7.19)

le cui radici del polinomio caratteristico sono

r g

± (7.20)

λ = L

Nel primo caso il sistema è stabile; nel secondo è instabile. È lecito supporre che attorno alla soluzione

θ il sistema reale abbia un comportamento smorzato, tuttavia lo studio della stabilità del sistema

1

linearizzato non consente di affermarlo con certezza.

Problema: attrito dinamico. Le forze di attrito, secondo il modello di Coulomb considerato nell’am-

bito di questo corso, non sono linearizzabili in prossimità della condizione di equilibrio statico, se questa

comporta l’annullarsi della velocità relativa tra le superfici a contatto. È possibile, tuttavia, formulare

problemi nei quali, ad una condizione di equilibrio definibile come statica, corrispondente in realtà ad

una condizione di regime, la velocità relativa tra le superfici di contatto si mantenga costante anche se

5

non nulla .

Si consideri il problema in figura 7.2, posto in un piano verticale. Il nastro si muova con velocità v

imposta; la velocità relativa del corpo rispetto al nastro è

v = v ẋ (7.21)

r

La reazione normale tra massa e nastro trasportatore è pari al peso della massa, mg; la forza tangenziale

dovuta all’attrito, secondo quanto illustrato nel Capitolo 8, è

v r , (7.22)

R = f mg

T d |v |

r

avendo assunto come verso positivo della forza quello di x, opposto al verso positivo della velocità relativa.

Quindi l’equilibrio statico, per ẋ = 0 e ẍ = 0, e quindi per v = v, si ottiene dalla relazione

r

kx = f mg. (7.23)

e d

5 Si veda, ad esempio, l’analogo problema del freno a disco svolto nell’introduzione del Capitolo 16.

7-5

L’equazione del moto è v r

−mẍ −

f (x, ẋ, ẍ) = kx + f mg = 0; (7.24)

d |v |

r

la sua linearizzazione attorno alla posizione di equilibrio x = f mg/k, ẋ = 0, ẍ = 0 ne comporta lo

e d e e

sviluppo in serie, arrestato al primo ordine, rispetto alla coordinata libera x e alle sue derivate:

∂v

∂f ∂f ∂f ∂f

r

d

−k, −m.

= = mg, = (7.25)

∂x ∂ ẋ ∂v ∂ ẋ ∂ ẍ

r v =v

r

−1,

Dal momento che ∂v /∂ ẋ = si ottiene:

r

∂f d mg∆

ẋ + k∆x = 0 (7.26)

m∆ẍ + ∂v r

A condizione che la molla abbia rigidezza k > 0, la stabilità dipende dal segno di ∂f /∂v ; se si considera

d r

una curva caratteristica del coefficiente f in funzione della velocità relativa v come quello descritto in

d r

figura 8.3, è possibile identificare, sia a bassissima (0 < v < 0.02 m/s) che ad alta (v > 5 m/s) velocità

r r

delle zone in cui il segno della derivata ∂f /∂v diventa negativo. Se l’equilibrio viene raggiunto per

d r

valori di velocità del nastro in quegli intervalli, sarà instabile.

7.4 Stabilità statica

Esiste una particolare definizione di stabilità, anch’essa strettamente associata al concetto di equilibrio:

la cosiddetta stabilità statica. Non si tratta di una vera e propria definizione di stabilità; va piuttosto

interpretata come un requisito minimo che una soluzione di equilibrio deve possedere per essere stabile in

senso lato e, allo stesso tempo, come un comodo ed utile indice di prestazione di un sistema nell’intorno

di quella soluzione.

Innanzitutto, occorre precisare che l’equilibrio è un particolare tipo di movimento che non varia nel

tempo

y = costante (7.27)

e

quindi è un caso particolare della soluzione considerata nella definizione di stabilità in senso lato. Se tale

soluzione esiste, la relazione

f (y , 0, t) = 0 (7.28)

e

è verificata per ogni istante di tempo.

Una perturbazione di questa soluzione, in generale, dà luogo ad una soluzione che non è più di

equilibrio, perché in assenza della derivata temporale ẏ si ottiene la relazione

6

f (y + ∆y, 0, t) = 0 (7.29)

e

ovvero una diseguaglianza. Perché l’eguaglianza sia ripristinata, dovrebbe nascere una opportuna ẏ che

ripristini l’equilibrio dinamico.

Ad esempio, se si considera il problema meccanico

M ÿ + Ky = 0, (7.30)

la posizione di equilibrio statico è data dalla soluzione di

Ky = 0 (7.31)

6

Una perturbazione ∆y = 0 della (7.31) rispetto alla sua soluzione di equilibrio statico y = 0 porta a

6

K∆y = 0; (7.32)

7-6

infatti, perché l’equilibrio sia ripristinato, occorre, per una data perturbazione ∆y, introdurre le forze

d’inerzia in accordo con la (7.30), ovvero occorre scrivere un equilibrio dinamico

M ∆ÿ + K∆y = 0. (7.33)

Lo studio della stabilità statica consiste nel valutare come variano, per effetto della perturbazione

della soluzione di equilibrio, le sole porzioni del sistema che dipendono dalla derivata di ordine minimo

della coordinata libera; in un problema meccanico, le forze dipendenti dalla posizione.

La relazione di Equazione (7.29), sviluppata in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibrio

diventa ∂f (y , 0, t)

e

f (y + ∆y, 0, t) = f (y , 0, t) + ∆y + o (∆y) , (7.34)

e e ∂y

da cui, tenendo conto dell’Equazione (7.28) e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene

∂f (y , 0, t)

e ∆y; (7.35)

f (y + ∆y, 0, t) =

e ∂y

quindi per valutare la variazione della funzione f in seguito alla perturbazione ∆y dello stato y è

e

sufficiente considerare il segno della derivata parziale di f rispetto a y, a condizione che si sia assunto lo

stesso verso come positivo sia per f che per y. In un problema meccanico, il significato fisico è legato

al verso della variazione di f , che rappresenta una equazione di equilibrio di forza, a seguito di una

perturbazione ∆y di y, che rappresenta uno spostamento.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio si oppone alla perturbazione di configurazione,

si dice che la soluzione di equilibrio è staticamente stabile.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio è concorde con la perturbazione di configu-

razione, si dice che la soluzione di equilibrio è staticamente instabile.

Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio è nulla, si dice che la soluzione di equilibrio è

indifferentemente stabile.

Si noti che, in quest’ultimo caso, la soluzione perturbata è ancora equilibrata, in quanto, dal momento

che la funzione f non varia al variare della coordinata libera, la relazione

f (y + ∆y, 0, t) = 0 (7.36)

e 6

è ancora verificata .

Dallo studio della stabilità dei sistemi lineari a coefficienti costanti si ricava una interpretazione signi-

ficativa del concetto di stabilità statica. Infatti, per il sistema descritto dall’Equazione (7.8), la condizione

di stabilità statica è data da K > 0; si noti però che, dal paragrafo 7.3.2, assumendo M > 0, la medes-

ima condizione è necessaria affinché le radici del polinomio caratteristico associato all’Equazione (7.8),

quando sono reali e distinte, siano negative.

Il passaggio di una radice del polinomio caratteristico dal semipiano sinistro (stabile) a quello destro

(instabile) del piano complesso può avvenire attraverso l’asse immaginario lontano dall’origine, quando,

per K > 0 e M > 0, lo smorzamento R passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 7.3(a);

oppure per l’origine quando, per R > 0, K passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 7.3(b).

Questo secondo caso è descritto dalla condizione di stabilità statica.

Dal confronto tra lo studio della stabilità della soluzione dell’equazione lineare a coefficienti costanti

e della sua stabilità statica appare evidente che la seconda è una condizione necessaria alla prima, ma

non sufficiente. In questo senso, è corretto affermare che la stabilità statica non è una vera definizione

di stabilità di una soluzione di equilibrio, in quanto il verificarsi della condizione di stabilità statica non

è garanzia di stabilità ma solo un suo prerequisito.

6 A rigore, è verificata al primo ordine, ovvero

f (y + ∆y, 0, t) = o (∆y) (7.37)

e 7-7

(a) Con M > 0, per K > 0, quando R (b) Con M > 0, per R ≥ 0, quando K

passa da positivo a negativo. passa da positivo a negativo.

Figura 7.3: Transizione da stabilità ad instabilità al variare di parametri del sistema.

7.5 Regime assoluto

Va sotto il nome di regime assoluto il moto di un sistema che non dipende dalla coordinata libera ma

solo dalle sue derivate a partire da un dato ordine; ad esempio, per un sistema meccanico, si parla

di regime assoluto quando non sono presenti forze dipendenti dalla posizione, per cui la derivata prima

della posizione è la derivata di ordine minimo da cui dipendono le forze agenti sul sistema, quando questa

derivata assuma un valore costante. Un esempio è dato da un corpo in moto in un fluido in equilibrio a

velocità costante, per quanto concerne la posizione, oppure dal moto delle tipiche macchine rotative in

condizioni di velocità angolare costante.

In questo caso, il problema descritto dall’Equazione (7.5) diventa

f ( ẏ, ÿ, t) = 0 (7.38)

per cui, una volta linearizzato, dall’omogenea associata si ottengono le radici del polinomio caratteristico

−R/M

λ = , (7.39)

0

ove M e R sono state definite in precedenza. Si noti che una delle due radici è sempre nulla, ovvero

il problema è staticamente indifferente. Non bisogna però confondere la stabilità indifferente di questa

soluzione con una condizione critica, legata ad esempio all’avvicinarsi di una soluzione al limite di stabilità

statica. Infatti, in questo caso la stabilità del sistema è strutturalmente indifferente, in quanto il problema

è retto in realtà da un’equazione del primo ordine anziché del secondo, quindi in realtà è più corretto

descriverne il comportamento utilizzando la velocità come incognita primaria, riducendolo cosı̀ ad un

problema differenziale del primo ordine.

Problema: particella in moto in un fluido. Si studi la stabilità del moto di una particella di massa

m immersa in un fluido che esercita su di essa una forza viscosa rż che si oppone al moto.

L’equazione di equilibrio della particella in direzione verticale è

mz̈ + rż = mg (7.40)

Si consideri la soluzione di equilibrio, nel senso di regime assoluto, ż = mg/r. Il sistema è lineare a

coefficienti costanti, quindi la sua stabilità si studia mediante le radici del polinomio caratteristico:

0

λ = (7.41)

−r/m,

ovvero la soluzione è stabile se r/m > 0. 7-8

Lo studio della stabilità statica del problema dà un risultato del tutto equivalente: riscrivendo il

sistema al primo ordine nella componente verticale della velocità, w = ż, e considerando le sole forze

nella derivata di ordine minimo w,

−rw

f = + mg = 0 (7.42)

si verifica che la condizione di stabilità statica ∂f /∂w < 0 è soddisfatta per r > 0, ove per definizione

m > 0.

7.6 Stabilità statica ed energia potenziale

rispondere all’esame quando viene chiesto di spiegare che cosa si intende

(Ovvero: come non

per stabilità statica).

Nel corso di Meccanica Razionale, lo studio della stabilità di una soluzione di equilibrio viene presentato

nell’ambito di sistemi conservativi a vincoli fissi, in cui l’energia meccanica totale si conserva, ed il cui

moto si manifesta sotto forma di trasferimento di energia da potenziale a cinetica e viceversa. In questi

casi, lo studio della stabilità statica consente di giungere a considerazioni generali sulla stabilità del

problema, in quanto la stabilità statica, che ricordiamo è una condizione necessaria per la stabilità della

soluzione, diventa anche condizione sufficiente. In tale ambito, la ricerca della soluzione di equilibrio

avviene attraverso la ricerca delle soluzioni per le quali l’energia potenziale del sistema è stazionaria,

mentre lo studio della stabilità statica consiste nel determinare se il punto stazionario è un minimo

(stabile) o un massimo o un flesso (o sella per i sistemi a più gradi di libertà, instabile).

Per tale studio, in genere, si ricorre all’uso della matrice Hessiana, ovvero della derivata seconda

dell’energia potenziale rispetto alle coordinate libere del problema. Senza nulla togliere alla validità di

questa trattazione, è fondamentale sottolineare come il concetto di stabilità statica abbia valore indipen-

dentemente dall’esistenza dell’energia potenziale, in quanto si applica a soluzioni di problemi qualsiasi,

anche non conservativi. Per questo motivo è fondamentale non associare automaticamente il concetto

di stabilità statica alla derivata seconda dell’energia potenziale, cosı̀ come è fondamentale non associare

automaticamente il concetto di equilibrio alla derivata prima dell’energia potenziale.

In un generico problema meccanico, che senza nulla togliere alla generalità viene scelto lineare nelle

forze puramente meccaniche, l’energia cinetica ha la forma

1 2

E = M ẏ , (7.43)

c 2

mentre l’energia potenziale ha la forma

1 2

E = Ky . (7.44)

p 2

Se è presente anche una sollecitazione attiva

Q = Q (y, t) , (7.45)

y y

l’equazione del moto che ne risulta è

∂E ∂E ∂E

d c c p

− + = Q , (7.46)

y

dt ∂ ẏ ∂y ∂y

ovvero

M ÿ + Ky = Q (y, t) . (7.47)

y

La determinazione della soluzione di equilibrio, se esiste, si ottiene dalla relazione

∂E p = Q , (7.48)

y

∂y 7-9

Figura 7.4: Sistema meccanico ad un grado di libertà.

ovvero

Ky = Q (y, t) , (7.49)

y

mentre lo studio della stabilità statica si ottiene valutando il segno della relazione

2

∂ E ∂Q

∂f p y

= + , (7.50)

2

∂y ∂y ∂y

ovvero ∂Q

∂f y

−K

= + . (7.51)

∂y ∂y

Come si può notare, la matrice Hessiana partecipa in quanto, essendo richiesta la derivata parziale della

forza rispetto alla coordinata libera, ed essendo la forza conservativa l’opposto della derivata parziale

dell’energia potenziale rispetto alla coordinata libera, lo studio della stabilità statica viene a richiedere

la derivata seconda dell’energia potenziale.

Tuttavia, la presenza delle forze non conservative Q rende necessario considerare altri contributi

y

alla stabilità statica, per cui la matrice Hessiana fornisce solo una parte dell’informazione richiesta.

Al contrario, le forze conservative possono essere espresse direttamente nella forza generalizzata Q y

anziché attraverso l’energia potenziale, qualora non si ritenga necessario tenerne in conto la conservatività.

Quindi, la matrice Hessiana dell’energia potenziale può essere utilizzata per concorrere allo studio della

stabilità statica di un problema meccanico, ma il concetto di stabilità statica, cosı̀ come il suo studio,

non dipendono in alcun modo dalla conoscenza o dall’esistenza stessa della matrice Hessiana.

Problema: sistema meccanico ad un grado di libertà. Sia dato il sistema meccanico ad un grado

di libertà di figura 7.4, costituito da una massa m e da una molla k collegata al terreno, a cui è applicata

una forza f .

L’energia cinetica è

1 2

E = mẋ , (7.52)

c 2

mentre l’energia potenziale è

1 2

E = kx . (7.53)

p 2

Il lavoro associato alla forza è

δL = δxf (7.54)

L’equazione del moto è

∂E ∂E ∂E

d c c p

− + = Q (7.55)

x

dt ∂ ẋ ∂x ∂x

ovvero

mẍ + kx = f (7.56)

7-10

Figura 7.5: Sistema meccanico ad un grado di libertà in un sistema rotante.

La soluzione di equilibrio è x = f /k.

Lo studio della stabilità statica è possibile mediante lo studio della matrice Hessiana, in quanto il

sistema è soggetto a sole forze di natura conservativa e a vincoli fissi:

2

∂ E p

H = = k (7.57)

2

∂x

Il sistema risulta staticamente stabile se k > 0.

Problema: sistema meccanico ad un grado di libertà in rotazione. Si consideri il sistema

definito nel problema precedente, in cui il sistema di riferimento ruoti rispetto all’origine a velocità

angolare Ω costante, come illustrato in figura 7.5.

La velocità relativa della massa è

v = ẋ (7.58)

r

mentre quella di trascinamento è

v = Ωx (7.59)

t

e sono tra loro perpendicolari; ne risulta un’energia cinetica

1

2 2 2

m ẋ + Ω x (7.60)

E =

c 2

mentre l’energia potenziale ed il lavoro della forza esterna sono immutati rispetto al problema precedente.

L’equazione del moto è

2

mẍ + k Ω m x = f (7.61)

È possibile definire una condizione di equilibrio rispetto alla variabile cinematica x, dal momento che

l’equazione del moto non dipende esplicitamente dal tempo, mentre la velocità angolare del riferimento

2

mobile è costante per ipotesi. La soluzione di equilibrio è x = f / k Ω m ed è definita solo per

p

p

6 k/m; inoltre, per Ω > k/m, il sistema risulta staticamente instabile. In questo caso, la matrice

Ω =

Hessiana non può essere usata perché il sistema è soggetto a vincoli mobili.

7.7 Applicazioni

Il problema dello studio della stabilità delle soluzioni e, attraverso la linearizzazione dei problemi at-

torno a soluzioni di equilibrio, lo studio della stabilità dei sistemi lineari, è di importanza fondamentale

nell’ingegneria.

Gli studenti di Ingegneria Aerospaziale incontrano questi problemi e queste tematiche in molti corsi,

spesso presentate in modo diverso da quanto illustrato in queste note perché ogni disciplina può avere

basi, terminologia e problemi specifici. 7-11

Questo non può esimere lo studente attento dal cogliere il filo comune e le analogie, oltre alla

sostanziale comunanza di metodo, che caratterizza lo studio della stabilità indipendentemente dal prob-

lema a cui si applica.

La stabilità dei sistemi lineari viene affrontata in modo esaustivo nell’ambito del corso di Automatica,

in riferimento sia a sistemi dinamici generici che ai sistemi con controllo in retroazione.

La stabilità statica viene utilizzata in Scienza delle Costruzioni I (o Fondamenti di Meccanica Strut-

turale) per studiare la stabilità dell’equilibrio delle strutture; l’applicazione di riferimento è la trave di

Eulero caricata a compressione.

Nel corso di Strutture Aerospaziali, il problema viene arricchito introducendo i concetti di stabilità

degli elementi sottili, travi e pannelli, e il concetto di instabilità locale delle travi in parete sottile.

In meccanica del volo vengono utilizzati i concetti sia di stabilità statica, per verificare la stabil-

ità dell’equilibrio statico del velivolo, che i concetti fondamentali di stabilità “dinamica”: nel piano di

simmetria, il moto fugoide e quello di corto periodo, e le loro relazioni con la qualità del volo.

Nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, oltre alla introduzione dei problemi di vibrazione

dei sistemi meccanici, il concetto di stabilità statica viene applicato al moto assoluto delle macchine ad

un grado di libertà e alla divergenza aeroelastica delle superfici aerodinamiche, mentre il concetto di

stabilità viene applicato alla dinamica dei sistemi con un cenno alla stabilità aeroelastica delle superfici

aerodinamiche.

In corsi successivi, e nella laurea specialistica, i concetti legati alla stabilità assumono una importanza

fondamentale.

Come si può notare, l’argomento è fondamentale e interdisciplinare; viene affrontato in numerose

occasioni, sempre in relazione ad una sua applicazione pratica a problemi essenziali dell’Ingegneria ed in

particolare dell’Ingegneria Aerospaziale. 7-12

Capitolo 8

Azioni mutue tra elementi di

macchine — Parte I

Generato il 16 gennaio 2012

In ogni sistema meccanico, durante il suo funzionamento, nascono dei movimenti relativi tra i mem-

bri che lo compongono e, inoltre, la macchina stessa o parti di essa si muovono rispetto all’ambiente

circostante.

Questi fenomeni assumono grande importanza nello studio del comportamento dinamico e i loro effetti

sono studiati riconducendoli a due distinte tipologie di contatto, ovvero:

• contatto tra solido e solido;

• contatto fra solido e fluido.

I due principali fenomeni legati all’aderenza tra solidi sono l’attrito e l’usura. Il primo si manifesta

come resistenza o impedimento al moto relativo tra le parti a contatto. Ciò può costituire uno svantaggio

quando diviene fonte di perdita di potenza tra i membri che devono essere mantenuti in movimento

(attrito nei supporti, nelle tenute, ecc.); viceversa, in alcuni casi diventa un fattore essenziale per il

funzionamento delle macchine (come nel contatto ruota-rotaia e pneumatico-strada, ovvero in organi

quali i freni e le frizioni, le giunzioni forzate e imbullonate, ecc.).

L’usura si manifesta invece come un’abrasione progressiva di materiale dalle superfici di due corpi

in moto relativo, che ha luogo nelle superfici stesse. L’usura può essere un fattore utile (ad esempio

nelle lavorazioni tecnologiche di finitura) o, come accade in generale, causare un progressivo degrado

dell’accoppiamento tra le parti a contatto.

Dal punto di vista cinematico possiamo distinguere, almeno macroscopicamente, contatti di rotola-

mento, strisciamento e urto. Si osserva come nel caso di rotolamento il moto relativo al contatto è nullo

(almeno limitandoci ad un punto di vista macroscopico). Nello strisciamento è invece presente una com-

ponente di velocità relativa lungo la tangente comune alle superfici di contatto tra i due corpi, mentre

nell’urto è presente anche una componente normale della velocità relativa.

Dal punto di vista geometrico è possibile effettuare un’ulteriore classificazione, distinguendo contatti

puntiformi, lineari e superficiali, a seconda che l’ente geometrico in comune tra i solidi sia, nell’ipotesi di

corpi indeformabili, un punto (per esempio una sfera a contatto su un piano), una linea (la generatrice di

un cilindro a sezione circolare su un piano), o un’intera superficie (una faccia di un prisma su un piano).

8.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto

Si definisce come attrito la resistenza al moto che si manifesta quando un corpo striscia su un altro. Tale

azione di resistenza agisce secondo la direzione del moto relativo, ma in verso opposto, e viene indicata

come forza di attrito. La forza di attrito che è necessario vincere per iniziare un moto di strisciamento,

a partire da uno stato di quiete, è detta forza di attrito statico, mentre quella necessaria a mantenere

il moto di strisciamento tra due corpi è detta forza di attrito dinamico (o cinetico). La forza di attrito

8-1

Figura 8.1: Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi.

dinamico è in generale inferiore a quella statica. Nel contatto tra solidi si è sempre in presenza di una

superficie nominale di contatto che, nel caso di superfici conformi, corrisponde alla superficie in comune

tra i due corpi, mentre nel caso di superfici non conformi, è una conseguenza dell’elasticità dei corpi a

contatto e dell’azione che li preme uno contro l’altro.

Una delle teorie più accreditate è quella della micro-saldatura fra le parti effettivamente a contatto,

la cui superficie complessiva è una piccolissima frazione di quella apparente di contatto, come illustrato

in figura 8.1. In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche ed elastiche, le

zone deformate, fra le quali può verificarsi una vera e propria saldatura, si estendono proporzionalmente

alla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro e indipendente dalla superficie apparente di contatto.

Consideriamo il caso in cui tra i due corpi a contatto non vi sia moto relativo. L’esperienza mostra

~

che se applichiamo a uno dei due corpi una forza F , anche non perpendicolare al piano, questo resta

~ ~

∗ ∗

fermo finché la componente F non supera in modulo un certo valore F , ovvero < F . Possiamo

F

t t

t t

~ ~

perciò dire che il piano è in grado di esercitare una reazione R avente una componente R tangente al

t

~

∗ , capace di opporsi all’azione di F che tenderebbe a muovere

piano di valore massimo in modulo R = F t

t t

il corpo rispetto al piano di appoggio.

Dalle esperienze di Coulomb, risulta che

R = f R (8.1)

a n

t

ove • R è la componente normale della reazione, avendo assunto R > 0 quando si ha contatto;

n n

• f è il coefficiente di aderenza (o attrito statico) dipendente dalla natura e dallo stato delle superfici

a

a contatto, indipendente entro ampi limiti dall’estensione dell’area apparente di contatto.

Per cui, affinché non vi sia moto relativo tra le superfici, deve valere che

~ ∗

≤ R (8.2)

R t t

Perché lo strisciamento fra i due corpi possa avere inizio, la componente tangenziale della reazione deve

avere un valore in modulo pari al valore massimo R . Ciò significa, facendo riferimento alla teoria delle

t

micro-saldature, che esse si debbono rompere e, per conseguenza:

R = τ A (8.3)

max eff

t

dove si assume un comportamento perfettamente plastico del materiale, per il quale lo sforzo raggiunge

il valore massimo di plasticizzazione su tutta la sezione e lo mantiene indipendentemente dall’entità della

8-2

Figura 8.2: Attrito statico.

deformazione; ma

R n

A = (8.4)

eff σ max

quindi τ max

∗ R = f R (8.5)

R = n a n

t σ max

che evidenzia la ricordata indipendenza dall’estensione della superficie apparente di contatto, e la dipen-

denza dalle sole caratteristiche del materiale.

Se la reazione tangente richiesta è maggiore di quella massima sviluppabile dal vincolo in base al

coefficiente di attrito, allora si ha l’innesco del moto relativo di strisciamento, abbandonando la condizione

di aderenza. Se infatti:

~ ∗

> R = f R (8.6)

R a n

t t

il corpo si mette in moto rispetto alla superficie d’appoggio, ovvero accelera, nella direzione della reazione

~

R , ma con verso opposto. Non appena in movimento, la componente tangenziale della reazione vale:

t ~v

~ −f |) (8.7)

R = (|~v R

t n |~v | |~v |

diretta in verso opposto a quello della velocità relativa ~v (la funzione ~v / rappresenta un versore,

ovvero un vettore di modulo unitario diretto come ~v ). Il coefficiente di attrito dinamico (o cinetico)

|)

f (|~v è anch’esso dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici a contatto, e sempre indipendente

dall’estensione dell’area apparente di contatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura la

sua dipendenza dalla velocità relativa e si assume f costante.

L’indipendenza di f dalla velocità relativa è ammissibile entro limiti non troppo ampi, come illustrato

in figura 8.3. Dopo una brusca diminuzione passando da velocità relativa nulla (attrito statico) a velocità

relative piccolissime, dell’ordine di qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibile aumento al

crescere della velocità relativa fino a valori di circa 0.3 m/s. Per velocità relative maggiori, fino a circa

5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane praticamente costante. Oltre quella velocità relativa il coefficiente

di attrito tende nuovamente a decrescere, diminuzione che diventa notevole a forti velocità relative.

Le leggi utilizzate per considerare i fenomeni di attrito sono di origine empirica; sono state individuate

da Amonton (1699) e successivamente perfezionate da Coulomb (1785). Possono essere sintetizzate come

segue:

• l’attrito è indipendente dall’estensione dell’area apparente di contatto;

• la forza limite di attrito statico, e la forza di attrito in condizioni di strisciamento, sono proporzionali

alla forza normale che tiene i corpi a contatto;

• l’attrito dinamico è indipendente dalla velocità di strisciamento, con le limitazioni sopra chiarite.

8-3

Figura 8.3: Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocità relativa.

Le (8.6, 8.7) valgono solamente se le superfici a contatto sono piane; la (8.7) richiede inoltre che la velocità

sia costante in modulo, direzione e verso. Se tali ipotesi non sono verificate, allora le relazioni (8.6, 8.7)

valgono per le sole componenti di forza infinitesime:

~ ≤ f dR (8.8a)

d R a n

t ~v dA

~ −f

d R = dR (8.8b)

t n |~v |

dA ~

A = dA~n è un vettore avente modulo pari a dA e direzione

ove dA è l’area di contatto infinitesima (d

normale all’area stessa), ~v è la velocità relativa di strisciamento e dR è la componente della reazione

dA n

~

normale all’area dA (e quindi parallela a d A) e agente su di essa; le forze infinitesime sono

~ ×

dR = A ~n (8.9a)

σd

n

~ ~ −

d R = A ~n

dR (8.9b)

σd

t n

ovvero rappresentano il prodotto del tensore degli sforzi a cui è soggetto il materiale al contatto per l’area

di contatto infinitesima, nell’ipotesi di contatto continuo.

La potenza dissipata per attrito vale Z

Z

Z Z

~v dA

~

~ ×

× −

× |~v |

~v

~v d R =

~v d R = f dR , (8.10)

W = f dR =

dA

dA t

dA dA n

n

r(attrito) |~v |

dA

A

A

A A

nell’ipotesi che, per un vincolo unilatero, deve valere la relazione dR 0. Altrimenti, se il vincolo è

n

|dR |.

bilatero, si usa n

Nel caso in cui la velocità sia uniforme,

Z ~v

~ ~ ~

× × × −f × −f |v|

W = ~v d R = R ~v = R ~v = R ~v = R . (8.11)

t n n

r(attrito) |~v |

A

Questo contributo di potenza è da annoverare nell’espressione della somma delle potenze nel Teorema

dell’energia cinetica

dT (8.12)

Π= dt

come richiamato nel Capitolo 2. 8-4

Figura 8.4: Perno rotante.

Al fine di chiarire come la (8.7) valga solamente nel caso di strisciamento a velocità relativa costante

tra due superfici piane, si consideri il perno spingente di figura 8.4, ruotante con velocità angolare ω

~

costante attorno al proprio asse e premuto su una superficie piana, immobile, da una forza assiale N .

Ogni punto della superficie d’appoggio del perno è dotato di velocità assoluta in modulo proporzionale

alla distanza ~r dall’asse di rotazione e di direzione tangente alla rispettiva traiettoria circolare:

~v (r) = ω

~ ~r (8.13)

il cui modulo è v (r) = ωr.

Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale si ottiene

Z

Z 6

p dA = 0 (8.14)

dR =

N = R = n

n A

A

dove p è la pressione di contatto, funzione del solo raggio r per l’ovvia simmetria assiale del problema,

ma Z ~

~ 6

= 0 = f R (8.15)

d R

=

R n

t

t A

Esercizio 8.1 Considerando la (8.8b) con la velocità espressa dalla (8.13), si verifichi la (8.15).

8.2 Usura nel contatto tra solidi

Richiamando le tre cause che possono portare alla messa fuori servizio di una macchina (rottura,

obsolescenza ed usura), si può osservare che:

• la rottura di elementi di macchine è un evento non frequente, che può essere dovuto a difetti del

materiale o al fatto che il sistema sia assoggettato a carichi maggiori rispetto a quelli di progetto;

• l’obsolescenza, ossia l’invecchiamento dovuto alla comparsa sul mercato di macchine in grado

di effettuare la medesima funzione in modo più conveniente (sia dal punto di vista della veloc-

ità di esecuzione, sia del risparmio dell’energia impiegata), interviene, in genere, dopo anni di

funzionamento;

• l’usura è connaturata all’esercizio stesso della macchina, provocandone un decadimento della fun-

zionalità, e non sempre in misura proporzionale al trascorrere del tempo. Di solito, infatti, i

fenomeni di usura mostrano un tasso di crescita più elevato man mano che il livello globale di

usura cresce.

L’usura si manifesta attraverso: 8-5

• aumento dei giochi negli accoppiamenti con conseguenti imprecisioni nel movimento e aumento

della rumorosità;

• possibile comparsa di fenomeni di urti microscopici e conseguenti vibrazioni e sovraccarichi dinam-

ici;

• possibile aumento del tasso di usura stesso, sopra citato, a causa dell’incremento delle azioni

scambiate tra i corpi a contatto, oltre che a causa dell’abrasione delle superfici di contatto.

Un modello elementare di usura (Ipotesi di Reye) definisce il rateo di asportazione di materiale per

logoramento come proporzionale al lavoro dissipato per attrito nell’unità di tempo.

8.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante

L’ipotesi di Reye può essere utilizzata “al contrario”, per determinare la distribuzione radiale della

pressione su un disco rotante, in base a semplici considerazioni cinematiche.

Si consideri l’esempio precedente relativo ad un perno rotante attorno alla normale ad una superficie

piana contro cui è premuto (figura 8.4). Su un elemento dA della superficie di contatto, su cui agisce la

pressione p, si ha una forza normale pdA e perciò, durante il moto, una componente tangenziale f pdA,

con f supposto noto e indipendente dalla velocità.

Se v è la velocità di strisciamento, il lavoro perduto nell’unità di tempo vale:

dΠ = f pvdA (8.16)

1

Se h è lo spessore asportato sull’elemento per logoramento nell’unità di tempo , il volume asportato

nell’unità di tempo risulta hdA; per la proporzionalità affermata dal Reye, detto k un coefficiente di

usura dipendente dai materiali di cui sono costituite le due parti e dalle condizioni di lavoro, risulta:

hdA = kf pvdA (8.17)

Nel caso del perno spingente risulta quindi:

h = kf pv = kf pωr (8.18)

e poiché nell’ipotesi che si usuri solamente il perno, e quindi la sua superficie a contatto con il piano

si mantenga a sua volta piana, lo spessore di materiale asportato nell’unità di tempo risulta costante e

indipendente dalla posizione sulla superficie, si ha: ′

k

h

→ = (8.19)

kf pωr = h = costante p (r) = kf ωr r

8.2.2 Esempio: innesto a frizione

Come applicazione di quanto detto, si consideri un innesto a frizione, illustrato in figura 8.5, tipicamente

utilizzato in veicoli spinti da motori a combustione interna, in quanto:

• i motori a combustione interna non possono avviarsi sotto carico e devono essere mantenuti, durante

l’avviamento del veicolo, a un regime di velocità angolare superiore a un dato valore minimo; inoltre

occorre poter fermare il veicolo stesso senza dover necessariamente fermare il motore;

• qualora sia presente un cambio di velocità, il passaggio da una marcia all’altra va fatto mentre

la trasmissione non trasmette coppia, in quanto occorre accoppiare alberi inizialmente rotanti a

velocità diverse.

1 Ovvero la velocità di asportazione del materiale. L’ipotesi di Reye può essere espressa in forma differenziale: la portata

di materiale asportato è proporzionale alla potenza dissipata dalle forze d’attrito; oppure in forma integrale: il volume di

materiale asportato è proporzionale al lavoro (negativo) compiuto dalle forze d’attrito.

8-6

Figura 8.5: Innesto a frizione.

Tali esigenze sono soddisfatte dagli innesti a frizione, che permettono di trasmettere una data coppia

motrice tra due alberi coassiali rotanti a velocità angolari differenti.

Al fine di realizzare un innesto a frizione, vengono utilizzate le forze d’attrito che nascono tra due

superfici rotanti (a−a e b) rispettivamente solidali con l’albero motore e con quello comandato, premute

1

l’una contro l’altra dallo spingidisco a .

1

Tale pressione è generalmente data da molle opportunamente precaricate ed è necessario che la

pressione sia tale da poter trasmettere una coppia superiore a quella massima erogata dal motore.

È necessario, d’altronde, che:

• l’innesto possa funzionare come giunto di sicurezza evitando che, in caso di frenatura d’urgenza

con motore innestato, si possano trasmettere all’albero motore decelerazioni troppo grandi;

• la differenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motrice non sia troppo

grande per evitare grandi rallentamenti nel motore durante la fase di avviamento del veicolo.

Al fine di determinare la coppia trasmessa per attrito, indicato con A il precarico dato dalle molle, la

2

pressione p agente su una faccia del disco b solidale con l’albero di trasmissione risulta essere pari a:

Z Z r e 2πpr dr (8.20)

A = p dA =

2 r

A i

Secondo la (8.19), la distribuzione di pressione è inversamente proporzionale al raggio. Si ha quindi

Z r ′

k

e ′ −

r dr = 2πk (r r ) (8.21)

A = e i

2 r

r i

da cui, nota la forza A applicata dal pilota e le dimensioni del disco:

2

A

2

k = (8.22)

2π (r r )

e i

Nel moto relativo tra i dischi, a causa dell’attrito definito dal coefficiente f supposto costante, si genera

~

quindi un momento M opposto alla velocità angolare ω

~ del motore

r ! Z

Z r ′ 2

∧ k r ω

~ ω

~

ω

~ ~r e

~ ′ 2 2

− −f −

∧ −f 2πf

dA = rdr = πk r r , (8.23)

M = ~r p

r e i

k~ ∧ k kr~ k k~ k

ω ~

r r ω ω

r

A i 8-7 2

∧ ∧ ×

ove si è sfruttato il fatto che, secondo la (3.8d), ~r (~

ω ~r ) = r ω

~ quando ~r ω

~ = 0. Tale momento,

2

′ 2 − r

di ampiezza M = f πk r , può essere interpretato come conseguenza di una forza tangenziale

r e i

2

fittizia , di modulo pari a f A e quindi proporzionale alla forza normale esercitata tra il disco e la

2

campana, avente un braccio equivalente R eq

2

′ 2 − r

f πk r −

(r r ) (r + r ) r + r

M e i e i e i

r e i

= = = (8.24)

R =

eq ′ − −

f A f 2πk (r e ) 2 (r r ) 2

2 e i e i

pari al raggio medio del disco.

Manovra d’innesto

Si consideri la manovra di innesto, all’inizio della quale il motore è in movimento con velocità angolare

ω e l’utilizzatore è fermo, per arrivare ad una condizione in cui essi ruotano entrambi alla stessa velocità

0

angolare e quindi non c’è più strisciamento. Quindi, inizialmente il sistema ha due gradi di libertà

mentre, al termine della manovra, il sistema ha un solo grado di libertà, in quanto la condizione di non

strisciamento tra disco e campana della frizione introduce il vincolo cinematico di uguaglianza tra le

velocità angolari del motore e dell’utilizzatore.

Al fine di semplificare la trattazione del problema, si assume che il motore eroghi una coppia M m

costante, indipendentemente dal valore della valocità angolare ω , e che ogni accoppiamento tra parti

m

della frizione in moto relativo trasmetta una coppia M costante, ovvero che la forza normale A scam-

r 2

biata si mantenga costante. Nell’esempio illustrato in figura 8.5, la coppia scambiata tra i due alberi è

′ = 2M , dal momento che ci sono due facce di accoppiamento tra il disco e la campana della

in realtà M r

r

frizione.

Dinamica dell’utilizzatore prima dell’innesto

Si consideri innanzitutto il sistema composto dall’utilizzatore, dall’albero di trasmissione e dal disco della

frizione; dall’applicazione del teorema dell’enegia cinetica si ricava

′ −

M ω M ω = J ω̇ ω (8.25)

u u u u u u

r

avendo indicato con M e J , rispettivamente, la coppia e il momento d’inerzia del veicolo ridotti

u u

all’albero sul quale è calettato il disco della frizione che ruota con velocità angolare ω , ovvero

u

X

M ω = (F v + M ω ) (8.26)

u u i i i i

i

X

= (F R + M τ ) ω (8.27)

i i i i u

i

e !

1

d

dT X

u 2 2 (8.28)

= m v + J ω

i i

i i

dt dt 2 i !

d 1 X 2

2 2

= ω

m R + J τ (8.29)

i i u

i i

dt 2 i

X

2 2 ω ω̇ (8.30)

m R + J τ

= u u

i i

i i

i

= J ω ω̇ (8.31)

u u u

ove si sono indicati con m e J rispettivamente le masse e le inerzie delle parti in movimento, con F

i i i

e M rispettivamente le forze e le coppie attive, mentre R e τ rispettivamente indicano i rapporti di

i i i

trasmissione tra la velocità dell’utilizzatore ω e le rispettive velocità di traslazione v e di rotazione ω

u i i

2 Si badi bene: questa interpretazione si basa solo su considerazioni di tipo dimensionale; come mostrato dalla (8.15), la

risultante delle forze tangenziali agenti sul disco è esattamente zero.

8-8

Figura 8.6: Velocità dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione.

Figura 8.7: Innesto a frizione — dettaglio del disco.

delle varie parti. Il momento d’inerzia ridotto J tiene conto solo della massa del veicolo e del momento

u

d’inerzia delle ruote e degli organi di trasmissione.

L’accelerazione del disco della frizione è quindi

′ −

M M u

r (8.32)

ω̇ =

u J u

e la conseguente legge del moto del veicolo, supposto inizialmente fermo e considerando M costante, è

u

′ −

M M u

r t (8.33)

ω (t) =

u J u

Ne risulta un andamento lineare a partire da velocità ω nulla, come illustrato in figura 8.6, la cui

u

′ trasmessa dalla frizione, che per l’utilizzatore

pendenza è direttamente proprozionale alla coppia M r

funge da coppia motrice; tale coppia deve essere superiore ala coppia resistente M affinché la velocità

u

cresca.

Dinamica del motore prima dell’innesto

Applicando quindi il teorema dell’energia cinetica al sistema composto dal motore e dalla campana della

frizione si ottiene ′

M ω M ω = J ω̇ ω (8.34)

m m m m m m

r

Poiché si vuole portare il disco (figura 8.7) e la campana (figura 8.8) alla stessa velocità di rotazione,

è opportuno che la velocità angolare del motore non aumenti; in tale caso, occorre far sı̀ che il momento

8-9

Figura 8.8: Innesto a frizione — dettaglio della campana.

Figura 8.9: Velocità del motore durante la manovra di innesto della frizione.

