Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

1-4 CAPITOLO 1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

ovvero esiste un legame tra variabile fisica ξ e le variabili indipendenti x e x adottate.

1 2

Sempre in riferimento alla figura 1.2, l’azione esercitata dalla molla k dipende dalla sua elongazione

5

rispetto alla posizione di molla scarica, per cui può risultare conveniente l’utilizzo di un’altra variabile

fisica per definire la deformazione della molla rispetto alla condizione di molla scarica.

1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici

Come noto, l’equilibrio di un sistema meccanico in condizioni di quiete può essere studiato mediante le

equazioni cardinali della statica.

Ad esempio, nel caso di un corpo rigido libero nel piano xy, dotato quindi di tre gradi di libertà,

soggetto ad un generico sistema di forze esterne, il sistema di equazioni di equilibrio equivale a tre

~

equazioni scalari indipendenti (due componenti per il risultante R di tali forze, ed una sola componente

~

per l’equazione del loro momento M rispetto a un polo O qualsivoglia), in numero eguale al numero dei

gradi di libertà del corpo, ovvero:

~

R = 0 (1.4)

~

M = 0

O

che, proiettate sul piano cartesiano xy, danno luogo al sistema di equazioni pure:

 R = 0

x

 R = 0 (1.5)

y

 M = 0

Oz

Nel caso di un sistema composto da più corpi tra loro connessi, le equazioni cardinali della statica

applicate all’intero sistema costituiscono condizione solo necessaria. In tal caso occorre:

• separare i corpi che costituiscono il sistema e scriverle per ognuno di essi, includendo quindi anche

le reazioni vincolari scambiate tra i corpi stessi, oppure

• considerare, oltre alle equazioni cardinali applicate al sistema completo, ulteriori equazioni di equi-

librio riguardanti le mobilità relative tra i corpi che costituiscono il sistema meccanico nel suo

complesso.

La dinamica di un sistema meccanico è definita attraverso relazioni che intercorrono tra moto del

sistema (in termini di accelerazioni subite dai diversi punti del sistema) e forze agenti. Sono possibili

due approcci allo studio della dinamica:

• uno basato sulle equazioni di equilibrio di che possono essere considerate il duale

D’Alembert,

dinamico delle equazioni cardinali della statica,

• uno basato su un approccio energetico, che consiste nell’applicazione sia del Principio dei Lavori

(d’ora in poi PLV), sia del teorema di o di quello dell’energia

Virtuali Lagrange cinetica.

Vale infine la pena di osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistema e le corrispondenti

accelerazioni gioca un ruolo fondamentale la definizione delle caratteristiche meccaniche del sistema

stesso: pertanto utilizzeremo nello studio della dinamica tutte le nozioni relative alla geometria delle

masse che sono state oggetto del corso di Meccanica Razionale.

Nel caso di un punto materiale di massa m vincolato, dalla legge di Newton (seconda legge della

~

Dinamica) si ricava che l’accelerazione subita dal punto è legata al risultante F di tutte le forze attive e

reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:

~ ~ ~

m~a = F = R + Ψ (1.6)

~ ~

dove Ψ è la che traduce l’azione del vincolo, mentre R è il risultante delle sole forze

reazione vincolare

attive. 1-5

1.3. EQUAZIONI DI MOTO: EQUILIBRI DINAMICI

Definendo come la quantità:

forza d’inerzia

~ −m~a

F = (1.7)

i

pari al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione e agente in verso opposto a quest’ultima,

l’equazione di moto (1.6) può essere riscritta sotto forma di una equazione di equilibrio equivalente:

~ ~ ~ ~ ~

F + F = 0 R + Ψ + F = 0 (1.8)

i i

ossia il problema dinamico può essere sempre ricondotto a un problema statico equivalente, a condizione

di aggiungere al risultante delle forze attive e reattive anche la forza di inerzia.

Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla Equazione (1.8), costituisce l’enunciato

del principio di D’Alembert nel caso del punto materiale.

L’applicazione di tale principio può essere estesa al caso del corpo rigido, o del sistema di corpi rigidi.

