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Capitolo 2

Dinamica del corpo rigido nel piano

In questo capitolo viene illustrata la scrittura delle equazioni del moto di sistemi piani mediante principi

energetici, metodo alternativo alla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico di ogni corpo

componente.

Con la dicitura si intendono quegli approcci basati sulla scrittura di un funzionale

principi energetici

la cui minimizzazione porta alla scrittura di un sistema di equazioni di bilancio. Tra questi metodi ricade

il Principio dei Lavori Virtuali.

2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali

L’approccio visto nel capitolo precedente studia l’equilibrio dinamico di un sistema meccanico basandosi

sulla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio di forze e momenti. In particolare si è visto che,

grazie al principio di D’Alembert, è possibile ricondurre il problema dinamico ad un problema statico

equivalente, introducendo il sistema di forze e coppie di inerzia.

In alternativa, è possibile usare il (o P.L.V.), che si enuncia come segue:

Principio dei Lavori Virtuali

condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio dinamico, in un sistema meccanico con

vincoli lisci ovvero in assenza di attrito, è che sia nullo il lavoro delle forze e coppie attive,

comprendendo tra esse la forza e la coppia d’inerzia, per qualsiasi spostamento virtuale del

sistema.

Uno spostamento si definisce virtuale quando è infinitesimo e compatibile con i vincoli a

tempo fissato.

La limitazione ai soli vincoli lisci sopra indicata può essere rimossa con oppurtuni accorgimenti, quindi

l’applicabilità del P.L.V. è sufficientemente ampia da consentirne l’uso in tutte le applicazioni di interesse

per il corso. Inoltre, per un sistema ad un solo grado di libertà a vincoli lisci, il metodo consente di

ottenere una sola equazione pura di moto che non dipende dalle incognite di reazione vincolare. Questa

equazione consente di risolvere direttamente il problema dinamico senza dover calcolare le incognite

aggiuntive rappresentate dalle reazioni vincolari stesse.

Per fare un esempio di questo procedimento ci riferiamo nuovamente al caso del corpo rigido di piccolo

spessore del capitolo precedente. Data la presenza di una cerniera a terra in O, lo spostamento virtuale

~ ~kδϑ

del corpo è di tipo rotatorio, descritto dalla rotazione virtuale δ ϑ = del corpo rigido (assunta, per

~k

convenzione, positiva se anti-oraria), con versore perpendicolare al piano contenente il corpo.

Applicando il Principio dei Lavori Virtuali: ˙ ~

~

~ ~

∗ × − ×

× × × − ω

~ δ ϑ m~a δ~s = 0 (2.1)

δ L = M δ ϑ + m~g δ~s + F δ~s J G G

G P G

in cui le variabili fisiche sono

~ ~

∧ − ∧ −

~s = ϑ (G O) ~s = ϑ (P O) . (2.2)

G P 2-1

2-2 CAPITOLO 2. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO NEL PIANO

Figura 2.1: Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio.

da cui risultano le variazioni virtuali

~ ~

∧ − ∧ −

δ~s = δ ϑ (G O) δ~s = δ ϑ (P O) . (2.3)

G P

Svolgendo i prodotti indicati e raccogliendo a fattor comune la rotazione virtuale δϑ si ha:

2

∗ − − − − −

δ L = M J ω̇ m (G O) cos ϑ m (G O) ω̇ δϑ = 0 (2.4)

G

1 6

da cui, semplificando per δϑ = 0, si ottiene 2

− − − − −

M J ω̇ m (G O) cos ϑ m (G O) ω̇ = 0 (2.5)

G

che risulta coincidere con la (1.31), ottenuta in origine scrivendo direttamente l’equilibrio dinamico dei

momenti.

2.2 Il teorema dell’energia cinetica

La Meccanica Razionale ha proposto il in due forme. Indicati con T

Teorema dell’Energia Cinetica

l’energia cinetica del corpo rigido, Π la potenza e L il lavoro delle forze esterne, per un sistema a vincoli

fissi il teorema dell’energia cinetica:

• in forma differenziale

dT =Π (2.6)

dt

afferma che la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica eguaglia la potenza delle forze attive,

escluse quelle d’inerzia;

• in forma integrale

∆T = L (2.7)

afferma che la variazione di energia cinetica tra due istanti di tempo eguaglia il lavoro compiuto

dalle forze attive, escluse quelle d’inerzia, nell’intervallo trascorso.

Ritornando all’esempio considerato, l’energia cinetica T del corpo risulta:

1

1 × ×

m~v ~v + J ω

~ ω

~ (2.8)

T = G G G

2 2

1 Questa semplificazione è lecita per l’arbitrarietà degli spostamenti virtuali.


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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