′ 3

M applicato dalla frizione all’albero motore sia maggiore della coppia massima erogata dal motore ; di

r

conseguenza, quest’ultimo decelera con una accelerazione negativa pari a:

M M

m r

ω̇ = (8.35)

m J m

Conseguentemente, supponendo M costante e integrando la (8.35) a partire dalla condizione di

m

velocità angolare iniziale del motore pari a ω , la legge del moto del sistema fisico composto dal motore

0

e dalla sola campana della frizione risulta essere

′ − M

M m

r

− t (8.36)

ω (t) = ω

m 0 J m

come illustrato dalla figura 8.9, dalla quale si nota che se la velocità angolare iniziale del motore è

troppo piccola, o troppo grande è la differenza tra la coppia erogata e quella applicata dalla frizione, la

decelerazione può portare il motore a spegnersi.

3 Si ricordi che la coppia massima che la frizione può sviluppare è proporzionale alla forza normale applicata tra disco e

campana, a meno di una piccola dipendenza di f dalla velocità. La forza normale, a sua volta, dipende dal precarico delle

molle che mantengono premuti fra loro i due corpi. In generale, se la coppia massima erogabile dal motore supera la coppia

massima trasmissibile dalla frizione in condizione di slittamento, la trasmissione non può funzionare correttamente perché

in tali condizioni la frizione non può giungere alla condizione di non strisciamento.

8-10

Figura 8.10: Velocità di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto della

frizione.

Dinamica del sistema dopo l’innesto

Dopo un tempo t , detto tempo d’innesto, le due velocità angolari saranno eguali; da tale condizione si

1

ricava il tempo ω 0

t = ; (8.37)

! !

1 1 M M

1 m u

′ −

+ +

M r J J J J

m u m u

la frizione si comporterà quindi come un collegamento rigido, e la legge del moto del veicolo varrà

M M

m u −

(t t ) (8.38)

ω (t) = ω (t) = ω (t ) + 1

m u m 1 J + J

m u

Tale legge vale se non vi è slittamento tra disco e campana della frizione, ovvero se sono verificate

entrambe le equazioni:

′ −

M = 2f A R > M (ω) J ω̇

a 2 eq m m

max (8.39)

′ = 2f A R > M (ω) + J ω̇

M a 2 eq u u

max

′ rappresenta il momento massimo che la frizione riesce a trasmettere in condizioni di slitta-

dove M max

mento incipiente.

Si noti che la potenza dissipata durante l’avviamento è

−M −

Π = (ω ω ) (8.40)

m u

r

che corrisponde all’area tratteggiata in figura 8.10.

Si noti che:

• durante il transitorio d’innesto gli organi della trasmissione sono sollecitati da un momento torcente

M maggiore della coppia M erogata dal motore; siccome ciò deve essere possibile anche se M

m m

r

è la coppia massima erogata dal motore, questo spiega le possibili rotture in fase di partenza, se gli

′ massimo;

organi di trasmissione sono dimensionati per M massimo anziché per M

m r

• trasmesso durante la fase di slittamento riduce il tempo d’innesto a

l’aumento del momento M r

vantaggio delle prestazioni;

• la riduzione di J e J migliora le accelerazioni;

m u

• aumentando il momento trasmesso dalla frizione in fase d’innesto si ha un incremento della potenza

dissipata con corrispondente incremento della temperatura del materiale d’attrito e, tipicamente,

una conseguente riduzione del coefficiente f .

8-11

Figura 8.11: Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile

8.3 Resistenza al rotolamento

Con il termine resistenza al rotolamento (talora impropriamente indicato come attrito volvente) si

definisce la resistenza incontrata da un corpo che rotoli senza strisciare macroscopicamente sulla su-

perficie di un altro corpo. L’esperienza, infatti, indica che per mantenere, ad esempio, una ruota in moto

a velocità costante, anche in assenza di azioni resistenti attive, è necessario applicare delle azioni motrici,

realizzate tramite coppie applicate alle ruote o forze al centro ruota.

In varie applicazioni in campo ingegneristico, la potenza dissipata associata a questa forma di re-

sistenza non può essere sempre trascurata. Si darà qui una spiegazione qualitativa del fenomeno, che in

realtà è molto complessa e legata alla deformabilità dei corpi, indicando la procedura per includere tali

effetti negli schemi di calcolo utilizzati per i corpi rigidi.

Se i corpi fossero continui e perfettamente rigidi, quali si suppongono in schemi di prima approssi-

mazione, nel rotolamento puro di un corpo su un altro, ammesso che le forze agenti tra i due corpi passino

sempre per i punti di contatto, non si dovrebbe avere, per effetto di tale moto relativo, dispersione alcuna

di energia meccanica. Infatti, essendo nullo, per la definizione stessa di rotolamento, il moto istantaneo

tra i punti di contatto, le forze agenti tra i due corpi con linee d’azione passanti per detti punti eseguono

lavoro nullo.

Anche se i corpi non fossero rigidi, ma perfettamente elastici, il rotolamento non darebbe dispersione di

energia, perché l’energia spesa per produrre la deformazione negli elementi che vengono successivamente

a contatto sarebbe eguale a quella restituita da quelli che abbandonano il contatto.

In realtà, i corpi reali non sono perfettamente elastici, con l’effetto di far diminuire i valori che le

forze elastiche assumono, nell’intervallo in cui il corpo tende a riprendere la forma primitiva, rispetto ai

valori che esse avevano, per il medesimo valore di deformazione, nell’intervallo in cui questa aumentava.

La distribuzione reale delle pressioni assume quindi l’andamento (b), rispetto a quello simmetrico (a)

del caso di perfetta elasticità. La risultante R delle pressioni passa per un punto C spostato nel verso

n 1

del moto di una quantità u legata dalla relazione u = f r al coefficiente di resistenza al rotolamento f .

v v

È possibile a questo punto determinare la potenza perduta per rotolamento da prendere in consider-

azione nel teorema dell’energia cinetica:

−R −f

W = uω = R v (8.41)

r n v n

essendo ω la velocità angolare della ruota, e v la velocità di avanzamento del centro ruota.

8-12

Figura 8.12: Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico

Figura 8.13: Coefficiente di resistenza al rotolamento.

8-13

Figura 8.14: Schema di funzionamento della ruota strada.

8.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento

Il coefficiente di resistenza al rotolamento è in genere funzione della velocità di marcia (diagramma

sperimentale), normalmente approssimato con l’espressione

2

f = f + Kv (8.42)

v 0

Qualora il campo di velocità lo permetta, viene ritenuto costante.

Ruota strada

Al fine di rilevare sperimentalmente il coefficiente di resistenza al rotolamento ad esempio di pneumatici,

le più semplici macchine di prova sono quelle che utilizzano la cosiddetta “ruota strada”, ovvero una

superficie cilindrica sulla quale la ruota viene fatta rotolare.

Le condizioni reali di funzionamento del pneumatico sono intermedie tra i risultati ottenuti con i due

tipi di macchina, e i risultati sono tanto più attendibili quanto più è alto il rapporto tra i raggi della

ruota strada e del pneumatico.

Per la misura del coefficiente di resistenza al rotolamento si può portare il complesso ruota-ruota

strada a una velocità prestabilita per poi lasciare che il sistema proceda per inerzia disinnestando i

motori. Applicando il bilancio di potenze al sistema si ottiene, nota la curva caratteristica del momento

resistente M (ω ) applicato alla ruota strada e trascurando il momento resistente applicato al cerchio

s s

con pneumatico, avremo

−M −

(ω ) ω f Zr ω = J ω̇ ω + J ω̇ω (8.43)

s s s v 0 s s s

dove il pedice (·) si riferisce alle grandezze della ruota strada, r è il raggio di rotolamento sotto carico

0

s

del pneumatico e Z è il carico verticale applicato zavorrando la ruota dotata di pneumatico.

Ricordando per le ipotesi di rotolamento che

r ω = r ω (8.44)

s s 0

otteniamo: 2

r

r 0

0 −

−M ω f Zr ω = J ω̇ω + J ω̇ω (8.45)

(ω ) v 0 s

s s r r

s s

da cui: !

2

r

r 0

0 −

−M f Zr = J + J ω̇ (8.46)

(ω ) v 0 s

s s r r

s s 8-14

Figura 8.15: Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale.

ovvero:

2 2

−M − ω̇

(ω ) r r J r + Jr

s s 0 s s s

0 (8.47)

f =

v 2

Zr r

0 s

La curva caratteristica M (ω ) può essere rilevata sperimentalmente registrando un transitorio di

s s

arresto della sola ruota strada. Il metodo presenta delle difficoltà di misura in quanto normalmente si

registra la legge del moto ω (t), della quale è necessario calcolare numericamente l’accelerazione angolare.

Prove su strada

In alternativa si effettuano prove su strada trainando un veicolo posto all’interno di un cassone per

impedire che su di esso si esercitino forze aerodinamiche, come illustrato in figura 8.15.

Un tirante dinamometrico collega il cassone con il veicolo, e applicando il bilancio di potenze alla sola

autovettura avremo, in condizione di regime assoluto,

4

X

− f R r ω = 0 (8.48)

Tv vi ni 0i i

i=1

che, nelle ipotesi di egual coefficiente di attrito per le quattro ruote ed eguale raggio di rotolamento sotto

carico, e ricordando che nelle ipotesi di rotolamento v = r ω porta a

0i i

4

X

− R = 0 (8.49)

T v f v ni

v i=1

ma, nelle ipotesi di marcia in piano, detta M la massa del veicolo, l’equilibrio alla traslazione verticale

porta a

4

X R = M g (8.50)

ni

i=1

e quindi la (8.49) diventa

T . (8.51)

f =

v Mg 8-15

8-16

Capitolo 9

Dinamica della macchina a un grado

di libertà

Generato il 16 gennaio 2012

9.1 Considerazioni generali

In questo capitolo si esaminerà il funzionamento di una macchina sotto l’ipotesi di poter considerare tale

sistema dotato di un solo grado di libertà. In generale, una macchina può essere pensata come composta

da un motore, una trasmissione ed un utilizzatore, come mostrato dalla figura 9.1.

Benché la suddivisione tra queste tre parti della macchina possa risultare talvolta schematica o poco

aderente all’effettivo funzionamento del sistema, è possibile in linea di massima affermare che:

• il motore ha il compito di produrre potenza meccanica, utilizzando una fonte di energia di diversa

natura (chimica, elettrica o altro);

• l’utilizzatore impiega la potenza meccanica resa disponibile dal motore per compiere uno scopo, che

può essere di natura alquanto varia, ad esempio il sollevamento o la movimentazione di un carico,

una lavorazione meccanica, la compressione di un fluido ecc.;

• la trasmissione ha il compito di trasferire la potenza dal motore all’utilizzatore e, dal punto di

vista della cinematica della macchina, stabilisce un rapporto (detto rapporto di trasmissione, come

illustrato nel paragrafo 9.1.3) tra la velocità del motore e quella dell’utilizzatore.

L’ipotesi che la macchina sia un sistema dotato di un solo grado di libertà, corrisponde ad affermare

che la posizione di tutti i punti della macchina viene univocamente determinata dal valore di una sola

coordinata libera, che nel seguito sarà sempre rappresentata dalla rotazione dell’albero motore.

Escludendo casi particolari in cui la macchina abbia più di una possibilità di movimento rigido (ad

esempio macchine contenenti rotismi epicicloidali), questa ipotesi corrisponde a considerare trascurabili

gli effetti di deformabilità degli organi (alberi, membri di sistemi articolati, cinghie ecc.) che compongono

la macchina stessa. M otore T rasmissione U tilizzatore

Figura 9.1: Schema della macchina a un grado di libertà

9-1

Per scrivere l’equazione differenziale che governa il moto della macchina ad un grado di libertà è

conveniente utilizzare il teorema dell’energia cinetica

dE c

Π= (9.1)

dt

nella forma detta di bilancio delle potenze, con

Π = Ŵ + Ŵ + Ŵ (9.2)

m r p

E = E + E (9.3)

c cm cr

avendo assunto nulla l’energia cinetica associata alla trasmissione stessa in quanto la si idealizza in un

componente privo di inerzia riducibile ad una rotazione, come illustrato nel seguito. Tale equazione

assume la forma: dE c (9.4)

Ŵ + Ŵ + Ŵ =

m r p dt

in cui il termine Ŵ rappresenta la potenza dovuta a tutte le forze ed i momenti, a meno di quelli

m

d’inerzia, che si esercitano sul lato motore, ossia su tutte le parti della macchina poste a monte della

trasmissione, il termine Ŵ tiene conto di tutte le forze e coppie agenti sull’utilizzatore (ossia a valle della

r

trasmissione), ed il termine Ŵ rappresenta le perdite che si realizzano nella trasmissione per effetto degli

p

attriti e delle resistenze interne a questo organo.

9.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente

La potenza motrice rappresenta il contributo al bilancio di potenze dovuto a tutte le forze ed in momenti

che agiscono sul lato motore della macchina, ossia su tutti gli organi posti a monte della trasmissione.

Nel caso più generale, in cui sul lato motore agiscano n forze ed n momenti, tale termine si può

f m mm

scrivere come:

n n

f m mm

X X

~ ~

× ×

Ŵ = +

~v

F (9.5)

ω

~

M

m F m

m m

m

i

i j

j

i=1 j=1

~ rappresenta la velocità del

rappresenta il valore della i-esima forza agente sul lato motore, ~v

in cui F m

m i

i ~

~ rappresenta il valore del j-esimo momento

e, analogamente, M

punto di applicazione della forza F m

m j

i

la velocità angolare del corpo a cui viene applicato il momento.

applicato al lato motore e ω

~ m j e le velocità

Si assume che la macchina sia caratterizzata da soli vincoli fissi, tali per cui le velocità ~v m i

non dipendano esplicitamente dal tempo.

angolari ω

~ m j

Poiché la macchina possiede un solo grado di libertà, tutte le velocità e velocità angolari che compaiono

nella (9.5) possono essere espresse, per mezzo di opportuni legami cinematici, in funzione di un unico

parametro cinematico q. Nel seguito si assumerà che tale parametro sia la posizione angolare dell’albero

motore, ϑ ; la sua derivata ϑ̇ , corrispondente alla derivata temporale della coordinata libera, q̇, è la

m m

velocità angolare dell’albero motore, nel seguito spesso indicata con ω . I legami cinematici assumono

m

la forma: ~ ω

= X

~v m

F m

F m i

i ~ ω (9.6)

= Θ

ω

~ m

m

m i

i ~

~ sono gli jacobiani che definiscono il legame cinematico tra le velocità dei punti di

e Θ

in cui X m

m i

i

applicazione delle forze e la velocità angolare dell’albero motore; per l’ipotesi di vincoli fissi, dipendono

al più dalla coordinata libera q.

Introducendo tali legami cinematici nella espressione (9.5) è possibile esprimere complessivamente la

potenza motrice come prodotto della velocità angolare ω per un termine M che viene detto momento

m m

9-2

1

motore ridotto all’albero motore:

 

n n

fm mm

X X

~

~ ~

~ ∗

× ×

Ŵ = +

X

F ω = M ω (9.7)

Θ

M

 

m Fm

m m m

m

m m

i

i j

j

i=1 j=1

Il momento motore ridotto può essere interpretato come il valore di un momento applicato all’al-

bero motore che fornisce una potenza motrice uguale in ogni istante alla potenza motrice prodotta

complessivamente da tutte le forze e coppie che agiscono effettivamente sul lato motore.

Nella (9.7) si osserva che l’espressione del momento motore ridotto dipende:

• dalle forze e coppie fisicamente agenti sul lato motore; tali grandezze a loro volta possono assumere

valori costanti (ad esempio nel caso di una forza gravitazionale), oppure dipendere dalla posizione

e/o dalla velocità dell’albero motore (si veda ad esempio nel paragrafo 4.3 la forza sul pistone di

un motore alternativo dovuta alla pressione nella camera di combustione.

• dagli jacobiani che legano il moto dei punti di applicazione delle forze fisiche alla rotazione dell’al-

bero motore; tali quantità sono costanti nel caso di legami cinematici lineari e dipendono invece

dalla rotazione ϑ dell’albero motore se i legami cinematici sono non lineari.

m

Di conseguenza, il momento motore ridotto dipenderà, in generale, sia dalla coordinata libera q, che

rappresenta la posizione angolare dell’albero motore ϑ , sia dalla sua velocità angolare ω :

m m

∗ ∗

M = M (ϑ , ω ) (9.8)

m m

m m

Se, come caso particolare, il momento motore ridotto non dipende dalla posizione angolare dell’albero

∗ ∗

ma solo dalla sua velocità angolare, la relazione M = M (ω ) viene detta caratteristica meccanica

m

m m −

del motore, e curva caratteristica la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano M ω , come

m m

nell’esempio di figura 9.6.

Se invece il momento motore dipende anche dalla posizione angolare dell’albero lo studio della dinam-

ica della macchina risulta più complesso, come sarà discusso nel paragrafo 9.3. In alcune applicazioni è

però possibile approssimare il momento motore nel seguente modo:

Z Θ

1

∗ ∗

M (ϑ , ω ) M (ϑ , ω ) dϑ (9.9)

=

M

=

m m m m m

m m

m Θ 0 2

ove con Θ si è indicata la rotazione corrispondente ad un periodo del moto , in modo da eliminarne

la dipendenza dalla posizione angolare dell’albero: tale approssimazione è giustificata dal fatto che,

se la macchina ruota ad una velocità pressoché costante, le variazioni che si producono nel momento

motore rispetto al suo valore medio sono assorbite dalle inerzie e dalle deformabilità dei suoi organi.

Questa motivazione, necessariamente incompleta e qualitativa, potrà essere meglio precisata quando si

affronteranno i problemi dell’isolamento delle vibrazioni e delle oscillazioni torsionali di una macchina.

Per quanto riguarda l’espressione della potenza resistente è possibile definire un momento resistente

ridotto, sulla base di considerazioni analoghe a quelle presentate per la potenza motrice. Tale quantità

rappresenta l’effetto complessivo di tutte le forze e coppie agenti sul lato utilizzatore, e consente di

scrivere la potenza resistente nella forma

 

n n

fr mr

X X

~

~ ~

~ ∗

× × ω = M ω (9.10)

Ŵ = +

X

F Θ

M

  r r

r Fr

r r

r r

i

i j

j

i=1 j=1

in cui le varie grandezze introdotte assumono significato analogo, per il lato utilizzatore, a quanto

introdotto nella (9.5) e nella (9.6) per il lato motore.

1 Il momento ridotto può essere positivo o negativo; nel primo caso, il motore sta introducendo lavoro nel sistema, mentre

nel secondo caso lo sta estraendo.

2 Ad esempio, per un motore alternativo a combustione interna monocilindrico a quattro tempi, ad un periodo corrispon-

dono due giri dell’albero motore, quindi Θ = 4π; per un analogo motore a 6 cilindri in linea, in caso di perfetta simmetria

e bilanciamento delle parti l’angolo si riduce a Θ = 2/3π. 9-3

9.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore

Per quanto riguarda l’energia cinetica del lato motore, si consideri il caso più generale in cui questo sia

rispettivamente il valore della massa e del momento di inerzia

e J

corpi, e siano m

composto da n m

m

c i

i

m

dell’i-esimo corpo. L’energia cinetica complessiva del lato motore sarà fornita, in base al teorema di

König, da: n

cm 1 1

X × ×

=

E (9.11)

+

~v ω

~

~v ω

~

m J

c Gi i

Gi i

m m

m m m

m m

i i

2 2

i=1

Anche in questo caso è possibile esprimere attraverso opportuni legami cinematici la relazione che

intercorre tra le velocità dei baricentri dei diversi corpi, le velocità angolari di questi e la velocità angolare

ω dell’albero motore

m ~ ω

= X

~v m

Gm

Gm i

i ~ ω (9.12)

= Θ

ω

~ m

m

m i

i

Introducendo tali relazioni nella espressione dell’energia cinetica del lato motore si ottiene è possibile

definire il momento d’inerzia ridotto del motore ridotto all’albero motore:

n

cm

1 1

X ~

~

~

~ 2 ∗ 2

×

×

=

E ω =

Θ

Θ

+ J

X

X

m J ω (9.13)

c m

m

m

Gm

Gm

m m m m

m i

i

i

i

i

i

2 2

i=1 ∗

in questa espressione il momento d’inerzia ridotto J può essere interpretato come il momento di inerzia

m

di un volano posto sull’albero motore, la cui energia cinetica sia uguale all’energia cinetica complessiva

di tutte le inerzie presenti sul lato motore della macchina. , e di conseguenza

e Θ

Se i legami cinematici espressi dalla (9.12) sono non lineari, gli jacobiani X m

Gm i

i

∗ , dipendono dalla posizione angolare dell’albero motore ϑ :

il momento di inerzia ridotto J m

m

∗ ∗

J = J (ϑ ) (9.14)

m

m m

se invece i legami cinematici sono lineari gli jacobiani e quindi anche il momento di inerzia ridotto sono

costanti.

Per quanto riguarda l’energia cinetica dell’utilizzatore, si può pervenire ad una scrittura dell’energia

cinetica analoga a quella ottenuta per il lato motore, che consente di definire un momento di inerzia

ridotto dell’utilizzatore J :

r

n

c

r

1

1 X ~

~

~

~ 2 ∗ 2

×

× ω =

Θ

Θ

+ J

X

X

m

=

E J ω (9.15)

r

r

r

Gr

Gr

r

c r r r

i

i

i

i

i

i

r 2 2

i=1

In linea di principio, è possibile definire, in analogia, anche l’energia cinetica associata alla trasmis-

sione; tuttavia nel modello ideale considerato in questa trattazione si assume che l’energia cinetica della

trasmissione sia nulla, ovvero che sia nulla l’inerzia ridotta della trasmissione stessa.

9.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta

La trasmissione di una macchina può essere realizzata per mezzo di dispositivi quali ingranaggi, alberi,

organi flessibili (cinghie trapezoidali o dentate) catene o altri dispositivi. Dal punto di vista della cine-

matica della macchina, essa stabilisce una relazione tra il moto del lato motore e dell’utilizzatore. Tale

legame è espresso dal rapporto di trasmissione τ definito come:

ω r (9.16)

τ = ω m

nel seguito si ipotizzerà che il valore del rapporto di trasmissione sia costante, benché esistano esempi di

3

trasmissioni per le quali il valore di questo parametro varia con la posizione angolare dell’albero motore .

3 Ad esempio il giunto di Cardano. 9-4

Per quanto riguarda invece il contributo della trasmissione al bilancio di potenze della macchina, la

potenza dissipata dalla trasmissione viene di norma espressa come una frazione della potenza entrante

nella trasmissione stessa, attraverso il rendimento η:

W uscente

η = , (9.17)

W entrante

ove il segno negativo è necessario dal momento che le due potenze considerate hanno generalmente segno

4

opposto . Al fine di descrivere il flusso della potenza attraverso la trasmissione, si indichino con W e

m

W le potenze agli alberi della trasmissione rispettivamente lato motore e lato utilizzatore, definite come

r ∗

W = Ŵ J ω̇ ω (9.18)

m m m m

m

W = Ŵ J ω̇ ω (9.19)

r r r r

r

e con W la potenza dissipata all’interno della trasmissione che, per le ipotesi fatte in precedenza

p

sull’assenza di inerzia nella trasmissione, risulta

W = Ŵ . (9.20)

p p

Per tutti e tre questi termini si adotterà la convenzione di considerare positivi i contributi di potenza

entranti nella trasmissione, come mostrato in figura 9.2.

W p

W

m W r

Trasmissione

Figura 9.2: Flussi di potenza attraverso la trasmissione

Nel caso in cui sia W > 0 e W < 0 il moto è definito diretto ed il rapporto tra le due potenze W

m r m

e W nella forma

r W r

η = (9.21)

d W m

è detto rendimento (della trasmissione) nel moto diretto, Nel caso in cui sia W > 0 e W < 0, il moto

r m

è detto retrogrado (o inverso) ed il rapporto tra le due potenze nella forma

W m

η = (9.22)

r W r

è detto rendimento nel moto retrogrado.

Per rapporti di trasmissione τ = ω /ω che si discostano via via dall’unità (τ < 1/6 e τ > 6) i due

r m ≪

rendimenti divengono progressivamente diversi fra loro. Per τ = ω /ω 1 (motore veloce e utilizzatore

r m

lento), come spesso accade nelle applicazioni, in cui la trasmissione determina una riduzione di velocità

tra il lato motore ed il lato utilizzatore, è η > η .

d r

÷

Al diminuire di η (η < 0.4 0.5) può inoltre verificarsi il caso η < 0, nel qual caso è necessario

d d r

avere anche W > 0 (rispetto al caso di moto retrogrado già detto) per far funzionare la macchina in

m

cui la trasmissione è inserita. In tal caso la trasmissione si definisce “irreversibile” e la potenza W + W

m r

viene tutta dissipata. È privo di significato fisico il caso in cui entrambe le potenze W e W siano

m r

negative.

4 Il caso particolare in cui hanno entrambe segno positivo viene considerato a parte.

9-5

Espressione della potenza perduta

Effettuando un bilancio di potenze parziale della trasmissione, e facendo riferimento alle convenzioni

indicate in figura 9.2, si ottiene l’equazione

W + W + W = 0 (9.23)

m r p

al fine di ottenere l’espressione della potenza perduta, conviene distinguere le diverse possibili condizioni

di funzionamento della trasmissione.

Condizioni di moto diretto. Inserendo nel bilancio di potenze della trasmissione la definizione del

rendimento in moto diretto fornita in precedenza si ottiene:

 −(1 − η )W

d m

 !

1

−W − (9.24)

W = W =

p m r − 1 W r

 η

 d

in cui le due espressioni riportate per la potenza perduta W sono equivalenti in quanto danno luogo allo

p

stesso valore. Si osservi che, in conseguenza del fatto che 0 < η < 1 la potenza dissipata risulta sempre

d

minore di zero, il che è in accordo con il fatto che all’interno della trasmissione si verifica sempre una

perdita di energia.

Condizioni di moto retrogrado. In questo caso, ricordando la definizione del rendimento in moto

retrogrado, ed escludendo per il momento il caso di trasmissione irreversibile, si ha:

 −(1 − η )W

r r

 !

1

−W −

W = W = (9.25)

p m r − 1 W

m

 η

 r

in questo caso si ha 0 < η < 1 e di conseguenza la potenza perduta risulta negativa.

r ∗ il rendimento in moto retro-

Caso di trasmissione irreversibile. In questo caso, indicando con η r

grado per sottolineare il fatto che esso assume un valore negativo, si ottiene:

 ∗

−(1 − η )W r

r

 !

1

−W − (9.26)

W = W =

p m r − 1 W m

 ∗

η

 r ∗

in cui, osservando che questa volta η < 0, si ha che la potenza perduta ha segno negativo e risulta in

r

modulo maggiore sia della potenza lato motore W , sia della potenza lato utilizzatore W .

m r

Determinazione del flusso di potenza attraverso la trasmissione

Nello studio del moto di una macchina, al fine di valutare correttamente la potenza perduta nella trasmis-

sione, occorre determinare il flusso di potenza attraverso la trasmissione, ossia determinare se questa

funzioni in condizioni di moto diretto o retrogrado.

Si consideri una trasmissione per la quale sia:

η > η > 0 (9.27)

d r

ossia per la quale sia esclusa la possibilità di arresto spontaneo.

Nel caso in cui le due potenze W e W delle forze agenti rispettivamente sul lato motore e sul lato

m r

utilizzatore abbiano segno opposto, la determinazione del flusso di potenza discende immediatamente

dal segno di questi termini, secondo la tabella 9.1. Invece il caso in cui entrambi i termini W e W

m r

risultino positivi, il moto può essere diretto oppure retrogrado in funzione delle condizioni di funzion-

amento della macchina. Nel seguito di questo paragrafo si chiarirà in che modo sia possibile sciogliere

9-6

Lato motore Lato utilizzatore

W > 0 W < 0 moto diretto

m r

W < 0 W > 0 moto retrogrado

m r

W > 0 W > 0 caso indeterminato

m r

Tabella 9.1: Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione

l’indeterminazione e decidere se il moto sia diretto o retrogrado. A tale fine si ipotizzerà per semplicità

∗ ∗

che i momenti di inerzia ridotti del lato motore e del lato utilizzatore J e J siano costanti, e si dis-

m r

tingueranno due casi tipici che si verificano nello studio della dinamica della macchina: nel primo caso

si assumerà di conoscere il valore della accelerazione della macchina nella condizione di funzionamento

considerata. Nel secondo caso si considererà invece incognita l’accelerazione della macchina.

Caso 1 - accelerazione nota. In questo caso basta valutare la più comoda delle espressioni:

− ω̇ ω

W = Ŵ J m m

m m m (9.28)

− ω̇ ω

W = Ŵ J r r

r r r

che corrispondono rispettivamente alla scrittura di un bilancio di potenze parziale del solo lato motore o

del solo lato utilizzatore. Avremo necessariamente (per l’ipotesi di trasmissione reversibile) che una delle

due potenze W e W sarà positiva e l’altra negativa, e sarà di conseguenza possibile determinare se la

m r

macchina funziona in moto diretto o retrogrado e quindi utilizzare l’espressione corretta della potenza

perduta W secondo quanto indicato in precedenza.

p

Caso 2 - accelerazione incognita. in questo caso occorre ipotizzare un flusso di potenza (moto

diretto o retrogrado), ricavare l’accelerazione e verificare l’ipotesi fatta.

Ipotizzando ad esempio moto diretto, avendo ridotto tutte le azioni agenti sui due lati motore ed

∗ ∗ ∗ ∗

utilizzatore ai momenti M e M e tutte le inerzie ai momenti ridotti di inerzia J e J , il bilancio di

m r m r

potenze diviene:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗

− − −

M ω + τ M ω (1 η ) (M J ω̇ ) ω = J ω̇ ω + τ J ω̇ ω (9.29)

m m d m m m m m m

m r m m m r

che fornisce il valore della accelerazione angolare dell’albero motore:

∗ + τ M

η M

d r

m (9.30)

ω̇ =

m ∗ 2 ∗

η J + τ J

d m r

in cui il valore della accelerazione angolare risulta sicuramente positivo in quanto sia il momento motore

ridotto sia il momento resistente ridotto sono positivi. Inserendo tale valore nella espressione della

potenza W entrante nella trasmissione dal lato motore è possibile verificare se questa risulta maggiore

m

di zero, e quindi se il moto risulta effettivamente diretto, come precedentemente ipotizzato.

Sostituendo nella condizione di moto diretto

∗ ∗

M J ω̇ > 0 (9.31)

m

m m

l’espressione della accelerazione angolare del motore (nell’ipotesi di moto diretto), si ottiene una con-

dizione necessaria e sufficiente affinché la macchina funzioni in moto diretto:

∗ ∗

η M + τ M

d m r

∗ ∗

M J > 0 (9.32)

m m ∗ 2 ∗

η J + τ J

d m r

ed essendo:

∗ 2 ∗

η J + τ J > 0 (9.33)

d m r

si ottiene:

∗ ∗ 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

− −

η J M + τ J M η J M τ J M > 0 (9.34)

d d

m m r m m m m r 9-7

Figura 9.3: Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito.

da cui, semplificando e riordinando i termini:

∗ τM

M r

m > (9.35)

∗ 2 ∗

J τ J

m r

ossia condizione per avere moto diretto è che il rapporto tra la coppia dell’utilizzatore ridotta all’al-

bero motore ed il momento d’inerzia dell’utilizzatore ridotto all’albero motore stesso risulti minore del

corrispondente rapporto relativo alle quantità direttamente agenti sul lato motore.

In definitiva è quindi possibile, anche nel caso di accelerazione incognita, determinare a priori il flusso

di potenza nella trasmissione.

9.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito

Si consideri la semplice macchina illustrata in figura 9.3, consistente in un corpo che scorre orizzontal-

mente su un piano liscio, sul quale scorre un altro corpo lungo un piano inclinato di un angolo α, la

cui superficie sia caratterizzata da un coefficiente di attrito dinamico f relativo allo strisciamento tra

d

i due corpi. Il secondo corpo, a sua volta, sia vincolato a scorrere verticalmente su un piano liscio. La

cinematica mostra che lo spostamento del secondo corpo è

x = x tan α (9.36)

r m

quindi tan α è il rapporto di trasmissione τ .

Moto diretto

Si consideri il caso in cui il primo corpo si muova nel verso positivo di x a velocità costante, quindi in

m

condizioni di regime. La potenza motrice è

Π = F ẋ (9.37)

m m m

La componente tangenziale della reazione vincolare è data da

R = f R (9.38)

T d N

quindi, dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si

ottiene 1 (9.39)

R = F

N m (sin α + f cos α)

d 9-8

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene

invece −

(cos α f sin α)

d

−R − −F

F = (cos α f sin α) = (9.40)

r N d m (sin α + f cos α)

d

Ne risulta una potenza resistente −

(cos α f sin α)

d

−F

Π = F ẋ = ẋ tan α (9.41)

r r r m m (sin α + f cos α)

d

Il rendimento è dato da

Π (1 f tan α)

r d

η = = (9.42)

d Π (1 + f / tan α)

m d

ed è unitario in assenza di attrito, mentre decresce al crescere di f e di α, fino ad annullarsi per

d

1

tan α = (9.43)

f d

Moto retrogrado

Si consideri ora il caso in cui il secondo corpo si muova verso il basso, ovvero in direzione opposta al

verso positivo di x , sempre a velocità costante. La potenza associata alla forza F è sempre data da

r r

Π = F ẋ = F ẋ tan α (9.44)

r r r r m

ma ora sia la forza che la velocità sono negative, in quanto la forza F svolge il ruolo di forza motrice.

r

Dal momento che il moto ha cambiato verso, si inverte anche il verso della componente tangenziale della

reazione vincolare; quindi ora

−f

R = R (9.45)

T d N

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene

ora 1

−F (9.46)

R =

N r (cos α + f sin α)

d

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si ottiene

invece −

(sin α f cos α)

d

− −F (9.47)

F = R (sin α f cos α) =

m N d r (cos α + f sin α)

d

Ne risulta una potenza −

(sin α f cos α)

d

−F

Π = F ẋ = ẋ (9.48)

m m m r m (cos α + f sin α)

d

Il rendimento è ora dato da

Π (1 f / tan α)

m d

η = = (9.49)

r Π (1 + f tan α)

r d

Anche in questo caso il rendimento è unitario in assenza di attrito, e decresce al crescere di f e di α,

d

fino ad annullarsi; questa volta, per

tan α = f (9.50)

d 9-9

È evidente come i due rendimenti, in presenza di attrito, siano diversi. Si noti che, per α = π/4, ossia

per tan α = 1, il rapporto di trasmissione è unitario; in tale circostanza, le espressioni dei due rendimenti

coincidono, e si ha −

(1 f )

d

| | (9.51)

η = η =

d r

α=π/4 α=π/4 (1 + f )

d

Il meccanismo per cui si ha una perdita di potenza nelle trasmissioni è spesso associato all’attrito legato

allo strisciamento tra parti meccaniche. Questo semplice modello è in grado di illustrare in modo efficace

come il rendimento possa non dipendere significativamente dalla velocità, e come i rendimenti in caso di

moto diretto o retrogrado possano differire tanto più quanto più il rapporto di trasmissione è diverso da

1.

9.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di libertà

In definitiva, lo studio della macchina ad un grado di libertà può essere condotto sulla base dello schema

rappresentato in figura 9.4, in cui l’insieme di tutte le forze agenti sul lato motore viene ridotto ad un

∗ agente sull’albero motore, l’insieme delle forze agenti sull’utilizzatore viene ridotto

momento motore M m ∗

ad un unico momento resistente M agente sull’albero dell’utilizzatore, e tutte le inerzie vengono ridotte

r ∗ ∗

ai due momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore J e J rispettivamente.

r

m

∗ J

M m

m Lato Utilizzatore

∗ ∗

J M

r r

Trasmissione

Lato Motore

Figura 9.4: Schema della macchina ad un grado di libertà

Le condizioni di funzionamento di questo sistema possono essere riassunte in tre categorie dette:

• regime assoluto (spesso indicato semplicemente come regime): si tratta di una condizione di

funzionamento in cui l’energia cinetica della macchina si mantiene costante nel tempo;

• moto vario (spesso indicato come transitorio): è una qualsiasi condizione di moto in cui l’energia

cinetica della macchina subisce una variazione nel tempo; esempi tipici di moto vario sono la fase di

avviamento, durante la quale la macchina si porta dalla condizione di quiete ad una condizione di

moto a regime, e di arresto, durante la quale avviene la transizione opposta dal regime alla quiete;

• regime periodico che può essere vista come una particolare condizione di moto vario, in cui l’energia

cinetica dela macchina, pur variando nel tempo, assume un andamento periodico, ossia ritorna ad

assumere lo stesso valore ad intervalli regolari di tempo (in genere corrispondenti ad un multiplo o

sottomultiplo intero del periodo di rotazione della macchina);

Affinché una macchina possa funzionare in condizioni di regime assoluto, è necessario che si verifichino

le seguenti due condizioni:

• il momento motore ridotto ed il momento resistente ridotto non devono dipendere dalla posizione

angolare dei relativi alberi, ma unicamente dalle velocità angolari di questi;

• i momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore devono essere costanti.

Nel seguito si dirà macchina a regime assoluto una macchina per la quale si realizzano queste due

condizioni. Lo studio del moto di questo tipo di macchina (sia in condizioni di regime, sia in transitorio)

sarà oggetto del paragrafo 9.2. 9-10

Nel paragrafo 9.3 si fornirà invece un cenno relativo al funzionamento di una macchina per la quale

le condizioni (1) e (2) precedentemente citate non si verificano. Si mostrerà che per una macchina di

questo tipo non è possibile il funzionamento in regime assoluto, ma possono sussistere invece condizioni

di funzionamento di regime periodico. Per questo motivo, una macchina di questo tipo verrà detta

macchina a regime periodico.

9.2 La macchina a regime assoluto

9.2.1 Equazione di moto

Al fine di scrivere l’equazione di moto della macchina ad un grado di libertà, si applica l’equazione

di bilancio delle potenze (9.4) utilizzando le espressioni della potenza motrice, resistente, perduta e

dell’energia cinetica ricavate in precedenza.

Per quanto riguarda la derivata dell’energia cinetica, si può osservare che, se il momento di inerzia ri-

dotto del motore e dell’utilizzatore sono indipendenti dalla rotazione dei rispettivi alberi, allora le derivate

dell’energia cinetica ripettivamente del motore e dell’utilizzatore assumono le seguenti espressioni:

dE c ∗

m = J ω ω̇

m m

m

dt

dE c ∗

r = J ω ω̇ (9.52)

r r

r

dt

Inserendo tale risultato nella espressione della condizione di moto diretto si ottiene:

∗ ∗

W > 0 se: M J ω̇ > 0 (9.53)

m m

m m

Inoltre le espressioni della potenza perduta in moto diretto e retrogrado diventano:

 ∗

∗ −

− − ω̇ ) ω (moto diretto)

J

W = (1 η ) (M m m

p d m

m

 (9.54)

 −

− − ω̇ ) ω (moto retrogrado)

J

W = (1 η ) (M r r

p r r

r

Per effetto del termine di potenza dissipata nella trasmissione, l’equazione di moto della macchina, ossia

l’equazione differenziale che lega l’accelerazione angolare dell’albero motore alle forze agenti assume una

diversa espressione in condizioni di moto diretto e retrogrado.

