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Sostituendo i prezzi ottimi nelle quantità p L − b + a

− p

B A

∗ ∗ ∗

≡ D (p , p ) =

q +

A

A A B 2t 2

¡ ¢

b−a a−b

− tL + t

tL + t L − b + a

3 3

= +

2t 2

µ ¶

1 a − b

= L +

2 3 p L + b − a

− p

A B

∗ ∗ ∗

≡ D (p , p ) =

q +

B

B A B 2t 2

¡ ¢

a−b b−a

− tL + t

tL + t L + b − a

3 3

= +

2t 2

µ ¶

1 a − b

= L −

2 3

∗ ∗

a , b

2.3 I stadio: localizzazione ottima µ ¶

p − p L − b + a

B A

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

π (p , p ) = p · D (p , p ) = p · +

A A

A A B A A B 2t 2

µ ¶µ µ ¶¶

a − b 1 a − b

= tL + t L +

3 2 3

µ ¶

2

1

1 3L + a − b

2 =

= t (3L + a − b) t

18 2 3

µ ¶

2

t a − b

= L +

2 3 µ ¶

p L + b − a

− p

A B

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

π (p , p ) = p · D (p , p ) = p · +

B B

B A B B A B 2t 2

µ ¶µ µ ¶¶

a − b 1 a − b

= tL − t L −

3 2 3

µ ¶

2

t a − b

= L −

2 3

"Minima differenziazione del prodotto" Massimizzare i profitti mediante la scelta del "tipo"

Proposizione 2

di prodotto, ovvero la sua localizzazione nello spazio della qualità, corrisponde a derivare la funzione del profitto

di ciascuna impresa per la posizione del proprio prodotto (a o b).

Si ottiene µ ¶µ ¶

∗ a − b 1

∂π A : t L + > 0

∂a 3 3

µ ¶µ ¶

∗ 1

∂π b − a

B : t L + > 0

∂b 3 3

∗ ∗

è crescente al crescere di a e π è crescente al crescere di b.. Le

Nel modello di Hotelling, otteniamo che π A B

derivate si annullano nel punto in cui µ ¶µ ¶

a − b 1

t L + = 0

3 3

µ ¶µ ¶

b − a 1

t L + = 0

3 3

∗ ∗

= b

a

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Affinché π (p , p , ), π (p , p ) costituiscano un equilibrio è necessario che essi siano migliori dei profitti di

A A B B A B

monopolio. A quali condizioni ciò è vero? 5

µ ¶

2

t b − a

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ mon

π (p , p , a = b ) ≡ > (p − t (L − b − a)) · L ≡ π

L −

A A B B A

2 3

Sostituendo p dalla (14)

B µ ¶

2 2

b − a

t ≥

L − Lt (a + 2b) (15)

2 3 3

µ ¶

2

t a − b

∗ ∗ ∗ ∗ mon

π (p , p ) ≡ > (p − t (L − b − a)) · L ≡ π

L −

B A B A B

2 3

analogamente sostituendo p dalla (13)

A µ ¶

2 2

b − a

t ≥

L + Lt (2a + b) (16)

2 3 3

Mettendo a sistema le diseguaglianze (15) : e (16) e risolvendo per a e b, si dimostra che esse sono valide

soltanto quando la differenza fra i prezzi soddisfa le diseguaglianze della Proposizione e di cui all’equazione (11)

Nel caso in cui sia a = b, ovvero in equilibrio

µ ¶ 2 2

a − a

t ≥

L − Lt (a + 2a)

2 3 3

µ ¶ 2 2

a − a

t ≥

L + Lt (2a + a)

2 3 3

t 2 > 2Lat

(L)

2

t 2 ≥ 2Lat

(L)

2

da cui L

a< 4

e lo stesso risultato vale se sostuiamo b. Quindi

Nel caso in cui le due localizzazioni si pongano alla stessa distanza dal centro (o dagli estremi

Proposizione 3

dell’intervallo) ovvero a = b, il profitto da differenziazione sarà maggiore del profitto di monopolio se e soltanto

se le posizioni a e b saranno ad una distanza non maggiore di 1/4 dagli estremi del segmento

L

a = b ≤ 4

ovvero i due prodotti non devono essere troppo simili.

Tuttavia le derivate rispettivamente crescenti in a e rispettivamente b, significano che l’incentivo è verso

allo scopo di posizionarsi nel punto medio del mercato ed ottenere la

la somiglianza fra i due prodotti

distanza minima da tutti i consumatori. Hotelling non si accorse che se a = L − b, le due imprese producono

un prodotto omogeneo e si cade nell’equilibrio di Bertrand, ci sarà guerra di prezzo, il prezzo diventerà pari al

costo marginale ed entrambe otterrano profitti nulli.

L’errore è nella considerazione di costi lineari. Proviamo con i costi quadratici.

3 Costi quadratici - D’Aspremont, Gabsewicz e Thisse (1979)

Ripetiamo tutta la procedura.

½ 2

+ t (z − a) , se z compra dall’impresa A situata nel punto a

= p A

C (z) 2

+ t ((L − b) − z) , se z compra dall’impresa B situata nel punto L − b

= p B

Se il consumatore si trova in un punto intermedio fra le "qualità" o "localizzazioni" a e b, ovvero a < z < L−b,

egli sarà indifferente al comprare il bene a o il bene b se e solo se la somma fra il prezzo e il costo di trasporto

per raggiungere il bene saranno uguali, ovvero 2 2

+ t (z − a) = p + t ((L − b) − z) (17)

p

A B

6

Ripetere tutto il ragionamento per costruire le funzioni di domanda

Esercizio.

