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Figura 1

Utilizzando le espressioni della corrente ricavate nel capitolo 2, si può scrivere

φ λ φ φ λ φ

d d

≡ − = − ≡

A A A B B B

( j ) ( j ) (9.3a)

+ +

A B

4 6 dx 4 6 dx

φ λ φ φ λ φ

d d

≡ + = + ≡

A A A B B B

( j ) ( j ) (9.3b)

− −

A B

4 6 dx 4 6 dx

Sottraendo una equazione dall'altra si ottiene:

λ φ λ φ

d d

− = −

A A B B

3 dx 3 dx

sicché la corrente neutronica risulta costante in prossimità del piano d'interfaccia.

Se invece sommiamo le due equazioni (9.3a) e (9.3b), si ottiene

φ = φ

A B 2

sicché i flussi neutronici ai due lati dell'interfaccia risultano pure eguali.

Terza condizione. In prossimità del confine che separa il mezzo dal vuoto il flusso

neutronico nel mezzo varia in maniera tale da richiedere che l'estrapolazione lineare

del flusso si annulli ad una distanza definita, oltre il confine. Questa distanza è

chiamata distanza di estrapolazione.

Supponiamo che il piano y,z rappresenti un confine tra un mezzo di diffusione,

a sinistra, ed il vuoto, a destra. Poiché non ci sono eventi di scattering nel vuoto che

consentano ai neutroni di rientrare nel mezzo, una volta usciti, la corrente nella

direzione negativa delle x, per x=0, sarà nulla. Quindi, dalla espressione della

corrente già ricavata si può scrivere:

φ λ φ

d

= + =

o t o

j 0 (9.4)

− 4 6 dx

dove l'indice "o" indica che ci troviamo al confine, posto ad x=0.

Figura 2

φ al confine è positivo. Osservando la (9.3) si deduce quindi che la derivata

Il flusso o

φ

d o è negativa in quel punto, come indicato schematicamente nella figura 2. Se il

dx

flusso neutronico è estrapolato nel vuoto, con una linea diritta avente lo stesso

φ

d o

coefficiente angolare , esso si annulla ad una distanza d data dall'equazione

dx 3

φ φ φ

d 6

− = = −

o o o ,

λ

d dx 4 t

La distanza d è chiamata distanza di estrapolazione lineare. Essa, per un confine

rappresentato da una superficie piana tra un mezzo ed il vuoto, è data da

2

= λ

d .

t

3

Sulla base della distanza di estrapolazione lineare, quindi, il flusso neutronico

2 λ

dovrebbe svanire ad una distanza eguale a oltre il piano che separa il mezzo di

t

3

diffusione dal vuoto. Questa condizione al contorno viene spesso enunciata nel

seguente modo: il flusso neutronico si annulla al confine estrapolato, essendo questo

2 λ

confine ad una distanza eguale a rispetto al confine reale, nel caso di una

t

3

superficie piana.

Come detto in precedenza, la teoria della diffusione dei neutroni viene meno a

distanze inferiori a due o tre cammini medi dai confini di un mezzo. E' da aspettarsi,

quindi, che la distanza di estrapolazione testé ottenuta non sia corretta. Secondo la più

precisa teoria del trasporto, la distanza di estrapolazione lineare ad una superficie

2

λ λ

piana di un mezzo leggermente assorbente risulta 0.71 , piuttosto che . Quindi,

t t

3

per ottenere risultati più corretti, occorrerà tenere conto di un confine di

λ

estrapolazione distante 0.71 oltre il confine fisico tra un mezzo ed il vuoto.

t

E' importante rendersi conto che, nel supporre che il flusso neutronico si

annulla al confine estrapolato, ciò non implica che il flusso vi si annulli realmente.

L'idea del flusso che si annulli in un punto fissato è semplicemente un accorgimento

matematico usato per ottenere una semplice condizione al contorno.

Nella figura 3 sono indicate le curve del flusso relative alla teoria della

diffusione e del trasporto. Viene altresì indicata, accanto alla distanza di

estrapolazione secondo la teoria della diffusione, la distanza di estrapolazione

dell'andamento "asintotico" (valido lontano dalle superfici di separazione) della curva

ricavata dalla teoria del trasporto. Essendo questa seconda curva più precisa, si

preferisce assumere quest'ultima distanza. 4

Figura 3

Soluzione dell'equazione della diffusione

Risolveremo l'equazione della diffusione per alcuni casi particolari, in condizioni

stazionarie. In queste condizioni essa diventa

∇ φ − Σ φ + =

2 (9.5)

D S 0

a

Nel caso si abbia a che fare con una sorgente puntiforme, o piana, si risolve prima

l'equazione al di fuori dalla zona della sorgente e successivamente in prossimità della

sorgente si impongono le condizioni al contorno.

Se poniamo la sorgente S eguale a zero, la (9.5) diventa

∇ φ − Σ φ =

2 (9.6)

D 0

a

ossia ∇ φ − κ φ =

2 2 0 (9.7)

avendo posto

Σ

κ =

2 a

D 5

Espressioni della forma (9.7) sono dette anche equazioni d'onda, poiché sono

analoghe alle equazioni che rappresentano la propagazione delle onde nello spazio.

Le soluzioni generali delle equazioni d'onda possono essere ottenute mediante metodi

standard. La soluzione particolare relativa al problema di interesse può essere

ottenuta applicando le condizioni al contorno appropriate.

Sorgente puntuale in mezzo infinito.