Si consideri innanzitutto la condizione di moto diretto; inserendo nell’equazione di bilancio delle poten-

ze (9.4) le espressioni (9.7), (9.10), (9.54), (9.52) della potenza motrice, resistente, perduta e dell’energia

cinetica si ottiene:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

− − −

M ω + M ω (1 η )(M J ω̇ )ω = J ω ω̇ + J ω ω̇ (9.55)

m r d m m m m r r

m r m m m r

Inserendo in tale equazione l’espressione del legame cinematico (9.16) tra la velocità angolare dell’albero

motore e dell’albero dell’utilizzatore e riordinando i termini si ottiene:

∗ ∗ ∗ 2 ∗

(η M + τ M )ω = (η J + τ J ) ω̇ ω (9.56)

d m d m m

m r m r

ed, esplicitando in funzione della accelerazione angolare dell’albero motore, si ottiene l’equazione di moto

della macchina per condizioni di moto diretto:

∗ ∗

η M + τ M

d m r (9.57)

ω̇ =

m ∗ 2 ∗

η J + τ J

d m r

nel caso in cui (come ipotizzato in questo paragrafo) il momento motore ed il momento resistente dipen-

dano solo dalle velocità angolari dei rispettivi alberi e non dalla posizione angolare di questi, si ottiene

una equazione differenziale del primo ordine, che consente di determinare la legge di moto dell’albero

motore, ossia l’andamento nel tempo della velocità angolare ω dell’albero motore.

m

9-11

Nel caso in cui invece la macchina funzioni in condizioni di moto retrogrado, mediante passaggi

analoghi si ottiene: ∗

∗ + η τ M

M r r

m

ω̇ = (9.58)

m ∗ 2 ∗

J + η τ J

r

m r

Unendo le due espressioni della accelerazione dell’albero motore, valide rispettivamente nel caso di

moto diretto e retrogrado, si ottiene l’equazione di moto della macchina in regime assoluto, che esprime,

in termini di equazione differenziale del primo ordine, la relazione tra le forze agenti nella macchina ed

il moto di questa:

 ∗

∗ (ω )

(ω ) + τ M

η M m

m

d r

m

 ∗ ∗

per M J ω̇ > 0

 m

 m m

∗ 2 ∗

η J + τ J

 d m r (9.59)

ω̇ =

m ∗ ∗

 M (ω ) + η τ M (ω )

 m r m

m r

 ∗ ∗

per M J ω̇ < 0

 r

r r

2 ∗

∗ + η τ J

J r r

m

9.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto

Le condizioni di funzionamento in regime assoluto della macchina si ottengono imponendo nella equazione

di bilancio delle potenze la condizione di regime:

dE c =0 (9.60)

dt

in tal modo si ottiene l’equazione:

 ∗ ∗ ∗

η M (ω ) + τ M (ω ) = 0 per M > 0

d m m

m r m

 (9.61)

 < 0

(ω ) = 0 per M

(ω ) + η τ M

M m

m r m

r

m

in cui la prima equazione si riferisce a condizioni di moto diretto, e la seconda a condizioni di moto

retrogrado. Si osservi che a regime, venendo a mancare il contributo dei termini inerziali, la condizione

di moto diretto/retrogrado viene determinata esclusivamente dal segno del momento ridotto del motore

o dell’utilizzatore (che devono essere necessariamente di segno opposto, per consentire la conservazione

dell’energia cinetica).

La condizione di regime (9.61) rappresenta una equazione non lineare nella incognita ω , che può

m

essere risolta con tecniche numeriche, ad esempio attraverso la minimizzazione di una opportuna funzione

residuo, come visto in precedenza per le equazioni di chiusura nel metodo dei numeri complessi. Trat-

tandosi di una equazione non lineare, non è possibile garantire a priori l’unicità della soluzione: si potrà

perciò avere un numero diverso di possibili condizioni di regime in funzione della particolare macchina

considerata, e quindi delle espressioni dei momenti motore e resistente ridotti.

9.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi

In figura 9.5 si mostra un impianto di sollevamento carichi, composto da un motore asincrono trifase,

collegato attraverso una trasmissione formata da una coppia di ingranaggi del tipo ruota elicoidale-vite

5

senza fine ad una puleggia. Sulla puleggia si avvolge una fune metallica collegata da un lato alla cabina

che porta il carico da sollevare, ed alla estremità opposta ad un contrappeso. Nel seguito si indicheranno

con m , m ed m rispettivamente la massa della cabina a vuoto, la massa del carico utile portato dalla

c u q

cabina e la massa del contrappeso. Infine, sull’albero motore è calettato un volano J che, come si vedrà

v

nel seguito, ha lo scopo di limitare l’accelerazione della cabina nella fase di avviamento dell’impianto.

5 Si tratta di un tipo di rotismo atto a trasmettere il moto tra due assi fra loro ortogonali. Generalmente questo tipo di

trasmissione presenta un elevato rapporto di riduzione (ossia un valore del rapporto di trasmissione τ molto inferiore ad 1)

e da un rendimento modesto. 9-12

J v ω M

m m

τ , η , η

d r m

m , m q

c u Figura 9.5: Impianto di sollevamento carichi

Cenni sul funzionamento del motore asincrono trifase

Il motore asincrono trifase è costituito da una parte fissa, detta statore e da una parte mobile, detta

rotore, posta all’interno dello statore e dotata della possibilità di ruotare rispetto ad un asse fisso. Su

ciascuno di questi elementi è posto un avvolgimento trifase. L’avvolgimento posto sullo statore, detto

induttore, è alimentato con un sistema di tensioni trifase alternate, che genera un campo magnetico

rotante con velocità angolare ω detta velocità di sincronismo, pari a:

s

2πf a

ω = (9.62)

s p

in cui f è la frequenza della tensione di alimentazione e p è il numero di coppie di poli dello statore.

a

Sul rotore si genera quindi una forza elettromotrice che dipende dalla velocità angolare del rotore

e che si annulla quando questo ruota alla velocità di sincronismo, ossia in maniera sincrona rispetto al

campo magnetico generato dallo statore.

La caratteristica meccanica del motore è mostrata in figura 9.6. Come si può osservare, tale carat-

teristica assume un andamento pressoché rettilineo per velocità prossime a quella di sincronismo. Per

evitare un funzionamento non corretto del motore (eccessive dissipazioni di energia con conseguente sur-

riscaldamento) è necessario che il motore lavori a regime in prossimità della velocità di sincronismo, e

che la sua velocità angolare non subisca eccessive oscillazioni attorno al valore di regime.

M m

M max ω

s

ω

ω m

m

Figura 9.6: Caratteristica del motore asincrono trifase

Si può inoltre osservare che per velocità angolari superiori alla velocità di sincronismo la coppia motrice

diviene negativa, ossia risulta opposta alla velocità angolare dell’albero motore. In queste condizioni il

motore asincrono trifase si comporta come un organo frenante, sottraendo potenza alla macchina.

9-13

Le inerzie del motore asincrono trifase possono essere rappresentate per mezzo di un momento di

inerzia J che rappresenta il momento di inerzia del rotore rispetto al suo asse di rotazione.

m

Osservazione: Nel caso di un impianto di sollevamento carichi occorre osservare che il senso di ro-

tazione del campo magnetico rotante, e di conseguenza, il verso del momento motore, viene invertito tra

la fase di salita e quella di discesa dell’impianto. Nella fase di salita il momento motore risulta perciò

concorde con una velocità angolare del motore che produca un sollevamento del carico utile, mentre nella

fase di discesa il momento motore agisce secondo il senso di rotazione che produce la discesa del carico.

Funzionamento in salita dell’impianto

Si considera innanzitutto la condizione di funzionamento dell’impianto in cui la cabina si muove verso

l’alto. In questa situazione la macchina è soggetta, sul lato motore, ad una coppia motrice M concorde

m

con la velocità angolare dell’albero motore e dipendente da questa secondo la caratteristica di figura 9.6.

Sul lato utilizzatore invece agiscono le forze peso relative alla cabina (comprensiva del carico trasporta-

to) e sul contrappeso. Come mostrato in figura 9.7, la forza peso e la velocità sono discordi sulla cabina

e concordi sul contrappeso. ω r

ω r V V

q c V

V q

c m g m g

q q

(m + m )g (m + m )g

c u c u

Figura 9.7: Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di

sollevamento carichi

Di conseguenza, la potenza motrice e la potenza resistente assumono le espressioni:

Ŵ = M ω (9.63)

m m m

−(m

Ŵ = + m )gV + m gV (9.64)

r c u c q q

Ipotizzando che non vi sia strisciamento tra la fune e la puleggia, le velocità V della cabina e V del

c q

contrappeso possono essere espresse come:

V = Rω (9.65)

c r

V = Rω (9.66)

q r

in cui R e ω sono rispettivamente il raggio e la velocità angolare della puleggia. Inserendo tali relazioni

r

nella espressione della potenza resistente si ottiene:

Ŵ = M ω (9.67)

r r

r ∗

essendo il momento resistente ridotto M pari a:

r

∗ −(m −

M = + m m )gR (9.68)

c u q

r 9-14

L’energia cinetica del lato motore e del lato utilizzatore sono rappresentate dalle seguenti espressioni:

1 2

=

E (J + J ) ω (9.69)

c m v m

m 2 1 1

1 2 2 2

(m + m ) V + m V + J ω (9.70)

=

E c u q p

c c q r

r 2 2 2

avendo indicato con J il momento di inerzia della puleggia.

p

Inserendo nella espressione della energia cinetica del lato utilizzatore i legami cinemetici precedente-

mente ricavati si ottiene:

1

2 2 2 2 ∗ 2

=

E m R + m R + m R + J ω = J ω (9.71)

c c u q p r r r

r 2

Applicando alle espressioni ottenute l’equazione (9.59) si ottiene:

 − −

η M τ (m + m m ) gR

d m c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ > 0

 m m v m

 2 2 2 2

η (J + J ) + τ (m R + m R + m R + J )

 d m v c u q p

ω̇ = (9.72)

m  − −

M η τ (m + m m ) gR

 m r c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ < 0

 m m v m

2 2 2 2

(J + J ) + η τ (m R + m R + m R + J )

m v r c u q p

Funzionamento in discesa dell’impianto

Si considera in questo caso che il motore ruoti in senso tale da produrre un moto verso il basso della

cabina. Come osservato in precedenza, per effetto della inversione del senso di rotazione del campo

magnetico rotante, anche il momento motore cambia verso e risulta quindi concorde con la velocità

angolare dell’albero motore, cosı̀ come nel moto in salita.

Per quanto riguarda invece l’utilizzatore, si invertono le diresioni delle velocità della cabina e del

contrappeso, come mostrato nella parte di destra della figura 9.7.

Di conseguenza, l’espressione della potenza motrice rimane immutata rispetto al caso in salita, mentre

quella della potenza resistente cambia segno. Per quanto riguarda invece l’energia cinetica l’espressione

rimane uguale sia per il lato motore che per l’utilizzatore, perché la sua espressione non risente del segno

delle velocità.

Operando gli stessi passaggi descritti per il moto in salita si ottiene l’equazione di moto:

 −

η M + τ (m + m m ) gR

d m c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ > 0

 m m v m

 2 2 2 2

η (J + J ) + τ (m R + m R + m R + J )

 d m v c u q p

 (9.73)

ω̇ =

m  −

M + η τ ((m + m m ) gR

 m r c u q

 −

se M (J + J ) ω̇ < 0

 m m v m

2 2 2 2

(J + J ) + η τ (m R + m R + m R + J )

m v r c u q p

9.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita

Si consideri un autoveicolo a due assi, a trazione posteriore, in moto lungo un piano inclinato. Il motore è

collegato all’assale con le ruote motrici da una trasmissione, il cui rapporto di trasmissione τ sia costante

e noto, cosı̀ come il rendimento η. Si considera la presenza di resistenza al rotolamento su entrambi gli

assali. Si richiede di:

1. calcolare la coppia che consente di mantenere il veicolo in salita a regime;

2. calcolare l’accelerazione che si ottiene per una coppia motrice superiore a quella di regime;

3. verificare l’aderenza delle ruote motrici e condotte.

9-15

Figura 9.8: Veicolo in salita

Potenza delle forze attive

La potenza delle sole forze attive fornita dal motore è

Ŵ = C ω (9.74)

m m m

mentre la potenza delle sole forze attive agenti dal lato dell’utilizzatore è costituita dai contributi

˙

× −M

Ŵ = M~g ~x = g sin αẋ (9.75)

g

dovuto al peso del veicolo, nel caso in cui il moto avvenga in salita lungo un piano inclinato di un angolo

α; da −C −

Ŵ = ω C ω (9.76)

v vp p va a

dovuto alle coppie resistenti al rotolamento delle ruote anteriori e posteriori.

Nell’ipotesi di puro rotolamento sia delle ruote anteriori che posteriori, posta

ω = τ ω (9.77)

p m

la velocità angolare delle ruote motrici, la velocità del veicolo è

ẋ = R ω = τ R ω (9.78)

p p p m

mentre la velocità angolare delle ruote anteriori risulta

R

ẋ p

= τ ω (9.79)

ω = m

a R R

a a

In base al modello presentato nel Capitolo 8, la resistenza al rotolamento è proporzionale alla compo-

nente normale della reazione scambiata fra ruota e terreno e al raggio della ruota attraverso un coefficiente

di resistenza al rotolamento f ; quindi la potenza espressa dalla (9.76) diventa

v

−f −

= N R ω f N R ω (9.80)

v vp p p p va a a a

Dalle (9.77) e (9.79) si ricava

Ŵ = (f N + f N ) ẋ (9.81)

v vp p va a

e, nell’ipotesi di eguaglianza delle ruote degli assali anteriore e posteriore, da cui

f = f = f (9.82)

vp va v 9-16

si ottiene infine

−f

Ŵ = (N + N ) ẋ (9.83)

v v p a

La scrittura del bilancio di potenze richiede quindi la conoscenza della componente normale al terreno

delle reazioni scambiate con gli assali. In generale, il calcolo delle reazioni vincolari richiede la conoscenza

della dinamica e quindi le reazioni vanno calcolate simultaneamente all’equazione del moto. In questo

caso particolare, però, è agevole notare che la scrittura dell’equazione di equilibrio dell’intero veicolo in

direzione perpendicolare al piano su cui avviene il moto fornisce direttamente la somma delle reazioni

necessarie:

N + N = M g cos α (9.84)

p a

Quindi la potenza dissipata per rotolamento, in virtù della (9.82), diventa

−f

Ŵ = M g cos αẋ (9.85)

v v

Coppia necessaria al moto a regime

Nella condizione in esame, di moto in salita, la potenza viene sicuramente assorbita dall’utilizzatore,

quindi il moto è diretto. Quindi il bilancio di potenze dà

+ Ŵ = 0 (9.86)

Ŵ + Ŵ + Ŵ p

m g v

− −

con Ŵ = (1 η ) Ŵ , ovvero

p d m

− −

η C ω M g sin αẋ f M g cos αẋ = 0 (9.87)

d m m v

da cui, sostituendo l’espressione (9.78) della velocità ẋ del veicolo in funzione della velocità angolare ω m

del motore si ottiene

τ

C = M g (sin α + f cos α) R = 0 (9.88)

m v p

η d

La coppia è sicuramente positiva in caso di pendenza α positiva; in caso di pendenza negativa, la coppia

associata alla gravità cambia segno; la coppia motrice rimane positiva, e quindi il moto rimane diretto,

−f

fintanto che tan α > .

v

Accelerazione allo spunto

L’energia cinetica del sistema è associata a:

• inerzia J del motore;

m

• massa M dell’intero veicolo;

• inerzia J dell’assale posteriore;

p

• inerzia J dell’assale anteriore.

a

Risulta quindi !!

2

R

1

1 p

2 2 2

2 2 2 2 J + τ M R + J + J

= ω (9.89)

J ω + M ẋ + J ω + J ω

E = m p a

m p a

c p m

p a 2

2 2 r

a

Posta la potenza dissipata nella trasmissione pari a

− − − (9.90)

W = (1 η ) Ŵ J ω̇ ω

p d m m m m 9-17

dal teorema dell’energia cinetica si ricava

− − − −

C ω τ M g (sin α + f cos α) R ω (1 η ) (C J ω̇ ) ω

m m v p m d m m m m

!!

2

R p

2 2

= J + τ M R + J + J ω̇ ω (9.91)

m p a m m

p 2

r

a

da cui, dopo alcune semplificazioni, si ricava

η C τ M g (sin α + f cos α) R

d m v p (9.92)

ω̇ = !

m 2

R p

2 2

η J + τ + J + J

M R

d m p a

p 2

r

a

Verifica di aderenza delle ruote

La verifica di aderenza delle ruote non è particolarmente attinente al tema di questo capitolo; viene qui

discussa essenzialmente per illustrare come i bilanci di potenze possono anche essere utili al calcolo delle

reazioni vincolari.

Ruote anteriori. La verifica di aderenza delle ruote anteriori richiede la valutazione delle componenti

normale e tangenziale della reazione vincolare scambiata tra ruota e terreno.

La componente normale può essere agevolmente ricavata scrivendo l’equilibrio dei momenti agenti

sull’intero veicolo rispetto ad un polo opportunamente posto al punto di contatto tra l’assale posteriore

ed il terreno, in modo da escludere la partecipazione della reazione scambiata con il terreno dalle ruote

posteriori stesse: −

N (p + p ) + M g (h sin α p cos α) + M ẍh + J ω̇ + J ω̇ + (C + C ) = 0 (9.93)

a 1 2 1 p p a a vp va

Si noti che la coppia motrice non partecipa a questa equazione, in quanto si tratta di una coppia interna

scambiata tra veicolo e assale posteriore. Considerando le definizioni

C = f N R (9.94)

vp v p p

C = f N R (9.95)

va v a a

e l’equazione (9.84), si ottiene − −

C + C = f (N R + N R ) = f (M g cos αR N (R R )) (9.96)

vp va v p p a a v p a p a

e quindi, dalla (9.93), − − − − −

M g (p cos α h sin α) M ẍh J ω̇ J ω̇ f M g cos αR

1 p p a a v p

N = (9.97)

a − −

p + p f (R R )

1 2 v p a

In realtà, la componente normale della reazione vincolare sulla singola ruota è la metà del valore calcolato

nella (9.97). Questa relazione si semplifica qualora sia R = R , come avviene ad esempio nella maggior

p a

parte degli autoveicoli.

La componente tangenziale della reazione vincolare si ricava, ad esempio, dall’equilibrio alla rotazione

del solo assale anteriore, per il quale si ha

J ω̇ + C T R = 0 (9.98)

a a va a a

in quanto non partecipano il peso, le reazioni scambiate nel vincolo con il veicolo e la componente normale

della reazione scambiata con il terreno, in quanto il loro braccio è nullo. Da questa si ricava

J a ω̇ + f N (9.99)

T = a v a

a R a 9-18

La condizione di aderenza è data da

N > 0 (9.100)

a 6

in quanto le ruote anteriori devono essere a contatto con il terreno , e da

|T |

a ≤ f (9.101)

s

N a

Si noti che, nel caso la reazione N diminuisca, come avviene ad esempio per effetto di una accelerazione

a

positiva, è possibile che la condizione (9.101) sia violata proprio a causa dell’accelerazione angolare ω̇ a

dell’assale. Quindi le ruote anteriori, in caso di accelerazione sufficientemente elevata, inizierebbero a

strisciare prima di arrivare alla perdita di contatto (motociclo che “impenna”).

Ruote posteriori. Il calcolo della componente normale della reazione scambiata con il terreno si

ricava dalle (9.84) e (9.97):

− −

M g ((p f (R R )) cos α + h sin α) + M ẍh + J ω̇ + J ω̇ + f M g cos αR

2 v p a p p a a v p

N = (9.102)

p − −

p + p f (R R )

1 2 v p a

Il calcolo della componente tangenziale della reazione scambiata con il terreno può avvenire in due modi;

il primo, banale, consiste nello scrivere l’equilibrio alla traslazione dell’intero veicolo in direzione parallela

al piano inclinato, dalla quale si ottiene

T + T + M ẍ + M g sin α = 0 (9.103)

p a

da cui si ottiene

−T − −

T = M ẍ M g sin α (9.104)

p a

Il secondo approccio consiste nello scrivere l’equilibrio dei momenti del solo assale posteriore che, a

differenza di quello anteriore, comprende anche la coppia motrice C:

− −

J ω̇ + C T R C = 0 (9.105)

p p vp p p

Quest’ultima si ricava scrivendo un bilancio di potenza a valle della trasmissione ove, come potenza

−C

assorbita dall’utilizzatore, si scriva la potenza associata alla coppia incognita, uguale ed opposta alla

coppia motrice applicata all’assale:

− −

η (C J ω̇ ) ω Cω (9.106)

d m m m m p

da cui risulta

η d −

(C J ω̇ ) (9.107)

C = m m m

τ

La reazione è quindi η

J d

p − −

ω̇ + f N (C J ω̇ ) (9.108)

T = p v p m m m

p R τ R

p p

La componente normale della reazione scambiata con il terreno, in questo caso, è essenzialmente costituita

da contributi che, in caso di accelerazione positiva, tendono ad aumentarla. Quindi la principale causa di

potenziale slittamento risulta dalla coppia motrice C , a meno dell’inerzia accumulata dal motore stesso

m

e dall’assale.

6 Si noti che, a parte il contributo associato al peso per la distanza p tra l’assale posteriore ed il baricentro, tutti gli

1

altri contributi alla reazione N sono negativi, in caso di accelerazione positiva.

a 9-19

9.3 Macchina in regime periodico

Lo studio della dinamica di una macchina a regime periodico sarà limitato per semplicità di trattazione

al caso in cui il motore e l’utilizzatore della macchina siano posti sullo stesso albero, senza l’interposizione

di una trasmissione.

9.3.1 Equazione di moto

L’equazione della macchina a regime periodico può essere ottenuta mediante l’equazione di bilancio delle

potenze (9.4). Rispetto al caso della macchina a regime assoluto studiato in precedenza, si osserva che,

nell’ipotesi di assenza della trasmissione, viene a mancare il termine relativo alla potenza perduta W ,

p

ed inoltre che, per effetto del fatto che i momenti ridotti di inerzia del motore e dell’utilizzatore sono

funzione della posizione angolare dell’albero ϑ (la quale, a sua volta, è funzione del tempo), la derivata

m

dell’energia cinetica assume la forma: ∗ ∗

dE d (J (ϑ ) + J (ϑ ))

dE dE 1

c m m

c c m r

∗ ∗ 3

m r

= + = (J (ϑ ) + J (ϑ )) ω ω̇ + ω (9.109)

m m m m

m r m

dt dt dt 2 dϑ m

in cui si è tenuto conto del fatto che:

dϑ m = ω (9.110)

m

dt ∗ ∗

ed i momenti d’inerzia associati al motore (J ) e al carico resistente (J ) sono stati entrambi ridotti alla

m r

rotazione ω dell’albero motore.

m

Sostituendo queste espressioni nella equazione di bilancio di potenze si ottiene:

∗ ∗

d(J + J )

1 m r 2

∗ ∗ ∗ ∗ ω (9.111)

M (ϑ , ω ) + M (ϑ , ω ) = (J (ϑ ) + J (ϑ )) ω̇ +

m m m m m m m m

m r m r 2 dϑ m

ed, esplicitando rispetto alla accelerazione angolare dell’albero:

!

∗ ∗

1 dJ dJ

m r

∗ 2

(ϑ , ω )

(ϑ , ω ) + M

M ω

+

m m

m m r

m m

2 dϑ dϑ

m m

ω̇ = (9.112)

m ∗

∗ (ϑ )

(ϑ ) + J

J m

m r

m ∗ ∗

in cui anche la coppia motrice M e quella resistente M sono state ridotte alla rotazione ω dell’albero

m

m r

motore.

9.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarità periodica

Per una macchina retta da una equazione di moto avente la forma (9.112) non è possibile determinare

una condizione di funzionamento in regime assoluto. Infatti, per avere una condizione di regime assoluto

sarebbe necessario che, in ogni istante del funzionamento, le derivate dei momenti di inerzia associati

alle parti motrice e resistente della macchina si annullassero, cosı̀ come le coppie motrice e resistente.

Infatti se si impone la condizione di regime assoluto:

dE c =0 (9.113)

dt

si ottiene l’equazione:

∗ ∗

M (ϑ , ω ) + M (ϑ , ω ) = 0 (9.114)

m m m m

m r

Tale equazione può risultare soddisfatta in particolari istanti del funzionamento della macchina, in cui

occasionalmente il momento motore ed il momento resistente assumono valori opposti, ma non può essere

soddisfatta identicamente per qualsiasi valore del tempo, perché i due momenti agenti sull’albero motore

dipendono secondo espressioni diverse dalla posizione angolare dell’albero.

9-20

E’ però possibile imporre che l’andamento dell’energia cinetica, pur non risultando esattamente

costante nel tempo, sia periodico con periodo T :

Z t+T dE c

− dt = 0 (9.115)

E (t + T ) E (t) =

c c dt

t

Ciò significa che nel proprio moto la macchina subirà una periodica alternanza di fasi di accelerazione

e di decelerazione, tali però da compensarsi a vicenda, in modo che la velocità media della macchina

(anch’essa da valutarsi sul periodo T ) non cambi.

Se si integra l’equazione (9.4) di bilancio delle potenze tra il generico tempo t ed il tempo t + T e si

impone la condizione (9.115) si ottiene:

Z

Z t+T

t+T dE c

∗ ∗

(M + M ) ω dt = dt = 0 (9.116)

m

m r dt

t

t

si osservi poi che:

dϑ m ⇒

ω = ω dt = dϑ (9.117)

m m m

dt

e si ponga:

ϑ = ϑ (t) (9.118)

m −

Θ = ϑ (T + t) ϑ (t) (9.119)

m m

si osservi che Θ rappresenta l’angolo di cui l’albero motore ruota in un periodo T . Inserendo tali relazioni

nell’integrale calcolato in precedenza nella (9.116) si ottiene:

Z ϑ+Θ ∗ ∗

(M + M ) dϑ = 0 (9.120)

m

m r

ϑ

tale equazione mostra che la macchina funziona in regime periodico se l’integrale esteso al periodo della

somma del momento motore e del momento resistente si annulla, ovvero se i valori medi nel periodo dei

due momenti sono uguali ed opposti:

Z

Z ϑ+Θ ϑ+Θ

∗ ∗

M dϑ = M dϑ (9.121)

m m

m r

ϑ ϑ 7

Una funzione periodica continua e regolare può presentare in un periodo un numero arbitrario di

minimi e massimi relativi per i quali si annulla la derivata prima; tra questi devono necessariamente

essere compresi un massimo ed un minimo assoluti, che sono rispettivamente i valori più grande e più

piccolo assunti dalla funzione nel periodo.

In un moto periodico anche l’energia cinetica è una funzione periodica del tempo; in presenza di

8

sollecitazioni a scalino la velocità non è più regolare ma rimane continua; in presenza di sollecitazioni

9

impulsive la velocità non è più neppure continua, ma presenta a sua volta un salto. In ogni caso, in un

periodo, è sempre possibile individuare almeno un massimo ed un minimo assoluti di valore finito; nei

punti di massimo e di minimo si hanno le condizioni di energia cinetica massima e minima. Si consideri,

per semplicità espositiva, un sistema per il quale il momento d’inerzia totale ridotto all’albero motore

sia costante; per esso, il minimo ed il massimo dell’energia cinetica corrispondono con il minimo ed il

massimo della velocità angolare.

7 Ovvero una funzione la cui derivata prima è anch’essa continua.

8 Ovvero sollecitazioni che variano bruscamente nel tempo, soggette a discontinuità con “salto”.

9 Ovvero sollecitazioni di durata molto breve, idealmente infinitesima, ma il cui integrale nel tempo sia finito, e quindi

di ampiezza molto elevata, idealmente infinita. 9-21

Si consideri ora l’integrale della potenza delle forze d’inerzia dall’istante t , in cui si ha il minimo

min

della velocità, all’istante t , in cui la velocità raggiunge il suo valore massimo

max

Z ϑ max

t ∗ ∗

(M + M ) dϑ

∆L =

max

t m r

min ϑ min

Z t max ∗

J ω ω̇ dt

= t min

Z ω max ∗

J ω dω

= ω min

1

∗ 2 2

= J ω ω

max min

2

1 ∗ −

J (ω + ω ) (ω ω )

= max min max min

2 ∗ −

= J ω (ω ω ) (9.122)

med max min

dove si è introdotta la velocità media ω come la media aritmetica tra le velocità massima e minima

med

ω + ω

max min (9.123)

ω =

med 2

L’integrale (9.122) rappresenta il lavoro compiuto dalle sollecitazioni attive a cui è soggetto il sistema

durante il transitorio che porta dalla velocità minima a quella massima; esso è uguale ed opposto al

lavoro assorbito durante il transitorio successivo dalla velocità massima alla minima, e quindi entrambi

rappresentano una misura della variabilità delle coppie in gioco durante un periodo.

Spesso, un problema tecnico presentato dalle macchine che operano in regime periodico consiste nel

limitare le oscillazioni di velocità che la macchina subisce nel suo periodo di funzionamento. L’entità

delle oscillazioni di velocità può essere quantificata per mezzo di un parametro adimensionale i, detto

grado di irregolarità periodica e definito come

ω ω

max min (9.124)

i = ω med

Si ricavi la variazione di velocità dalla (9.122) e la si sostituisca nella (9.124):

t

∆L max

t

i = (9.125)

min

2

J ω med

La (9.125) mostra come, a pari variabilità delle forze attive sul periodo e a pari velocità media di

funzionamento, l’aumento dell’inerzia ridotta J abbia l’effetto di limitare l’irregolarità periodica della

macchina. A tal fine viene di norma aggiunto un volano, il cui momento di inerzia può essere determinato

per mezzo di metodi approssimati come quello sopra esposto.

Si consideri, ora, un sistema in cui sia rimossa l’ipotesi di costanza del momento d’inerzia ridotto

all’albero motore, ma in cui sia presente un volano di inerzia J ; le coppie d’inerzia a meno di quelle del

v

volano si considerino parte della sollecitazione attiva:

dJ

1 2

∗ ∗ ∗

− − ω (9.126)

ω

J ω ω̇ = M + M J ω̇

v m r 2 dt t max delle forze

L’integrale del secondo membro della (9.126) tra t e t rappresenta ora il lavoro ∆L

min max t min

complessive agenti sul sistema, incluso l’effetto moderatore dell’irregolarità periodica operato dall’inerzia

del sistema stesso. In analogia con la (9.122) si ottiene:

Z ϑ ∗

dJ

1

max

t 2

∗ ∗ ∗

max − − dϑ

ω

M + M J ω̇

=

∆L m r

t 2 dt

min ϑ min

2

= J ω i (9.127)

v med 9-22

e quindi si ricava un utile criterio per il dimensionamento di un ulteriore volano, ai fini del contenimento

dell’irregolarità periodica.

L’integrazione numerica delle equazioni di moto della macchina in regime periodico può essere uti-

lizzata, ad esempio, per verificare a posteriori la correttezza del dimensionamento del volano, in quanto

rende possibile valutare l’effettiva irregolarità della macchina con volano montato, prescindendo dalle

ipotesi semplificative che stanno alla base delle metodologie utilizzate nel dimensionamento di questo

componente.

Inoltre l’integrazione numerica delle equazioni di moto può essere utilizzata per valutare le componenti

armoniche del momento torcente che viene applicato all’albero motore durante il funzionamento della

macchina, e fornisce quindi la base per lo studio delle vibrazioni torsionali della macchina stessa. Questo

argomento verrà ripreso nel seguito del corso.

9.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna

Nel capitolo 4 è stato illustrato il funzionamento del motore alternativo a combustione interna. Dal

diagramma di figura 4.9 è evidente come la potenza delle varie fasi abbia non solo valore, ma anche segno

diverso: durante la fase di compressione, il fluido riceve lavoro dal pistone, che, dal punto di vista della

macchina, risulta quindi assorbito, mentre, durante la fase di espansione, il lavoro viene restituito dal

fluido alla macchina; in più, durante tutte le fasi, la macchina deve vincere attriti ed altre resistenze. La

coppia fornita dal motore è quindi fortemente variabile su di un ciclo che, per un motore monocilindrico

a 4 tempi, è costituito da due giri completi, ovvero Θ = 4π, ed è tipicamente positiva solo per circa un

quarto del periodo, ovvero π/2.

Un’altra fonte di periodicità nel moto di questo tipo di macchina è legata alla dipendenza dell’inerzia

ridotta all’albero motore dalla posizione angolare dell’albero stesso, come illustrato dall’equazione (4.57).

9.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo

Si tratta di un meccanismo cinematicamente analogo al motore alternativo a combustione interna, ovvero

di un manovellismo ordinario che spinge un pistone, il quale a sua volta, in prima approssimazione, aspira

un fluido a pressione P ragionevolmente costante durante la fase di discesa, e lo espelle a pressione P

a s

di nuovo ragionevolmente costante durante la fase di risalita.

Nelle ipotesi fatte, e considerando costante la coppia C fornita dal motore, è relativamente agevole

m

calcolare il lavoro su un periodo, pari ad un giro e quindi a 2π, che è dato da

Z 2π dc

2π − A P dϑ

C

∆L = p

m

0 dϑ

0 − − −

= 2πC A (c c ) (P P )

m p max min s a

=0 (9.128)

dove si è posta c = c (ϑ) la corsa del pistone, e si è sfruttato il fatto che la pressione è costante durante

le fasi di aspirazione ed espulsione, e quindi

Z π dc −

dϑ = (c c ) (9.129)

max min

0

Il diverso segno tra le pressioni P e P è dovuto al fatto che durante l’aspirazione lo stantuffo scende

a s

e quindi il gas compie lavoro positivo, mentre durante l’espulsione il pistone sale e quindi il gas compie

lavoro negativo, ovvero assorbe lavoro dalla macchina.

Dalla (9.128) si ricava la coppia motrice necessaria a mantenere la condizione di moto periodico

1 − −

A (c c ) (P P ) (9.130)

C = p max min s a

m 2π 9-23

9.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua

Nel Capitolo 10 viene illustrato l’azionamento elettromeccanico in corrente continua. In tale sistema, la

coppia erogata, ancorché in genere ritenuta costante ad una data velocità di rotazione, risulta in realtà

periodica. Si rimanda a tale capitolo per una discussione più estesa della natura di questa periodicità e

per una breve illustrazione del regime periodico. 9-24

Capitolo 10

Azionamento elettromeccanico in

corrente continua

Generato il 16 gennaio 2012

10.1 Introduzione

In questo capitolo viene presentato un semplice esempio di azionamento elettromeccanico: il motore elet-

trico in corrente continua. Questo esempio viene usato per illustrare in generale i principi dell’attuazione

elettromeccanica, in quanto consente, attraverso l’utilizzo di semplici nozioni di elettromagnetismo, di

descrivere in modo completo ed efficace un sistema multidisciplinare, in cui la potenza elettrica viene

1

trasformata in potenza meccanica . Dallo studio di questo semplice modello si passa poi allo studio in

generale della stabilità dei sistemi in cui un motore viene accoppiato ad un utilizzatore.

10.2 Motore elettrico in corrente continua

Il motore elettrico in corrente continua è costituito da una parte rotante, detta rotore, che ruota rispetto

ad una cassa, detta statore, nella quale è presente un campo magnetico idealmente uniforme. La presenza

di spire sul rotore fa sı̀ che si generi tra rotore e statore una coppia in funzione della corrente circolante

nelle spire, mentre la velocità di rotazione relativa fra rotore e statore fa sı̀ che si generi un campo elettrico

indotto lungo le spire.

Il principio di funzionamento è illustrato in figura 10.1; la figura 10.2 mostra invece uno schema

costruttivo del rotore.

10.2.1 Considerazioni generali ~

Se una carica elettrica q è in moto con velocità ~v in un campo magnetico uniforme B, su di essa nasce

una forza

~ ~

F = q~v B, (10.1)

detta forza di Lorenz. Se al posto della carica q con velocità ~v si considera una corrente i = dq/dt che

L~i, ~i

scorre lungo un conduttore rettilineo di lunghezza L, al posto di q~v si può sostituire ove è il vettore

~

che esprime la corrente i lungo la direzione del conduttore, supposta fissata. La forza F che agisce su un

~

conduttore rettilineo di lunghezza L posto in un campo magnetico uniforme B è quindi

~ ~

L~i ∧

F = B, (10.2)

~ ~i.

ed è perpendicolare al piano individuato dal flusso magnetico B e dal vettore corrente

1 O, viceversa, la potenza meccanica viene trasformata in potenza elettrica, come nei generatori di corrente.

10-1

Figura 10.1: Principio di funzionamento del motore in corrente continua.

Figura 10.2: Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua.

10-2 ~

Analogamente, se un conduttore viene mosso con velocità ~v all’interno di un campo magnetico B, sul

conduttore viene indotto un campo elettrico

~ ~ ∧

E = B ~v (10.3)

a cui corrisponde, sulla lunghezza L del conduttore, una differenza di potenziale

~ ~

−L ∧

V = B ~v (10.4)

tra i due capi del conduttore.

10.2.2 Architettura generale

La realizzazione di una macchina elettrica in corrente continua prevede pertanto che il conduttore venga

~

messo in moto all’interno di un campo magnetico B realizzato mediante magneti permanenti o in alter-

nativa mediante un circuito di induzione. Il motore in c.c. è costituito da un rotore e da uno statore:

nello statore è presente un sistema di magneti permanenti (motore a magneti permanenti) oppure una

serie di avvolgimenti percorsi da una corrente di eccitazione (motori a campo avvolto) che generano un

campo magnetico fisso nello spazio, idealmente uniforme e costante nel tempo, entro cui si muove il

rotore. Quest’ultimo è costituito da un albero sulla cui periferia è presente un avvolgimento formato da

una serie di conduttori (avvolgimento di armatura), diretti lungo l’asse dell’albero in modo da formare

delle spire che quindi si trovano a ruotare all’interno del campo magnetico.

Tale avvolgimento è munito di numerose prese equidistanti connesse ad un cilindro costituito da tante

lamelle, isolate tra loro, su cui poggiano le spazzole che costituiscono il collegamento elettrico (strisciante)

tra rotore e statore. I motori a magneti permanenti, cosı̀ come quelli a campo avvolto se la corrente di

eccitazione è mantenuta costante, vengono regolati attraverso la tensione di armatura e ; naturalmente

a

esistono altri modi per comandare un motore in c.c., ad esempio attraverso la corrente di armatura i .

a

Quando il rotore si muove all’interno del campo magnetico, su di esso si manifestano due fenomeni,

uno elettrico e uno meccanico. Si consideri, in un sistema di riferimento cartesiano, l’asse del rotore

~

diretto come z, e il campo magnetico B diretto come x.

10.2.3 Forza elettromotrice indotta

Per effetto della velocità di rotazione ω

~ del rotore, i lati della spira diretti come l’asse del rotore si

muovono nel campo magnetico con velocità

~

~v = ω

~ R (10.5)

proporzionale a ω e diretta perpendicolarmente alla posizione radiale del conduttore.

L’equazione (10.4) applicata ad uno dei lati della spira diretti come l’asse del rotore diventa

~ ~ ~

∗ −L ∧ ∧

V = B ω

~ R (10.6)

b

e quindi, per costruzione, la differenza di potenziale indotta è sempre diretta come z e ha forma

cosinusoidale:

∗ −LRBω

∆V = cos θ (10.7)

b

avendo preso la direzione del campo magnetico come riferimento per l’angolo θ, ove ω = θ̇.

Si noti che la forza elettromotrice indotta sui lati della spira diretti radialmente è nulla in quanto

diretta come z e quindi perpendicolare al conduttore stesso.

La forza elettromotrice indotta sulla singola spira è quindi due volte quella fornita dalla (10.7)

∗∗ −2LRBω

∆V = cos θ. (10.8)

b

Allo stesso risultato si può giungere a partire dalla definizione della tensione indotta su una spira per

effetto della variazione del flusso magnetico Φ attraverso la spira stessa,

∗∗ − . (10.9)

∆V =

b dt 10-3

Nel caso in esame il flusso è

~ ~

×

Φ= B A = 2LRB sin θ, (10.10)

−π/2

in quanto la normale ~n dell’area A = 2RL è inclinata dell’angolo θ rispetto alla direzione del campo

~

magnetico B. La variazione del flusso Φ è legata alla variazione di area efficace a seguito della rotazione

della spira; si ha quindi

dΦ = 2LRBω cos θ, (10.11)

dt

da cui la relazione (10.8).

10.2.4 Coppia motrice

La forza che si esercita su uno dei lati della singola spira diretti come l’asse del rotore per effetto della

corrente di armatura fornisce al rotore una coppia

~ ~ ~

L~i

∗ ∧ ∧

C = R B (10.12)

che è diretta, per costruzione, come l’asse del rotore, e varia cosinusoidalmente con la posizione angolare

del rotore

C = LRBi cos θ (10.13)

Anche in questo caso, si noti che la forza che nasce sui lati della spira diretti radialmente non partecipa

alla coppia applicata al rotore, in quanto sempre diretta come z.

La coppia totale che si esercita sul rotore per effetto dell’intera spira è quindi

∗∗

C = 2LRBi cos θ (10.14)

10.2.5 Contatti striscianti

Dalle (10.8) e (10.14) si evince che la forza elettromotrice indotta, come pure la coppia, sono mediamente

nulle su un giro. Tuttavia, considerando ad esempio la coppia, se all’atto del passare da positiva a

negativa si inverte la polarità dei contatti agli estremi della spira, si ottiene una coppia

|cos

C = 2LRBi θ| (10.15)

il cui valore medio è

Z 2π

1 4

C = C dθ = LRBi (10.16)

2π π

0

La funzione che descrive la dipendenza della coppia dall’angolo θ è tutt’altro che costante e regolare;

tuttavia, se si considera l’insieme delle spire, sfasate in modo da distribuire con uniformità i massimi e le

|cos

cuspidi di θ|, si ottiene una funzione caratterizzata da un valore medio pari a N volte la coppia (10.16)

4 LRBi (10.17)

C = N

m π

e da una piccola irregolarità con frequenza pari ad un multiplo della velocità di rotazione legato al numero

delle spire, N , come illustrato in figura 10.3.