1.3.1 Dinamica del corpo rigido

Consideriamo il caso di un corpo rigido di dimensioni non trascurabili, cioè un sistema continuo di punti

materiali ai quali è imposto il vincolo della rigidità. In questo caso, il principio di D’Alembert, che

nella (1.8) è stato applicato ad un generico punto materiale, può essere scritto per ciascun punto del

corpo, che è quindi sottoposto a forze di inerzia distribuite. La forza d’inerzia infinitesima agente sul

generico punto P di massa dm è:

~ −

d F = dm ~a (1.9)

i

Definita questa distribuzione di forze, potremo quindi dire che il moto del corpo deve soddisfare le

equazioni che ne definiscono l’equilibrio dinamico sotto l’azione delle forze (attive e reattive) agenti su

di esso, oltre a quelle di inerzia. Nel caso del corpo rigido è possibile ridurre l’intero sistema di forze

~ ~

d’inerzia distribuite ad un F più una coppia d’inerzia C che possono essere espressi in

risultante i Gi

funzione dell’accelerazione del baricentro G e dell’accelerazione angolare del corpo stesso, come illustrato

nel seguito.

Le equazioni vettoriali che descrivono il moto del corpo rigido possono essere scritte a partire dalle

equazioni cardinali della statica (1.4), includendo il termine aggiuntivo dovuto alle forze di inerzia, ovvero:

~ ~

F + F = 0

i (1.10)

~ ~

M + C = 0

O Oi

~ ~

dove F è il risultante delle forze attive e reattive, e M è il loro momento rispetto al polo O. Il problema

O

dinamico è quindi ricondotto, ancora una volta, a un problema statico equivalente, a condizione di

~ ~

essere in grado di calcolare il risultante F delle forze di inerzia d F agenti sul corpo e il loro momento

i i

risultante rispetto al polo O considerato. Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpo

deformabile, ma per i corpi rigidi, oggetto di questo corso, vale la regola generale illustrata nel seguito.

La forza d’inerzia è data dall’integrale esteso al volume V del corpo della forza d’inerzia elementa-

re (1.9) Z

~ ~

F = d F

i i

V

Z

= ρ~a dV (1.11)

V

dove la massa infinitesima è data dal prodotto della densità del materiale per il suo volume infinitesimo

dm = ρdV (1.12)

mentre la coppia d’inerzia rispetto al generico punto O è data dall’integrale esteso al volume V del corpo

del momento della forza d’inerzia elementare (1.9) rispetto al punto O

Z

~ ~

− − ∧

C = (P O) d F

Oi i

V

Z

− − ∧

= ρ (P O) ~a dV (1.13)

V

1-6 CAPITOLO 1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

2

Facendo riferimento alla terna intrinseca , posizione, velocità ed accelerazione del punto P sono

~x = ~x + (P O) (1.18)

P O

˙ ˙ ∧ −

~x = ~x + ω

~ (P O) (1.19)

P O

¨ ¨ ˙

∧ ∧ − ∧ −

~x = ~x + ω

~ (~

ω (P O)) + ω

~ (P O) (1.20)

P O

L’equazione (1.11) che esprime la forza d’inerzia complessiva del corpo diventa

Z Z Z

¨ ˙

~ − − ∧ ∧ − − ∧ −

F = ρ

~x dV ρ~

ω (~

ω (P O)) dV ρ ω

~ (P O) dV

i O

V V V

Z

Z

Z ¨ ~k

2 − ∧ −

− ω̇ ρ (P O) dV (1.21)

ρ (P O) dV

~x + ω

= ρ dV O V

V

V |

|

{z } {z } {z }

| m ~ ~

S S

O O

La posizione del punto P può essere espressa in relazione alla posizione G del baricentro

− − −

(P O) = (P G) + (G O) (1.22)

~

Di conseguenza, l’espressione del momento statico S rispetto al punto O diventa

O

Z

~ −

ρ (P O) dV

S =

O V

Z Z

− −

= ρ (P G) dV + ρ (G O) dV

V V

| {z }

~

0

Z

− (1.23)

ρ dV

= (G O) V {z }

| m

in quanto per definizione il momento statico rispetto al baricentro è nullo; la (1.13) diventa quindi

¨ ~k

~ ~ ~

2

− − ∧

F = m

~x + ω S ω̇ S (1.24)

i O O O

2 Si ricordi che un vettore è definito dal suo modulo e dalla sua direzione; la derivata di un vettore di modulo costante

che cambi direzione non è nulla. Si consideri, ad esempio, un vettore (P − O) di modulo |P − O| costante che rappresenta

