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Derivazione vettoriale

Questo appunto tratta la derivazione vettoriale, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: il criterio dei minimi quadrati, teoria dei massimi e minimi, definizione della derivata vettoriale di una funzione S,... Vedi di più

Esame di Algebra delle matrici docente Prof. F. Carlucci

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Modulo IV – Algebra delle matrici

1.9 Derivazione vettoriale

Introduciamo ora alcuni concetti di calcolo matriciale che ci permettono di definire

il criterio dei minimi quadrati con l'uso della teoria dei massimi e minimi.

Iniziamo con la definizione della derivata vettoriale di una funzione degli

S(b)

elementi del vettore , che può essere rappresentata, ad esempio, dalla devianza

b

(II-1.4.5); derivando parzialmente rispetto a ciascuno dei elementi di si

S(b) k b

ottiene il vettore derivata

 

∂ ∂ ∂ ∂

S (

b ) S (

b ) S (

b ) S (

b )

= (1.9.1)

 

...

∂ ∂ ∂ ∂

b b b b

1 2 k

+a +…+a

Esempio 1.14 - Se dove le sono costanti

S(b)=a′b=a b b b a

1 1 2 2 k k

reali, il vettore derivata è ′

∂ ∂

S (

b ) S (

a b ) ′

= = a (1.9.2)

∂ ∂

b b

ma poiché è uno scalare, uguale quindi al suo trasposto , si ha

a′b b′a

anche  

a 1

 

∂ ∂ (1.9.3)

a

S (

b ) S (

b a )  

= = =

2 a

′  

∂ ∂

b b ...

 

 

a k

La scelta tra la (1.9.2) e la (1.9.3) dipende dalla sua utilità nel contesto

della derivazione.

La forma quadratica , dove è una matrice quadrata simmetrica di

S(b)=b′Ab A

ordine e è un vettore di dimensione , è una funzione scalare poiché consiste nel

k b k

prodotto scalare tra il vettore riga ed il vettore colonna (oppure del vettore

b′ Ab

riga ed il vettore colonna ) e quindi si può calcolare su di essa il vettore

b′A b

derivata come fatto nell'esempio precedente, ottenendosi il risultato

∂ ∂ [ ]

S (

b ) b Ab ′ ′

= = = (1.9.4)

2 b a a ... a 2 b A

∂ ∂ 1 2 k

b b

che è un vettore riga se chiamiamo con , , le colonne della matrice .

a i=1,2,…,k A

i

Alternativamente, come nell'esempio 1.14, si può avere 1-27


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta la derivazione vettoriale, come sviluppata nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: il criterio dei minimi quadrati, teoria dei massimi e minimi, definizione della derivata vettoriale di una funzione S, matrice quadrata simmetrica di ordine k.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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