In modo analogo si ottiene che la forza elettromotrice indotta, in presenza di contatti striscianti che

invertono la polarità ogni mezzo giro, è data dalla relazione

−2LRBω |cos

∆V = θ| (10.18)

b 10-4

1

0.9

0.8 2/π

0.7

[adim] 0.6

0.5

b

e 0.4

C, 0.3 N=1

0.2 N=3

0.1 N=7

N=15

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ [giri]

Figura 10.3: Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore

elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N ; il valore fornito dalla singola spira tende rapidamente

al valor medio 2/π, pari a circa 0.63662.

il cui valore medio è

Z 2π

1 4

− −

∆V = LRBω (10.19)

∆V dθ =

b b

2π π

0

mentre la forza elettromotrice indotta media associata a tutte le spire è pari a N volte la (10.19)

4

−N

e = LRBω (10.20)

b π

Sia la coppia che la forza elettromotrice indotta presentano quindi un andamento sul giro che è

sostanzialmente costante, con piccole perturbazioni a frequenza pari a 2N la velocità di rotazione. Questo

disturbo va sotto il nome di ripple; ove necessario, può essere tenuto in conto usando le tecniche illustrate

nel paragrafo 9.3 per il moto in regime periodico.

Le spazzole possono essere sostituite, in motori moderni, da circuiti di commutazione della tensione

che consentono di realizzare la funzionalità desiderata evitando la complessità meccanica e i problemi di

usura e di manutenzione associati alla soluzione tradizionale. Questi motori sono detti brushless, ovvero

senza spazzole.

10.2.6 Potenza elettromeccanica

La potenza meccanica associata al motore è data dal prodotto tra la coppia fornita dal motore e la

velocità angolare che si sviluppano tra rotore e statore

4 LRBiω (10.21)

Π = C ω = N

m m π

ed è positiva, in quanto è generata dal motore.

La potenza elettrica associata al motore è data dal prodotto tra la forza elettromotrice indotta dal

movimento del rotore all’interno del campo magnetico dello statore, e la corrente che percorre le spire

4

−N

Π = e i = LRBωi (10.22)

e b π 10-5

Figura 10.4: Il modello del motore in corrente continua

ed è negativa in quanto è assorbita dal motore.

Le due potenze sono uguali ed opposte; questo significa che in un bilancio di potenza non partecipano,

in quanto dal punto di vista elettromeccanico, ovvero, per quanto concerne il solo fenomeno dell’induzione

elettromagnetica, il motore trasforma potenza, ma non ne genera e neppure ne dissipa.

Ne consegue che la coppia fornita dal motore può essere espressa come

C = Ki (10.23)

m

mentre la forza elettromotrice esercitata dal rotore sul circuito di alimentazione può essere espressa come

−Kω

e = (10.24)

b

mediante la stessa caratteristica K, che nei motori a magneti permanenti è costante, mentre in quelli av-

volti è proporzionale al flusso magnetico generato dagli avvolgimenti sullo statore, il quale è proporzionale

a sua volta alla corrente di eccitazione.

10.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c.

La prima caratteristica da considerare in un motore è la sua impedenza elettrica. La miglior via di

determinazione è sperimentale, mediante una sua identificazione: fissato il rotore e applicando al motore

una tensione armonica a frequenza variabile, è possibile misurare la corrente risultante e determinare la

caratteristica tra corrente e tensione. Il circuito elettrico equivalente risulta formato da una resistenza

in serie ad un sistema di resistenza e induttanza in parallelo tra loro, secondo lo schema riportato in

figura 10.4.

In tale sistema, R e L rappresentano rispettivamente la resistenza e l’induttanza dell’armatura,

a a

mentre e ed i sono la tensione e la corrente di armatura. La resistenza R dell’armatura esprime

a a a

la resistenza elettrica che l’insieme delle spire esercita sulla corrente di armatura i . L’induttanza L

a a

dell’armatura esprime l’effetto di autoinduzione elettromagnetica che le spire esercitano su se stesse. La

2

presenza della resistenza R viene spiegata attraverso le perdite nel circuito magnetico : tale valore R si

L L

2 A cavallo di due elementi in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale, mentre la corrente complessiva si ripartisce

tra i due componenti. Nel caso in esame, i due componenti hanno caratteristiche dinamiche differenti: il resistore è percorso

da una corrente

∆V

i = (10.25)

R R L

mentre l’induttore è percorso da una corrente che, nel dominio delle frequenze, si esprime come

∆V (10.26)

i =

L jΩL a

Ne consegue che, in condizioni stazionarie, ovvero per i costante e Ω = 0, la differenza di potenziale sarà nulla e quindi la

corrente passerà tutta per l’induttanza, mentre a frequenza Ω tendente ad infinito la corrente passerà tutta per la resistenza.

Per valori finiti di frequenza, la corrente si ripartisce tra i due rami, privilegiando la resistenza via via che la frequenza

cresce. In conclusione: 10-6

Figura 10.5: Il modello essenziale del motore in corrente continua

presenta molto maggiore del corrispondente R (5-10 volte), ritenendo pertanto il suo effetto trascurabile,

a

in quanto, a bassa frequenza, la corrente che passa per la resistenza R è minima.

L

Il circuito elettrico equivalente diventa pertanto come in figura 10.5 ed è pertanto possibile scrivere

l’equazione di chiusura della maglia (annullamento delle tensioni sulla maglia) per l’avvolgimento rotorico

di a −

+ R i e = e (10.27)

L a a b a

a dt

dove la forza controelettromotrice e risulta proporzionale alla velocità angolare del rotore stesso, come

b

indicato nella (10.24).

Nei motori a magneti permanenti il controllo in genere si ottiene variando la tensione di alimentazione

e . Nei motori ad avvolgimento, come ulteriore parametro di controllo si dispone anche della tensione di

a

alimentazione degli avvolgimenti, la quale fa variare K.

10.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c.

Si consideri l’equazione (10.27) del motore elettrico in condizioni di regime; in questo caso, da essa è

possibile esplicitare la corrente elettrica

e Kω

a (10.28)

i =

a R a

che, sostituita nella (10.23), consente di esprimere la dipendenza della coppia dalla velocità angolare del

motore 2

K

K −

e ω (10.29)

C = a

m R R

a a

detta anche curva di funzionamento. Essa ha andamento rettilineo, con pendenza negativa; può essere

traslata verticalmente variando la tensione di alimentazione e , come illustrato in figura 10.6.

a

La potenza elettrica che occorre fornire al motore è

Π = e i (10.30)

entrante a a

che, in condizioni di regime, ovvero per corrente i costante, a partire dalla (10.27), diventa

a

2

Π = R i + Kωi (10.31)

entrante a a

a

• considerare infinita la resistenza R significa privilegiare il comportamento “lento” del circuito, ovvero considerarne

L

un’approssimazione statica;

• la resistenza R non ha un significato fisico preciso; serve a descrivere l’evidenza sperimentale che ad alta frequenza,

L

quando nel modello sopra indicato una frazione via via più rilevante della corrente si trova a passare per la resistenza

anziché per l’induttanza, si manifesta una dissipazione di potenza via via maggiore nel circuito.

10-7

Figura 10.6: Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di

alimentazione e (rette oblique); la curva C rappresenta la coppia resistente generata da un generico

a r

utilizzatore, cambiata di segno.

La potenza uscente, sotto forma di potenza meccanica, è data da

−C

Π = ω (10.32)

uscente m

ovvero, mediante la (10.23)

−Ki

Π = ω (10.33)

uscente a

Ne risulta un rendimento

Π 1

uscente

η = (10.34)

=

Π R i

entrante a a

1+ Kω

che dipende da corrente e velocità angolare. Si noti che il rendimento va a zero nel momento in cui la

coppia, e quindi la corrente, non è nulla ma si annulla la velocità angolare, e quindi il motore, fermo, deve

sostenere un carico. Inoltre, il rendimento è minore di 1 ogni qual volta ci sia corrente, e quindi coppia;

la riduzione del rendimento è di natura puramente elettrica, ed è legato alla differenza di potenziale che

esprime la dissipazione ohmica nel conduttore, descritta dal termine R i , e al suo rapporto con la forza

a a

elettromotrice indotta, Kω.

10.3 L’azionamento in corrente continua

Si consideri un sistema costituito da un motore in c.c. con un carico inerziale illustrato in figura 10.7. In

questa fase si vuole giungere alla scrittura delle equazioni di moto facendo alcuni cenni alla regolazione

di tale sistema.

Il sistema in esame è pertanto costituito da una massa m all’estremità di una trave priva di massa e

schematizzabile come un corpo rigido di lunghezza L.

L’altro estremo della trave è vincolato tramite una cerniera in modo tale essa possa compiere un

moto rotatorio nel piano orizzontale. Supponendo che gli attriti che si sviluppano nella cerniera siano

rappresentabili con uno smorzatore di tipo viscoso, nascerà una coppia resistente proporzionale alla

velocità di rotazione della trave tramite il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente r .

t

È possibile scrivere l’equazione di moto del sistema tenendo conto dell’inerzia del motore J e del

m

2

carico ridotto all’albero motore J = ml e di inevitabili dissipazioni introdotte nel modello attraverso il

r 10-8

Figura 10.7: Un carico inerziale

termine proporzionale alla velocità:

θ̇ = C. (10.35)

(J + J ) θ̈ + r

m r t

Ricordando l’espressione della coppia motrice (10.23) e le (10.27) e (10.24), si ottiene il sistema di

equazioni:

 −

θ̇ Ki = 0

J θ̈ + r

 a

t (10.36)

di a

L + R i + K θ̇ = e

 a a a a

dt

dove con J si è indicata l’inerzia totale, comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del carico.

Il sistema di equazioni descrive pertanto la dinamica del sistema; si nota come la dinamica delle

variabili di stato caratteristiche del motore sono mutuamente influenzate con le grandezze di stato

caratteristiche della meccanica.

In conclusione si vuole illustrare come spesso anche le discipline legate al controllo e all’automatica

diventino parte integrante della modellazione dinamica.

Si pensi infatti di voler portare il sistema in una posizione desiderata o di riferimento θ (controllo

rif

in posizione). L’azione della coppia motrice C = Ki deve essere cosı̀ regolata in modo da minimizzare

a

la differenza tra la posizione angolare θ e quella di riferimento θ .

rif

10.3.1 Controllo in tensione

Essendo il motore l’organo di attuazione, la regolazione avviene tramite la tensione e di alimentazione

a

che potrà assumere, ad esempio, la forma:

e = K (θ θ) (10.37)

a p rif

in caso di semplice controllo proporzionale, o

Z t −

− (θ θ) dt (10.38)

e = K (θ θ) + K rif

a p rif i t 0

in caso di controllo proporzionale ed integrale.

Risposta in anello aperto. Si usi la trasformata di Laplace per esprimere la perturbazione di

rotazione θ in funzione delle perturbazioni di tensione di alimentazione e e di coppia dell’utilizzatore

a

C ,

r (sL + R) i + sKθ = e (10.39a)

a a

2 −

s J + sr θ Ki = C . (10.39b)

t a r 10-9

C r C(s) +

e θ

a +

G(s)

Figura 10.8: Schema a blocchi del sistema in anello aperto

Tipicamente C < 0 quando il funzionamento è diretto. Esplicitando la corrente i dalla (10.39a) e

r a

sostituendola nella (10.39b) si ottiene

2 2

s s L J + s (R J + L r ) + R r + K θ = Ke + (sL + R ) C , (10.40)

a a a t a t a a a r

da cui K

1 e (10.41)

θ = a

2 2

s (s L J + s (R J + L r ) + (R r + K ))

a a a t a t

{z }

| G(s)

1 (sL + R )

a a

+ C . (10.42)

r

2 2

s (s L J + s (R J + L r ) + (R r + K ))

a a a t a t

{z }

| C(s)

La figura 10.8 mostra lo schema a blocchi del sistema in anello aperto.

La funzione di trasferimento del sistema in anello aperto G(s) ha un polo nell’origine e altri due poli,

tipicamente reali negativi e ben separati:

v ! 2

u 2

R J + L r R r + K

R J + L r u a a t a t

a a t t

− −

±

s = p = , (10.43)

1|2 2L J 2L J L J

a a a

di cui quello a più alta frequenza associato alla dinamica della parte elettrica, e quello a più bassa

frequenza associato alla dinamica della parte meccanica.

Occorre notare che non è stata specificata la natura della coppia dell’utilizzatore; qualora essa presen-

tasse una significativa dipendenza dall’angolo θ o dalle sue derivate potrebbe modificare anche sostanzial-

mente la natura del sistema. Per questo motivo la regolazione di un sistema dinamico da una parte

richiede una conoscenza il più possibile dettagliata della natura del sistema, mentre dall’altra deve essere

il più possibile robusta per comportarsi adeguatamente anche in presenza di incertezze sul modello.

Controllo proporzionale. Il sistema di equazioni da risolvere, a partire dalla (10.36), diventa

θ̇ Ki = 0 (10.44a)

J θ̈ + r

t

di a −K −

+ R i + K θ̇ = (θ θ ) (10.44b)

L a a p rif

a dt

Quest’ultimo costituisce un sistema controllato in anello chiuso con una retroazione proporzionale all’er-

rore angolare. L’obiettivo del controllo è quello di fare in modo che la rotazione del braccio θ (t) segua

al meglio l’andamento desiderato θ (t) (controllo in posizione).

rif

In questo esempio la grandezza in ingresso è la rotazione di riferimento del braccio θ (t), mentre la

rif

grandezza in uscita è la rotazione effettiva del braccio stesso, θ (t).

La presenza del termine di controllo proporzionale fa sı̀ che la tensione di alimentazione vari in modo

da garantire una coppia che si oppone all’errore di posizionamento. Tuttavia, in presenza di coppia

resistente non nulla, perché nasca una coppia del motore che contrasti l’errore occorre che l’errore sia

10-10

20 open loop

0

-20

dB -40

-60

-80

-100 1 10 100 1000

-90

-120

-150

deg -180

-210

-240

-270 1 10 100 1000

ω

Figura 10.9: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico in

c.c. C r C(s) +

θ e θ

rif a

+ +

R(s) G(s)

Figura 10.10: Schema a blocchi del sistema in anello chiuso

non nullo, e tanto più grande quanto più piccolo è il coefficiente di guadagno K . Aumentare il guadagno

p

K riduce l’errore ma non lo può annullare. Inoltre, un aumento eccessivo porta conseguenze negative

p

sulla stabilità del sistema controllato.

La funzione di trasferimento in anello aperto

1 K

G(s) = , (10.45)

2 2

s (s L J + s (R J + L r ) + (R r + K ))

a a a t a t −4

illustrata in Figura 10.9 (a titolo di esempio, L = 10 , J = 0.1, K = 0.1, R = 0.01 e r = 0), esprime

a a t

la rotazione θ del motore in funzione della tensione di alimentazione e .

a

Con riferimento allo schema a blocchi del sistema retroazionato di figura 10.10, il controllo pro-

porzionale consiste nel progettare il regolatore R(s), che concorre a formare la funzione d’anello del

sistema regolato L(s) = R(s)G(s), nel modo più semplice possibile, in base solamente ad un progetto

statico. Con i metodi dell’automatica, si ipotizzi infatti di realizzare un regolatore R(s) = R (s)R (s),

1 2

−g µ viene progettato staticamente, mentre R (s) è una funzione polinomiale razionale

ove R (s) = s R R 2

1

che garantisca la stabilità del sistema controllato. Nel caso del controllo proporzionale, si sceglie a priori

g = 0 e R (s) = 1, nell’ipotesi di poter ottenere le prestazioni desiderate contestualmente alla stabilità

R 2

del sistema agendo soltanto sul guadagno µ = K . La funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) diventa quindi

R p

10-11

20

0

-20

dB -40 open loop

-60 open loop, regulated

-80 closed loop

-100 1 10 100 1000

0

-60

deg -120

-180

-240 1 10 100 1000

ω

Figura 10.11: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore

elettrico in c.c.

L(s) = K G(s), il che corrisponde a traslare verticalmente la curva del modulo della funzione G(s) nel

p

diagramma di Bode senza modificarne la fase. −90

Siccome il sistema ha un polo nell’origine, a bassa frequenza la fase è gradi. Quando la frequenza

−180

si avvicina al polo non nell’origine più piccolo in modulo, o polo dominante, la fase tende a gradi.

Siccome secondo il criterio di Bode occorre che l’attraversamento dell’asse a 0 dB avvenga quando la fase

−180

è sufficientemente in anticipo rispetto a gradi, esso deve avvenire a frequenza inferiore a quella del

polo dominante.

Sia ω la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale 0 dB (frequenza di crossover ); sia

c −3

ω la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale dB, in modo da avere un certo margine

rispetto a ω . Se si approssima la funzione di trasferimento del sistema con il solo polo dominante, in

c −120

aggiunta a quello nell’origine, si ha una fase di gradi, che garantisce un margine di fase di 60 gradi,

−p

quando ω = / 3. Allora L(jω), per ω < ω , vale circa

c 1 c

1 K K

p

L(jω) . (10.46)

= 2

jω R r + K

a t −3

= dB si ricava

Imponendo che 20 log (kL(jω)k)

10 2 2

R r + K R r + K

a t a t

−3/20 ω ω

K = 10 0.7 . (10.47)

=

p K K

Questo valore rappresenta il limite superiore al guadagno che garantisce la stabilità con un semplice

controllo proporzionale. Occorre notare che un controllo di questo tipo non è necessariamente robusto,

né rende il sistema particolarmente performante, in quanto non consente di aumentare sensibilmente il

guadagno a bassa frequenza.

Esercizio 10.1 Si calcolino il margine di fase e di guadagno della funzione di trasferimento (10.45).

Esercizio 10.2 Si verifichi la robustezza del controllo proporzionale appena progettato, in termini di

margine di fase e di guadagno, al variare di r .

t

La Figura 10.11, rispetto alla 10.9, mostra anche la funzione di trasferimento in anello aperto scalata

−3

per il guadagno µ , ovvero la funzione d’anello L(s), mettendo in evidenza come essa valga dB

R 10-12

0

-0.5

imag -1

-1.5 -1.5 -1 -0.5 0

real open loop

open loop, regulated

closed loop

Figura 10.12: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore

elettrico in c.c. −120

quando la fase è gradi, e la funzione in anello chiuso, F (s), che ricalca la precedente ad alta

frequenza mentre assume guadagno unitario a frequenze inferiori a ω . La Figura 10.12 mostra le stesse

c

funzioni di trasferimento nel piano complesso.

In un certo senso, l’uso del controllo proporzionale in sistemi di questo tipo consente di non considerare

la dinamica del sistema nel progetto del regolatore semplicemente perché è possibile fare in modo che nella

banda di frequenze in cui essa si manifesta (al di sopra di ω ) l’ampiezza della risposta sia sufficientemente

c

attenuata da non consentirle di mettere a rischio la stabilità del sistema. Perché questa condizione sia

soddisfatta, però, occorre porre un limite al guadagno, e quindi alle prestazioni del sistema in anello

chiuso.

La funzione di trasferimento in anello chiuso è data da F (s) = L(s)/(1 + L(s)); se L(s) è razionale,

e quindi può essere espressa come L(s) = N (s)/D(s), si ha F (s) = N (s)/(D(s) + N (s)). Nel caso in

esame si ottiene

3 2 2

s L J + s (R J + L r ) + s R r + K + KK θ = KK θ + (sL + R ) C , (10.48)

a a a t a t p p rif a a r

da cui KK p θ

θ = rif

3 2 2

s L J + s (R J + L r ) + s (R r + K ) + KK

a a a t a t p

| {z }

F (s)

sL + R

a a

+ C . (10.49)

r

3 2 2

s L J + s (R J + L r ) + s (R r + K ) + KK

a a a t a t p

La differenza sostanziale, rispetto al caso in anello aperto, sta nel fatto che il polo nell’origine è stato

rimpiazzato da un polo circa in ω , come appare chiaramente dalla Figura 10.11.

c

La funzione che moltiplica C rappresenta l’ammettenza del sistema in anello chiuso, ovvero la

r

rotazione del motore in funzione del carico applicato. Per s = 0 si ha la cedevolezza statica del sistema,

R a C . (10.50)

θ = r(s=0)

(s=0) KK p

Come si vede, è costituita da termini elettrici (K e R ) e legati al controllo (K ). La cedevolezza statica

a p

rappresenta l’errore statico per effetto di un disturbo di coppia.

L’ammettenza si mantiene costante fino al primo polo, circa in ω , poi scende fino ad avere asintoti-

c

−2 −R

camente pendenza (−40 dB) per via dello zero in /L . Quindi l’errore dinamico associato ad un

a a

10-13

disturbo di coppia si attenua al crescere della frequenza, in quanto l’ammettenza è analoga ad un filtro

passa-basso del secondo ordine.

Esercizio 10.3 Si valuti la banda passante del sistema (10.49).

Esercizio 10.4 Si valuti la sensitività al disturbo di coppia C del sistema (10.49).

r

Controllo proporzionale-integrale. Occorre conoscere l’integrale dell’errore di posizionamento. Si

definisca una nuova variabile (o stato) e, tale per cui ė = θ θ . Il problema diventa

rif

θ̇ Ki = 0 (10.51a)

J θ̈ + r a

t

di a −K − −

L + R i + K θ̇ = (θ θ ) K e (10.51b)

a a a p rif i

dt −

ė = θ θ . (10.51c)

rif

La presenza del termine integrale fa sı̀ che la tensione di alimentazione dipenda anche da quanto l’errore

è perdurato nel tempo. Di conseguenza, la tensione avrà anche un contributo persistente, che smette di

crescere solo quando l’errore si è esattamente annullato.

Esercizio 10.5 Si indichi come l’aggiunta del contributo integrale al controllo possa giovare alle prestazioni

statiche del sistema controllato, garantendo nel contempo caratteristiche di stabilità analoghe a quelle del

controllo puramente proporzionale.

10.3.2 Controllo in corrente

Mediante l’uso di amplificatori di potenza è possibile separare l’azionamento meccanico, ovvero la gen-

erazione della coppia C = Ki, dalla generazione della corrente i necessaria per ottenere la coppia. In

m

questo caso, purché si rimanga al di sotto del valore i di saturazione, è possibile imporre direttamente

max

il valore della corrente desiderata.

Il modello del motore si riduce quindi a

J θ̈ = Ki + C (10.52)

r

ovvero, nel dominio di Laplace,

1

K 1

1 i + C , (10.53)

θ = r

2 2

s J s J

{z }

|

G(s)

a meno di poli ad alta frequenza. Quindi la funzione di trasferimento tra la corrente e la rotazione è

semplicemente costituita da due poli nell’origine. Perché la funzione d’anello garantisca la stabilità e

le prestazioni desiderate occorre progettare un regolatore che abbia uno zero al di sotto della frequenza

ω alla quale la funzione d’anello vale 0 dB, e almeno un polo a frequenza superiore ad ω , in modo da

c c

ripristinare il comportamento asintotico della (10.53) e cancellare il più rapidamente possibile eventuali

dinamiche ad alta frequenza. In questo modo il margine di fase sarà di circa 90 gradi.

Si vuole quindi progettare un regolatore della corrente in funzione della differenza tra l’angolo

desiderato e quello effettivo, i = R(s)(θ θ), con la struttura

rif

1 + s/z , (10.54)

R(s) = µ R 1 + s/p

dove µ è il guadagno statico, z lo zero e p il polo. Si scelga z = 0.1ω e p = 10.0ω ; il guadagno si

R c c

determina imponendo che il modulo della funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) valga 0 dB per s = jω .

c

Data la G(s), si ha circa

1 + j/0.1 µ

1 1

K K

R

kL(jω)k µ

= =1 (10.55)

=

R 2 2

1 + j/10.0 ω J 0.1 ω J

c c 10-14

100

50

0

dB -50 open loop

-100 open loop, regulated

-150 closed loop

-200

0.01 0.1 1 10 100 1000

0

-60

deg -120

-180

-240

0.01 0.1 1 10 100 1000

ω

Figura 10.13: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore

elettrico in c.c. controllato in corrente.

da cui si ricava J

2 (10.56)

µ = 0.1ω

R c K

La funzione ad anello chiuso diventa

1 + s/z 1 + s/p

θ = µ K θ + C . (10.57)

R rif r

2 2

s (1 + s/p) J + µ K (1 + s/z) s (1 + s/p) J + µ K (1 + s/z)

R R

2

Si noti come l’errore statico sia 1/(µ K), ovvero circa 1/(0.1ω J).

R c

Le figure 10.13 e 10.14 mostrano rispettivamente il diagramma di Bode e di Nyquist delle funzioni

2

di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore controllato in corrente per J = 1 kg m , K = 1 V

s/radian, ω = 10 radian/s.

c

Questo progetto sembra indicare che scegliendo ω opportunamente grande è possibile aumentare a

c

piacere la banda passante del motore e/o aumentare a piacere il guadagno statico e quindi ridurre l’errore

di posizionamento statico. Vi possono essere, però, delle controindicazioni. Per esempio, se il sistema

presenta delle dinamiche poco smorzate ad alta frequenza (ad esempio una coppia di poli complessi

coniugati con smorzamento basso), quando ω diventa sufficientemente grande il picco corrispondente

c

ai poli complessi coniugati verrà amplificato fino a far assumere valore unitario alla funzione d’anello

alla frequenza corrispondente. Di conseguenza si rischia di avere spill-over, ovvero eccitazione di modi

non previsti nel progetto del regolatore. Siccome su tali modi è possibile che ci siano incertezze, sia in

termini di frequenza che soprattutto di smorzamento, dovuti sia alla difficoltà di caratterizzarli che alla

loro variabilità in funzione di parametri del sistema (in dipendenza della configurazione, per esempio), è

opportuno cautelarsi adeguatamente.

Esercizio 10.6 Si consideri la funzione d’anello del motore controllato in corrente. Si aggiunga una

coppia di poli complessi coniugati con pulsazione caratteristica arbitrariamente alta e smorzamento del-

l’1%. Si diagrammi la funzione d’anello per diversi valori di guadagno, in modo che ω si avvicini via

c

via alla pulsazione caratteristica dei due poli ad alta frequenza.

Esercizio 10.7 Si aggiunga al regolatore un polo nell’origine per cancellare l’errore statico; quale altra

modifica occorre apportare al regolatore per garantire la stabilità del sistema controllato?

10-15

0

-0.5

imag -1

-1.5 -1.5 -1 -0.5 0

real open loop

open loop, regulated

closed loop

Figura 10.14: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore

elettrico in c.c. controllato in corrente.

10.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore

L’obiettivo in questo caso è regolare la velocità angolare di un compressore azionato da un motore in

corrente continua. Il motore in c.c. è costituito da un rotore di momento d’inerzia J .

m

Sul rotore agisce una coppia motrice proporzionale alla corrente di armatura i , secondo un coefficiente

a

di coppia K, come descritto nella (10.23).

La curva caratteristica del motore, ovvero la coppia motrice erogata a regime, quindi per θ̈ = 0 e

di/dt = 0, si presenta lineare, funzione parametrica della tensione di alimentazione e a

K −

C = e K θ̇ (10.58)

a

R a

La curva caratteristica del compressore può essere in prima approssimazione schematizzata come una

3

funzione proporzionale al quadrato della velocità angolare:

2

−rθ̇

C = , (10.59)

r

con r > 0. L’equazione di moto dell’albero è:

J θ̈ = C + C (10.60)

r

dove con J si è indicata l’inerzia totale comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del

compressore. Sostituendo l’equazione caratteristica del compressore e l’equazione motore si ottiene:

2

J θ̈ + rθ̇ = Ki (10.61)

a

Per ricavare ora la corrente i in funzione della grandezza di regolazione e , tensione di alimentazione

a a

del motore, si deve ricorrere al modello del motore introdotto nella (10.27). Le equazioni della dinamica

del sistema diventano pertanto

 2 −

J θ̈ + rθ̇ Ki = 0

 a (10.62)

di a

L + R i + K θ̇ = e

 a a a a

dt

3 A rigore, la curva caratteristica dovrebbe essere espressa come C = −rk

θ̇k

θ̇, in quanto la coppia si oppone sempre

r

alla velocità angolare. La distinzione è superflua se la velocità angolare ha sempre segno positivo.

10-16

Figura 10.15: Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche

e quindi possono essere viste nella forma:

 K

r

 2

 θ̇ + i

θ̈ =

 a

J J (10.63)

di R K 1

a a

 − −

= i θ̇ + e

 a a

 dt L L L

a a a

Definendo ora il vettore di stato

θ̇

{x} = (10.64)

i a

e il vettore degli ingressi

0

{u} = (10.65)

e a

il sistema di equazioni può essere scritto nella forma

{ {f {u}

ẋ} = ({x})} + [B] (10.66)

Tale equazione, come si vede, è non lineare e permette, una volta nota la tensione e , di ricavare la velocità

a

angolare del sistema. Naturalmente tale modello può fornire, data la velocità e l’accelerazione angolare, la

tensione di alimentazione del motore stesso; tale applicazione, che sfrutta la dinamica inversa del sistema,

può ad esempio servire per controllare in anello aperto la velocità del compressore. Naturalmente tale

logica di controllo in anello aperto soffre degli inconvenienti derivanti dal non considerare i disturbi esterni

e le incertezze del modello stesso.

Si possono integrare numericamente le (10.63) e analizzare la risposta ad assegnati andamenti della

tensione e (t). In alternativa, dal momento che interessa studiare il comportamento del sistema nel-

a

l’intorno della condizione di funzionamento a regime, il problema può essere analizzato linearizzando le

equazioni di moto nell’intorno di una assegnata velocità θ̇ ritenuta costante.

0

Tale analisi si effettua risolvendo il sistema di equazioni algebriche non lineari

{0} {f {u}

= ({x})} + [B] (10.67)

ottenuto dalla (10.66), dal momento che si ricerca la soluzione avendola supposta costante; si ottiene

 K

r

 2

 θ̇ + i

0 =

 a

J J (10.68)

K 1

R a

 −

− i θ̇ + e

0 =

 a a

 L L L

a a a

da cui è possibile determinare la tensione necessaria e la conseguente corrente che circola nel circuito

statorico, o viceversa conoscere la velocità angolare ad una assegnata tensione di alimentazione e .

a0

Tale soluzione può essere inoltre vista in forma grafica come in figura 10.16, permettendo ancora una

volta di ricavare, nota e , la velocità angolare di regime e la coppia di regime.

a0 10-17

Figura 10.16: Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore

10.3.4 L’analisi di stabilità del sistema

Si possono a questo punto linearizzare le equazioni di moto non lineari nell’intorno della posizione di

equilibrio

θ̇ 0

{x } = (10.69)

0 i a0 − − {x} {x} − {x },

ovvero, indicando con ∆

θ̇ = θ̇ θ̇ e ∆i = i i , da cui ∆ = si ottiene

0 a a a0 0

{f }

∂ {x} {u}

{ {f })} ∆ + [B] (10.70)

∆ ẋ} = ({x +

0 {x}

∂ {x }

0

ma, per definizione di equilibrio,

{f })} {u } {0}

({x + [B] = (10.71)

0 0

per cui l’equazione diventa

{f }

{ {x} {u} {x} {u}

∆ ẋ} = ∆ + [B] ∆ = [A] ∆ + [B] ∆ (10.72)

{x}

∂ {x }

0

con 

 K

2rθ̇ 0

− 

 J J (10.73)

[A] = 

 R

K 

 a

− L L

a a

L’omogenea associata

{ {x}

∆ ẋ} = [A] ∆ (10.74)

ammette la soluzione generica:

λt

{x} {X}

∆ = e (10.75)

che, sostituita nella (10.74), dà

λt

− {X} {0}

([A] [I] λ) e = (10.76)

{X} {0}

Il sistema di equazioni ammette soluzione diversa da quella banale = se il determinante

della matrice dei coefficienti è nullo, ovvero se

 

2rθ̇ K

0

− − λ

 

J J

det = 0 (10.77)

 

K R

 

a

− − − λ

L L

a a 10-18

ovvero ! 2

R K + 2rθ̇ R

2rθ̇ a 0 a

0

2 + λ + =0 (10.78)

λ + J L JL

a a

Risolvendo l’equazione caratteristica precedente è possibile calcolare le radici (o autovalori) del sistema

 v

! ! 2

u 2

1 2rθ̇

R R

2rθ̇ K + 2rθ̇ R

u 0

a a

0 0 a 

 t

±

− −

λ = (10.79)

+ + 4 

2 J L J L JL

a a a

che sono un indice della stabilità della soluzione di equilibrio rispetto alla quale il sistema è stato

linearizzato.

Si noti come il primo addendo degli autovalori sia sempre negativo; quindi il sistema è stabile se la

parte sotto radice è minore in modulo del primo addendo, ovvero

2

K + 2rθ̇ > 0. (10.80)

0

R a

Inoltre, a seconda che il radicando sia maggiore o minore di zero, i due autovalori stabili si possono

presentare puramente reali (negativi) o complessi coniugati.

Se invece

2

K + 2rθ̇ < 0 (10.81)

0

R a

il sistema presenta una forma di instabilità statica messa in evidenza dal fatto che un autovalore ha parte

reale positiva.

Stabilità statica. Ad analoghe conclusioni si può giungere considerando l’equazione

J θ̈ = C θ̇ (10.82)

θ̇ + C r

ossia considerando le curve caratteristiche ad una assegnata tensione di armatura e . Definita θ̇ dal-

a 0

la soluzione dell’equazione (10.82) per θ̈ = 0, è possibile effettuare l’analisi di stabilità linearizzando

nell’intorno della velocità angolare trovata, ottenendo pertanto

∂C

∂C r

− −

+

θ̇

+ C , (10.83)

θ̇ θ̇ θ̇ θ̇

+

J θ̈ = C θ̇ 0

r

0 0

0 ∂ θ̇ ∂ θ̇

θ̇ θ̇

0 0

da cui !

∂C

∂C r

+ ∆

θ̇, (10.84)

J∆

θ̈ = ∂ θ̇ ∂ θ̇

θ̇ θ̇

0 0

che ammette come soluzione

λt

θ̇ = Ωe (10.85)

che, sostituita nell’omogenea associata

!

∂C ∂C r −

+ Jλ ∆

θ̇ = 0, (10.86)

∂ θ̇ ∂ θ̇

θ̇ θ̇

0 0

da cui: !

∂C ∂C

1 r

+ . (10.87)

λ = J ∂ θ̇ ∂ θ̇

θ̇ θ̇

0 0 10-19

Perché il sistema si presenti come stabile, l’autovalore λ, essendo reale, deve essere negativo, ovvero deve

essere: ∂C

∂C r

+ < 0. (10.88)

∂ θ̇ ∂ θ̇

θ̇ θ̇

0 0

Ricordando l’espressione (10.58) della coppia motrice a regime, e quella (10.59) della coppia resistente

si ottiene cosı̀ la medesima condizione di stabilità:

2

∂C K

∂C r − −

+ = 2rθ̇ < 0. (10.89)

0

R

∂ θ̇ ∂ θ̇ a

θ̇ θ̇

0 0

L’analisi di stabilità presentata in questo paragrafo va sotto il nome, forse improprio, di studio della

stabilità statica. Essa consiste nel valutare, a partire da una condizione di riferimento di equilibrio statico,

la variazione dei termini che compongono un’equazione di equilibrio in conseguenza di una variazione

della derivata di ordine minimo della coordinata libera; nel caso in esame, θ̇. Questo tipo di analisi

consente di esprimere una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la stabilità della soluzione di

riferimento. Per una trattazione più approfondita si veda il capitolo 7.

Controllo proporzionale. Si consideri l’equazione

J ω̇ = Ki + C (ω) (10.90)

r

con la corrente del motore data dalla

R i + Kω = e , (10.91)

a a

avendo scelto di definire

−K −

e = (θ θ ) . (10.92)

a p rif ∼ 0. A

Questo corrisponde a trascurare la dinamica della parte elettrica del motore, ovvero L di/dt =

a

seguito di una linerizzazione attorno ad una posizione di equilibrio θ = 0, da cui ω = 0, si ottiene

0 0

l’equazione 2

K K

− − −

J ω̇ = K (θ θ ) ω + C ω, (10.93)

p rif r/ω

R R

a a

a cui occorre aggiungere θ̇ = ω. Si ha quindi  

 0

0 1

 

θ

θ̇ 2 K

K C

K + θ . (10.94)

= 

 rif

r/ω ω

ω̇ −

− K + K

 

p p

JR JR J JR

a a a

Il polinomio caratteristico della matrice è

2 C K

K /ω

2 − + K = 0. (10.95)

λ + λ p

JR J JR

a a

Perché la soluzione di equilibrio sia stabile occorre che gli autovalori abbiano parte reale negativa. si

ottiene s

2

2 C C

2

1 K

K K

1

/ω /ω

− ± −

− −

λ = K (10.96)

p

2 JR J 4 JR J JR

a a a

2

Occorre che K > 0 e C < K /R affinché gli autovalori abbiano sicuramente parte reale negativa.

p a

Se K è sufficientemente grande da rendere il discriminante negativo, gli autovalori diventano complessi

p

coniugati. Questo può rappresentare un vantaggio, nel senso che la rapidità con cui il sistema risponde

è maggiore, ma introduce sovraelongazione nella risposta. Per questo motivo, è opportuno che K sia

p

limitato. Intuitivamente, è opportuno che lo smorzamento del sistema sia prossimo a quello critico.

10-20

Controllo proporzionale-integrale. Si definisca ora

Z t −

−K − − (θ θ ) dt; (10.97)

e = (θ θ ) K rif

a p rif i t 0 −

aggiungendo al sistema precedente l’equazione ė = θ θ , si ottiene

rif  

  −1

0 1 0

 

   

ė e  

 

 

  0

0 0 1

  θ θ . (10.98)

= +

θ̇   rif

2 K

K K C

K

 

r/ω  

 

 

ω

ω̇ − −

− K K + K

 

 

i p p

JR JR JR J JR

a a a a

Il polinomio caratteristico della matrice è

2 C

K K K

r/ω

3 2 −

λ + λ + λ K + K = 0. (10.99)

p i

JR J JR JR

a a a

L’espressione analitica delle radici è piuttosto involuta e poco espressiva. Tuttavia, si può notare come un

2

requisito per l’asintotica stabilità sia dato dal criterio di Routh-Hurwitz, dal quale, per C < K /R a

r/ω

(requisito di stabilità statica del sistema non controllato), si ottiene

2 C

K r/ω

− . (10.100)

K < K

i p JR J

a

Si ricordi che il criterio di Routh-Hurwitz esprime una condizione necessaria, basata sull’ipotesi di assenza

di radici sull’asse immaginario.

10.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici

Senza grandi pretese di eleganza formale, si vogliono generalizzare le equazioni di Lagrange nel caso del

problema elettromeccanico, applicandolo al contesto del motore elettrico in c.c.

10.4.1 Approccio in corrente

Si consideri innanzitutto un induttore ideale lineare, di induttanza L (da non confondersi con la lunghezza

del conduttore nei paragrafi precedenti), la cui relazione costitutiva è

di (10.101)

∆V = L dt

La potenza associata a questo componente è

di

Π = i∆V = Li , (10.102)

L dt

che può essere espressa anche come

1

d 2 . (10.103)

Li

Π =

L dt 2

Inoltre, ricordando che la corrente i è la derivata rispetto al tempo della carica q, si ottiene

1

d 2 . (10.104)

Lq̇

Π =

L dt 2

Si consideri ora, anche se non necessario per il semplice modello di motore in c.c. considerato finora,

la relazione costitutiva di un condensatore di capacità C,

d∆V

i = C . (10.105)

dt 10-21

L ∆V

i

C

Figura 10.17: Induttore e condensatore (LC).

La potenza ad esso associata è

d∆V

Π = ∆V i = C∆V , (10.106)

C dt

che può essere espressa anche come

d 1 2

Π = (10.107)

C∆V

C dt 2

o, invertendo la relazione costitutiva, come

2

q

1

d . (10.108)

Π =

C dt 2 C

Si noti come, se si sceglie come variabile indipendente la carica q, le funzioni le cui derivate danno

la potenza dell’induttore e del condensatore assomiglino rispettivamente ad un’energia cinetica e ad

un’energia potenziale. Questi componenti elettrici, infatti, nella loro idealizzazione sono conservativi,

ovvero immagazzinano e rilasciano energia senza dissipazione.

Quindi, definita una funzione

2

1 q

1

2

L −

= Lq̇ , (10.109)

e 2 2 C L

l’applicazione del formalismo di Lagrange a consente di scrivere

e

d ∂L

∂L q

e

e − = Lq̈ + = 0, (10.110)

dt ∂ q̇ ∂q C

ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore e un condensatore collegati fra loro

come in figura 10.17.

È possibile anche definire l’equivalente della funzione di dissipazione,

1 2

D Rq̇ , (10.111)

=

e 2

ove come elemento dissipativo si è considerato un resistore lineare di caratteristica R. Il suo contributo

alla equazione relativa alla coordinata q è ∂D /∂ q̇ = Rq̇, ovvero la differenza di tensione associata al

e

resistore. L’applicazione del formalismo di Lagrange diventa cosı̀

∂L

∂L ∂D q

d e

e e

− + = Lq̈ + + Rq̇ = 0, (10.112)

dt ∂ q̇ ∂q ∂ q̇ C

ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore, un condensatore e un resistore collegati

fra loro come in figura 10.18. 10-22

L i ∆V

R

C

Figura 10.18: Resistore, induttore e condensatore (RLC).