0 0

la distanza tra il generico punto P ed un polo O nel piano all’istante di tempo t. Nell’istante t il punto si sposti in P ; la

velocità del punto P all’istante t si definisce

0

(P − P )

~v = lim (1.14)

P t − t

0

0

t →t

e, per costruzione, è perpendicolare a (P − O). Può quindi essere scritta come

(P − O)

~k

~v = ∧ v (1.15)

P P

|P − O|

ove v è uno scalare che ne rappresenta l’ampiezza. Si definisca

P v = ω |P − O| (1.16)

P

l’ampiezza della velocità ~v , costituita dal prodotto tra il modulo della posizione del punto P e uno scalare ω; la (1.15)

P

diventa ~kω

~v = ∧ (P − O) (1.17)

P

~kω

ove, in = ω

~ , si riconosce la velocità angolare del segmento (P − O). Se ne deduce che la derivata di un vettore costante

in modulo corrisponde alla velocità con cui cambia la sua orientazione. 1-7

1.3. EQUAZIONI DI MOTO: EQUILIBRI DINAMICI

L’equazione 1.13 che esprime la coppia d’inerzia complessiva del corpo diventa

Z Z

¨

~ − − ∧ − − ∧ ∧ ∧ −

C = ρ (P O) ~x dV ρ (P O) (~

ω (~

ω (P O))) dV

Oi O

V V

Z

˙

− − ∧ ∧ −

ρ (P O) ω

~ (P O) dV

V Z

Z ¨ 2

∧ − ∧ −

− − dV

~x + ρω (P O) (P O)

= ρ (P O) dV O {z }

|

V

V {z }

| ~

0

~

S O

Z ˙

− × −

− ω

~

(P O) (P O) dV

V

| {z }

J O Z

 

− × −

ρ (P G) (P G) dV

 

V

 

| {z }

 

J

 

G

Z

 

− × ρ (P G) dV

+ 2 (G O)

 

¨ ˙

~  

− −

= S ~x ω

~

V

O O  

| {z }

 

 

~

0

Z

 

 

− × − ρ dV

+ (G O) (G O)

 

 

V

| {z }

m

˙ ˙

¨

~ − − − × −

− J ω

~ m (G O) (G O) ω

~ (1.25)

S ~x

= G

O O

Dalle (1.24) e (1.25) è evidente come la scelta del baricentro come punto rispetto al quale riferire la

~

coppia sia particolarmente vantaggioso, in quanto, per G O = 0, si ottiene

¨

~ −

F = m

~x (1.26)

i G

C = J ω̇ (1.27)

Gi G

Quanto illustrato a proposito della forza e coppia d’inerzia si applica anche a problemi nello spazio;

in tale caso, tuttavia, la velocità e l’accelerazione angolare possono avere direzione arbitraria, per cui la

scrittura delle caratteristiche inerziali del corpo rigido comporta alcuni termini aggiuntivi.

1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e con un punto

fisso

Esercizio 1

Si vogliono calcolare la coppia motrice M e le reazioni vincolari nel punto di vincolo O di un corpo rigido

˙

di spessore trascurabile e incernierato in O per velocità angolare ω

~ e accelerazione angolare ω

~ imposte.

L’analisi cinematica insegna che tutti i punti del corpo rigido descrivono una traiettoria circolare intorno

al punto fisso O; quindi il moto del baricentro G è descritto dalle relazioni

~x = (G O) (1.28)

G

˙ ω~k ∧ −

~x = (G O) (1.29)

G

¨ ~k

2 ∧ −

− − + ω̇ (G O) (1.30)

~x = ω (G O)

G |

| {z } {z }

~

a ~

a

n t

dove sono state messe in evidenza le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione, rispettivamente

~a e ~a .

n t


PAGINE

10

PESO

268.88 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Dinamica di sistemi aerospaziali

Sistemi vibranti a più gradi di libertà
Dispensa
Sistemi vibranti ad un grado di libertà
Dispensa
Macchina a un grado di libertà - Dinamica
Dispensa
Stabilità - Equilibrio e linearizzazione
Dispensa