Consideriamo una sorgente puntiforme che rilasci un neutrone al sec in uno spazio

omogeneo infinito. Scegliamo un sistema di coordinate che abbia origine nel punto

della sorgente puntiforme, col risultato che in questo sistema la distribuzione

neutronica nello spazio avrà una simmetria sferica. Sarà quindi conveniente

esprimere l'operatore laplaciano in termini di coordinate sferiche. Poiché la

distribuzione del flusso è simmetrica nel suddetto sistema, essa sarà indipendente

dall'angolo e quindi i termini che implicano dθ e dϕ saranno zero. Pertanto

l'equazione (9.7) diventa

φ φ

2

d 2 d

+ − κ φ =

2 0 (9.8)

2 r dr

dr

dove r è la distanza dal punto della sorgente. Naturalmente, questa equazione non si

applica nel punto della sorgente, dove r=0.

Le condizioni al contorno per questo problema sono le seguenti:

- Il flusso è finito ovunque eccetto alla sorgente, quindi per r>0. 2

- Il numero totale di neutroni che attraversano la superficie (4πr ) di una sfera deve

diventare eguale all'intensità della sorgente, via via che il raggio si approssima a zero.

Se j è la densità della corrente neutronica alla superficie della sfera, questa

condizione, che chiameremo condizione di sorgente, sarà espressa come:

π =

2

lim 4 r j 1

r 0

avendo assunto che l'intensità della sorgente sia unitaria.

φ=u/r.

Per risolvere la (9.8), poniamo L'equazione si riduce alla

2

d u − κ =

2 u 0

2

dr 6

2

κ

Poiché è una quantità positiva, la soluzione generale di questa equazione è

− κ κ

= +

r r

u Ae Ce

ossia − κ κ

r r

e e

φ = +

A C ,

r r

dove A e C sono costanti arbitrarie, da valutare in base alle condizioni al contorno.

Dalla prima condizione di finitezza del flusso per r>0, è chiaro che C deve essere

zero. Rimane quindi da determinare A.

La densità di corrente in un punto r risulta

φ κ +

 

d r 1

− κ

= − =  

r

j D DAe  

2

dr r

Quindi ( )

− κ

π = π κ + = π

2 r

lim 4 r j lim 4 DAe r 1 4 DA

→ →

r 0 r 0

La seconda condizione impone che questo limite sia eguale ad uno, sicché si ottiene

1

=

A .

π

4 D

La soluzione sarà quindi

− κ

r

e

φ = (9.9)

π

4 Dr

Questa espressione dà la distribuzione del flusso attorno una sorgente neutronica di

intensità unitaria, in condizioni stazionarie. Il flusso in qualsiasi posizione in un dato

κ

mezzo, assunti D e costanti, dipende solo dalla distanza dalla sorgente. Pertanto se

due o più sorgenti puntiformi sono presenti, il flusso in ogni posizione può essere

ottenuto sommando i contributi di ciascuna sorgente. In generale, qualsiasi sorgente

può essere trattata (discretizzata) come composta da un certo numero di sorgenti

puntiformi. La soluzione per il flusso sarà data quindi dalla sovrapposizione di

altrettante soluzioni di sorgenti puntiformi.

7

Sorgente piana infinita

Immaginiamo una sorgente piana infinita, che emette neutroni uniformemente al

2

tasso di 1 neutrone/cm sec., in un mezzo omogeneo infinito. Il sistema delle

coordinate sarà ora assunto in modo che la sorgente piana coincida con il piano per

cui x=0 in tutti i suoi punti.

Poiché la sorgente è infinita in estensione, è evidente che, per un dato valore di x,

esso sarà indipendente da y e z. L'operatore laplaciano in coordinate rettangolare sarà

2

d

semplicemente sicché l'equazione della diffusione omogenea (cioè per punti x

2

dx

≠ 0) sarà φ

2

d − κ φ =

2 0 (9.10)

2

dx

Le condizioni al contorno sono:

- Il flusso è finito ovunque eccetto alla sorgente (x=0).

- Alla sorgente piana la densità della corrente sarà di 0.5 neutroni per sec, cioè

=

lim j 0 .

5 .

x 0

Questa condizione può essere chiarita considerando una areola A, come dalla figura

4, molto vicina al piano della sorgente. La densità di corrente attraverso questa areola

è composta da neutroni che provengono direttamente dalla sorgente, viaggiando nella

direzione positiva delle x, e dai neutroni che diffondono attraverso questa areola in

entrambe le direzioni positiva e negativa. Se l'area si approssima alla sorgente piana, i

neutroni daranno via via contributi in direzioni opposte che tenderanno ad

eguagliarsi, sicché complessivamente tenderanno a non dare alcun contributo alla

corrente. attraverso questa areola. Ne segue che la corrente netta in punti molto vicini

alla sorgente piana è determinata direttamente dai neutroni che provengono dalla

sorgente stessa nella direzione positiva. Poiché questi si distribuiscono equamente

nelle due direzioni positiva e negativa, come indicato nella figura, è evidente che se S

2

è l'intensità della sorgente per cm per sec, la corrente netta vicino alla sorgente sarà

S/2 . 8


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Ingegneria del nocciolo del Prof. Augusto Gandini, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: diffusione dei neutroni, condizioni al contorno; soluzione dell'equazione della diffusione; sorgente puntuale in mezzo infinito; sorgente piana infinita; lunghezza di diffusione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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