Nelle relazioni precedenti occorre aggiungere il lavoro generalizzato delle eventuali forze non descritte

L

in per una variazione virtuale della variabile indipendente q. Per esempio, il lavoro associato ad un

e

generatore di tensione e è

a

= δqe . (10.113)

δW a

e a

Il lavoro associato alla forza controelettromotrice del motore in c.c. in esame è

−δqK

δW = δqe = θ̇. (10.114)

e b

b L

Si consideri ora il lato meccanico del motore in corrente continua. La funzione di Lagrange, , è

m

1 2

L J θ̇ . (10.115)

=

m 2

Il lavoro è dato da

δW = δθ (C + C ) = δθ (K q̇ + C ) , (10.116)

m m u u

ove si è considerata l’espressione C = K q̇ per la coppia motrice. La funzione di Lagrange complessiva,

m

L, è 1 1

2 2

L = L q̇ + J θ̇ . (10.117)

a

2 2

La funzione di dissipazione complessiva è

1 2

D = R q̇ (10.118)

a

2

Il lavoro complessivo è

δW = δq e K θ̇ + δθ (C + K q̇) . (10.119)

a u L

Dall’applicazione del formalismo di Lagrange alla funzione cosı̀ definita, alla funzione di dissipazione

D, W,

e al corrispondente lavoro generalizzato rispetto alle due coordinate libere q e θ, si ottiene

L q̈ + R q̇ + K θ̇ = e (10.120a)

a a a

J θ̈ K q̇ = C , (10.120b)

u

ovvero le medesime equazioni scritte in precedenza, come era lecito attendersi. In sostanza, il formalismo

di Lagrange può essere vantaggiosamente esteso a problemi multidisciplinari, ove sia possibile definire

convenientemente le grandezze che vi partecipano. Questo consente di rendere automatica e generale la

scrittura delle equazioni che governano il problema.

10-23

10.4.2 Approccio in tensione

Si consideri ora un approccio complementare al precedente. Si definisca l’integrale della tensione ϕ, tale

per cui ϕ̇ = V . La legge costitutiva dell’induttanza, data dalla (10.101), può essere riscritta come

d∆ϕ di

= L , (10.121)

dt dt

da cui si ricava

1

i = ∆ϕ. (10.122)

L

La potenza corrispondente è

2

1 ∆ϕ

1 d∆ϕ d

d∆ϕ . (10.123)

= ∆ϕ =

Π = i

L dt L dt dt 2 L

Analogamente, la legge costitutiva del condensatore, data dalla (10.105), si può scrivere come

2

d ∆ϕ

i = C . (10.124)

2

dt

La potenza ad esso associata è

1

d

d∆ϕ 2 . (10.125)

= C∆

ϕ̇∆

ϕ̈ = C∆

ϕ̇

Π = i

C dt dt 2

È possibile anche riscrivere la funzione di dissipazione (10.111) come

2

1 ∆

ϕ̇

D = . (10.126)

e 2 R

La funzione di Lagrange relativa alle grandezze elettriche è

2

∆ϕ

1

1 2 −

L C∆

ϕ̇ , (10.127)

=

e 2 2 L

e l’equazione della dinamica del sistema è data da

∂L

∂L ∂D

d e

e e

− + = Q , (10.128)

∆ϕ

dt ∂∆

ϕ̇ ∂∆ϕ ∂∆

ϕ̇

dove la Q , non ancora definita, è la corrente generalizzata che fluisce nel nodo a cui è associato il

∆ϕ

flusso rispetto al quale viene scritta l’equazione della dinamica.

Ora, a differenza di quanto visto in precedenza, anziché un equilibrio delle tensioni lungo una maglia,

si stanno scrivendo bilanci di corrente ai nodi. Quindi occorre prestare attenzione a come vengono definite

le variazioni di flusso ∆ϕ. Occorre anche trovare un modo per esprimere il lavoro delle tensioni esterne,

quali la tensione di alimentazione e e la forza controelettromotrice e = K θ̇. Si consideri di nuovo

a b

l’esempio del motore elettrico in corrente continua, mettendo in evidenza i nodi 1, 2, 3 e 4 ai capi dei

componenti del circuito equivalente come illustrato in Figura 10.19.

La funzione di Lagrange è data da

2

1 (ϕ ϕ )

1 2

L −

= , (10.129)

e 2 L

mentre la funzione di dissipazione è data da

2

( ϕ̇ ϕ̇ )

1 2 3

D . (10.130)

=

e 2 R 10-24

1 2 3

L R

i i

a b

e e

a b

4

Figura 10.19: Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione.

L’effetto delle tensioni e e e si introduce con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si definiscano

a b

le relazioni

ϕ̇ ϕ̇ = e (10.131a)

1 4 a

ϕ̇ ϕ̇ = e = K θ̇, (10.131b)

3 4 b

analoghe a vincoli anolonomi sulle derivate dei flussi ai rispettivi nodi. Introducendo le correnti incognite

i e i , associate ai rami 1–4 e 3–4, si ottiene il lavoro virtuale

a b − −

δW = i (δϕ δϕ ) + i (δϕ δϕ ) . (10.132)

e a 1 4 b 3 4

Il sistema finale può essere scritto in funzione delle incognite nodali, ϕ , ϕ , ϕ e ϕ , e delle correnti nei

1 2 3 4

rami di alimentazione e di forza controelettromotrice, i = q̇ e i = q̇ , ovvero

a a b b

     

0

 

ϕ̇

0 0 0 0 1 0 ϕ

1/L 0 0 0 0

1 1

−1/L

     

     

0

ϕ̇

0 1/R 0 0 0 ϕ

1/L 0 0 0 0

     

2 2

−1/R −1/L

 

   

   

     

   

    

0

ϕ̇

0 1/R 0 0 1 ϕ

0 0 0 0 0 0

     

3 3

 

−1/R + = .

 

 0

0 0 0 0 ϕ̇ 0 0 0 0 0 0 ϕ

4 4

 

−1 −1      

   

    

e

1 0 0 0 0 q̇ 0 0 0 0 0 0 q

     

a

a a

     

 

−1      

     

0 0 1 0 0 q̇ 0 0 0 0 0 0 q K θ̇

     

b b

−1 (10.133)

Si noti come le matrici siano simmetriche e significativamente sparse.

Questo problema è indeterminato; infatti il flusso ϕ è definito a meno di una costante. Lo si può

agevolmente verificare constatando che la somma delle prime quattro righe dà 0. Per ovviare al problema,

occorre mettere a terra un nodo. Ad esempio, se si pone ϕ = 0, e quindi anche ϕ̇ = 0 e δϕ = 0, si

4 4 4

ottiene      

    0

0 0 0 1 0 ϕ̇ 1/L 0 0 0 ϕ

1 1

−1/L

     

     

0

0 1/R 0 0 ϕ̇ 1/L 0 0 0 ϕ

     

2 2

−1/R −1/L

         

     

    0

0 1/R 0 1 ϕ̇ 0 0 0 0 0 ϕ

+ = . (10.134)

3 3

   

−1/R

    e

1 0 0 0 0 q̇ 0 0 0 0 0 q

     

a

a a

     

   

     

     

0 0 1 0 0 q̇ 0 0 0 0 0 q K θ̇

     

b b

È agevole verificare l’equivalenza tra questo sistema e l’equazione di equilibrio alla maglia ottenuta con

l’approccio in corrente:

• dalla quarta e dalla quinta equazione si ricava ϕ̇ = e e ϕ̇ = K θ̇;

1 a 3

• dalla terza equazione si ricava ϕ̇ = ϕ̇ + Ri , ovvero ϕ̇ = K θ̇ + Ri ;

2 3 b 2 b

• − − −

dalla prima equazione si ricava ϕ ϕ + Li = 0 che, derivata una volta, dà e K θ̇ Ri +

1 2 a a b

Ldi /dt = 0;

a

• per costruzione, i va dal nodo 1 al nodo 4, quindi è opposta alla corrente i ; ne consegue che

a b

−i

i = i = , da cui l’equazione di equilibrio alla maglia.

b a

Questo approccio, solo all’apparenza complesso, è in realtà di relativamente facile implementazione

numerica, in analogia con l’approccio agli spostamenti nel calcolo strutturale.

10-25

10-26

Capitolo 11

Azioni mutue tra elementi di

macchine — Parte II

Generato il 16 gennaio 2012

11.1 Azioni aerodinamiche

Nelle macchine si devono spesso considerare azioni tra solidi e fluidi; questi ultimi possono essere ritenuti

veri e propri membri non rigidi della macchina, accoppiati con i membri solidi, dei quali bagnano tutta

o parte della superficie.

Le azioni possono avere carattere di forze interne, come ad esempio in una turbina in cui il fluido si

muove entro condotti facenti parte della macchina e reagisce su di essi, oppure di forze esterne, come

l’azione dell’aria su di una aeroplano o la resistenza offerta dal mezzo all’avanzamento di una nave o di

una vettura, quando tutta la massa del fluido è considerata esterna al sistema che si studia. Esse inoltre

possono essere costituite da semplici pressioni statiche come quelle che sostengono un corpo immerso in

un fluido o che vengono esercitate da un fluido in pressione sulle pareti di un recipiente chiuso, oppure

possono essere pressioni dinamiche, cioè esercitate dal fluido in conseguenza del suo moto o del moto del

solido.

Spesso l’azione del fluido costituisce una resistenza al moto di un corpo in esso totalmente o parzial-

mente immerso; in tal caso essa prende il nome di resistenza del mezzo ed è una resistenza passiva, che,

di regola, si deve cercare di ridurre il più possibile. Nasce cosı̀ il problema di ottimizzare la forma al fine

di aumentarne la penetrazione (carene di navi, forme di autovetture, ...). In generale però tale azione tra

corpo e fluido ha una componente utile che si cerca di massimizzare (forza propulsiva di un’elica, forza

portante di un’ala).

Le forze esercitate da fluidi in quiete sono determinate dalla fluidostatica, mentre assai più complessa

è la ricerca delle azioni esercitate dai fluidi in moto, la quale più particolarmente interessa le macchine e

forma oggetto della fluidodinamica, comprendente come casi particolari l’idrodinamica e l’aerodinamica.

Supponiamo che il corpo sia fermo rispetto al fluido; in tal caso l’unica azione agente sul corpo è la

spinta fluidostatica. Tale spinta è proporzionale, come noto, alla densità del fluido e al volume del corpo.

Se invece il corpo si muove con una certa velocità in un fluido, oppure se il corpo è investito da un fluido

in moto con una certa velocità, nascono su ogni elemento infinitesimo di area della superficie del corpo

stesso delle forze infinitesime normali e tangenziali.

Si supponga che la corrente sia laminare e il fluido incomprimibile (numero di Mach, definito come

il rapporto tra la velocità del fluido e la velocità di propagazione del suono nel fluido stesso, minore di

0.1÷0.2).

In tali condizioni, sul contorno del corpo il fluido aderisce e ciò significa che la velocità del fluido a

1

contatto con il corpo si annulla : la velocità del fluido passa pertanto da zero al valore v allontanandosi

dal corpo.

1 Si veda la nota 4 del Capitolo 4. 11-1

Figura 11.1: Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente di

resistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b).

Per esprimere la generica forza F e il generico momento aerodinamico M in modo semplice si ricorre

alle espressioni:

1 2

F = ρv SC f

2 (11.1)

1 2 SlC

ρv

M = m

2

2 2

ove 1/2ρv è la pressione dinamica, spesso indicata con q in aeroelasticità .

Si suppone quindi che essi siano proporzionali alla pressione dinamica della corrente indisturbata e

a una superficie di riferimento S (nell’espressione del momento compare anche una lunghezza l) tramite

un coefficiente adimensionale da determinare sperimentalmente.

I coefficienti che compaiono nelle (11.1) sono funzione, oltre che della forma del corpo e della sua

posizione relativa alla direzione della corrente, del numero di Reynolds

ρvl (11.2)

Re = µ

ove ρ e µ sono rispettivamente la densità e la viscosità dinamica del fluido (la viscosità cinematica è

ν = µ/ρ). La dipendenza dei coefficienti aerodinamici dal numero di Reynolds non è grande se il valore

di quest’ultimo è sufficientemente elevato, come si verifica per tipiche applicazioni aeronautiche, con

3

lunghezze dell’ordine del metro, velocità dell’ordine del centinaio di m/s, densità dell’ordine di 1 kg/m

−5

·

e viscosità dell’ordine di 1.6 10 kg/(ms). I coefficienti aerodinamici ricavati sperimentalmente sono

da ritenersi indipendenti dalla velocità se il numero di Reynolds è superiore ad alcuni milioni.

La superficie S e la lunghezza l di riferimento possono essere qualsiasi: esse esprimono solamente la

dipendenza delle forze e dei momenti rispettivamente dal quadrato e dal cubo delle dimensioni lineari

del corpo. È però evidente che il valore dei coefficienti aerodinamici dipende dalla scelta della superficie

e della lunghezza di riferimento.

In campo automobilistico, nel quale la portanza è spesso da ritenersi un effetto indesiderato della

presenza dell’aria, mentre la resistenza è una rilevante fonte di dissipazione, si usa scegliere quale superficie

di riferimento l’area della superficie trasversale del veicolo, anche se una certa confusione può essere

ingenerata dal fatto che taluni usano l’area della proiezione frontale (a) e altri l’area della massima

sezione trasversale (b) indicate in figura 11.1.

In campo aeronautico, viceversa, come superficie di riferimento per un velivolo si considera in genere

la sezione in pianta dell’ala, in quanto si è primariamente interessati alla forza portante, mentre quella

resistente, altrettanto importante, viene comunque in seconda battuta, essendo tipicamente, in normali

condizioni di volo, di almeno un ordine di grandezza inferiore.

2 Da non confondere con la generica coordinata libera; di solito la confusione non è possibile dal momento che la pressione

dinamica q è uno scalare, mentre le coordinate libere sono raccolte in un vettore {q}.

11-2

Figura 11.2: Schematizzazione del moto laminare di un fluido.

11.2 Teoria elementare della lubrificazione

Gli strisciamenti tra corpi asciutti si verificano nelle macchine solo in casi eccezionali, quando sia utile

avere un forte attrito, come ad esempio nei freni e negli innesti a frizione; negli altri casi le superfici a

contatto sono sempre bagnate da un liquido detto lubrificante, ovvero lubrificate. Per lubrificazione si

intende la riduzione dell’attrito tra superfici a contatto in moto relativo mediante l’interposizione tra esse

di un apposito mezzo detto appunto lubrificante. Tale liquido, interposto tra le due superfici, impedisce

il fenomeno della microsaldatura che si è riconosciuto nel Capitolo 8 essere la causa dell’attrito cinetico

(o dinamico).

Da un lato, possono essere usati come lubrificanti gli olii e i grassi, che hanno la proprietà di formare

veli superficiali (epilamini) di spessore molecolare (qualche micron) aderenti alle superfici striscianti. I

lubrificanti possono essere anche solidi (grafite) per condizioni operative a temperature molto basse.

D’altra parte, un’azione più decisiva viene esercitata dal lubrificante nella lubrificazione idrostatica

e in quella idrodinamica, le quali consistono nella interposizione tra le superfici striscianti di un velo

continuo di lubrificante che, per quanto sottile, ha però spessore sufficiente per impedire il contatto

diretto tra le due parti. Lo strisciamento non avviene più fra solido e solido (attrito cinetico) o fra

strati molecolari aderenti alle superfici (attrito untuoso), ma fra gli strati del lubrificante interposto tra

queste (attrito mediato o fluido) che può assumere valori pari anche a 1/100 (dipendente solo dal tipo di

lubrificante) di quello che si ha nell’attrito radente (dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici).

Tutti i fluidi reali sono viscosi e oppongono una resistenza allo scorrimento delle particelle che li

compongono. Se noi facciamo scorrere degli strati di fluido gli uni sugli altri, fra gli strati stessi si esercita

un’azione che si oppone al moto relativo, come illustrato in figura 11.2. Tale azione è proporzionale

alla velocità con la quale avviene lo scorrimento, secondo un coefficiente caratteristico del fluido, detto

coefficiente di viscosità, ovvero il coefficiente µ illustrato nella definizione del numero di Reynolds.

11.2.1 Descrizione del problema

Nel seguito, per semplicità espositiva, viene considerato un problema piano, in cui due corpi sono in

movimento relativo di traslazione in direzione parallela alle superfici, ritenute piane, tra le quali avviene

la lubrificazione. Si assume inoltre che non ci siano perdite laterali, per cui il meato di fluido può essere a

tutti gli effetti considerato in movimento in un condotto per cui quindi vale il principio di conservazione

della massa.

Per semplicità, si consideri il corpo inferiore vincolato al telaio, mentre il corpo superiore viene

fatto scorrere con velocità v; il caso in cui entrambe le superfici si muovono verrà brevemente discusso

nel seguito. La velocità del fluido nel meato sia u, diretta essenzialmente lungo il condotto. Questa

velocità potrà variare in funzione della posizione nel condotto, sia trasversale che longitudinale. Sul

corpo superiore, per effetto della presenza del fluido in moto relativo, si generano una forza normale ed

una tangenziale. 11-3

La forza normale per unità di larghezza, data dall’integrale della pressione relativa p nel fluido lungo

la lunghezza del meato, è

Z l p dx; (11.3)

N = 0

si è considerata direttamente la pressione relativa in quanto la pressione di riferimento agisce comunque

anche sul resto del corpo. Si indichi con b la dimensione del condotto nella terza direzione, perpendicolare

al piano in cui avviene il moto, per cui la forza normale scambiata è F = bN .

N

La forza tangenziale per unità di larghezza, data dall’integrale degli sforzi di taglio τ alla parete, è

Z l τ dx (11.4)

T = 0

L’effetto globale dell’interazione con il fluido viscoso può essere descritto mediante un coefficiente di

attrito equivalente, detto di attrito mediato

|T |

f = (11.5)

m N

che esprime il rapporto tra la forza tangenziale che si oppone al movimento e quella normale che occorre

per separare i corpi.

La determinazione del coefficiente di attrito mediato, e la valutazione delle caratteristiche geometriche

e meccaniche necessarie perché la lubrificazione, e quindi l’attrito mediato, abbiano luogo, richiede lo

studio della fluidodinamica del lubrificante per poter determinare la pressione p e gli sforzi di taglio τ

agenti sul corpo sostentato.

11.2.2 Fluidodinamica del lubrificante

Nel moto laminare, considerando due strati di ordinate z e z +∆z, caratterizzati dalle velocità u e u+∆u,

la velocità relativa sarà ∆u. Il gradiente di velocità per ∆z tendente a 0 è pari a du/dz, da cui la legge

3

di Petroff : du (11.7)

τ = µ dz

che descrive la legge costitutiva degli sforzi tangenziali viscosi, in caso di moto laminare, affermando

che sono linearmente proporzionali al gradiente di velocità in direzione normale alla superficie a cui si

riferiscono.

Si analizzi il problema del moto del fluido interposto tra due superfici in moto, supponendo che:

• il moto del fluido sia laminare permanente per strati paralleli all’asse z; 4

• le forze di volume (peso e inerzia) siano trascurabili rispetto a quelle dovute alla viscosità ;

• il fluido sia incomprimibile e abbia µ costante (ovvero, in sostanza, la temperatura si mantenga

costante all’interno del condotto);

• il moto avvenga in una sola direzione (lungo x).

Si assume dunque il problema piano e quindi che non vi sia fuoriuscita laterale in direzione y

(perpedicolare al piano x z), secondo lo schema illustrato in figura 11.3.

3 La legge di Petroff in realtà rappresenta una semplificazione della definizione più generale dello sforzo viscoso laminare

che, nel caso bidimensionale, è

∂w

∂u (11.6)

+

τ = µ ∂z ∂x

avendo chiamato w la componente della velocità in direzione z, nulla per ipotesi nel caso in esame.

4 Quest’ipotesi non è verificata, ad esempio, in caso di moto nel meato a corona circolare che si ha in un accoppiamento

perno-sede 11-4

Figura 11.3: Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo.

Imponendo l’equilibrio alla traslazione secondo x per un prisma elementare di fluido di dimensioni

(dx, 1, dz), si ottiene

− −

pdz (p + dp) dz τ dx + (τ + dτ ) dx = 0 (11.8)

ovvero dτ

dp

→ = . (11.9)

dpdz = dτ dx dx dz

Questa relazione afferma che la variazione della pressione lungo il condotto è pari alla variazione degli

sforzi tangenziali nella direzione trasversale.

Ricordando la legge di Petroff (11.7), si ottiene:

2

dp d u

= µ , (11.10)

2

dx dz o

ovvero un’equazione differenziale lineare del 2 ordine a coefficienti costanti completa.

Se si scrive l’analoga equazione di equilibrio in direzione trasversale si ricava invece

dp

→ = . (11.11)

dpdx = dτ dz dz dx

In questo caso, però, nell’ipotesi che la velocità w in direzione trasversale sia nulla e cosı̀ pure le sue

derivate, e che quindi la velocità u in direzione longitudinale, per effetto dell’equazione di bilancio di

massa, non dipenda dalla coordinata x lungo il meato, dalla derivata della legge di Petroff (11.7) si

ottiene dτ /dx = 0, da cui si ricava

dp = 0, (11.12)

dz

ovvero la pressione non varia in direzione trasversale, per cui la dp/dx che compare nella (11.10) non

dipende dalla variabile z rispetto alla quale è differenziata la velocità u.

Grazie alla (11.12), l’integrale generale, somma della soluzione dell’omogenea associata e dell’integrale

particolare, è dato dalla:

2

dp z

µu = + Cz + D, (11.13)

dx 2

in cui le costanti di integrazione C e D sono da determinare a partire dalle condizioni al contorno:

u (0) = 0 D =0

2 (11.14)

h h

µv dp

dp → −

→ + Ch C = .

u (h) = v µv = dx 2 h dx 2

L’espressione del campo di velocità (11.13) diventa quindi:

2 v

z h z

µv

dp 1 dp dp

− − −

z =

u (z) = + z (h z) , (11.15)

dx 2µ µ h dx 2 h dx 2µ

11-5

mentre gli sforzi di taglio sulla faccia superiore dell’elemento di fluido alla quota z sono

v h

dp

− −

τ = µ z . (11.16)

h dx 2

Questo risultato è dato dalla sovrapposizione dei moti di Newton, lineare in z e legato al trascinamento

v per la diversa velocità delle due pareti al contorno, e di Couette, parabolico in z e legato al gradiente

di pressione dp/dx.

Ipotizzando che non vi siano fuoriuscite laterali e sostituendo la (11.15) nell’equazione di continuità

della portata volumetrica per unità di larghezza

Z h u dz = costante, (11.17)

Q = 0

esprimente la portata di fluido vista dal corpo solidale con il telaio, otteniamo, considerando costante la

viscosità e ricordando che p = dp/dx non è funzione di z:

h h

Z Z

h h 2 2

′ 3 ′ 3

′ z hz

v p vh

z p h

p v

2 − − −

− −

Q = = (11.18)

z dz hz z dz =

h 2µ h 2 2µ 2 3 2 12µ

0 0 0 0

in cui il primo termine, detto portata di trascinamento, è un effetto del trascinamento della parete mobile

sul meato, e il secondo, detto portata di pressione, dipende dal gradiente di pressione; se p = 0 questo

termine si annulla.

Dall’espressione della portata (11.18) è possibile determinare il gradiente di pressione:

vh

12µ

′ − Q (11.19)

p = 3

h 2

Dal momento che la portata Q, per la (11.17), è costante lungo x, se anche h (x) fosse costante tutti

i termini a destra dell’uguale sarebbero costanti, e quindi p dovrebbe necessariamente essere costante.

Ma agli estremi del meato la pressione è pari a quella atmosferica, quindi la pressione relativa è nulla; di

conseguenza

dp

′ ′ ′ ′ ′

→ →

p = = C dp = C dx p (x) = C x + D (11.20)

dx ′ ′ ′

→ →

che, con le condizioni al contorno p (0) = 0 D = 0, p (l) = 0 C = 0, implica che p = 0, ovvero

il sostentamento non è possibile.

11.2.3 Lubrificazione idrostatica

Nel paragrafo precedente è stato evidenziato come, se h fosse costante, non sarebbe possibile il sosten-

tamento naturale e di conseguenza la lubrificazione idrodinamica naturale. Si deve quindi ricorrere a

quella idrostatica, nella quale la pressione viene fornita al lubrificante tramite una pompa.

In realtà, la portata Q̄ = bQ associata al gradiente di pressione

s s

′ 3

p h

Q = (11.21)

s 12µ

viene immessa da un circuito di alimentazione. A regime, essa è costante; quindi il gradiente di pressione

diventa 12µQ s

′ − (11.22)

p = 3

h ′

−lp

La pressione relativa, nell’estremo al quale viene immessa la portata, vale p = , mentre all’estremo al

5 ′

quale il fluido fuoriesce libero vale 0. Quindi, a partire dalle condizioni al contorno p (0) = p D = p,

→ −p/l,

p (l) = 0 C = si ottiene un andamento lineare della pressione

x

p 1 (11.23)

p (x) = l

5 Trascurando eventuali perdite di carico concentrate dovute all’effusione del meato in una camera.

11-6

Figura 11.4: Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria.

Da questa, a partire dalla (11.3), si ricava lo spessore del meato in funzione del carico N̄ = bN , della

geometria del problema, delle proprietà del fluido e della portata imposta Q .

s

r

2 ′ 2 2

bl p bl 6µQ

bl l 6µQ̄

s s

3

− (11.24)

N̄ = h =

= =

p 3

2 2 h N̄

Gli sforzi tangenziali definiti nella (11.16), sulla superficie inferiore del corpo in movimento (z = h)

in questo caso valgono

v Q s

−µ −

τ (h) = (11.25)

6

s 2

h h

La forza resistente T̄ = bT agente sul corpo in movimento è quindi

v Q s

−µbl −

T̄ = (11.26)

6 2

h h

Ne risulta, idealmente, un coefficiente di attrito mediato

2

T̄ |T | vh h

− (11.27)

= =

f =

m N 6Q l l

N̄ s

C’è quindi un contributo al coefficiente di attrito mediato che è proporzionale alla velocità relativa tra

le pareti e al quadrato dello spessore, e inversamente proporzionale alla portata immessa nel meato; la

dipendenza del cubo dello spessore dalla portata immessa illustrato nella (11.24) fa sı̀ che il coefficiente

di attrito mediato diminuisca al crescere della portata immessa. Se la portata dovuta al gradiente di

pressione è concorde con il movimento relativo, il corpo superiore è trascinato nella direzione del moto

dagli sforzi tangenziali; questo fa sı̀ che ci sia una riduzione del coefficiente di attrito mediato (il termine

−h/l) tanto più grande quanto più grande è lo spessore del meato. − ·

Si noti però che la potenza perduta non è data soltanto da Π = T̄ v, ma anche dalla potenza

d

−p ·

necessaria per alimentare il flusso forzato, Π = Q̄ ; quindi l’elevata efficienza meccanica di questa

h s

soluzione viene attenuata dalla riduzione in efficienza complessiva legata alla necessità di provvedere al

forzamento della lubrificazione. 11-7

11.2.4 Lubrificazione idrodinamica

Nel caso in cui all’estremo iniziale non venga imposta una pressione maggiore di quella presente al-

l’estremo finale, la pressione relativa deve essere nulla agli estremi del meato e variabile lungo di esso per

ottenere capacità di sostentamento; quindi, a tal fine, vi deve essere una variazione di altezza h (x).

Vi sarà quindi, lungo il meato, un punto di ascissa x in cui la pressione è massima ed è individuata

0

dal fatto che in quel punto il gradiente p è nullo

12µ vh (x ) vh (x )

0 0

′ − → →

p = Q = 0 vh (x ) = 2Q Q = (11.28)

0

3

h (x ) 2 2

0

e quindi, sostituendo la (11.28) nella (11.19), quest’ultima diventa

6µv

′ −

(h h (x )) (11.29)

p = 0

3

h

Si nota immediatamente che se v = 0, ovvero non vi è moto relativo tra le superfici, la portata è nulla

e quindi non può instaurarsi la lubrificazione idrodinamica (problema degli organi di macchine dotati di

moto con arresto).

Nel punto in cui si ha la massima pressione, la portata di pressione è nulla e si ha solo la portata di

6 ′

trascinamento . Nella zona in cui il gradiente p è positivo, la portata di pressione si sottrae a quella di

trascinamento, mentre dove p è negativo la portata di pressione si somma a quella di trascinamento.

L’azione di sostentamento per unità di larghezza del cuscinetto risulta quindi pari a:

Z

Z

Z x

l

l ′

p (ξ) dξ (11.37)

dx

p (x) dx =

N = 0

0

0

ovvero la pressione genera una spinta per unità di larghezza del cuscinetto N , capace di tenere separate

le due superfici.

Inoltre, sulla superficie superiore in moto si genera una reazione d’attrito per unità di larghezza del

cuscinetto pari a:

Z l |

τ dx (11.38)

T =

sup z=h(x)

0

6 Sostituendo l’espressione (11.28) della portata, Q = vh (x ) /2, in quella (11.29) del gradiente di p:

0

12µ vh (x) 6µv

p (x) = − Q = (h (x) − h (x )) (11.30)

0

3 3

h (x) 2 h (x)

e, integrandola sulla lunghezza l del meato, si ottiene:

l l 6µv

Z Z

′ (h (x) − h (x )) dx = 0 (11.31)

p (l) − p (0) = p (x) dx = 0

3

h (x)

0 0

Utilizzando un’espressione lineare per l’altezza del meato:

h − h

1 2

h (x) = h − x (11.32)

1 l

da cui, differenziando: l

h − h

1 2 dx → dx = dh (11.33)

dh = − l h − h

2 1

h l

h − h (x )

Z 2 0

6µv dh = 0 (11.34)

3

h h − h

2 1

h 1

che semplificata nelle costanti:

h h h

h (x) − h (x ) dh dh 2h h

Z Z Z

2 2 2

0 1 2

dh = 0 → = h (x ) → h (x ) = (11.35)

0 0

3 2 3

h h h h + h

1 2

h h h

1 1 1

espressione che sostituita nell’espressione (11.32) di h valutata in x ,

0

2h h h − h

1 2 1 2

= h − x (11.36)

1 0

h + h l

1 2

permette di calcolare l’ascissa x .

0 11-8

mentre su quella inferiore si genera una reazione d’attrito per unità di larghezza

Z l |

τ dx (11.39)

T =

inf z=0

0

Possiamo quindi calcolare il coefficiente di attrito mediato come:

T

f = (11.40)

m N

che tipicamente è dell’ordine di 0.01.

Ricordando che b indica la larghezza del meato, l’azione tangenziale genera una potenza resistente:

~ × −bT −f −f

W = b T ~v = v = bN v = N̄ v (11.41)

r m m

che, in un bilancio termico del fluido, risulta entrante in esso e quindi positiva; questa si trasforma in

calore portando il lubrificante alla temperatura θ:

f N̄ v

m

− → (11.42)

f N̄ v = αbl (θ θ ) θ = θ +

m e e bαl

ove α è il coefficiente di scambio termico, θ è la temperatura del fluido a regime e θ è la temperatura

e

esterna verso cui avviene lo scambio termico all’equilibrio.

Noto quindi il carico N̄ = bN che il cuscinetto deve sopportare e la sua geometria (b, l), si può valutare

la temperatura di funzionamento e quindi scegliere l’olio della gradazione più opportuna, tenendo conto

che all’aumento della temperatura la viscosità µ, e quindi la capacità di sostentamento, decresce.

Si noti che, noto il carico N̄ , la temperatura di esercizio risulta essere, secondo questo modello sem-

plificato, inversamente proporzionale alla larghezza b del cuscinetto. Proprio la temperatura di esercizio

del fluido, e quindi la necessità di dissipare il calore accumulato nel fluido durante il funzionamento, può

diventare un criterio dimensionante per la larghezza del cuscinetto.

Si noti inoltre che, se entrambe le superfici sono in moto, l’integrale generale (11.13) deve essere

risolto per le condizioni al contorno

u (0) = v 1 (11.43)

u (h) = v 2

dove v e v sono le velocità delle due superfici. Se esse sono eguali e concordi, è facile verificare che

1 2

la portata Q è pari a 0, ovvero non può instaurarsi la lubrificazione idrodinamica naturale, che risulta

quindi legata alla velocità relativa tra le due superfici che delimitano trasversalmente il meato.

Si noti, infine, che il carico effettivo applicabile nella realtà è inferiore a quello ricavato da questa

trattazione elementare, infatti il fluido non ha sempre direzione parallela a x, ma si ha fuoriuscita laterale

e, quand’anche questa non vi fosse, il moto non è rigorosamente unidirezionale, ma piano.

Sperimentalmente si è ricavato un fattore correttivo c = (b + l) /b, detto coefficiente di fuoriuscita

laterale, e il carico effettivamente sopportabile è

bN

′ (11.44)

P = c

Per i perni lubrificati, illustrati in figura 11.5, la teoria elementare non è più sufficiente e si deve

ricorrere alla integrazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes o alla teoria semplicata di Reynolds;

infatti il perno cambia posizione del centro al variare del carico a parità di velocità angolare, o a pari

carico al variare della velocità di rotazione.

Nella lubrificazione idrodinamica, per basse velocità angolari dei perni è possibile ancora il contatto

tra le superfici e, per valori molto bassi della velocità periferica v, nella zona detta di attrito combinato,

il coefficiente di attrito mediato f anziché variare con legge parabolica come vorrebbe la teoria, ritorna

m

a crescere fino ad assumere il valore dato da OB nella figura 11.6, che rappresenta l’attrito untuoso.

Questo è uno dei motivi per cui gli olii lubrificanti sono addittivati con prodotti che creino un resistente

epilamine. 11-9

Figura 11.5: Perno lubrificato.

Figura 11.6: Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocità relativa.

11-10

Capitolo 12

Modellazione elementi a fluido

Generato il 16 gennaio 2012

La soluzione completa del campo di moto di un fluido richiede la determinazione di:

• densità (1),

• pressione (1),

• temperatura (1),

• vettore velocità (3), e

• tensore degli sforzi (9) del fluido;

i termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna grandezza incognita, per un

totale di 15 incognite di campo. Allo scopo abbiamo disponibili le seguenti leggi fisiche:

• conservazione della massa (1)

• bilancio della quantità di moto (3)

• bilancio del momento delle quantità di moto (3)

• conservazione dell’energia (1, primo principio della termodinamica)

• equazione di stato (1)

I termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna equazione, per un totale di

9 relazioni. Notiamo immediatamente che una relazione esplicita si può ottenere rapidamente per i

fluidi più comuni dalla conservazione del momento delle quantità di moto applicata ad un volume el-

ementare infinitesimo. Tale relazione stabilisce l’importante proprietà di simmetria del tensore degli

sforzi, riducendone le relative componenti incognite a 6. Si hanno pertanto 12 incognite di campo con 6

equazioni, ragion per cui devono essere determinate 6 ulteriori relazioni fra le variabili del campo fluido

per permettere la chiusura del bilancio equazioni-incognite. Tali relazioni costituiscono quello che viene

genericamente detto legame costitutivo, cioè la relazione che collega il tensore degli sforzi al tensore delle

velocità di deformazione. La determinazione di tale relazione si basa su considerazioni sia teoriche che

sperimentali, ma la determinazione dei parametri che la caratterizzano richiede comunque una speri-

mentazione appropriata. Alle relazioni costitutive è solitamente demandato anche il soddisfacimento del

vincolo fisico associato all’entropia che, in un sistema isolato, non può che crescere o rimanere invari-

ata (secondo principio della termodinamica, irreversibilità di processi termodinamici reali). Assegnata

la legge costitutiva, il bilancio incognite-equazioni è quindi chiuso. Per la determinazione di tutte le

grandezze di campo summenzionate, le leggi di cui sopra vengono scritte per elementi infinitesimi di flu-

ido, assunto come continuo, dando origine ad un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali.

Per la soluzione di tali equazioni occorre poi assegnare le condizioni al contorno e, nel caso instazionario,

le condizioni iniziali, specifiche di ciascun problema. Molto spesso, nella pratica ingegneristica, è però

12-1

possibile ottenere risultati significativi utilizzando le leggi di cui sopra sotto forma di bilanci globali che,

pur non permettendo certo la soluzione completa del campo di moto del fluido, rendono possibile la

determinazione di significative relazioni, estremamente utili per l’analisi e la progettazione di sistemi in-

dustriali a fluido, per i quali viene spesso usata la denominazione di “idraulici”, quando elaborano liquidi,

e “pneumatici”, quando elaborano gas. Tali sistemi sono modellabili con flussi interni in:

• tubi (tubazioni),

• valvole,

• pompe, e

• motori/attuatori,

che, con accettabile approssimazione, si possono ritenere sostanzialmente monodimensionali ed ap-

prossimabili ad isotermici. In realtà il fluido subisce anche apprezzabili variazioni di temperatura dovute

agli attriti interni e di parete, comunque non tali da influenzare significativamente il suo movimento, e

vengono pertanto trascurate. A causa della monodimensionalità, il bilancio del momento delle quantità

di moto non è d’interesse, mentre la conservazione dell’energia viene utilizzata, di solito, a posteriori,

per determinare la quantità di calore da smaltire a causa dell’inevitabile riscaldamento del fluido causato

dagli attriti. Si possono pertanto scrivere le sole:

• conservazione della massa (1)

• bilancio della quantità di moto, o bilancio dell’energia meccanica (1)

• equazione di stato (1).

Noi faremo riferimento a tale semplificazione, utile per una significativa parte di problemi associati a

impianti idraulici e pneumatici, che, utilizzata in forma di bilanci globali su opportuni volumi di controllo,

ci permetterà di affrontare alcuni semplici e significativi problemi.

Inoltre, come illustrato nel seguito, non si cercherà un modello unico onnicomprensivo, in grado di

descrivere il comportamento puntuale del fluido, ma piuttosto un insieme di semplici modelli, adatti alla

descrizione di specifici componenti di circuiti idraulici, nei quali vengono trascurati gli aspetti inessenziali

alla descrizione del comportamento fondamentale di tali componenti. L’utilizzo di tali componenti al-

l’interno di uno schema di connessione riconducibile ad una rete consente di descrivere il comportamento

del sistema nell’ambito di validità delle approssimazioni utilizzate.

Conservazione della massa: la conservazione della massa in un volume di controllo, con un flusso

entrante ed uno uscente, si scrive semplicemente:

d (ρV )

(ρAu) (ρAu) = (12.1)

entrante uscente dt

Bilancio dell’energia meccanica: è poi pratica comune non utilizzare direttamente l’equazione del

bilancio della quantità di moto, ma il suo integrale primo, ossia il teorema dell’energia meccanica, spes-

so chiamato teorema di Bernoulli, pratica impropria nel caso di bilancio globale completo dell’energia

meccanica sulle grandezze medie sezionali di flussi monodimensionali, che comunque accetteremo fra “vir-

golette”. Più accettabile è invece la generica denominazione di trinomio di Bernoulli per le espressioni:

2

u

p + + gz = cost. (12.2)

ρ 2

e 2

p u

+ + z = cost. (12.3)

γ 2g

che compariranno fra breve. Ci limitiamo qui a scrivere la relativa relazione ipotizzando che il fluido

di interesse sia sostanzialmente incomprimibile, in moto sostanzialmente stazionario e soggetto al solo

12-2

campo gravitazionale. Ricordiamo che l’ipotesi di incomprimibilità non è tanto legata al fatto che il

fluido sia un gas o un liquido, quanto al rapporto fra la velocità dello stesso e la propagazione delle

piccole perturbazioni interne al campo a velocità sonica c, detto numero di Mach M . Tale rapporto deve

essere significativamente minore di uno per potere parlare di fluido incomprimibile, ragion per cui i nostri

richiami di fluidodinamica saranno generalmente validi per un fluido generico, gas o liquido, purché M

sia significativamente minore di uno. Il bilancio di energia meccanica per unità di massa è

2 2

u p u

p uscita

ingresso entrante uscente

+ + gz = + + gz + Energia dissipata (12.4)

ingresso uscita

ρ 2 ρ 2

ingresso uscita

dove il termine “Energia dissipata”, rappresentante l’energia dissipata per unità di massa di fluido, sarà

precisato più avanti. Si noti che dimensionalmente questa equazione contiene delle velocità al quadrato.

Una forma equivalente, spesso usata, si ottiene dividendo per g entrambi i termini, ottenendo:

2 2

u p u Energia dissipata

p uscita

ingresso entrante uscente

+ + z = + + z + (12.5)

ingresso uscita

γ 2g γ 2g g

ingresso uscita

in cui tutti i termini hanno le dimensioni di una lunghezza, e a volte permettono una più intuitiva

valutazione dell’importanza relativa dei vari termini.