Risolvendo la (17) per z, ottengo (L − b) − a p − p

B A

(p , p ) ≡ z = a +

D +

A A B 2 2t ((L − b) − a)

(L − b) − a p − p

A B

(p , p ) ≡ L − z = b +

D +

B A B 2 2t ((L − b) − a)

Nel modello con costi quadratici

Proposizione 4 ³ ´

2 2

1. SE (p − p ) ∈ −t (L − b − a) , t (L − b − a) =⇒ Duopolio (18)

B A ³ i

2

2. SE (p − p ) ∈ −∞, −t (L − b − a) , =⇒ Impresa B monopolista

B A h ´

2

3. SE (p − p ) ∈ t (L − b − a) , ∞ , =⇒ Impresa A monopolista

B A

prezzi di monopolio

I delle due rispettive imprese si calcolano sottraendo nelle (??) e (??) la

Corollario 3

quantità ε per eliminare le disegueglianze 2

mon

p ≤ p − t (L − b − a)

B

A 2

mon

p ≤ p − t (L − b − a)

A

B

profitti di monopolio

I per ogni impresa sono

Corollario 4 h i

2

mon mon

π = p · L = p − t (L − b − a) − ε · L

B

A A h i

2

mon mon

π = p · L = p − t (L − b − a) − ε · L

A

B B

p p

3.1 Scelta dei prezzi ottimi e da parte delle due imprese

A B

Costi nulli.

Ipotesi 2

Per calcolare i prezzi ottimi, come in precedenza si ottimizzano i profitti rispetto al prezzo

µ ¶

(L − b − a) p − p

B A

p : max π (p , p ) = p · D (p , p ) = p · a + +

A A A B A A A B A 2 2t (L − b − a)

P

A µ ¶

(L − b − a) p − p

A B

p : max π (p , p ) = p · D (p , p ) = p · b + +

B B A B B B A B B 2 2t (L − b − a)

P

B µ ¶

(L − a − b) p p

− p

∂π A B A A

: a + + − =0

∂p 2 2t (L − b − a) t (L − b − a)

A µ ¶

(L − a − b) p p

− p

∂π B A B B

: b + + − =0

∂p 2 2t (L − b − a) t (L − b − a)

B

da cui la soluzione µ ¶

a − b

p = t (L − a − b) L +

A 3

µ ¶

b − a

∗ = t (L − a − b) L +

p B 3

¢¢

¡ ¡ b−a

∂ t (L − a − b) L + 3

∂a

7

Da notare che

osservazione 2 ∗ ∗

∂p 2 ∂p 2

A B

= − t (L + a) < 0; = − t (L + b) < 0

∂a 3 ∂b 3

∗ ∗

2 ∂p 2

∂p A b

= t (b − 2L) > 0; = t (a − 2L) > 0

∂b 3 ∂a 3

al contrario del caso precedente e questo fatto induce il risultato seguente.

"Principio di massima differenziazione". Nel caso di costi di trasporto quadratici, poiché il

Proposition 1

prezzo è "decrescente nella distanza", i profitti ottimi sono decrescenti al diminuire della "distanza" fra i prodotti.

Dati i profitti ottimi

Proof. µ ¶

∗ ∗

(L − a − b) p − p

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ B A

π (p , p ) = p · D (p , p ) = p · a + +

A

A A B A A B A 2 2t (L − b − a)

à !

¢ ¡ ¢

¡

µ ¶ b−a a−b

− t (L − a − b) L +

t (L − a − b) L +

a − b (L − a − b) 3 3

= t (L − a − b) L + · a + +

3 2 2t (L − b − a)

1 2

t (L − b − a) (3L − b + a)

= 18

Assumendo che sia L − b > a

∗ ∗ ∗ 1

1

(p , p ))

∂ (π 2

A A B −

: − t (3L + a − b) t (3L − b + a) (a − L + b) ≤ 0

∂a 18 9

stesso per ∗ ∗ ∗

∂ (π (p , p ))

B A B ≤ 0

∂b

La ragione è la seguente

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(p , p ) = p (a, b) · D (p (a, b), p (a, b))

π A

A A B A A B

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∂D

∂ (π ∂ (p

(p , p )) (a, b)) (p (a, b), p (a, b))

A

∗ ∗ ∗

A A B A A B

(p (a, b), p (a, b)) + p (a, b)

: D

A A B A

∂a ∂a ∂a

µ ¶

∗ ∗ ∗

∂p ∂D ∂D ∂D

∂p ∂p

A A A

∗ ∗

A A B

= + p

D + +

A A ∗ ∗

∂a ∂a ∂p ∂a ∂p ∂a

A B

= (−) · (+) + (+) [(−) + (−) + (−)] ≤ 0

Stesso per l’impresa B.

L’esito dell’ottimizzazione precedente è a = b = 0 e quindi la prima impresa si collocherà in

osservazione 3

a = 0 e l’altra in L − b = L.

Le due ipotesi di costi lineari o quadratici sono estreme. Il modello di Economides ((1986)

osservazione 4

ipotizza δ

C (z) = p + |z − a| , δ ∈ [1, 2] , ∀i = a, b

i i

4 Esercizio.

Dati L = 100, t = 10,

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(i) calcolare p , p , a , b , π , π nel caso di costi lineari e

A B A B

(ii) quadratici.

(iii) Sapreste trovare per quale δ le derivate dei profitti nelle loro rispettive localizzazioni siano nulle?

5 Conclusioni

Si veda Carrario p.117-119. 8


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta la Differenziazione Orizzontale come sviluppato nel corso di Economia dell'Organizzazione Industriale tenuto dalla professoressa Augusta Miceli. Nello specifico vengono sviluppati i temi dei Costi di trasporto lineari, la Scelta dei prezzi ottimi pA e pB da parte delle due imprese, e i Costi quadratici.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dell'organizzazione industriale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Miceli Maria Augusta.

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