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Lezione 34

Derivate parziali

(3) La derivata parziale rispetto alla variabile x è semplicemente

2x

D f y

(x, ) =

x 2

y 1

+

mentre quella rispetto alla variabile y risulta 2 2

2 2 − −

−3(y − − 3y 3 2x y

1) 2y 3y

+ (x )

D f y =

(x, ) =

y 2 2 2 2

1) 1)

(y + (y +

Definizione 2

−→ ⊆

Se f A con A ammette derivate parziali, il vettore

: R R

∇f D f D f

(x) = (x), (x)

x y

x.

prende il nome di gradiente di f in dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 34 4 / 23

Lezione 34

Derivate parziali

Esempio. Il gradiente della funzione

xy

(1) f y x ln y e è

(x, ) = +

x

xy xy

∇f y ln y ye xe

(x, ) = + , +

y

2

(2) f y xy sen y x è

(x, ) = ∇f −

y sen y 2x, x sen y xy cos y

(x, ) = (y + )

x 3

(3) f y xye y è

(x, ) =

x x x 2

∇f −

y ye xye xe 3y

(x, ) = + , dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 34 5 / 23

Lezione 34

Derivate parziali & continuità

La derivabilitè di una funzione permette di risolvere alcuni problemi

come la determinazione di condizioni necessarie per i massimi e

minimi. Tuttavia, a differenza di quello che succede per le funzioni in

una variabile, non garantisce la continuità di f ; cioè. . .

. . . esistono funzioni derivabili parzialmente in un punto (addirittura

direzionalmente derivabili rispetto a tutte le direzioni) ma non continue.

2 −→

Esempio. La funzione f definita

: R R

xy

 6

se y 0)

(x, ) = (0,

 2 2

x y

+

f y

(x, ) = 0 se y 0)

(x, ) = (0,

non è continua nell’origine ma è parzialmente derivabile con

D f 0) D f 0) 0. Verificatele attraverso la definizione!

(0, = (0, =

x y dsm

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Lezione 34

Differenziabilità

Proviamo ad estendere il concetto di differenziabilità. Informalmente

una funzione è differenziabile in un punto se è approssimabile nelle

“vicinanze” di esso con un polinomio di primo grado. Formalmente

Definizione 2

−→ ⊆

La funzione f A con A aperto si dice differenziabile in

: R R

2

∈ ∈

x m

A se esiste un vettore tale che

R

− hm, −

x xi]

f (x) [f (x) +

lim 0.

=

kx − xk

x→x

hm, −

x xi x.

Il funzionale df si chiama differenziale di f in

(x) = dsm

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Lezione 34

Derivabilità & differenziabilità x

Se la funzione f è differenziabile in allora

hm, − − −

x xi f y m x) m y

z f + = (x, ) + (x + (y )

= (x) x y

x.

è il piano tangente al grafico di f in

Il precedente esempio ed il seguente risultato dimostrano che i

concetti di differenzabilità e derivabilità non coincidono a differenza di

quanto avviene per le funzioni in una sola variabile.

Teorema 2

−→ ⊆

Se f A è differenziabile con A aperto allora è continua.

: R R dsm

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Lezione 34

Derivabilità & differenziabilità

Tuttavia vale il seguente risultato.

Teorema 2

−→ ⊆

Sia f A con A aperto.

: R R

Se f è differenziabile allora è derivabile parzialmente.

(Teorema del differenziale totale) Se f è derivabile parzialmente e

le derivate parziali sono continue (in tal caso si dice che f è di

1

C

classe ) allora f è differenzabile.

∇f h∇f −

m x xi

Inoltre ed il piano tangente è z f cioè

= (x) = (x) + (x),

− −

D f y D f y z D f y D f y f y

(x, )x + (x, )y = (x, )x + (x, )y (x, ).

x y x y dsm

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Lezione 34

Derivabilità & differenziabilità

Quindi abbiamo la seguente catena di inclusioni.

Funzioni derivabili parzialmente

Funzioni differenziabili

1

C

Funzioni di classe 1

C

Poiché le nostre funzioni saranno tutte di classe , saranno anche

differenziabili e quindi derivabili parzialmente. dsm

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Lezione 34

Differenziabilità

Esercizio 2 2

Calcolare il piano tangente a f y x 2y xy nel punto

(x, ) = +

y 1).

) = (2,

(x, 1

C

La funzione è di classe : infatti le componenti del gradiente

∇f −4y

y y x)

(x, ) = (2x + , +

sono continue. Quindi f è differenziabile ed il piano tangente è

− −

D f 1)x D f 1)y z 2D f 1) D f 1) f 1)

(2, + (2, = (2, + (2, (2,

x y x y

− −

cioè 5x 2y z 4.

= dsm

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Lezione 34

Proprietà del gradiente Proprietà del gradiente

1 2

−→ C ⊆ ∈

x

Siano f A di classe con A aperto e A.

: R R

Sappiamo che se f è differenziabile allora f è derivabile

parzialmente; più in generale f è direzionalmente derivabile e

2

h∇f ∀v ∈

vi,

D f (x) = (x), R

v 2 2

− x

Esempio. Riprendiamo f y x 2y xy , il punto 1)

(x, ) = + = (2,

∇f −4y

v

e la direzione 4). Poiché y y x) si ha

= (3, (x, ) = (2x + , +

h∇f h(5, −2),

D f 1) 1), 4)i 4)i 7

(2, = (2, (3, = (3, =

v

Come avevamo ottenuto in precedenza utilizzando

esclusivamente la definizione. dsm

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Lezione 34

Proprietà del gradiente

Dalla precedente relazione e dalla disuguaglianza di Schwarz si

deduce il seguente risultato fondamentale per gli algoritmi:

∇f x.

indica la direzione di massima crescita locale di f in

(x) 2 2

Esempio. Se vogliamo massimizzare f y x 2y xy ed

(x, ) = +

∇f −2):

x 1), calcoliamo 1) allora,

abbiamo il punto = (2, (2, = (5,

muovendoci lungo la retta x 2 5t

= +

r : −

y 1 2t

=

−2)

nella direzione di (quindi per t 0) il valore della funzione

(5, >

aumenta. Infatti f 1) 4 mentre, scelto il punto con t 1 si ha

(2, = =

−1)

f 40!

(7, = dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Derivate parziali: vettore gradiente; differenziabilità di una funzione di più variabili: piano tangente; legame tra differenziabilità, derivabilità (parziale) e continuità di una funzione di più variabili; teorema del differenziale totale; proprietà geometriche del gradiente di una funzione in un punto; derivate seconde e teorema di Schwarz; condizione per la convessità e la concavità: matrice Hessiana.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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