Come vedremo nelle applicazioni successive, utilizzeremo spesso tale relazione anche per flussi in-

stazionari, ragion per cui riteniamo utile giustificare subito tale estensione in modo da evitarne usi

impropri. Allo scopo notiamo che il bilancio dell’energia meccanica sopra riportato si può ricavare dall’in-

tegrazione del bilancio della quantità di moto di un flusso stazionario lungo il tubo, ritenuto sensibilmente

rettilineo.

Nella derivata totale della quantità di moto,

dξ ∂u

∂u

d , (12.6)

(ρu) = ρ +

dt ∂ξ dt ∂t

ove ξ è una coordinata curvilinea lungo il tubo, per cui dξ/dt = u e, siccome si è considerata l’ipotesi

di incomprimibilità, non compare esplicitamente la derivata della densità ρ, in quanto nulla, l’ipotesi di

stazionarietà implica la condizione

∂u = 0. (12.7)

∂t

Qualora si consideri un flusso non stazionario, l’approssimazione data dal considerare ancora vali-

da la (12.7) può essere ancora relativamente accettabile purché l’integrale del termine temporale della

variazione della quantità di moto,

∂u

ρ , (12.8)

∂t

lungo il tubo, si possa ritenere trascurabile rispetto agli altri termini.

È importante rilevare, come già visto in altri casi, che nella pratica ingegneristica si ricorre spesso a

simili approssimazioni, che trascurano alcuni termini del problema al fine di una più semplice soluzione

senza però inficiare sensibilmente la validità dei risultati ottenibili. In tali approssimazioni, anche se il

tralasciare formalmente alcuni termini appare come considerare gli stessi nulli, il relativo significato fisico

è invece sempre associato al fatto che essi sono trascurabili rispetto agli altri fattori che intervengono

nella scrittura delle relazioni d’interesse.

Poiché noi utilizzeremo prevalentemente l’equazione di “Bernoulli” per determinare la velocità media

del flusso monodimensionale in condizioni dominate dai gradienti di pressione e dal termine convettivo,

∂u , (12.9)

ρu ∂ξ

della variazione della quantità di moto (12.6), l’approssimazione stazionaria manterrà un significativo

livello di accettabilità anche quando la velocità potrà variare temporalmente in modo non trascurabile. In

12-3

ultima analisi, la validazione di tale ipotesi spetta alla sperimentazione, ed infatti una lunga pratica ne ha

ampiamente dimostrato il livello di validità nelle tipiche applicazioni che qui esemplificheremo, ma potrà,

anzi dovrà, comunque sempre essere verificata a posteriori analizzando accuratamente i risultati ottenuti.

È infatti evidente che, se dopo avere risolto le equazioni che modellano il nostro sistema a fluido sulla

base di una certa ipotesi, la soluzione ottenuta non verifica le ipotesi stesse, la formulazione sviluppata

non può che ritenersi inappropriata. D’altro canto, l’ottenimento di risultati consistenti con gli assunti

non può certo garantire la bontà fisica della soluzione se quest’ultima è soggetta solo ad approssimazioni

plausibili ma non rigorosamente provate, ragion per cui la verifica sperimentale diventa essenziale. È

utile aggiungere che spesso tale verifica può essere assunta a priori come scontata sulla base di pratiche

consolidate da una vasta letteratura. Un’ulteriore immediata applicazione di quanto appena detto viene

suggerito dalla formula espressa in unità di lunghezza (12.5), che chiaramente ci dice che per i fluidi più

comuni, già in presenza di variazioni di pressione dell’ordine di pochi bar, si potrà spesso trascurare il

termine associato a variazioni di quota, poiché le variazioni di energia gravitazionale corrispondenti sono

trascurabili rispetto alle quote barometriche e d’energia cinetica, ipotesi valida per molte applicazioni

industriali di componenti a fluido. Continuiamo ancora notando che il nostro volume di controllo è sı̀

prevalentemente monodimensionale, ma dotato di sezione finita, per cui l’equazione di cui sopra implica

che si possano definire una pressione ed una velocità mediamente uniformi nella stessa. Senza dilungarci

ricordiamo che tale condizione è praticamente soddisfatta per correnti turbolente su tutta la sezione, al

di fuori, al più, di uno strato genericamente sottile vicino alla parete fisica che contiene il volume di

controllo. In sostanza, nella sezione il flusso è dominato dalle forze d’inerzia, mentre gli sforzi viscosi

si evidenziano solo in prossimità della parete del tubo, quando la velocità diminuisce fino ad annullarsi

per soddisfare la condizione di adesione del fluido alla parete. Si noti che si è preferito parlare di

distribuzione di velocità nella sezione, evitando ogni riferimento improprio ad un possibile strato limite

di parete, essendo tale estensione del concetto di strato limite inappropriata, anche se spesso usata in

1

letteratura . Come detto, l’esistenza di moti stabilmente turbolenti dipende essenzialmente dal prevalere

delle forze d’inerzia sulle forze viscose, condizione come noto sintetizzata da un numero di Reynolds

medio sulla sezione sufficientemente elevato. Nel caso di flussi prevalentemente monodimensionali, tale

numero di Reynolds è definito da:

D u

ρD u i

i = , (12.10)

Re = µ ν

essendo D una dimensione caratterizzante la sezione di riferimento, spesso definita per una generica

i

sezione col termine di diametro idraulico equivalente, o semplicemente diametro idraulico, dato da:

4A (12.11)

D =

i P

dove A è l’area della sezione e P è il suo perimetro. Chiaramente, per tubi a sezione circolare, D altro

i

non è che il diametro reale del tubo. Con tale definizione si può approssimativamente ritenere che il

flusso sia sicuramente turbolento per Re > 4000 e laminare per Re < 2000, mentre per valori compresi

fra 2000 e 4000 si ha una condizione di flusso misto, detto di transizione. In generale, la transizione

presenta una isteresi, nel senso che, in assenza di perturbazioni, per numeri di Reynolds in crescita

da valori inferiori a 2000, il flusso tende a rimanere significativamente laminare ben dentro l’intervallo

critico, e, viceversa, in diminuizione da valori maggiori di 4000, il flusso tende a permanere turbolento.

La condizione Re > 4000 è generalmente soddisfatta, e sarà assunta come vera nella maggior parte della

nostra trattazione, salvo quando verranno specificamente evidenziati flussi meglio approssimabili come

laminari. Si ricorda che la viscosità dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. In particolare la

viscosità dei liquidi diminuisce significativamente all’aumentare della temperatura, aumentando invece,

ma con minore sensitività, all’aumentare della pressione. Per i gas si hanno invece aumenti di viscosità

sia all’aumentare della pressione che della temperatura. Si ricordano alcuni valori tipici di orientamento

o −6

per la viscosità cinematica alla pressione atmosferica, e per temperature attorno ai 20 C: acqua 10 ,

1 La nozione di ‘strato limite’ presuppone che al di fuori di esso esista una regione del campo di moto del fluido nel quale

il comportamento possa essere approssimato dal modello del fluido perfetto, ovvero non viscoso. Questo, nelle condutture

di sezione piccola rispetto alla lunghezza, non è mai possibile, in quanto tutto il campo di moto risente della viscosità, sia

pure in modo diverso. 12-4

−6 −5 2

olı̂ qualche decina di 10 , aria 1.5 10 m /s. Nella pratica ingegneristica il termine “Energia dissipata”

viene denominato genericamente come “perdite d’attrito”, o anche “perdite di carico”, con riferimento

al termine energetico associato ad un salto di pressione che eguaglia le perdite stesse. Tale dicitura

richiama la semplice ed intuitiva constatazione che per vincere la resistenza d’attrito del fluido bisogna

applicare una pressione. Tali perdite vengono generalmente suddivise in perdite distribuite lungo tratti

di tubazione di sezione a caratteristiche costruttive sensibilmente costanti e perdite concentrate, collegate

ad esempio a:

• brusche variazioni di sezione,

• intersezioni di tubazioni,

• brusche curve,

• raccordi.

Le perdite d’attrito distribuite su una tubazione di lunghezza L, diametro idraulico D e percorsa da un

i

fluido alla velocità media u sono generalmente espresse tramite la relazione:

2

L ρu

Energia dissipata per unità di volume = f (12.12)

D 2

i

con f = f (Re) (12.13)

funzione dimensionale determinata sperimentalmente. Le perdite concentrate hanno un’analoga espres-

sione: 2

ρu

Energia dissipata per unità di volume = K (12.14)

2

dove K è ancora una volta determinato sperimentalmente. Qualora l’elemento di concentrazione della

perdita coinvolga una variazione di sezione, K è generalmente espresso assumendo per u la velocità più

elevata. È opportuno ricordare che tale convenzione non ha nulla di arbitrario, in quanto la perdita

concentrata coinvolge un volume equivalente di controllo abbastanza limitato, per il quale è sempre

possibile scrivere la relazione di continuità in termini volumetrici

(Au) = (Au) . (12.15)

entrante uscente

Comunque è opportuno verificare attentamente la convenzione utilizzata per definire K ogni volta che se

ne reperiscono i valori in letteratura e/o su manuali. Può essere utile ricordare l’estensione del bilancio

dell’energia meccanica testè illustrato al caso in cui il volume di controllo non sia un semplice tratto

di condotta, ma contenga anche macchine utilizzatrici/operatrici, che scambino potenza con l’esterno.

Scriviamo pertanto il:

Bilancio globale generalizzato dell’energia meccanica:

2entrante 2uscente

p

u u

p uscita

ingresso = (ρAu)

+ + gz + + gz

(ρAu) ingresso uscita

uscente

entrante ρ 2 ρ 2

ingresso uscita

+ Potenza dissipata + Potenza esterna

dove il termine “Potenza esterna” si riferisce alla potenza totale scambiata con l’esterno, positiva in

uscita, mentre il termine “Potenza dissipata” indica la potenza totale dissipata all’interno. Come abbi-

amo detto precedentemente, l’energia dissipata si trasforma in calore che è parzialmente smaltito lungo

il circuito idraulico, principalmente per conduzione verso componenti con esso a contatto e convezione

verso l’ambiente che lo circonda. Come già detto, noi riterremo che, anche in assenza di un significativo

smaltimento termico distribuito, le variazioni di temperatura non siano generalmente tali da causare

12-5

significativi effetti sul flusso. In tale asserzione si ritiene implicitamente che il fluido elaborato sia contin-

uamente rinnovato, in quanto è chiaro che, qualora la stessa massa fluida fosse continuamente ricircolata

in un impianto chiuso che non è in grado di smaltire naturalmente il calore accumulato sotto forma di

energia interna lungo il percorso, la temperatura continuerebbe a salire invalidando l’assunto. Poiché

questo è proprio ciò che avviene negli impianti a fluido di potenza, tali impianti sono sempre dotati di

un sistema di raffreddamento, concentrato in uno o più radiatori, che ha il compito di smaltire l’energia

termica accumulata dal fluido a causa dell’attrito. Ecco allora che a questo punto possiamo chiarire cosa

intendevamo quando abbiamo detto che il bilancio dell’energia ci avrebbe permesso di trarre opportune

conclusioni sullo smaltimento dell’accumulo dell’energia dissipata per attrito sotto forma di energia in-

terna. Infatti se E è l’energia totale dissipata per unità di massa e Q è la portata di massa elaborata

t

nel circuito idraulico, la variazione media di temperatura del fluido sarà

E t

∆T = , (12.16)

c p

mentre la potenza termica totale generata, e quindi da smaltire per mantenere la temperatura del fluido

in limiti accettabili, sarà

P = QE . (12.17)

t t

Tali valori permettono il dimensionamento di massima del sistema di raffreddamento del fluido.

Equazione di stato: l’equazione di stato di un fluido è una generica relazione del tipo:

ρ = ρ (p, T ) (12.18)

Per flussi idraulici e pneumatici approssimabili come incomprimibili è spesso necessario poter valutare

alcuni effetti causati dalla comprimibilità sul bilancio di massa del fluido attorno alla condizione nominale

di funzionamento. Infatti si ricorda che in tale bilancio interviene il termine

d (ρV ) , (12.19)

dt

per il quale il volume V funge da fattore di amplificazione delle variazioni di densità ρ, variazioni che

invece abbiamo ritenuto inessenziali e tali da non influenzare significativamente il bilancio energetico

meccanico. Limitandosi a flussi poco comprimibili e con limitate variazioni di temperatura, è spesso

accettabile utilizzare un approssimazione linearizzata dell’equazione di stato ottenuta con uno sviluppo

attorno ad una densità media nota di riferimento ρ :

0

∂ρ ∂ρ

ρ = ρ + ∆p + ∆T

0 ∂p ∂T

T p !

1

∂ρ ∂ρ

1 ∆p + ∆T (12.20)

1 +

ρ

0 ρ ∂p ρ ∂T

0 0

T p

2

Chiaramente, in condizioni normali , la densità aumenta all’aumentare della pressione, (∂ρ/∂p) > 0,

T

mentre diminuisce all’aumentare della temperatura, (∂ρ/∂T ) < 0. Tenendo conto delle condizioni

p

precedenti, si definiscono allora due significative grandezze caratterizzanti i fluidi:

• il modulo di comprimibilità volumetrica (isotermico)

∂p , (12.21)

β = ρ

0 ∂ρ T

detto anche bulk modulus in inglese, e

2 Vi sono notevoli eccezioni nel comportamento di alcuni fluidi, che spesso si verificano in prossimità di un cambiamento

di stato. Ad esempio, l’acqua ha (∂ρ/∂T ) > 0 tra 0 e 4 gradi centigradi a pressione atmosferica.

p 12-6

• il coefficiente di dilatazione volumetrica isobarico

1 ∂ρ

α = , (12.22)

ρ ∂T

0 p

per cui la formula espressa dall’equazione 12.20 si scrive:

1 −

∆p α∆T (12.23)

1 +

ρ = ρ

0 β

Spesso è utile riferire β e α ad un generico volume di riferimento V , invece che ad una densità. Essendo,

0

a parità di massa, il volume inversamente proporzionale alla densità, si avrà:

1

ρ = (12.24)

V

e quindi dV

− , (12.25)

dρ = 2

V

per cui

∂p ∂p ∂p

∂V −V

β = ρ = ρ = , (12.26)

0 0 0

∂ρ ∂V ∂ρ ∂V

T T T

1 ∂V 1

∂ρ ∂ρ ∂V

1 −

− = = . (12.27)

α = ρ ∂T ρ ∂V ∂T V ∂T

0 0 0

p p p

Siccome abbiamo assunto trascurabili gli effetti termici sulla dinamica del fluido, α non sarà considerato.

Al contrario, β sarà una caratteristica della massima importanza nella determinazione della dinamica

dei sistemi a fluido ogniqualvolta non potremo ritenere il fluido perfettamente incomprimibile, in quanto

ne caratterizzerà la relativa rigidezza. Si noti che è anche possibile la definizione di un coefficiente di

comprimibilità adiabatica β , collegabile a β tramite la relazione:

a

c p

β = β. (12.28)

a c v

3

Essendo c p

γ = (12.29)

c v

significativamente approssimabile a uno per i liquidi, per essi la distinzione fra i due moduli è solitamente

inessenziale. Per i gas, invece, la differenza può essere significativa; si ricordi che c /c vale all’incirca 1.4

p v

per gas perfetti biatomici, e l’utilizzo del modulo adiabatico meglio approssima la realtà, in quanto per i

gas l’ipotesi di adiabaticità, ovvero scambio di calore nullo, è più appropriata. Per un gas, approssimato

come perfetto, ricordando la definizione di β e la relativa equazione di stato,

p = ρRT, (12.30)

si constata facilmente che β = p (mentre α = 1/T ) e quindi

c p p = γp. (12.31)

β =

a c v

Nel prosieguo, salvo diversa ed esplicita menzione, noi utilizzeremo sempre il simbolo β, sottintendendo

allo stesso β nel caso di gas. Si può quindi avere un’idea immediata dell’ordine di grandezza della

a o

comprimibilità di un gas, mentre per i liquidi si ricordano i valori approssimativi a 20 C: per gli olı̂

3 Non si confonda questo γ, rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante, con quello usato nella (12.5)

per indicare la densità specifica ρg. 12-7

utilizzati nei circuiti idraulici β = 1.5 Gpa (15000 bar), e per l’acqua β = 2.1 Gpa (21000 bar). La

comprimibilità volumetrica generalmente diminuisce all’aumentare della temperatura, con variazioni che

dipendono da liquido a liquido; l’acqua, ad esempio, non presenta significative variazioni nell’intervallo

o

÷

20 100 C, mentre gli olı̂ idraulici possono subire una diminuizione di circa il 25%.

È importante rilevare che nelle reali condizioni operative, per quanto si ponga attenzione ad evitare

l’inclusione e la formazione di gas, una certa percentuale di inclusione di gas non disciolto è sempre

presente. Tale inclusione può influenzare significativamente la rigidezza del fluido, esperienza spesso

drammaticamente avvertita quando il calore sviluppato dall’eccessivo riscaldamento dei freni di un au-

toveicolo si trasmette al fluido del circuito frenante che evapora parzialmente, facendo sı̀ che la pressione

esercitata sul pedale del freno produca un effetto frenante estremamente limitato, poiché frenando non

si fa altro che comprimere le bolle di vapore sviluppatesi in seno al liquido (fading). Infatti, il vapore

ed il liquido agiscono come due elementi elastici in serie, per i quali, come ben sappiamo, si sommano le

relative flessibilità (inverso delle rigidezze), per cui se una è preponderante sull’altra diventa praticamente

la sola responsabile della cedevolezza globale del sistema idromeccanico.

Può essere utile evidenziare tale concetto nei casi di interesse applicativo. Supponiamo che in un

volume complessivo V ci sia una parte V di liquido e una parte V di gas; sarà evidentemente V = V +V

t l g t l g

e ∆V = ∆V + ∆V . Chiamando β il modulo relativo a tutto il volume, dalla sua definizione in termini

t l g

volumetrici potremo scrivere la precedente relazione delle variazioni volumetriche nella forma:

V V V

t l g

∆p = ∆p + ∆p, (12.32)

β β β

l g

da cui proseguendo:

V V V

V t g g

t ∆p = ∆p + ∆p, (12.33)

β β β

l g

per arrivare a:

1 V 1

1

1 g −

= + (12.34)

β β V β β

l t g l

spesso più semplicemente approssimabile con

1 V

1 1

g

≃ + , (12.35)

β β V β

l t g

essendo β β . Da tale formula si vede come per un’inclusione volumetrica di gas dell’1%, ovvero per

l g ≡

V /V = 0.01, alla pressione media operativa atmosferica, β 1 bar, un fluido idraulico con β = 15000

g t g l

bar abbia una rigidezza volumetrica effettiva di soli circa 100 bar, mentre alla pressione media operativa

di 150 bar si abbia un valore “solo” dimezzato. Questa è certamente una delle ragioni che ben evidenzia

l’opportunità dell’utilizzo di circuiti idraulici di potenza operanti a pressioni relativamente alte.

Ad ulteriore complemento si rileva che l’inclusione di aria nei circuiti idraulici operanti alla pressione

atmosferica può raggiungere valori ben maggiori dell’1%, mentre ad alte pressioni medie operative l’aria

tende a dissolversi nel liquido con minore degrado della rigidezza volumetrica dello stesso. Pur senza

dilungarci oltre, notiamo che un’ulteriore diminuzione della rigidezza apparente del fluido può imputarsi

anche alla deformabilità strutturale degli elementi che lo contengono.

Abbiamo già richiamato come la distinzione fra flussi comprimibili e non sia associata al numero di

Mach M e quindi alla velocità di propagazione del suono nel fluido. Può essere ora utile ricordare che

la velocità del suono altro non è che la velocità di propagazione delle piccole perturbazioni di campo nel

mezzo, approssimato come non dissipativo, ed è data da

s

s !

∂p β a

= . (12.36)

c = ∂ρ ρ

adiabatico

Come già ricordato, per i liquidi la distinzione fra comprimibilità isotermica e adiabatica è inessenziale,

mentre per i gas è necessario usare β . Si ricorda che per i gas perfetti la celerità del suono, a partire

a

dalla (12.36), è data dalla

p γRT . (12.37)

c = 12-8

Riprendendo il bilancio di massa dato dalla (12.1), qui ripetuto per chiarezza espositiva:

d (ρV )

(ρAu) (ρAu) = , (12.38)

entrante uscente dt

dopo aver condotto buona parte della presentazione precedente sulla base dell’ipotesi di flusso incom-

primibile parrebbe naturale riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici, e cioè:

dV

(Au) (Au) = , (12.39)

entrante uscente dt

essendo quindi ogni effetto instazionario attribuibile alla sola variabilità del volume di controllo, come nel

caso di un cilindro con pistone mobile o di una valvola con elemento di chiusura scorrevole. Ricordando

l’equazione di stato linearizzata

∆p (12.40)

1 +

ρ = ρ

0 β

e trascurando le dilatazioni termiche, è infatti facilmente verificabile che per i liquidi ∆p/β rimane

nell’ordine di soli alcuni punti percentuali anche per variazioni di alcune centinaia di bar, mentre per

i gas, essendo ∆p/β dell’ordine di ∆p/p l’effetto è sostanzialmente dipendente dalla pressione media

operativa, ma può comunque rimanere adeguatamente contenuto in presenza di una pressurizzazione

media adeguata. È comunque utile esplicitare tali considerazioni eseguendo alcuni passaggi. Sostituendo

allora l’equazione di stato linearizzata nel bilancio di massa abbiamo:

dV d∆p

V

(ρAu) (ρAu) = ρ + ρ , (12.41)

0

entrante uscente dt β dt

che, assumendo ∆p/β sufficientemente minore di uno, permette di confondere ρ con ρ e quindi di

0

semplificare ρ e riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici:

d∆p

V

dV

− + . (12.42)

(Au) (Au) =

entrante uscente dt β dt

Tale formula mostra come, anche per flussi ben approssimabili come incomprimibili, in presenza di

relativamente elevate variazioni temporali di pressione e/o volumi non piccoli si possano introdurre

eccessive approssimazioni trascurando il termine

V d∆p . (12.43)

β dt

La differenza essenziale fra liquidi e gas è allora legata alla pressione di riferimento implicita nell’e-

quazione di stato linearizzata. Infatti, come già detto, per i liquidi tale equazione può fornire una buona

approssimazione anche per variazioni di pressione di centinaia di bar e si può quindi scrivere anche as-

sumendo come pressione di riferimento la pressione nulla, e quindi direttamente in termini di pressione

assoluta: dp

V

dV

− + (12.44)

(Au) (Au) =

entrante uscente dt β dt

e non di variazione ∆p. È anche opportuno ricordare che la pressione non può essere minore di zero,

corrispondendo infatti la pressione nulla al vuoto assoluto. Una banale constatazione da cui consegue

l’impossibilità di aspirare un liquido alla pressione atmosferica ad un altezza di più di 100000/ (ρg) metri,

circa 10 m nel caso dell’acqua. Di fatto, a causa delle perdite di carico e della necessità di garantire una

portata adeguata, il fluido deve pervenire a destinazione con una velocità, e quindi energia cinetica,

adeguata, tale altezza è in pratica assai inferiore al limite sopra riportato. Inoltre, all’abbassarsi della

pressione a livelli significativamente inferiori alla pressione atmosferica, il fluido libera ogni gas in esso

disciolto e comincia a vaporizzare, diventando praticamente bifasico (gas-liquido); i gas disciolti e il suo

vapore formano bolle di varie dimensioni. Tale condizione è spesso fonte di varie forme di vibrazioni,

12-9

rumore e generazione di sollecitazioni dinamiche. Quando poi il liquido viene assoggettato a ricompres-

sione, si possono generare fenomeni di erosione dovuti a pressioni intense e fortemente localizzate, causate

dall’esplosione delle bolle, che sono spesso in grado di rompere i legami intermolecolari del materiale con

cui vengono a contatto durante l’esplosione stessa, formando cavità ed erosioni distruttive. Il termine

generalmente usato per tali situazioni è quello di cavitazione. Concludiamo ricordando la scrittura del

bilancio globale della quantità di moto per un flusso stazionario applicato ad un volume di controllo fisso:

Z ·

F = ρU (U n) dS, (12.45)

S

essendo F la risultante di tutte le forze applicate al volume di controllo, U la velocità di efflusso e S

la superficie che racchiude il volume di controllo. Tale formula risulterà utile per determinare le forze

scambiate fra fluido e parti meccaniche, sia fisse che mobili.

12.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati

12.1.1 Colpo d’ariete

Perfino nelle normali condotte domestiche dell’acqua potabile è a volte possibile avvertire un colpo

metallico proveniente dalle tubazioni quando si chiude bruscamente un rubinetto ben aperto. Tale

“botto” è associato alla sovrapressione che si genera a causa della comprimibilità dell’acqua. Non ci

addentreremo qui in uno studio dettagliato del fenomeno, ma solo in un’analisi semplificata, in grado di

fornire però alcune utili indicazioni pratiche. Supponiamo allora che si sia stabilito un flusso stazionario

avente velocità media u in una tubazione di lunghezza L e area A; a tale flusso sarà associata un’energia

cinetica 1 2

ρLAu . (12.46)

T = 2

In conseguenza di una chiusura istantanea della condotta, il flusso viene improvvisamente bloccato al-

l’uscita, e comincerà a comprimersi, propagando, alla velocità del suono c e in senso retrogrado al flusso,

una sovrapressione che si accompagna ad un annullamento della sua velocità. Dopo un tempo L/c,

tutto il fluido avrà velocità nulla e, trascurando gli effetti gravitazionali, tutta l’energia cinetica si sarà

trasformata ed accumulata in energia elastica, che sarà data da:

Z

E = p dV . (12.47)

V

Il principio di conservazione della massa, applicato alla tubazione, ci dice che

dp

V

dV + = 0, (12.48)

dt β dt

o anche V

dV = dp, (12.49)

β

che, sostituita nell’integrale precedente, permette di scrivere

LA

1 2

E = p . (12.50)

2 β

Eguagliando le due energie, si ricava la variazione di pressione massima conseguente ad una soppressione

istantanea del flusso:

s β u = ρcu (12.51)

∆p = ρ

ci ρ 12-10

Figura 12.1: Variazione di pressione massima in una condotta

che, va rilevato, non dipende dalla pressione già esistente nella condotta. È facile constatare che già con

un modesto flusso d’acqua, con velocità di circa un metro al secondo, si può instaurare una sovrapressione

di una decina di bar. Naturalmente, una chiusura istantanea del rubinetto di casa non è ipotizzabile

ma, come abbiamo già detto, zero non vuol mai dire zero di per sé, ma qualcosa di piccolo rispetto ad

una grandezza di riferimento. È allora evidente che la rapidità di chiusura non è un valore assoluto, ma

va collegata ad un tempo caratteristico legato al propagarsi della perturbazione ipotizzata. Tale tempo

può, riferendosi ad una compressione e riespansione completa, assumersi dato da

L

T = 2 , (12.52)

c c

ragion per cui, per evitare sovrapressioni eccessive, sarà opportuno effettuare le manovre di chiusura

in tempi molto maggiori di tale quantità. Tale condizione si può facilmente soddisfare in occasione

di manovre di chiusura programmabili a priori, ma può imporre un vincolo inaccettabile in tutte le

operazioni di regolazione, sia di normale funzionamento che di emergenza, nelle quali è richiesta una certa

prontezza, ragion per cui è spesso opportuno provvedere con opportuni accorgimenti di progetto, su cui

non è opportuno qui dilungarsi. Chiaramente, l’esempio “domestico” viene fatto solo per immediatezza

intuitiva. Per un esempio più significativo basti pensare alle lunghe condotte in pressione che alimentano

le turbine idrauliche e agli impianti a fluido che contengono componenti di regolazione con banda passante

avente frequenze dell’ordine di 1/T . Il grafico di figura 12.1 permette una valutazione approssimata della

c

variazione di pressione massima ∆p che si sviluppa in una condotta in cui il fluido scorre alla pressione

max

p e la chiusura avviene con legge lineare su un tempo T . I simboli utilizzati sono:

0 2L T

∆p ic , T = , N = (12.53)

K = c

2p c T

0 c

12.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio)

Si supponga che in un tubo di area A sia inserito un diaframma con un’apertura di area A , centrata

t o

attorno all’asse del tubo, come illustrato in figura 12.2. Se A è significativamente minore di A , ovvero

o t

se l’apertura è un orifizio, si ha in genere una forte contrazione del flusso, la cui minima sezione non si

stabilisce in coincidenza del diaframma ma in una sezione contratta, detta appunto di vena contracta,

12-11

Figura 12.2: Orifizio

poco a valle e di area A = C A , essendo C un opportuno coefficiente di contrazione. Allora, tra la

c c o c

sezione 2 e una sufficientemente a monte della sezione 1 si possono scrivere le seguenti equazioni: dalla

(12.15)

A u = A u , (12.54)

t t c c

e dalla (12.4), ricordando la (12.14)

2∆p 2 2

= u (1 + K ) u , (12.55)

c

c t

ρ

da cui s 2∆p

1 . (12.56)

u =

c v ρ

! 2

u A

u c

)

(1 + K

t c A

t

Più usualmente, però, le perdite dovute alla contrazione vengono tenute in conto riscrivendo la formula

(12.56) nella forma: s

C 2∆p

u

u = , (12.57)

c v ρ

! 2

u A

u c

1

t A

t

dove C è un coefficiente, detto di velocità, lievemente inferiore ad uno, dell’ordine di 0.98, spesso

u

omesso essendo assai prossimo ad 1, il che corrisponde anche ad assumere perdite concentrate nulle e

quindi K = 0. Si può allora scrivere la portata corrispondente in termini delle grandezze geometriche

vc

effettive: s 2∆p

C C A

u c o , (12.58)

q = v ρ

! 2

u C A

u c o

1

t A

t

che, definendo un coefficiente d’efflusso

C C

u c

C = , (12.59)

e v ! 2

u C A

u c o

1

t A

t 12-12

si scrive più sinteticamente:

s 2∆p

q = C A . (12.60)

e o ρ

Nella prassi, C è il coefficiente di più facile valutazione sperimentale, dipende dal numero di Reynolds

e ≤

ed è sensibilmente compreso fra 0.6 e 0.7 per rapporti di contrazione che soddisfino la relazione: 0.2

A /A 0.6. Per mantenersi consistenti con la relazione sopra illustrata, per il calcolo della portata da

o t

un orifizio sarà allora opportuno calcolare la relativa velocità d’efflusso con:

s 2∆p

u = C . (12.61)

o e ρ

Va anche notato che nelle formule precedenti si è sempre assunto ∆p > 0 e che un’eventuale variazione del

segno del salto di pressione starebbe ad indicare l’inversione del flusso attraverso l’orifizio. Chiaramente,

sia la portata che la velocità d’efflusso sono grandezze con un verso, e quindi segno, e un’inversione di

flusso è sempre possibile. In relazione a tale eventualità, sarà opportuno scrivere:

s |∆p|

2

q = C A sign (∆p) (12.62)

e o ρ

nella quale, qualora si evidenzino asimmetrie geometriche, si dovrà inoltre avere cura di utilizzare un C e

dipendente anch’esso dal segno del salto di pressione. Una simile precauzione può essere evitata solo se

è possibile garantire l’impossibilità di inversione del flusso sulla base di considerazioni fisiche, ragion per

cui ∆p 0 diventerà invece una sicura indicazione di errori di calcolo e/o di modellazione. La presenza

p 2∆p/ρ nelle formule presentate evidenzia chiaramente che tali formule non sono utilizzabili

del termine

per flussi laminari. In tale caso è infatti noto che la portata è invece proporzionale a ∆p, per cui si può

scrivere:

q = C A ∆p. (12.63)

el o

Si riportano quindi brevemente le espressioni di C per due geometrie di orifizi più comuni, valide quando

el

la dimensione massima degli stessi è molto minore della dimensione del tubo:

• per orifizi circolari:

d ; (12.64)

C =

el 12.6µ

• per orifizi rettangolari e corone circolari di altezza molto inferiore alla circonferenza media:

dimensione minima

C = . (12.65)

el 10.2µ

Anche se non è un orifizio, ricordiamo qui la formula per il C del flusso piano fra due piastre di lunghezza

el

L distanti h, con h/L molto minore di uno:

2

h (12.66)

C =

el 12µL

Essendo h/L molto minore di uno, il flusso è sostanzialmente bidimensionale sia per intagli rettango-

lari che circolari, e tale formula è assai utile per determinare le perdite di flusso conseguente ai giochi

costruttivi. Come già precedentemente ricordato a commento del bilancio di energia meccanica nelle

condotte, si rileva che le espressioni sopra ricavate valgono per flussi stazionari, ma verranno da noi

utilizzate anche nel caso non stazionario, essendo tale fenomeno dominato dalle variazioni di pressione e

dai termini inerziali convettivi. 12-13

Figura 12.3: Molla-smorzatore a fluido

12.1.3 Molla-smorzatore a fluido

Con riferimento alla figura 12.3, si assuma che il cilindro-pistone contenga un fluido inizialmente pres-

surizzato uniformemente, in modo da non avere squilibri di pressione sulle due facce. Assumendo che

ogni successivo movimento sia effettuato in modo da causare variazioni di pressione tali da permettere

di utilizzare il bilancio di massa basato sull’equazione di stato linearizzata (12.42), ricordando la (12.63),

potremo scrivere:

 β

 − − −

(−A ẋ C A (∆P ∆P ) C A ∆P )

Ṗ =

 p eli eli 1 2 ele ele 1

1

 A x

p (12.67)

β

 − −

Ṗ = (A ẋ + C A (∆P ∆P ) C A ∆P ) ,

 2 p eli eli 1 2 ele ele 2

A (L x)

p

dove L è la corsa del pistone, e i termini di scambio di fluido, fra le due camere e verso l’esterno, sono

formulati assumendo un flusso laminare, ritenendo quindi che gli accoppiamenti cilindro-pistone e stelo-

supporti siano sufficientemente precisi da garantire giochi tali da mantenere il numero di Reynolds ben

dentro i limiti di laminarità in ogni condizione operativa. C è il coefficiente di efflusso laminare interno

eli

attraverso l’area anulare A attorno al pistone, C è il coefficiente di efflusso laminare verso l’esterno

eli ele

attraverso i supporti dello stelo. Supponendo che l’attrito che si stabilisce fra cilindro e pistone e fra

stelo e supporti sia approssimabile con una dissipazione viscosa di coefficiente r, la forza generata dalla

molla-smorzatore sarà:

′ − −

F = (∆P ∆P ) A rẋ. (12.68)

1 2 p

Le formule di cui sopra possono essere sintetizzate nella seguente forma matriciale:

• equazione di stato: 

 C A

C A + C A eli eli

eli eli ele ele −

β ∆P

Ṗ x x 1

1 

= 

 C A + C A

C A ∆P

Ṗ A eli eli ele ele

eli eli 2

2 p − − −

L x L x

 

1

− x

 

+ β ẋ; (12.69)

 

1

L x

• equazione di uscita:

∆P

1

′ −1 −

−A 1 rẋ; (12.70)

F = p ∆P 2 12-14

le quali mostrano come il sistema risponda con la generazione di una forza ad un movimento assegnato

definito da x, ẋ. Si deve rilevare che il comportamento della molla-smorzatore a fluido non solo sia non

lineare, per la presenza dello spostamento x a denominatore, ma sia anche caratterizzato da un sistema

di equazioni differenziali che non permettono di definire la forza come puntualmente dipendente dai

valori istantanei di x, ẋ, poiché la stessa viene a dipendere dall’integrazione di un sistema di equazioni

differenziali e quindi dalla storia del movimento.

Caso limite: smorzatore Solo nel caso in cui il coefficiente di comprimibilità sia talmente elevato, e

i movimenti sufficientemente lenti da rendere le derivate delle variazioni di pressione trascurabili rispetto

alla variazione temporale delle pressioni nelle due camere, il sistema sarà approssimabile con la semplice

relazione algebrica: 

 −1

 

 

C A + C A 1

C A

eli eli ele ele eli eli

− − 

 x x x

2

′  

 

−1

− 1 ẋ. (12.71)

A + r

F = 

 p  

 

C A + C A

C A 1 

 eli eli ele ele

eli eli −

− − −

L x L x L x

In tal modo è sı̀ possibile una relazione algebrica che permette di determinare la forza esercitabile dalla

molla-smorzatore a fluido, ma il comportamento rimane comunque non lineare, ed una linearizzazione

è possibile solo per piccole perturbazioni attorno ad una condizione di riferimento, ovvero ad un dato

valore di x.

Caso limite: molla Si noti che una forza dipendente dalla sola posizione è possibile solo con tenute

perfette e senza nessun attrito di contatto, nel qual caso si ha una molla a fluido:

C A = C A = 0, (12.72)

eli eli ele ele

si ha  

1

Ṗ x

1  

= β ẋ (12.73)

 

1

Ṗ 2 −

L x

che, per integrazione (trascurando la dipendenza da x del termine forzante), dà

 1

∆P x

1 

 −

(x x ) . (12.74)

= β 0

 1

∆P 2 −

L x

La forza diventa

∆P

1

′ −1

−A 1

F = p ∆P 2

1 1

−βA −

= (x x )

+

p 0

x L x

L

−βA −

= (x x ) , (12.75)

p 0

x (L x)

che rappresenta un elemento elastico non lineare, la cui linearizzazione attorno a x = x dà:

0

L

′ −βA

F = ∆x. (12.76)

p −

x (L x )

0 0

Si noti come il minimo della rigidezza equivalente si abbia per x = L/2, mentre questa tenda ad infinito

0

quando x è tale da far tendere a zero il volume di una delle camere.

0 12-15

Figura 12.4: Attuatore idraulico lineare

12.1.4 Attuatore idraulico lineare

Se nel cilindro studiato nel caso precedente, che supponiamo attuato con un liquido, apriamo due luci di

alimentazione che, grazie ad una valvola di distribuzione, possiamo collegare sia ad una elevata pressione

di alimentazione, ritenuta costante, P , che a una pressione di scarico P (spesso la pressione atmosferica),

a s

otteniamo un attuatore, leggasi anche motore, idraulico lineare, ovvero una macchina che genera uno

spostamento o una forza, illustrato in figura 12.4. Utilizzando i concetti qui presentati, il comportamento

di tale sistema è modellabile tramite il seguente sistema di equazioni differenziali non lineari:

• bilancio di massa nelle due camere, dalle (12.67) e (12.60):

 

s 2

β −A − − − − −

ẋ C A (P P ) C A (P P ) + C A (P P )

Ṗ =  

p eli eli 1 2 ele ele 1 e e ic a 1

1 A x ρ

p  

s 2

β − − − − −

Ṗ = A ẋ + C A (P P ) C A (P P ) C A ;

(P P )

 

2 p eli eli 1 2 ele ele 2 e e uc 2 s

A (L x) ρ

p

• equazione di moto del pistone:

− − −

M ẍ = A (P P ) rẋ F, (12.77)

p 1 2

essendo F una generica forza esterna applicata alla stelo (opposta allo spostamento x).

12-16

Anch’esse sono sintetizzabili in forma matriciale nella seguente:

 

0 1 0 0

r A A

  

p p

ẋ x

− −

0

 

 

M M M

  

 

ẍ ẋ

 

C A + C A C A

β

= (12.78)

eli eli ele ele eli eli

 

−β

− β

0

Ṗ P

 

1 1

 

x A x A x

 

 

p p

 

 P

Ṗ   2

2 β C A C A + C A

 

eli eli eli eli ele ele

−β

0 β

− − −

L x A (L x) A (L x)

p p

 

0 0 

 0 

0 0 0

  0

 

 

s 1

 

 

2

βC C A 

A

e

 

  ele ele

ic

(P P ) 0 

β

+ F,

P

+

 

 

a 1 M

e 

A x ρ A A x

 

 

p uc p 

 0

 

 

s C A

  

βC 2 ele ele 0

e β

 

− −

0 (P P ) −

A (L x)

2 s

A (L x) ρ p

p (12.79)

dalla quale si vede che si può controllare il movimento del pistone e la forza generata controllando le

portate di fluido nelle camere del cilindro tramite le aperture A , A . Spostanto opportunamente la

ic uc

valvola a cassetto è possibile anche invertire il collegamento tra le camere del pistone e le pressioni di

alimentazione e scarico. In questo modo il comportamento dell’attuatore è perfettamente simmetrico.

