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Lezione 30

Proprietà del determinante

Utilizzando la proprietà (d3) cerchiamo di ricondurre la matrice iniziale

A

ad una matrice triangolare con lo stesso determinante di

(l’operazione descritta si chiama operazione di pivoting):

   

1 2 4 1 2 4 terza riga meno

2 3 1 2 3 1

det det

=

    prima riga

−1

1 5 3 0 3

 

1 2 4 seconda riga meno

−1 −7

0

det

=   doppio della prima riga

−1

0 3

 

1 2 4 terza riga più

−1 −7

0

det

=   triplo della seconda riga

−22

0 0

· ·

1 22

= (−1) (−22) = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 12 / 22

Lezione 30

Proprietà del determinante

Ricapitolando

Domanda: quali regole dobbiamo utilizzare per calcolare un

determinante?

Risposta: fondamentalmente basta utilizzare la definizione di Laplace

con la totale libertà di scegliere rispetto a quale riga oppure colonna

effettuare lo sviluppo. Ovviamente si cercherà quella riga o colonna

contenente il maggior numero di 0. Se il numero di zeri non ci sembra

soddisfacente possiamo eventualmente provare ad ottenerne degli altri

utilizzando, cum grano salis, CL di righe oppure colonne!

Terminiamo questa discussione calcolando il determinante della

seconda matrice del precedente esercizio. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 13 / 22

Lezione 30

Proprietà del determinante

Calcoliamo  

2 3 0 1

−1

3 1 0

 

B

det det

=  

1 0 2 2

 

−1 −2

2 0

Ci sono due zeri sulla quarta colonna e quindi possiamo iniziare a

sviluppare il determinante rispetto a tale colonna

   

−1

3 1 2 3 0

−1

− −

B 1 0 2 3 1

det det 2 det

=    

−1 −2 −1 −2

2 2

Per il calcolo del primo determinante potremmo sommare alla terza

riga la prima ottenendo b 0 e quindi sviluppare il determinante

=

32

rispetto alla seconda colonna mentre per la seconda matrice

potremmo sottrarre alla terza riga il doppio della seconda e svilupare il

dsm

determinante rispetto alla terza colonna.

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 14 / 22

Lezione 30

Proprietà del determinante    

−1

3 1 2 3 0

−1

− −

B 1 0 2 3 1

det det 2 det

=    

−3 −4 −3

5 0 0

1 2 2 3

det 2 det

= −3 −4 −3

5

− − −25.

10) 2(−6 12)

= (−3 + =

Potevamo altrimenti togliere subito il doppio della prima riga dalla terza

e sviluppare il determinante rispetto la quarta colonna

 

2 3 0 1  

−1

3 1

−1

3 1 0

  −3 −6

B 2

det det det

= =

   

−3 −6 2 0

  −1 −2

2

−1 −2

2 0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 15 / 22

Lezione 30

Proprietà del determinante

A questo punto sommare alla prima colonna la terza e sviluppare

rispetto alla prima colonna

 

−1

2 1

−6 −1

2 1

−1 −6

− −2 −

B 2

det det det det

= =

  −1 −2 −1 −2

−1 −2

0

Il gioco è fatto e ritroviamo lo stesso risultato precedente (meno male!)

−2(12 − − −25.

B

det 2) 1)

= + (−2 = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 16 / 22

Lezione 30

Determinante e LI dei vettori

La proprietà (d3) ha una fondamentale conseguenza teorica.

Teorema

∈ M(n,

A

Sia n). Le seguenti affermazioni sono equivalenti

A

la matrice ha il determinante diverso da 0,

1 A

i vettori riga di sono LI,

2 A

i vettori colonna di sono LI.

3 n n

Quindi per vedere se n vettori di sono LI (formando una base di )

R R

è necessario e sufficiente che il determinante della matrice ottenuta

mettendo in colonna (oppure in riga) gli n vettori sia non nullo.

Definizione ∈ M(n,

A

Una matrice n) si dice

A

singolare se det 0,

= 6

A

non singolare se det 0. dsm

=

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 17 / 22

Lezione 30

Determinante e LI dei vettori

Esempio 3

Dire se è una base di l’insieme

R  

     

−1

2 1

 

−1

1 0

S = , ,

     

−1 2 0

 

3

Essendo S formato da tre vettori di basta vedere se sono LI oppure

R

LD. Quindi costruiamo la matrice avente i tre vettori come colonne e ne

calcoliamo il determinante:

 

−1

2 1

−1 −1

1 2

−1 −

A 1 0

det det det det 5

= = + =

  −1

2 0 2

−1 2 0 dsm

A

Dunque è non singolare e perci i vettori sono LI ed S è una base.

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 18 / 22

Lezione 30

Determinante e LI dei vettori

Esempio ∈

Determinare per quali valori del parametro k l’insieme

R 

     

k k 1 0 

 −1

1 4

S , ,

=      

−1 0 k 

3

è una base di R

Il determinante della matrice avente i tre vettori come colonne

 

k k 1 0

− −

k 1 0 k k 1

−1 −

1 4

det det k det

= +

  −1

4 1 4

−1 0 k 2

− −

1) k 1) 3k 2k 1.

= (k + (3k + = + dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 19 / 22

Lezione 30

Determinante e LI dei vettori

Quindi la matrice è singolare se e solo se

2 −

3k 2k 1 0

+ =

1

−1 . Quindi

le cui soluzioni sono k e k

= = 3

1 3

6 −1 6

se k e k i tre vettori sono LI e formano una base di ,

= = R

3 1

−1

se k oppure k i tre vettori sono LD.

= = 3

Il prossimo strumento che introdurremo ci servirà per rispondere alla

seguente domanda:

qual è il rango dell’insieme

 

     

k k 1 0

 

−1

1 4

S = , ,

     

−1 0 k

 

al variare del parametro k dsm

R?

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 30 20 / 22


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Determinante di una matrice: regola di Laplace per il calcolo del determinante di una matrice; proprietà del determinante: linearità, determinante della matrice trasposta, scambio di righe (colonne); determinante delle matrici triangolari; matrici singolari e non singolari: condizione equivalente per l'indipendenza lineare di vettori; interpretazione geometrica del determinante.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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