12-17

12-18

Capitolo 13

Sistemi vibranti ad un grado di

libertà — Parte II

Generato il 16 gennaio 2012

13.1 Identificazione dello smorzamento

13.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero

Nell’ipotesi di avere uno smorzamento di tipo viscoso, la risposta del moto libero è retta da una legge

del tipo p

−ξω t 2

|X| −

x (t) = e sin 1 ξ ω t + φ (13.1)

0 0

Negli istanti di tempo t per cui

p

2

sin 1 ξ ω t + φ = 1 (13.2)

0

la risposta è tangente all’inviluppo esponenziale

−ξω t

|X| e ; (13.3)

0

tuttavia le tangenti non sono orizzontali, e i punti di tangenza sono leggermente spostati a destra del

punto di massima ampiezza. Generalmente questo fatto è trascurabile e l’ampiezza del punto di tangenza

può essere considerata coincidente con l’ampiezza al punto di massimo dell’oscillazione. Con riferimento

alla simbologia indicata in figura, il decremento logaritmico tra due oscillazioni consecutive è

−ξω t

|X| e

x 0

1 = ξω T (13.4)

= ln

δ = ln 0

−ξω (t+T )

|X|

x e 0

2

Dal momento che il periodo di una oscillazione è

2π =

T = (13.5)

p

ω 2

ω 1 ξ

0

si ottiene 2πξ ∼

δ = 2πξ (13.6)

=

p 2

1 ξ

ove l’approssimazione si può ritenere valida per valori di ξ relativamente piccoli (si noti che per ξ = 0.1

l’errore è dello 0.5%, mentre per ξ = 0.3 l’errore è del 5%). La validità dell’approssimazione è illustrata

in figura 13.2. ∼

−ξω T

Si noti inoltre che, per ξ = 0.1, l’attenuazione è x /x = e 0.53, ovvero l’ampiezza dell’oscil-

=

0

2 1

lazione su un periodo è quasi dimezzata. Ne consegue che il segnale si attenua molto rapidamente.

13-1

Figura 13.1: Identificazione dello smorzamento.

Figura 13.2: Validità dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (13.6).

13-2

13.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato

Per una forzante armonica del tipo

F (t) = F sin (ωt) (13.7)

0

il lavoro introdotto in un periodo in un sistema meccanico è pari a

Z

L = F dx (13.8)

T

e supponendo il sistema a regime con legge del moto

|X|

x (t) = sin (ωt + φ) (13.9)

ne deriva quindi che

dx |X|

dx = dt = ω cos (ωt + φ) dt (13.10)

dt 1

e quindi la (13.8) diventa

Z ω

|X| −πF |X|

L = ωF sin (ωt) cos (ωt + φ) dt = sin φ (13.12)

0 0

0

dove si è sfruttata la relazione T = 2π/ω tra periodo e pulsazione. Nell’ipotesi di smorzamento viscoso,

2

−rẋ

quindi con F = e fase φ = π/2, il lavoro dissipato a regime è

D 2π

Z Z ω 2

2 2

2 −ωπr |X|

−rẋ −ω |X| cos (ωt + φ) dt = (13.13)

L = dx = r

D 0

T

Imponendo l’annullamento della somma del lavoro (13.12) compiuto dalla forzante F e di quello (13.13)

assorbito dallo smorzamento viscoso si ottiene

2

−πF |X| − |X|

L + L = sin φ ωπr = 0, (13.14)

D 0

da cui è possibile ricavare il valore dello smorzamento

F sin φ

0

r = (13.15)

|X|

ω |X|

a seguito del rilevamento sperimentale del modulo e della fase φ della risposta del sistema ad una

−π ≤

forzante armonica (si ricordi che per un sistema ad un grado di libertà < φ 0), di cui siano noti

ampiezza F e pulsazione ω.

0 |X|

Dalla misura dell’energia dissipata scopriamo che, a parità di ampiezza della risposta, il lavoro

dissipato varia proporzionalmente con la pulsazione ω, mentre a parità di pulsazione si modifica con il

quadrato dell’ampiezza della risposta.

1 Si ricordi che, secondo le formule di prostaferesi,

cos (ωt + φ) = cos (ωt) cos φ − sin (ωt) sin φ (13.11)

e che l’integrale sul periodo del prodotto di funzioni ortogonali dà zero, a meno che non si tratti della stessa funzione,

2

ovvero del quadrato di una funzione; quindi nella (13.12) solo il termine sin (ωt) dà integrale diverso da zero.

2 È relativamente agevole verificare che il lavoro compiuto su un periodo dalle forze elastiche e di inerzia per il movimento

armonico descritto dalla (13.9) è nullo; di conseguenza, se la forzante compie lavoro, questo non può che essere assorbito

dalle forze dissipative. 13-3

13.1.3 Smorzamento isteretico

A dispetto di quanto evidenziato nel paragrafo precedente, molte esperienze di laboratorio hanno mostra-

to che se il fenomeno dissipativo è legato a fenomeni d’isteresi, come spesso avviene ad esempio per lo

smorzamento delle vibrazioni nelle strutture metalliche, l’energia dissipata in un ciclo è indipendente

dalla frequenza di vibrazione, e dipende solamente dal quadrato dell’ampiezza di deformazione e quindi

di vibrazione, per cui

2 2

÷ − |X| → −α |X|

L L = (13.16)

D D

ovvero 2 2

−ωπr |X| −α |X|

L = = . (13.17)

D eq

Da questa si ricava uno smorzamento equivalente, all’equilibrio, dato da

1 α

r = (13.18)

eq ω π

per cui l’equazione differenziale, la cui soluzione descrive il moto del sistema quando è forzato armonica-

mente alla frequenza ω, diventa

α

1

mẍ + ẋ + kx = F sin (ωt) (13.19)

0

ω π

il cui integrale particolare ha un’ampiezza

F 0

|X| (13.20)

= v ! 2

u α

u 2

2

(k ω m) +

t π

che in risonanza vale

F 0

|X| (13.21)

= α/π

Si noti che l’equazione (13.19) non è in grado di descrivere il comportamento generale del sistema, in

quanto il coefficiente che moltiplica ẋ dipende dalla pulsazione ω della forzante; quindi è in grado di

descrivere solamente il comportamento del sistema soggetto ad una forzante armonica alla frequenza ω.

−rẋ,

La conclusione è che lo smorzamento viscoso, descritto dalla relazione costitutiva F = consente

D

di introdurre smorzamento nei modelli matematici dei sistemi fisici preservando i vantaggi dell’uso di

modelli lineari o linearizzati, ma l’evidenza sperimentale mostra che in alcuni casi non descrive in modo

adeguato la natura della dissipazione che ha luogo nei meccanismi durante i fenomeni di vibrazione.

Tuttavia, vista l’importanza dello studio di fenomeni meccanici quali le vibrazioni, sia libere che forzate

armonicamente, la possibilità di tarare empiricamente il coefficiente di smorzamento ξ in funzione della

pulsazione ω della forzante consente comunque di utilizzare il modello viscoso, introducendo quindi il

fenomeno fondamentale della dissipazione dell’energia associata alle vibrazioni, tenendone ben presenti i

limiti di applicabilità.

13.2 Isolamento delle vibrazioni

Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a un

macchinario ruotante con velocità angolare ω posto sulla massa di fondazione.

La forza trasmessa al terreno, al generico tempo t, sarà

iωt iωt iωt iωt

F (t) = kx + rẋ = kXe + irωXe = (k + irω) Xe = F e (13.22)

tr tr

13-4

Figura 13.3: Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno.

Figura 13.4: Sistema soggetto a vibrazione del terreno.

dove q 2

2

k + (rω)

F 0

|F | (13.23)

=

tr q 2 2

2

(k mω ) + (rω)

ovvero v ! 2

u ω

u 1 + 2ξ

t ω 0

|F |

tr = (13.24)

v

F   2

u

0 ! !

2 2

u ω ω

u −

1 + 2ξ

 

t ω ω

0 0

Come visto in precedenza, questa forzante armonica applicata al terreno lo porterà a vibrare con

un’ampiezza b, ovvero con una legge del tipo descritto dalla (6.64), che forzerà le strutture circostanti,

come illustrato in figura 13.4.

Per questa struttura l’equazione di equilibrio dinamico è

− −

mẍ + r ( ẋ ẏ) + k (x y) = 0 (13.25)

ovvero iωt

mẍ + rẋ + kx = rẏ + ky = b (iωr + k) e (13.26)

13-5

Figura 13.5: Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω 0

è indicato con ω/ω , lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno

n

opposto).

e il relativo integrale particolare è

i(ωt+φ)

|X|

x = e (13.27)

p

con q 2

2 + (rω)

b k

|X| (13.28)

= q 2 2

2

− ) + (rω)

(k mω

ovvero v ! 2

u ω

u 1 + 2ξ

t ω 0

|X| = (13.29)

v

b   2

u ! !

2 2

u ω ω

u −

1 + 2ξ

 

t ω ω

0 0

Si noti che pur essendo due fenomeni diversi, la soluzione è del tutto analoga a quella della forza trasmessa,

descritta dalla (13.24). In entrambi i casi interessa che la soluzione sia 1 tanto per la forza trasmessa

|F | |X|

/F al terreno quanto per la trasmissibilità β = /b.

tr 0

I parametri di progetto sono:

• per la macchina eccitatrice la massa M , la pulsazione di funzionamento a regime ω e il momento

statico di eccenticità me, prodotto della massa eccentrica m e della distanza dal centro di rotazione

e;

• per la struttura eccitata la massa m, l’ampiezza dello spostamento imposto b e ovviamente la

pulsazione ω dell’eccitazione, che è uguale a quello della macchina sbilanciata. √

|X|

Diagrammiamo l’andamento di β = /b al variare di ω/ω . Si nota che per ω/ω = 2 la

0 0

trasmissibilità è pari a 1 e che al crescere del rapporto tra le frequenze la trasmissibilità scende fino

→ ∞.

a tendere asintoticamente a zero per ω/ω Questo fatto avviene indipendentemente dal valore

0

dell’indice di smorzamento ξ, il cui effetto è, al suo aumento, di ridurre l’ampiezza di vibrazione per

→ ∞.

ω/ω = 1, ma d’altra parte, rallenta la diminuzione di β per ω/ω

0 0

13-6 √ 2

Riassumendo, converrebbe quindi scegliere ω/ω > 2, e quindi la rigidezza k < mω /2, e nel

0

contempo avere valori del fattore di smorzamento ξ piccoli per non ricorrere a rigidezze k troppo piccole,

che comportano, ad esempio, frecce statiche elevate. Poiché abbiamo scelto di far operare la fondazione

con ω/ω > 2, ciò significa che tutte le volte che il macchinario viene avviato o arrestato, entrambe

0

le fondazioni, durante il transitorio, si troveranno a passare per ω/ω = 1 e quindi non conviene avere

0

valori dell’indice di smorzamento troppo piccoli, o addirittura trascurabili, in quanto ciò porterebbe ad

ampiezze in risonanza elevate che creerebbero problemi ai collegamenti verso l’esterno del macchinario.

In secondo luogo, operare con valori di ξ piccoli significa anche non poter più trascurare l’integrale

generale dell’omogenea associata, che partecipa alla soluzione completa, perché torna a essere presente

tutte le volte che avvengono delle perturbazioni, per quanto piccole, delle condizioni di regime, e la sua

cancellazione può richiedere un numero elevato di cicli.

I problemi maggiori vengono, tuttavia, creati dalla rigidezza k. Dal diagramma di figura 13.5 si vede,

ad esempio, che per ridurre del 60% le vibrazioni nelle strutture circostanti dobbiamo avere ω/ω > 2,

0

2

ovvero k < mω /4. →

Tale ragionamento porterebbe a scegliere ω 0, ma in tale caso

0

mg g

δ = (13.30)

=

st 2

k ω 0

ovvero lo schiacciamento statico è inversamente proporzionale al quadrato della pulsazione caratteristica

del sistema, per cui dovremmo realizzare fondazioni con frecce statiche molto grandi, e tale problema è

ovviamente di impossibile soluzione se abbiamo macchine lente in cui ω è dell’ordine di qualche centinaio

di giri/min.

Per un’asta omogenea ed uniforme, la rigidezza k è esprimibile come

F F FE F EA EA

k = = = = = (13.31)

∆h hε hσ hF h

quindi per ridurre k, scelto un materiale e quindi il modulo di elasticità E, dovremo avere delle aree A

piccole e degli spessori h degli elementi elastici (ad esempio un tappeto di gomma) grandi. Ma, perché

la molla sia in grado di sopportare un certo carico, ad esempio quello statico, deve valere la relazione

mg

F > (13.32)

A> σ σ

amm amm

quindi mgE (13.33)

k> σ h

amm

ovvero r r

k gE

ω = > (13.34)

0 m σ h

amm

da cui si nota che per avere una bassa pulsazione caratteristica ω ed essere contemporaneamente in

0

grado di sostenere la sollecitazione statica si dovrebbero avere bassi valori di E e corrispondentemente,

impossibili nei materiali, alti valori di σ e comunque alti valori di h, che potenzialmente creerebbero

amm

problemi di instabilità delle aste caricate di punta.

13.3 Strumenti di misura delle vibrazioni

Tra le applicazioni del nostro oscillatore degna di nota è la misura delle vibrazioni assolute di un corpo,

come illustrato in figura 13.6.

Con riferimento alle grandezze indicate nella figura 13.6 e ai relativi versi positivi degli spostamenti,

avremo che −

K x + B ẋ = M ẍ = M (ẍ ẍ ) (13.35)

s 0 0 M i 0 13-7

Figura 13.6: Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo.

dove x è il movimento del telaio, che rappresenta un cedimento imposto del vincolo, mentre x è lo

i M

3

spostamento assoluto della massa M , e x = x x è lo spostamento relativo , ovvero la grandezza che

0 i M

viene direttamente misurata per determinare, in via indiretta, il movimento x imposto alla cassa dello

i

strumento.

La (13.35) può essere riscritta usando le nostre consuete notazioni come

kx + rẋ = M ẍ = M (ẍ ẍ ) (13.36)

0 0 M i 0

dove |X |

x (t) = sin (ω t + ψ ) (13.37)

i i i i

è l’andamento temporale dell’i-esima componente armonica (serie di Fourier) dello spostamento incognito

x (t) del vincolo.

Riordinando l’equazione avremo

2 i(ω t+ψ )

−ω |X |

M ẍ + rẋ + kx = M e (13.38)

i i

0 0 0 i

i

di cui l’integrale particolare ha coefficiente complesso

! 2

ω i iψ

|X |

− e i

i

ω

2 iψ

−ω |X | M e 0

i

i

i iφ

|X | (13.39)

= e

X = = i

0i

0i ! 2

2

−ω M + k + irω i ω

ω

i i

i

− + i2ξ

1 ω ω

0 0

p

con ω = k/M e ξ = r/r = r/ (2M ω ).

0 c 0

Se riferiamo le fasi della risposta a quelle delle componenti armoniche avremo che

! 2

ω i

− |X |

i

ω 0

′ i(φ−ψ ) iβ

|X | |X |

X = (13.40)

= e = e

i i

0i 0i

0i ! 2

ω ω

i i

1 + i2ξ

ω ω

0 0

da cui si ottiene ! 2

ω i

− ω

|X | 0

0i (13.41)

= v

|X |   2

u

i ! !

2 2

u ω

ω i

i

u − + 2ξ

1 

t ω ω

0 0

3 Si noti che, come indicato nella figura, il verso di x è opposto a quello di x e x i

0 M

13-8

Figura 13.7: Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni.

e 

 ω i 

 2ξ 

 ω

−1 0 

− (13.42)

β = tan

i 

 ! 2 

 ω i 

 −

1 ω 0

Si nota, quindi, che, se ω ω (almeno 4÷5 volte) la misura dell’ampiezza della vibrazione relativa

i 0

permette di ricavare quella incognita di trascinamento. Ovviamente, affinché la misura non sia distorta,

|X | |X |

/ deve essere costante e β = nπ (con n=0,1,2,. . . ,N ) per i = 1,2,3,. . . ,N .

0i i i

Questa esigenza comporta che il sismografo, tale è il nome dello strumento, abbia una frequenza

propria ω < ω /4, dove ω è la prima delle armoniche significative del segnale che si intende misurare,

0 1 1

e tale condizione verifica automaticamente che non vi sia distorsione per le componenti armoniche di

ordine superiore.

I sismografi sono quindi strumenti pesanti e ingombranti, dovendo avere una frequenza propria neces-

sariamente bassa; normalmente si usano indici di smorzamento ξ dell’ordine di 0.6-0.7 per ridurre l’effetto

delle condizioni iniziali. ≪ |X | |X | →

Nel caso duale di ω ω risulta che / 0, per cui

i 0 0i i

− ẍ (t) (13.43)

ẍ (t) = ẍ (t) ẍ (t) = i

M i 0

e la forza d’inerzia agente sulla massa M è praticamente dovuta al solo moto di trascinamento, per cui, se

riuscissimo a misurare la reazione della molla, questa, a meno del guadagno, sarebbe pari all’accelerazione

incognita del vincolo. ≪

Ovviamente la necessità di non distorcere la misura comporta che la condizione ω ω sia verificata

i 0

per la massima frequenza presente nello sviluppo in serie del segnale incognito, ovvero ω deve essere

0

dell’ordine dei kHz. Dobbiamo avere, quindi, massa M molto piccola e rigidezza k molto grande.

4

Spesso come elemento elastico si usa una lastra di quarzo, materiale piezoelettrico che, se sollecitato

lungo l’asse elettrico, produce sulle facce ortogonali all’asse delle cariche di segno opposto proporzionali

4 Letteralmente, un materiale che genera una carica elettrostatica per effetto di uno sforzo. Si tratta di materiali polari

che, deformati o caricati lungo direzioni preferenziali, si polarizzano elettricamente, producendo un dipolo elettrico e quindi

una carica di spostamento, in analogia con i condensatori piani le cui piastre siano spostate. Il legame costitutivo, qui

ridotto per semplicità in forma monodimensionale, è formato da una parte elastica

σ = Eε − eE (13.44)

e da una dielettrica

D = eε + ǫE (13.45)

13-9

Figura 13.8: Accelerometro piezoelettrico.

alla forza applicata (circa 2 pC/N). L’uso del quarzo limita la frequenza minima di misura (dell’ordine

dell’Hz).

Riscrivendo l’equazione differenziale in coordinate assolute

i(ωt+ψ )

|X |

M ẍ + rẋ + kx = rẋ + kx = (iω r + k) e (13.46)

i

M i M i M i i i i i

otteniamo l’integrale particolare

iω t

x (t) = X e (13.47)

i

M i M i

con iψ

|X |

(k + iω r) e i

i i iβ

|X |

X = (13.48)

= e i

M i M i

2

k M ω + iω r

i

i

ovvero q 2

2

k + (ω r)

|X | i

M i |H |

= = (13.49)

i q

|X | 2 2

i 2

(k M ω ) + (ω r)

i

i

e !

2

ω r 2k M ω

i i

−1

− (13.50)

β = tan

i 2

2

2

−k + kM ω + (ω r)

i

i

Utilizzando, a esempio, un fattore di smorzamento ξ = 0.7 si nota che la fase varia, per un range di

÷

frequenza compreso tra 0.6ω e ω , con legge pari a β ω /ω .

0 0 i i 0

dove σ e ε sono i consueti sforzi e deformazioni, D ed E sono rispettivamente lo spostamento dielettrico ed il campo elettrico,

E è la rigidezza del materiale, ǫ è la sua costante dielettrica ed infine e è la costante piezoelettrica. Quindi uno strumento

di questo tipo consente di tradurre una misura di sforzo o di deformazione direttamente in una misura elettrica, fatte salve

esigenze ulteriori di condizionamento ed amplificazione del segnale.

13-10

13.4 Risposta a forzante impulsiva

13.4.1 Impulso di quantità di moto

Si consideri un generico sistema meccanico ad un grado di libertà,

mẍ + kx = f (t) . (13.51)

La forzante f (t) sia un impulso. Per il momento, la si consideri semplicemente una forzante che vale 0

lontano da t , e che abbia un valore tendente ad infinito per t = 0. A questa definizione poco rigorosa si

0

affianca il requisito che l’integrale dell’impulso sia però finito, e valga f .

1

La durata dell’evento impulsivo deve essere trascurabile rispetto alla scala dei tempi del problema,

p

definita da T = 2π/ω = 2π/ k/m.

0

Siccome la forzante impulsiva ha durata infinitesima, mentre la forza è diversa da zero, non pos-

sono ragionevolmente avere luogo variazioni finite di x, per cui il contributo delle forze elastiche kx ad

equilibrare l’ingresso sarà nullo. Il valore della forza tende istantaneamente ad infinito; l’accelerazione

che ne consegue tenderà anch’essa istantaneamente ad infinito. Siccome l’integrale della forza è finito, e

l’integrale di una forza nel tempo corrisponde ad un impulso di quantità di moto, ad esso corrisponderà

una variazione finita di quantità di moto del sistema, ovvero

+

Z

Z 0

+∞

+ −

f (t) dt = ∆q = f (t) dt = m ẋ 0 ẋ 0 , (13.52)

−∞ 0 −

− +

dove ẋ (0 ) e ẋ (0 ) hanno il significato di velocità ‘appena prima’ e ‘appena dopo’ l’applicazione della

forzante impulsiva. Di conseguenza, l’applicazione di una forzante impulsiva corrisponde ad una repentina

modifica delle condizioni iniziali di velocità del problema, in corrispondenza del tempo t = 0, pari a

f 1 . (13.53)

ẋ = m

Ne consegue che, intuitivamente, risolvere un problema di forzamento impulsivo corrisponde a risolvere il

problema omogeneo, nel quale l’effetto dell’impulso si manifesta in una modifica delle condizioni iniziali.

13.4.2 Impulso

Un impulso è una funzione che per una durata tendente a zero assume un valore molto elevato, tendente

ad infinito, mentre è nulla al di fuori di quell’intervallo di tempo. Tuttavia, l’integrale nel tempo di tale

funzione, su un dominio che comprenda l’intervallo in cui non è nulla, è finito.

Al di là della sua formalizzazione matematica, accennata nel seguito ma sostanzialmente lasciata a

corsi successivi, si pensi ad un impulso come a qualche cosa che ha luogo in un tempo molto limitato

rispetto alla scala dei tempi caratteristica del problema che si sta analizzando. Se ciò è vero, l’espressione

precisa dell’impulso in funzione del tempo non ha molta importanza, ciò che conta è l’effetto che esso ha

sul sistema.

Come indicato in figura 13.9, si immagini che l’impulso, convenzionalmente definito all’istante t = 0,

−a/2 −a/2

abbia forma rettangolare, ovvero sia nullo per t < e t > a/2, e assuma il valore b per <

±a/2.

t < a/2, senza (per ora) precisare quanto valga per t = Questo equivale a descriverlo come una

sequenza di due scalini di ampiezza uguale e segno opposto, distanziati di un tempo a.

−∞

L’integrale rispetto al tempo tra e +∞ dell’impulso cosı̀ definito vale ab; se si assume conven-

zionalmente che tale valore sia 1, si ottiene l’ampiezza dell’impulso b = 1/a. Quindi, se la durata a tende

a 0, l’ampiezza tende ad infinito, ma l’integrale rimane finito.

È possibile immaginare altre funzioni con caratteristiche analoghe, ma più regolari, come quelle

0

illustrate in figura 13.10: un triangolo di base 2a e altezza b (funzione con continuità C ), la funzione

1 →

(1 + cos(πt/a))b/2 in [−a, a] (funzione con continuità C ), ecc. Il loro limite per a 0 è lo stesso, come

pure il loro integrale.

La funzione δ (t) si chiama “delta di Dirac”, e non è una vera e propria funzione, ma viene definita

nell’ambito delle funzioni generalizzate o distribuzioni. Come anticipato, gode della proprietà

Z +∞ δ (t) dt = 1, (13.54)

−∞ 13-11

b t

a

Figura 13.9: Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini.

rettangolo !! b

t

1 + cos 2π a 2

b triangolo t

2a

Figura 13.10: Approssimazioni di un impulso.

6

e vale 0 per t = 0 mentre tende ad infinito per t = 0. La figura 13.11 mostra la rappresentazione grafica

della funzione δ(t).

L’impulso può essere interpretato come la derivata della funzione “scalino”, indicata con step (t)

e rappresentata in figura 13.12. Quest’ultima è definita come il limite di una funzione infinitamente

→ −∞ →

derivabile, che vale 0 per t e 1 per t +∞, che passa per 1/2 per t = 0, e che è dispari

rispetto a tale punto, ovvero step(−t) = 1 step(t). Dal momento che la funzione scalino, cosı̀ definita,

è infinitamente derivabile, anche l’impulso è infinitamente derivabile. Inoltre, l’impulso è pari rispetto

all’origine, ovvero δ(−t) = δ(t).

Come approssimazione della funzione scalino, si consideri, per esempio, la funzione (1 + tanh(αt))/2,

quando α +∞. La figura 13.13 ne mostra l’andamento per alcuni valori di α. La sua derivata è

2

− →

(1 tanh (αt))α/2, e al limite per α +∞ si comporta come le approssimazioni di impulso definite in

precedenza. La figura 13.14 ne mostra l’andamento per i medesimi valori di α.

0 t

Figura 13.11: Funzione impulso: δ(t).

13-12

1

0 t

Figura 13.12: Funzione scalino: step(t).

α =1

1 α = 10

α = 100

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -1 -0.5 0 0.5 1

Time

Figura 13.13: Funzione scalino approssimata come (1 + tanh(αt))/2.

13-13

50 α =1

α = 10

α = 100

40

30

20

10

0 -1 -0.5 0 0.5 1

Time

α =1

1 α = 10

α = 100

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -1 -0.5 0 0.5 1

Time

Figura 13.14: Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la

funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per consentirne il

confronto visivo. 13-14 step(t)

f d 0

+ −

= f (0 ) f (0 )

f f (t)

d c

0 t

+

f (0 ) f (t)

f (0 ) t

Figura 13.15: Funzione discontinua con salto.

Esercizio 13.1 Si propongano altre funzioni che approssimano la funzione scalino al tendere a +∞ del

loro parametro che ne definisce la pendenza nell’origine.

Una funzione f (t) che presenta discontinuità con salto in t = 0 può essere espressa come composizione

moltiplicata per la funzione scalino, ovvero

di una parte regolare, f (t), a cui si aggiunge una costante f

c d 0

step (t) , (13.55)

f (t) = f (t) + f

c d 0 rappresenta la differenza tra i limiti destro e sinistro

come illustrato in figura 13.15. La costante f d 0

+ −

= f (0 ) f (0 ). Questa funzione diventa derivabile, in senso

della funzione discontinua, ovvero f d 0

generalizzato, in tutto il dominio:

d

d δ (t) , (13.56)

(t) + f

f (t) = f c d 0

dt dt

in quanto la derivata dello scalino è l’impulso. In base a ragionamenti analoghi, basati sull’uso della

funzione “rampa”, indicata con ramp(t), si possono definire funzioni continue ma non derivabili in senso

stretto.

Esercizio 13.2 Si mostri come una funzione continua, ma con una discontinuità con salto nella derivata

prima, può essere rappresentata mediante la funzione ramp(t).

L’impulso gode di altre proprietà interessanti. Una proprietà, nota come proprietà del campionamen-

to, afferma che il prodotto tra la funzione δ (t) e una generica funzione f (t) è

f (t) δ (t) = f (0) δ (t) . (13.57)

Non ne viene data dimostrazione.

Un’altra, estremamente importante, è :

Z +∞ f (t) δ (t) dt = f (0). (13.58)

−∞ 13-15

Questo significa che integrare una qualsiasi funzione moltiplicata per un impulso equivale ad estrarne il

valore per l’istante in cui l’impulso è definito. Per estrarre f (t) ad un istante arbitrario t , basta valutare

0

l’impulso in δ(t t ). La proprietà diventa

0

Z +∞ −

f (t) δ (t t ) dt = f (t ). (13.59)

0 0

−∞

La proprietà si dimostra considerando che, siccome l’impulso è la derivata dello scalino, la derivazione

del prodotto di funzioni dà

d d ′

f (t) δ (t) = f (t) f (t) step (t) f (t) step (t) . (13.60)

step (t) =

dt dt

Se f (t) è regolare, il prodotto f (t) step (t) è pari a f (t) per t > 0, e a 0 per t < 0. Ne consegue che

l’integrale +∞

Z Z

+∞ +∞ ′

f (t) δ (t) dt = f (t) step (t) f (t) step (t) dt

−∞ −∞

−∞

− −

= f (+∞) 0 f (+∞) + f (0) = f (0) , (13.61)

dove Z Z

+∞ +∞

′ ′ − −

f (t) step (t) dt = lim f (t) dt = f (+∞) lim f (a) = f (+∞) f (0). (13.62)

+ +

a→0 a→0

−∞ a

Se f (t) non è regolare, ma presenta una discontinuità con salto in t = 0, ovvero proprio nell’istante

di tempo in cui viene valutata dalla δ(t), è comunque possibile eseguire l’operazione, ed il risultato è

molto interessante.

Si consideri l’espressione di f (t) data dalla (13.56); la proprietà in esame diventa

+∞ Z

Z +∞

+∞ ′

− δ (t)) step (t) dt

(f (t) + f

f (t) δ (t) dt = f (t) step (t) d

c 0

−∞

−∞ −∞ 1

− − −

= f (+∞) 0 f (+∞) + f (0) f

c c d 0

2

+ −

1 f (0 ) + f (0 )

= f (0) + =

f , (13.63)

c d 0

2 2

. Ovvero, viene preso il valore della funzione che rappresenta la media

in quanto f (+∞) = f (+∞) + f

c d 0 + −

− −

= f (0 ) f (0 ).

tra i limiti destro e sinistro, dal momento che f (0) = f (0 ) e f

c d 0

Questa dimostrazione fa uso della proprietà che si vuole dimostrare, dimostrata in precedenza per

funzioni regolari. Tuttavia la si sta applicando ad una funzione non regolare, step(t). Quindi la di-

mostrazione è valida se si considera la funzione step(t) come limite di una funzione regolare, in base alla

sua definizione.

In alternativa, si può rappresentare il dominio di integrazione come l’unione di due parti, che escluda

la discontinuità, ovvero Z Z

Z −

0 +∞

+∞ f (t) δ (t) dt

f (t) δ (t) dt = f (t) δ (t) dt + +

0

−∞ −∞ −

0 Z −

0 ′

− f (t) step (t) dt

= f (t) step (t) −∞

−∞

+∞ Z +∞ ′

− f (t) step (t) dt

+ f (t) step (t) +

0

+

0

1 1

− + +

− − − −

= f 0 0 0 + 0 + f (+∞) f 0 f (+∞) + f 0

2 2

+ −

f (0 ) + f (0 )

= , (13.64)

2

ovvero il medesimo risultato ottenuto in precedenza.

13-16

13.4.3 Generalizzazione

Come anticipato, l’impulso è un’astrazione matematica che rappresenta qualcosa di breve durata rispetto

alla scala dei tempi del problema in esame, ma che lascia effetti non trascurabili.

Si consideri ora un generico sistema meccanico ad un grado di libertà,

mẍ + rẋ + kx = f (t) . (13.65)

La forzante f (t) sia costituita dall’impulso introdotto in precedenza, e dalla sua derivata:

δ̇ (t) . (13.66)

f (t) = f δ (t) + f

1 2

È lecito attendersi che la risposta x (t) sia anch’essa caratterizzata da discontinuità. In particolare, se il

sistema prima dell’impulso era a riposo, la risposta del sistema sarà data da una funzione regolare x (t)

c

moltiplicata per uno scalino al tempo t, ovvero

x (t) = x (t) step (t) . (13.67)

c

In base alle proprietà dello scalino, le sue derivate sono

ẋ (t) = ẋ (t) step (t) + x (t) δ (t) = ẋ (t) step (t) + x (0) δ (t) (13.68a)

c c c c

ẍ (t) = ẍ (t) step (t) + ẋ (t) δ (t) + x (0) δ̇ (t) = ẍ (t) step (t) + ẋ (0) δ (t) + x (0) δ̇ (t) . (13.68b)

c c c c c c

Sostituendo queste espressioni nella (13.65) si ottiene

m ẍ (t) step (t) + ẋ (0) δ (t) + x (0) δ̇ (t)

c c c δ̇ (t) . (13.69)

+ r ( ẋ (t) step (t) + x (0) δ (t)) + kx (t) step (t) = f δ (t) + f

c c c 1 2

Raccogliendo i termini omogenei si ottiene

(mẍ (t) + rẋ (t) + kx (t)) step (t)

c c c −

+ (mẋ (0) + rx (0) f ) δ (t)

c c 1

+ (mx (0) f ) δ̇ (t) = 0. (13.70)

c 2

Siccome tale relazione deve essere vera qualunque sia t, occorre annullare indipendentemente i termini

moltiplicati per le funzioni step(t), δ(t) e δ̇(t). Si ricavano quindi le relazioni

mẍ (t) + rẋ (t) + kx (t) = 0 (13.71a)

c c c

mẋ (0) + rx (0) = f (13.71b)

c c 1

mx (0) = f . (13.71c)

c 2

La (13.71a) rappresenta un’equazione differenziale omogenea in x (t), la soluzione del sistema a seguito

c

della forzante impulsiva. Ne consegue che la forzante impulsiva dà luogo ad un movimento libero del

sistema, analogo a quello che risulta da una perturbazione delle condizioni iniziali. Le (13.71c) e (13.71b)

definiscono le condizioni iniziali su posizione e velocità,

f 2

x (0) = (13.72a)

c m r

f f

1 2 m

ẋ (0) = . (13.72b)

c m

La risposta di un sistema ad una forzante impulsiva corrisponde al moto libero del medesimo sistema,

dato dall’integrale generale della (13.65), calcolato a partire dalle condizioni iniziali fornite dalle (13.72).

13-17

Viene quindi formalizzata e generalizzata la conclusione, ottenuta intuitivamente all’inizio, che una

forzante impulsiva, come pure la sua derivata, equivalgono ad una perturbazione finita delle condizioni

iniziali del sistema.

Dal punto di vista fisico, una forzante descritta mediante un impulso può essere ritenuta rappre-

p

sentativa di una sollecitazione applicata per una durata T 2π/ k/m. Ad essa corrisponde una

f

discontinuità finita nella velocità, e quindi nell’energia cinetica del sistema.

La derivata dell’impulso, invece, non è altrettanto facilmente spiegabile in modo intuitivo. In base

alla sua definizione, la si può considerare come una sequenza di due impulsi, di segno opposto, separati

da un tempo che tende a zero. Si tratta quindi di una doppietta di impulsi. Ad essa corrisponde una

discontinuità finita nello spostamento, e quindi una discontinuità nell’energia potenziale. Inoltre, alla

discontinuità finita dello spostamento corrisponde un impulso di velocità, e quindi un impulso al quadrato

di energia cinetica.

Esercizio 13.3 Si scriva la derivata prima dell’impulso ottenuto approssimando la funzione scalino come

(1 + tanh(αt))/2. Se ne rappresenti il grafico per α +∞.

Esercizio 13.4 Si scriva l’espressione della soluzione (13.67) del problema della risposta impulsiva in

base alle condizioni iniziali definite dalle (13.72). Quindi la si sostituisca nella (13.65) per verificarne

il soddisfacimento (suggerimento: per semplicità, conviene prima considerare il caso non smorzato, con

r = 0).

Esercizio 13.5 In analogia con quanto svolto finora per la risposta impulsiva, si ricavi la risposta ad

una forzante a scalino, f (t) = f step(t). Si discuta in particolare la natura dell’equazione del moto che

0

si ottiene e la scelta delle condizioni iniziali.

Esercizio 13.6 Si calcoli la risposta di un sistema meccanico smorzato ad una sequenza di scalini di

−b, −a/2

ampiezza b e rispettivamente a t = e t = a/2, come indicato in figura 13.9. Quindi, si verifichi

che al tendere di a a 0 si ottiene la risposta all’impulso.

13-18

Capitolo 14

Sistemi vibranti a più gradi di

libertà

Generato il 16 gennaio 2012

14.1 Sistemi a più gradi di libertà non smorzati

Per un sistema non smorzato con N gradi di libertà, le equazioni che ne governano il moto possono essere

sempre scritte nella forma matriciale

{ẍ {x {f

[M ] (t)} + [K] (t)} = (t)} (14.1)

dove

• [M ] e [K] sono rispettivamente le matrici quadrate di massa e di rigidezza di ordine N ;

• {x {f

(t)} e (t)} sono i vettori di ordine N degli spostamenti e delle forze agenti, entrambi funzione

del tempo.

Si consideri, ad esempio, il sistema illustrato in Figura 14.1. Applicando il principio di sovrapposizione

6

degli effetti, ovvero calcolando le forze che agiscono sul sistema prima per x = 0, x = 0 e poi quelle per

1 2

6

x = 0, x = 0 si possono facilmente determinare le equazioni di equilibrio dinamico delle due masse,

1 2 −

m ẍ + k x + k (x x ) = f (14.2a)

1 1 1 1 2 1 2 1

m ẍ + k x + k (x x ) = f . (14.2b)

2 2 3 2 2 2 1 2

Queste possono essere riscritte come

−k

m 0 ẍ k + k x f

1 1 1 2 2 1 1

+ = (14.3)

−k

0 m ẍ k + k x f

2 2 2 2 3 2 2

ovvero nella forma della (14.1) con

Figura 14.1: Sistema dinamico a 2 gradi di libertà.

14-1

• la matrice di massa

m 0

1

[M ] = (14.4)

0 m 2

• la matrice di rigidezza

−k

k + k

1 2 2

[K] = (14.5)

−k k + k

2 2 3

• il vettore delle incognite

x 1

{x} (14.6)

= x 2

• ed il vettore dei termini noti

f 1

{f } = (14.7)

f 2

14.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare

{f } {0},

La soluzione del moto libero, per = sarà del tipo

λt

{x {X}

(t)} = e (14.8)

{X}

dove è un vettore di ordine X di ampiezze indipendenti dal tempo. Imponendo la soluzione (14.8)

all’equazione differenziale otteniamo

2 λt

{X} {0}

λ [M ] + [K] e = (14.9)

{X} 6 {0},

la quale presenta soluzione non banale, ovvero per = quando

2 −k

λ m + k + k

1 1 2 2

2

det λ [M ] + [K] = det = 0, (14.10)

2

−k λ m + k + k

2 2 2 3

che è il polinomio di grado 2N in λ

4 2

m m λ + (m (k + k ) + m (k + k )) λ + k k + k k + k k = 0 (14.11)

1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 3

detto polinomio caratteristico, da cui, posti

 a = m m

1 2

 b = (m (k + k ) + m (k + k )) (14.12)

1 2 3 2 1 2

 c = k k + k k + k k

1 2 1 3 2 3 2

si ottiene il polinomio di secondo grado in λ

4 2

aλ + bλ + c = 0 (14.13)

le cui radici sono v ! 2

u b c

b u

21|2 t −

λ = + (14.14a)

2a 2a a

v ! 2

u c

b

b u

23|4 t −

− (14.14b)

λ = 2a 2a a 14-2 2

Dal momento che per definizione le masse e le rigidezze sono positive, si ha sempre λ < 0, quindi i

j

singoli autovalori sono a due a due immaginari e coniugati:

±iω

λ = (14.15a)

1

1|2 ±iω

λ = . (14.15b)

2

3|4

Questa proprietà ha valore generale: quando le matrici di massa [M ] e di rigidezza [K] sono definite

2

positive, le N radici del polinomio caratteristico in λ sono reali negative, quindi le 2N radici λ sono

immaginarie coniugate.

Nei problemi di interesse per la meccanica la matrice di massa [M ] è sempre definita positiva; qualora

la matrice di rigidezza fosse semi-definita, le corrispondenti radici λ sarebbero nulle. Questa eventualità

è possibile quando al sistema è consentito un movimento rigido (ad esempio i 6 gradi di libertà di moto

rigido di un velivolo nello spazio) oppure quando il sistema rappresenta un meccanismo.

Sostituendo le radici nell’equazione di partenza si ottiene

2

− {X} {0}

[K] ω [M ] = (14.16)

1 1

e

2

− {X} {0}

[K] ω [M ] = (14.17)

2 2

che permettono di calcolare, a meno di una costante arbitraria, dipendente dalle condizioni iniziali, le

{X}

forme modali , o modi, del sistema associate a ogni frequenza propria ω .

j

j

Nel caso in esame,

2 −k

−ω m + k + k X 0

1 1 2 2 1 1

1 = (14.18)

2

−k −ω m + k + k X 0

2 2 3

2 1 2

1 1

Risolvendo ad esempio la prima equazione,

2

−ω −

m + k + k X k X = 0 (14.19)

1 1 2 1 1 21 2

1

si ottiene la relazione tra le componenti X e X dell’autovettore, che risulta definito, ad esempio,

1 1 1 2

 

1

 

2

{X} m + k + k

ω

= X (14.20)

1 1 2 1 1

1

1  

k 2

e analogamente

 

1

 

2

{X} m + k + k

ω

= X (14.21)

1 1 2 2 1

2

2  

k 2

ove si è arbitrariamente posta unitaria la prima componente dell’autovettore, data l’intrinseca indeter-

minazione della soluzione. Ad un risultato del tutto analogo si può giungere risolvendo, ad esempio, la

seconda equazione e ponendo unitaria la seconda componente dell’autovettore; infatti la matrice

2

[A] = λ [M ] + [K] (14.22)

1

è singolare qualora a λ si sostituisca un qualsiasi autovalore del problema; ne consegue che una equazione

del sistema è combinazione lineare delle altre.

Nel caso, ad esempio, che m = m = m e k = k = k = k, abbiamo che

1 2 1 2 3

s k

ω = (14.23a)

1 m

s k (14.23b)

ω = 3

2 m

1 Si suppone che le radici del polinomio caratteristico abbiano molteplicità pari esattamente a 1; questa ipotesi può essere

rimossa, come verrà illustrato nel seguito. Si veda in particolare la nota 3.

14-3

Figura 14.2: Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di libertà.

a cui corrispondono

1

{X} = X (14.24a)

1 1

1 1

1

{X} = X (14.24b)

2 1

2 −1

La figura 14.2 mostra come al primo modo corrisponda un movimento in cui la molla di mezzo non

viene deformata; infatti, le due componenti dell’autovettore sono identiche. Di conseguenza, il sistema si

comporta come se le due masse fossero collegate rigidamente. Il secondo modo, al contrario, vede le due

masse muoversi in opposizione, per cui la molla centrale è deformata esattamente il doppio di quelle di

estremità. Di conseguenza, è come se le due masse fossero disaccoppiate, e la molla centrale fosse messa

a terra nel suo punto medio. Il moto generico avviene come combinazione di due movimenti armonici a

√ 3, quindi un numero irrazionale).

frequenze tra loro incommensurabili (il loro rapporto è

Ritornando all’equazione (14.9) di partenza, se la si premoltiplica per l’inversa della matrice di massa

[M ] si ottiene

−1

2 λt

{X} {0}

λ [I] + [M ] [K] e = (14.25)

che è una forma del tutto analoga a

− {V } {0}

(γ [I] [A]) = (14.26)

14-4

ovvero ad un problema agli autovalori in forma canonica, ove γ sono gli autovalori della matrice [A] e

2 −1

{V } −λ {V } {X}.

sono i corrispondenti autovettori, posto γ = , [A] = [M ] [K] e =

Nell’esempio iniziale si ha

1/m 0

−1

[M ] = (14.27)

0 1/m

e quindi la matrice

−k/m

2k/m

−1

[A] = [M ] [K] = (14.28)

−k/m 2k/m

che ne risulta è simmetrica; questo in generale non è più vero per matrici [M ] e [K] meno banali, anche

se, al costo di un cambio di base per le incognite, è possibile ottenere un problema agli autovalori nella

2

forma canonica della (14.26) con la matrice simmetrica .

Gli autovalori della matrice (14.28) sono

k

k , 3 (14.33)

γ =

1|2 m m

mentre gli autovettori, a meno di una costante, sono

−1

{V } = (14.34a)

1 1

1

{V } = (14.34b)

2 1

Esercizio 14.1 Si verifichi che gli autovalori della matrice nella forma della (14.25) sono anche auto-

valori della matrice nella forma della (14.32).

14.1.2 Ortogonalità dei modi propri

Si può ora dimostrare l’ortogonalità dei modi di vibrare. Se ω e ω sono due autovalori distinti di un

1 2

{X} {X}

generico problema omogeneo, e e sono i corrispondenti autovettori, si ha

1 2

2

−ω {X} {0}

[M ] + [K] = (14.35)

1 1

e

2

−ω {X} {0}

[M ] + [K] = . (14.36)

2 2 T

{X}

L’equazione (14.35) può essere liberamente premoltiplicata per senza alterarne il valore:

2

T 2

{X} −ω {X}

[M ] + [K] = 0 (14.37)

1

2 1

2 Dal momento che si assume che la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva, è possibile decomporla nel

prodotto di una matrice triangolare inferiore per la sua trasposta secondo Cholesky

T

[M ] = [L] [L] (14.29)

quindi, operando il cambio di variabili

T

{z} = [L] {x} (14.30)

il problema

[M ] ẍ + [K] {x} = {0} (14.31)

diventa −1 −T

{z̈} + [L] [K] [L] {z} = {0} (14.32)

−1 −T

e quindi, assumendo che la matrice [K] sia simmetrica, anche la matrice [L] [K] [L] rimane simmetrica.

14-5

da cui si ricava

T T

2

{X} {X} {X} {X}

[K] = ω [M ] (14.38)

1

2 1 2 1 {X}

Allo stesso modo, si può moltiplicare la trasposta dell’equazione (14.36) per :

1

T T

T 2 {X}

−ω

{X} = 0 (14.39)

[M ] + [K]

2 1

2

da cui si ricava, anche in considerazione della simmetria delle matrici [M ] e [K],

T T

2

{X} {X} {X} {X}

[K] = ω [M ] (14.40)

2

2 1 2 1

Quindi, per l’uguaglianza dei termini a primo membro delle (14.38) e (14.40), si ha

T T

2 2

{X} {X} {X} {X}

ω [M ] = ω [M ] (14.41)

1 2

2 1 2 1

ovvero T

2 2 {X} {X}

− [M ] = 0. (14.42)

ω ω

2 1 2 1 3

6

Se ω = ω , cioè le frequenze proprie sono distinte , deve valere la relazione

2 1

T

{X} {X}

[M ] = 0 (14.43)

2 1

e, di consequenza

T

{X} {X}

[K] = 0 (14.44)

2 1

Più in generale, detti j e k gli indici di due modi, deve essere

T

{X} {X}

[M ] = 0 (14.45a)

k j

T

{X} {X}

[K] = 0 (14.45b)

k j

6

quando j = k; ovvero, i modi propri vibrare, associati a frequenze proprie distinte, sono ortogonali

4

rispetto alla matrice di massa e rigidezza .

Quando si pre- e post-moltiplica per lo stesso autovettore si ottiene

T

{X} {X}

[M ] = m (14.46a)

j

j j

T {X}

{X} [K] = k (14.46b)

j

j j

dove m e k sono chiamate rispettivamente massa e rigidezza generalizzata, o massa e rigidezza modale

j j

associate al modo j-esimo.

Nell’esempio iniziale,

T

1 m 0 1

m = = 2m (14.47a)

1 1 0 m 1

m = 2m (14.47b)

2

k = 2k (14.47c)

1

k = 6k (14.47d)

2

3 Nel caso in cui due o più autovalori siano uguali, se è possibile individuare un numero di autovettori indipendenti pari

alla molteplicità degli autovalori coincidenti, come sempre avviene nei casi di interesse pratico per lo studio delle vibrazioni

dei sistemi meccanici, in cui le matrici di massa sono simmetriche e definite positive, o al più semidefinite, gli autovettori,

per la loro arbitrarietà, possono essere ortogonalizzati proprio imponendo le condizioni (14.43) e (14.44). Un tipico esempio

in cui ciò avviene è dato dai sistemi non vincolati, come i velivoli, che ammettono i sei spostamenti rigidi, ai quali è associato

l’autovalore nullo con molteplicità 6. Un altro esempio è dato dai modi associati al movimento delle superfici di comando

nel caso si consideri il velivolo a comandi liberi. T

4 Attenzione: i modi propri non sono ortogonali fra loro; dall’analisi si ottiene che {X} {X} = 0 se j 6 = k per il

j k

problema in forma canonica, in cui la matrice che moltiplica l’autovalore è l’identità, [I]. Ma il problema meccanico non è

in forma canonica, quindi gli autovalori che ne risultano non sono in generale ortogonali rispetto a loro stessi.

14-6 2

La rigidezza e la massa modale tra loro stanno in un rapporto ben preciso, k /m = ω , ma per il resto

j j j

sono indeterminate; o meglio, il loro valore dipende dal valore arbitrariamente assegnato all’autovettore,

il quale è determinato a meno di un fattore di scala. Se per esempio si sceglie di ridefinire l’autovettore

{X} {X} {X}

j-esimo, , come = c , si ottiene

j j j

j

T

′ T

′ 2

2

{X} {X}

{X}

{X}

m = [M ] = c m (14.48a)

= c

[M ] j

j j

j

j j j

j

T

′ ′ T

′ 2 2

{X} {X} {X} {X}

k = [K] = c [K] = c k . (14.48b)

j

j j j

j j j j

′ ′ 2

Indipendentemente dal valore di c , si ha k /m = ω , quindi la scalatura dell’autovalore non ha alcun

j j j j

effetto sulla frequenza caratteristica di quel modo. Questo consente di scalare gli autovettori in modo da

modificare convenientemente la massa e la rigidezza modali. Una scalatura usata spesso, detta a massa

unitaria, consiste nel rendere la matrice delle masse modali pari alla matrice identità.

Esercizio 14.2 Si riscrivano gli autovettori del problema iniziale scalati a massa unitaria.

Esercizio 14.3 Si mostri come, in caso di autovalori coincidenti, è possibile ortogonalizzare gli autovet-

tori corrispondenti.

14.2 Approccio modale

Cerchiamo ora un sistema di coordinate libere che disaccoppi contemporaneamente il sistema tanto

inerzialmente quanto elasticamente, ovvero tale per cui le equazioni che, risolte, descrivano il moto del

sistema siano disaccoppiate. Se costruiamo una matrice quadrata [ψ] le cui colonne siano costituite dai

modi propri di vibrare, ovvero

X X

1 1 2 1 (14.49)

[ψ] = X X

1 2 2 2

detta anche matrice modale, e definiamo la trasformazione

{x {q

(t)} = [ψ] (t)} (14.50)

{q

con (t)} detto vettore delle coordinate principali, il problema (14.1) diventa

{q̈} {q} {f }

[M ] [ψ] + [K] [ψ] = (14.51)

5

Se si premoltiplica la (14.51) per la trasposta della matrice modale (14.49), si ottiene

T T T

{q̈} {q} {f }

[ψ] [M ] [ψ] + [ψ] [K] [ψ] = [ψ] (14.54)

Da quanto detto in precedenza, si vede che

T

[ψ] [M ] [ψ] = [diag (m )] (14.55a)

j

T

[ψ] [K] [ψ] = [diag (k )] (14.55b)

j 6

dove [diag (m )] e [diag (k )] sono matrici diagonali, ovvero tali per cui m e k sono nulli se j = k,

j j jk jk

mentre m e k sono rispettivamente la massa e la rigidezza associate al modo j-esimo.

j j

5 Questa operazione può apparire un artifizio, ma ha una giustificazione più profonda se si considera che l’equazione (14.1)

può essere ricondotta ad un principio variazionale e quindi ad una relazione del tipo

X

T

δ {x} {F ({x})} = 0 (14.52)

per cui la trasformazione (14.50) viene applicata sia alle incognite da cui dipendono le forze {F } che alle loro variazioni

virtuali, ovvero X

T T

δ {q} [ψ] {F ([ψ] {q})} = 0. (14.53)

14-7

Nell’esempio iniziale, si ha

2m 0 (14.56a)

[diag (m )] =

j 0 2m

2k 0

[diag (k )] = (14.56b)

j 0 6k

quindi il problema diventa

2m 0 q̈ 2k 0 q f + f

1 1 1 2

+ = (14.57)

0 2m q

0 6k f f

2 2 1 2

Si noti che le due equazioni sono disaccoppiate, ovvero ogni equazione dipende solo dalla propria incog-

nita; l’accoppiamento tra i gradi di libertà fisici si è tradotto, a livello modale, in accoppiamento tra i

corrispondenti termini noti.

Sostituendo uno ad uno gli autovalori ed i corrispondenti autovettori, l’equazione omogenea (14.9)

risulta soddisfatta; ne consegue che, cosı̀ come sono stati accostati gli autovettori a dare la matrice

modale [ψ], è possibile accostare gli autovalori a dare la matrice diagonale dei quadrati delle frequenze

proprie

2

ω 0

2 1

=

diag ω (14.58)

2

j 0 ω 2

6

tale per cui

2

− = [0] (14.59)

[K] [ψ] [M ] [ψ] diag ω j

La (14.59), se premoltiplicata per la trasposta della matrice modale (14.49), diventa

T T 2

− = [0] (14.60)

[ψ] [K] [ψ] [ψ] [M ] [ψ] diag ω j

ovvero

2

− = [0] (14.61)

[diag (k )] [diag (m )] diag ω

j j j 7

Se la matrice di massa modale [diag (m )] è definita positiva , la sua inversa esiste; quindi la (14.61) può

j

essere riscritta, previa premoltiplicazione per l’inversa della matrice di massa modale, come

−1 2 (14.65)

[diag (m )] [diag (k )] = diag ω

j j j

6 Si noti l’odine in cui vengono eseguiti i prodotti di matrici, essenziale perché ogni autovettore venga moltiplicato per

il proprio autovalore.

7 L’unico motivo per cui la matrice di massa, anziché essere definita positiva, può essere semidefinita, è che ad un grado

di libertà non sia associata inerzia. Questa eventualità viene scartata nella presente trattazione perché in tale caso il grado

di libertà privo di massa può essere eliminato staticamente, rendendo la nuova matrice di massa strettamente definita

positiva. Ad esempio: dato il problema

f

x

k k

m 0 1

1

11 12

1 (14.62)

=

+ f

x

k k

0 0 2

2

21 22

2

la cui matrice di massa è chiaramente semidefinita positiva in quanto tutti i minori principali sono positivi tranne uno che è

nullo, a condizione che la matrice [K] non sia singolare la seconda equazione può essere usata per esplicitare x in funzione

2

di x 1 f − k x

2 21 1

x = (14.63)

2 k 22

che, sostituito nella prima equazione, dà

k

k 12

21 x = f − f (14.64)

mẍ + k − k 1 1 2

1 11 12 k k

22 22

ovvero dal problema iniziale se ne ottiene uno di dimensioni inferiori ma con la matrice di massa definita positiva.

14-8

Nel caso in esame,

1/ (2m) 0 2k 0 k/m 0

−1

[diag (m )] [diag (k )] = = (14.66)

j j 0 1/ (2m) 0 6k 0 3k/m

Questo suggerisce una scelta interessante per la normalizzazione dei modi propri, detta a massa unitaria;

se si dividono i coefficienti del modo j-esimo per il valore m , si ottiene:

j

−1 (14.67)

[ψ ] = [ψ] diag m

I j

A questo punto, le relazioni (14.55a) e (14.55b), attraverso la nuova matrice modale [ψ ], diventano

I

−1 −1

T

T m [ψ] [M ] [ψ] diag m

[ψ ] [M ] [ψ ] = diag j j

I I √ √

−1 −1

= diag [diag (m )] diag = [I] (14.68a)

m m

j

j j

−1 −1

T

T [ψ] [K] [ψ] diag

[ψ ] [K] [ψ ] = diag m m

j j

I I √ √

−1 −1

= diag [diag (k )] diag

m m

j

j j

−1 2 (14.68b)

= [diag (m )] [diag (k )] = diag ω

j j j

√ √

−T −1

ove si è sfruttato il fatto che diag = diag in quanto la matrice è diagonale; allo

m m

j j

stesso modo, l’ultimo passaggio che porta alla matrice di rigidezza modale è lecito perché il prodotto di

matrici diagonali è commutativo.

14.2.1 Risposta a forzanti armoniche

Analizziamo, ora, la risposta del generico sistema di Equazione 14.1 quando soggetto a forzanti armoniche

iωt

{ẍ {x {f }

[M ] (t)} + [K] (t)} = e (14.69)

che, a regime, ammette una soluzione del tipo

iωt

{x {x}

(t)} = e (14.70)

{x}

dove il vettore delle ampiezze di vibrazione è soluzione di

2

− {x} {f }

[K] ω [M ] = (14.71)

ovvero −1

2 {f }

{x} − (14.72)

= [K] ω [M ]

che può essere anche riscritta come

{x} {f }

= [H (ω)] (14.73)

dove [H (ω)] è la matrice dell’ammettenza meccanica (in inglese, receptance matrix ) del sistema; è

quadrata, di ordine N , e ne costituisce il modello della risposta in frequenza. La sua inversa,

−1

[Z (ω)] = [H (ω)] (14.74)

è detta matrice dell’impedenza meccanica, e descrive la forza che il sistema oppone ad un dato movimento.

Dalla definizione 2

[Z (ω)] = [K] ω [M ] (14.75)

si ricava −1

2

− (14.76)

[H (ω)] = [K] ω [M ] 14-9

Se si applica la trasformazione modale all’impedenza meccanica, si ottiene

T T 2

[ψ] [Z (ω)] [ψ] = [ψ] [K] ω [M ] [ψ]

2

= [diag (k )] ω [diag (m )]

j j

T −1

= [ψ] [H (ω)] [ψ] (14.77)

si inverta quindi la (14.77); si ottiene

−1 −1 −T

2

[diag (k )] ω [diag (m )] = [ψ] [H (ω)] [ψ] (14.78)

j j

e quindi la [H (ω)] si ottiene come −1 T

2

− [ψ] (14.79)

[H (ω)] = [ψ] [diag (k )] ω [diag (m )]

j j

Dalla (14.79) si evince che la matrice [H (ω)] è simmetrica; se si utilizza la normalizzazione a massa

unitaria dei modi, ovvero la matrice (14.67), la (14.79) diventa

−1 T T

2 2 2

2 − −

ω [I] [ψ ] = [ψ ] diag 1/(ω ω ) [ψ ] (14.80)

[H (ω)] = [ψ ] diag ω I I I

I j

j

ed il generico coefficiente è dato da N ·

x (ω) X X

x (ω) X

j r Ij r Ik

k

h (ω) = (14.81)

= h (ω) = =

jk kj 2

2 − ω

f (ω) f (ω) ω

k j r

r=1

da cui si nota come il sistema possa andare in risonanza qualora la pulsazione della forzante ω uguagli

una delle N frequenze ω proprie del sistema vibrante.

r

Ritornando al sistema vibrante iniziale, risulta che risolvendo il sistema di equazioni lineari

2

2 −

−2k 2k ω m

+ ω m = (14.82a)

h (ω) =

11 2 2 4 2 2 2 2

− − −

3k 4kmω + ω m m (k/m ω ) (3k/m ω )

k

k = (14.82b)

h (ω) =

21 2 2 4 2 2 2 2

− − −

3k 4kmω + ω m m (k/m ω ) (3k/m ω )

mentre, in termini modali, si ottiene 2

1 1 2k ω m

h (ω) = + = (14.83a)

11 2 2 2 2 2

− − − −

2m (k/m ω ) 2m (3k/m ω ) m (k/m ω ) (3k/m ω )

1 k

1 − = (14.83b)

h (ω) =

21 2 2 2 2 2

− − − −

2m (k/m ω ) 2m (3k/m ω ) m (k/m ω ) (3k/m ω )

Come si vede dalla figura 14.3, ove è mostrato l’andamento del modulo di h , non si commette un

11

grande errore se studiamo la risposta del sistema nell’intorno della prima frequenza propria considerando

la risposta di un sistema ad un solo grado di libertà che abbia massa pari a m e rigidezza pari a k .

1 1

Analogo discorso si può fare considerando la sola risposta dovuta alla seconda frequenza propria se la

pulsazione della forzante è di valore non troppo dissimile da questa. Ovvero abbiamo verificato empiri-

camente che pur essendo i sistemi fisici continui, purché le loro frequenze proprie siano ragionevolmente

separate nel dominio delle frequenze, è lecito, nell’ipotesi che lo spettro della forzante sia limitato nello

stesso dominio, considerare il contributo di un numero limitato di modi le cui frequenze proprie associate

stanno nel dominio dello spettro della forzante. Ovvero: è possibile studiare la risposta dinamica a

regime di un sistema continuo con un modello matematico caratterizzato da un numero discreto di gradi

di libertà. Ne consegue, inoltre, che misurando sperimentalmente la receptance matrix, dalla risposta

misurata nell’intorno di una risonanza possiamo ricavare i parametri modali (massa modale o massa

generalizzata m e rigidezza modale o rigidezza generalizzata k ) cosı̀ come il modo di vibrare.

j j

14-10

Figura 14.3: Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di libertà.

14.2.2 Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale

Le considerazioni che stanno alla base dell’utilizzo pratico dell’approccio modale si basano principalmente

su aspetti computazionali:

1. la risposta a forzante armonica utilizzando la base di coordinate fisiche richiede l’inversione della

matrice di impedenza meccanica, [Z(ω)],

−1

2

− . (14.84)

[H (ω)] = [K] ω [M ]

Se occorre calcolare la risposta a più armoniche, ad esempio perché una forzante periodica è stata

decomposta nella sommatoria di forzanti armoniche mediante sviluppo in serie di Fourier arrestato

ad un certo ordine, si devono invertire tante matrici quante sono le armoniche, con una complessità

3

computazionale che può essere elevata (dell’ordine di n operazioni, a meno che una particolare

struttura delle matrici non consenta ottimizzazioni). Viceversa, l’approccio modale non richiede

alcuna inversione, ma solo prodotti di matrici: si veda la (14.80);

2. se si usano tecniche esplicite di integrazione numerica, in genere il calcolo delle incognite (in questo

caso le velocità) ad un dato istante di tempo è funzione delle loro derivate ad un tempo antecedente

8

secondo una formula del tipo

{ { {ẍ

ẋ (t + ∆t)} = ẋ (t)} + ∆t (t)} (14.85)

Il calcolo delle accelerazioni richiede l’inversione della matrice di massa:

−1

{ẍ } − {x

(t)} = [M ] ({f [K] (t)}) (14.86)

che invece viene evitata se si usa l’approccio modale, in quanto senza particolari normalizzazioni

dei modi l’accelerazione è

T

{q̈ {f } − {q

(t)} = [diag (1/m )] [ψ] [diag (k )] (t)} (14.87)

j j

mentre, se si usa la normalizzazione a massa unitaria, si ha

T 2 {q

{ {f } − (t)} . (14.88)

q

¨ (t)} = [ψ ] diag ω I

I I j

Algoritmi più sofisticati richiedono l’inversione di una combinazione lineare delle matrici di massa e

di rigidezza, operazione in ogni caso banale se le matrici, proiettate in base modale, sono diagonali.

8 La formula di integrazione numerica riportata corrisponde al metodo di Eulero esplicito e non è raccomandabile per

questioni di stabilità dell’algoritmo; viene qui utilizzata al solo fine di illustrare senza eccessivi tecnicismi le operazioni

richieste per l’integrazione esplicita di sistemi dinamici. 14-11

Si noti tuttavia che questi vantaggi si pagano in qualche modo, perché l’approccio modale richiede co-

munque l’estrazione di autovalori ed autovettori, operazione in generale relativamente costosa (dell’ordine

4

di n ). Occorre verificare quale strada è più conveniente in funzione del tipo di risultato che si vuole

ottenere. Ad esempio, l’approccio modale può essere comunque conveniente nel caso le autosoluzioni

siano già disponibili, perché il loro calcolo era comunque richiesto per altri motivi.

14.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero

Si vuole applicare l’approccio modale all’esempio illustrato nel paragrafo 5.3.1. Il problema, in forma

matriciale, è

−k

m 0 k

ẍ x F

1 1

+ = (14.89)

−k

ẍ x

0 m k 0

2 2

Si consideri il problema agli autovalori che risulta dall’equazione omogenea associata:

−k x 0

k

m 0 1

2

−ω (14.90)

=

+ −k 0

x

k

0 m 2

da cui si ricava l’equazione caratteristica

2

2 2

− −

0 = k ω m k

2 2 −

= ω m ω m 2k (14.91)

quindi gli autovalori sono:

2

ω = 0 (14.92a)

1 k

2

ω = 2 (14.92b)

2 m

Si ricavi ora lo spostamento della seconda massa in funzione di quello della prima, alternativamente con

il primo ed il secondo autovalore; si ottiene:

x 1

X

1 1 1 q (14.93a)

q =

= 1

1 1

x X

2 1 2

1

x 1

X

1 2 1 q (14.93b)

q =

= 2

2 −1

X

x 2 2

2 2

da cui si ricava la matrice dei modi

1 1

[ψ] = (14.94)

−1

1

Ora occorre ridurre le matrici di massa e di rigidezza, secondo le (14.55a), (14.55b), e il termine noto in

base modale:

2m 0

T

[diag (m )] = [ψ] [M ] [ψ] = (14.95a)

j 0 2m

0 0

T

[diag (k )] = [ψ] [K] [ψ] = (14.95b)

j 0 4k

F

T {F }

[ψ] = (14.95c)

F

La (14.95b) mette in evidenza la singolarità della matrice [K].

Il problema (14.90), trasformato secondo l’approccio modale, diventa quindi

2mq̈ = F (14.96a)

1

2mq̈ + 4kq = F (14.96b)

2 2 14-12

Figura 14.4: Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione.

ovvero si ottengono due equazioni disaccoppiate di cui la prima descrive un moto uniformemente acceler-

ato, associato alla traslazione rigida dell’intero sistema, mentre la seconda descrive un tipico oscillatore

armonico non smorzato, associato alla vibrazione delle due masse attorno al baricentro.

Si calcoli, infatti, la posizione del baricentro relativa ai due modi (14.93a) e (14.93b):

P m X q

j 1 j 1

x = = q (14.97a)

P

CG1 1

m j

P m X q

j 2 j 2

x = =0 (14.97b)

P

CG2 m j

dalla (14.97a) si deduce che la coordinata modale q esprime naturalmente il moto del baricentro del

1

sistema; per l’ortogonalità dei modi propri attraverso la matrice di massa ne risulta la necessità che il

baricentro non si sposti in conseguenza del moto secondo l’altro modo proprio.

È interessante notare come l’approccio modale abbia portato direttamente ed in modo naturale alla

scrittura delle due equazioni (5.43) e (5.52), ove si ponga q = x e q = ∆x, che nel paragrafo 5.3.1

1 CG 2

erano state dedotte attraverso una serie di ragionamenti all’apparenza specifici per il particolare problema

in esame.

14.3 Applicazione: assorbitore dinamico

Il concetto su cui si basa l’assorbitore dinamico è quello di trasferire tutta l’energia introdotta in un

sistema vibrante da un campo di forze, mandandone volutamente in una sorta di risonanza un particolare,

mentre il resto del sistema è mantenuto in quiete.

È importante notare che l’assorbitore dinamico, come dice il nome stesso, non dissipa energia. Al

contrario, assorbe l’energia associata al movimento forzato a regime di un sistema, e la confina, sotto

forma di energia cinetica e potenziale elastica, in una parte del sistema stesso.

14-13

Figura 14.5: Modello dell’assorbitore dinamico.

Nella figura è rappresentata la sospensione di una linea elettrica ad alta tensione. Ovvi problemi

impediscono di collegare il cavo a terra, ad esempio con un elemento dissipativo. D’altronde il basso

smorzamento del cavo e l’ampio spettro del vento incidente, oltre al fenomeno delle vibrazioni indotte

per distacco di vortici, rendono molto probabile l’eccitazione in risonanza della campata.

Consideriamo il comportamento del cavo con l’assorbitore dinamico, considerando quest’ultimo, per

semplicità, a un solo grado di libertà anzichá a quattro, ovvero ci si riconduca allo schema seguente dove

m e k sono rispettivamente la massa e la rigidezza a flessione del cavo, mentre m e k sono quelle di

1 1 2 2

uno dei due contrappesi. Essendo il sistema lineare, o come tale approssimabile, la forzante armonica è

una delle componenti dello sviluppo in serie di Fourier dell’azione del vento.

Le equazioni di moto sono le soluzioni a regime del sistema

m ẍ + k x + k (x x ) = F sin (ωt) (14.98a)

1 1 1 1 2 1 2 0

m ẍ + k (x x ) = 0 (14.98b)

2 2 2 2 1

Effettuiamo le seguenti sostituzioni

s k 1 (14.99a)

ω =

11 m 1

s k 2

ω = (14.99b)

22 m 2

F 0 (14.99c)

X =

0 k 1

e imponiamo come soluzioni degli integrali particolari

x (t) = X sin (ωt) (14.100a)

1 1

x (t) = X sin (ωt) (14.100b)

2 2

otterremo

 

! 2

k k

ω

2 2

1 + X X = X (14.101a)

  1 2 0

k ω k

1 11 1

 ! 2

ω

−X X = 0 (14.101b)

1

+ 

 2

1 ω 22 14-14

Figura 14.6: Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico.

ovvero ! 2

ω

1 ω

X 22

1 (14.102a)

=   

 ! !

2 2

X 0 k

ω

ω

k 2

2 − −

− 1

1 +   

 k ω ω k

1 11 22 1

1

X 2 = (14.102b)

   

! !

2 2

X 0 k k

ω ω

2 2

− − −

1 + 1

   

k ω ω k

1 11 22 1

Si nota immediatamente che per ω = ω , pari alla frequenza propria del solo assorbitore dinamico messo

22

9 −k

a terra, X /X si annulla , mentre X /X = /k , ovvero

1 0 2 0 1 2

2

−F

k X = = ω m X (14.103)

2 2 0 2 2

che ci permette, noto F e ω, ovvero nota la forzante, di determinare l’entità della massa m una volta

0 2

fissata la massima freccia ammissibile X per il trefolo che regge la massa stessa. Le due frequenze

2

proprie del sistema dipendono, ovviamente, dal rapporto

m 2 (14.104)

µ = m 1

14.4 Vibrazioni forzate smorzate

Come sappiamo esistono diversi tipi di smorzamento, quali il viscoso, l’isteretico, quello dovuto ad attrito

coulombiano, quello aerodinamico, ecc. È in generale difficile valutare quale tipo di smorzamento agisca

in una particolare struttura; spesso il fenomeno dissipativo è dovuto alla presenza contemporanea di più

di tipi di smorzamento. In molti casi, tuttavia, lo smorzamento è piccolo e possono essere fatte alcune

ipotesi semplificative.

Il sistema di equazioni di equilibrio dinamico per il sistema vibrante di figura 14.7 è dato da

−c −k

m 0 c + c ẋ k + k x f

1 1 2 2

1 1 1 2 2 1 1

+ + =

−c −k

0 m ẍ c + c ẋ k + k x f

2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

9 Infatti, per tale frequenza, si annullano i due zeri della funzione di trasferimento tra la forzante X e lo spostamento

0

della massa 1, X . Si noti che è improprio dire che l’assorbitore viene fatto funzionare in risonanza, perché, dal momento

1

che viene montato sul sistema, non è più definita una sua frequenza propria indipendente, ma, dato che aggiunge un grado

di libertà al sistema su cui viene montato, il sistema risultante ha una frequenza propria in più, che però dipende dalle

caratteristiche dinamiche dell’insieme. 14-15

Figura 14.7: Sistema vibrante a 2 gradi di libertà smorzato. (14.105)

ovvero {ẍ} { {x} {f }

[M ] + [C] ẋ} + [K] = (14.106)

14.4.1 Smorzamento proporzionale

Si ha il cosiddetto smorzamento proporzionale se la matrice [C] può essere scritta come

[C] = α [M ] + β [K] (14.107)

con i casi particolari per cui α = 0 o β = 0. Quindi il termine ‘proporzionale’ si riferisce al fatto che la

matrice di smorzamento [C] è proporzionale alle matrici di massa e di rigidezza.

In tutti e tre i casi si dimostra facilmente che la matrice modale (14.49) del sistema conservativo

associato, ovvero quello senza smorzamento, che diagonalizza tanto la matrice di massa [M ] quanto

quella di rigidezza [K], rende diagonale anche la matrice [C].

Infatti, nel caso più generale di equazione (14.107)

T T

[ψ] [C] [ψ] = [ψ] (α [M ] + β [K]) [ψ] = α [diag (m )] + β [diag (k )] = [diag (c )] (14.108)

j j j

quindi il problema (14.106), in coordinate principali, diventa

T

{q̈} { {q} {f }

[diag (m )] + [diag (c )] q̇} + [diag (k )] = [ψ] (14.109)

j j j

che rappresenta un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di libertà del sistema, del

tipo T

{X} {f }

m q̈ + c q̇ + k q = (14.110)

j j j j j j j

{X}

dove è il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.

j

L’equazione, che risolta fornisce la legge del moto di un sistema ad un grado di libertà forzato, mette

in luce che, a meno di una costante arbitraria, la forzante è data dal lavoro che le restanti forze agenti

sul sistema compiono per il j-esimo modo di vibrare.

Le frequenze proprie del sistema sono date da

q 2

ω = (14.111a)

ω 1 ξ

Di j j

s k j (14.111b)

ω =

j m j

c α βω

j j

ξ = = + (14.111c)

j 2m ω 2ω 2

j j j

mentre la contrazione della soluzione avviene con le ampiezze che decrescono esponenzialmente con legge

ω t

−ξ , e il generico termine della matrice di trasferimento vale

del tipo e j

j N ·

X X

X r j r k

h (ω) = h (ω) = (14.112)

jk kj 2

k m ω + iωc

r r r

r=1 14-16

Il modello di smorzamento proporzionale viene essenzialmente introdotto perché, per strutture debol-

mente smorzate, consente di utilizzare le forme modali ottenute per il sistema conservativo ad un costo

computazionale decisamente inferiore a quello necessario nel caso di smorzamento generico, illustrato nel

seguito.

Un’analisi puramente qualitativa di questo modello mostra che se l’idea di forze dissipative pro-

porzionali alle forze elastiche può essere plausibile, in quanto le forze elastiche sono proporzionali alla

deformazione e quindi a movimenti relativi, l’idea di forze dissipative proporzionali alle forze d’inerzia

lascia abbastanza perplessi, in quanto le forze d’inerzia sono proporzionali alle accelerazioni assolute, e

quindi a movimenti assoluti. Per cui si arriva all’assurdo che su di un sistema non vincolato, sottoposto

ad un movimento rigido, agisce uno smorzamento strutturale di tipo viscoso.

In conclusione, la scelta di questo tipo di smorzamento va vista soprattutto come un espediente per

introdurre in modo computazionalmente vantaggioso una dissipazione che di caso in caso deve essere

tarata per risultare globalmente equivalente a quella rilevata sperimentalmente per un dato sistema

debolmente smorzato.

14.4.2 Smorzamento isteretico

Nel caso di smorzamento isteretico o strutturale, abbiamo già visto nel Capitolo 13 che l’energia dissipata

in un ciclo è indipendente dalla pulsazione, ma dipende solo dalla ampiezza di vibrazione, ovvero, nel

10

dominio delle frequenze ,

η

2 {x} {x} {f }

− {x} [K] ω + [K] = (14.113)

[M ] ω + i ω

ove si è usata la matrice proporzionale

η [K] (14.114)

[C] = ω

per rendere la proporzionalità dello smorzamento dalla rigidezza, attraverso il coefficiente η, ma non

dalla frequenza. Ne risulta l’equazione

2

−ω {x} {f }

[M ] + (1 + iη) [K] = (14.115)

−1

nella quale la dissipazione è ottenuta “sfasando” le forze elastiche di un angolo tan η. In coordinate

principali si ottiene T

2

−ω {q} {f }

[diag (m )] + (1 + iη) [diag (k )] = [ψ] (14.116)

j j

ovvero un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di libertà del sistema, del tipo

T

2

−ω {X} {f }

m q + (1 + iη) k q = (14.117)

j j j j j

{X}

dove è il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.

j

Ovviamente

k p

j −1

2 2 i tan η

2

−ω

− (1 + iη) =

λ = 1 + η e (14.118)

j j

m j

mentre il generico termine della matrice di trasferimento vale

N ·

X X

X r j r k (14.119)

h (ω) = h (ω) =

jk kj 2

k m ω + iηk

r r j

r=1

10 Questo tipo di smorzamento non è rappresentabile nel dominio del tempo, perché dà luogo ad un sistema dal

comportamento non causale. 14-17

14.4.3 Smorzamento viscoso generico

Quando la matrice di smorzamento non è proporzionale alla matrice di massa e/o a quella di rigidezza, la

matrice modale (14.49) del sistema conservativo associato non diagonalizza la matrice di smorzamento.

Si può tuttavia ottenere un sistema disaccoppiato nel modo seguente. Il set di N equazioni differenziali

del secondo ordine è convertito in un set di 2N equazioni differenziali del primo ordine, assegnando nuove

variabili (chiamate variabili di stato) a ciascuna delle coordinate libere originali e delle loro derivate nel

tempo

ẋ ẋ

m 0 m 0 0

1 1

1 1

− =

0 m 0 m 0

ẋ ẋ

2 2

2 2 (14.120a)

−c −k

m 0 ẍ c + c ẋ k + k x f

1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

+ + =

−c −k

0 m ẍ c + c ẋ k + k x f

2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

(14.120b)

ovvero 

  

 −m 0

0 0 0 ẋ

0 0 m 0 1 1

1

1 

 

 

 −m 0

0 0 0 ẋ

0 0 0 m  

 2 2

2

2 =

+  

 −k

−c f

x

0 0 k + k

m 0 c + c  

 1

1

1 2 2

1

1 1 2 2 

 

 

 −k

−c f

x

0 0 k + k

0 m c + c 2

2

2 2 3

2

2 2 2 3 (14.121)

Sostituendo

x = z (14.122a)

1 1

x = z (14.122b)

2 2

ẋ = ż = z (14.122c)

1 1 3

ẋ = ż = z (14.122d)

2 2 4

ẍ = ż (14.122e)

1 3

ẍ = ż (14.122f)

2 4

otteniamo      

   

−m

0 0 m 0 ż 0 0 0 z 0

1 3 1 3

     

     

     

−m

0 0 0 m ż 0 0 0 z 0

   

2 4 2 4

+ =

   

−c −k

m 0 c + c ż 0 0 k + k z f

   

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

     

     

     

−c −k

0 m c + c ż 0 0 k + k z f

2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

(14.123)

ovvero { {z} {g}

[A] ż} + [B] = (14.124)

con

[0] [M ]

[A] = (14.125a)

[M ] [C]

− [M ] [0]

[B] = (14.125b)

[0] [K]

{0}

{g} = (14.125c)

{f }

Si noti che le matrici [A] e [B] sono simmetriche, ancorché non più definite positive; gli autovalori del

problema omogeneo associato sono direttamente gli autovalori del problema meccanico, e sono in generale

o reali o complessi coniugati. 14-18

Si consideri ancora il problema di figura 14.7, con m = m = m, c = c = c = c, k = k = k = k.

1 2 1 2 3 1 2 3

In questo caso particolare di smorzamento proporzionale si ottiene, dal calcolo degli autovalori e degli

autovettori √

 

2 −

3c + 9c 12mk 0 0 0

2m √

 

 

2 −

− 9c 12mk

3c

 

0 0 0

 

2m √

 

[diag (ω )] = (14.126)

j  

2 −

c 4mk

c +

 

0

0 0

 

2m √

 

 

2 −

− c 4mk

c

0 0 0 2m

e √ √

√ 

 2 2 2 2

− − − −

c + c

3c

9c 12mk 9c 12mk c 4mk c 4mk

3c + −

− 2m 2m 2m 2m

√ √ √

√ 

 

 2 2 2 2

− −

− − − −

3c c + c

3c + 9c 12mk 9c 12mk c 4mk c 4mk 

 

 2m 2m 2m 2m 

[ψ] = (14.127)

 

 − −1

1 1 1 

 

 

 1 1 1 1

Si noti che gli autovalori sono o reali, se i radicandi sono positivi, o complessi coniugati, se i radicandi

sono negativi; inoltre, le prime e le ultime due righe della matrice degli autovettori soddisfano la relazione

ψ = ψ [diag (ω )] (14.128)

j

1|2 3|4

che traduce la condizione

x = z (14.129a)

1 1

ẋ = ż = z = ω x (14.129b)

1 1 3 j 1

x = z (14.129c)

2 2

ẋ = ż = z = ω x (14.129d)

2 2 4 j 2

mentre le ultime due righe della matrice degli autovettori contengono gli autovettori del sistema conser-

vativo di partenza, come atteso dal momento che la matrice di smorzamento è proporzionale.

Nel caso invece generale, di smorzamento non proporzionale, i modi propri smorzati esistono, ma

non sono più identici a quelli del sistema conservativo e vi sono differenze di fase (non più 0 o π) tra le

componenti delle coordinate libere. I modi sono quindi complessi e in generale non sono più definibili

punti nodali (aventi componente nulla dello spostamento).

Esercizio 14.4 Dato il problema omogeneo associato alla (14.106) si dimostri che non può avere au-

{X}

tovettori reali associati agli eventuali autovalori complessi coniugati.

14.5 Dal continuo al discreto

Lo studio delle vibrazioni di sistemi continui, ad esempio dei modi propri di vibrare di una trave, viene

affrontato in modo abbastanza simile a quello descritto in questo capitolo per i sistemi discreti a più

gradi di libertà, a partire dalle equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono la dinamica del

continuo. Questa trattazione esula dallo scopo del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali; tuttavia,

dal momento che sono evidenti i punti di contatto tra i due argomenti, viene qui introdotto, in modo

del tutto qualitativo, il problema della discretizzazione dei problemi continui, che consente di superare i

limiti della trattazione analitica qualora il problema non sia risolvibile in forma chiusa.

In particolare, si illustra come, attraverso una discretizzazione sia pure grossolana del problema

continuo, sia possibile stimare le sue frequenze proprie con accuratezza via via crescente.

14-19


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico scritta per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, riguardante: dinamica del corpo rigido; scrittura delle equazioni di moto mediante approcci energetici; cenni di dinamica del corpo rigido nello spazio; cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi; dinamica dei sistemi di corpi rigidi mediante le equazioni di Lagrange; sistemi vibranti ad un grado di libertà; azioni mutue tra elementi di macchine; dinamica della macchina a un grado di libertà; azionamento elettromeccanico in corrente continua; modellazione elementi a fluido; sistemi immersi in campi di forza; esempi di azionamenti idraulici.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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