Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Lezione 14

La derivata della funzione logaritmica f ln x

(x) = −

f f

(x + ∆x) (x)

Df lim

(x) = ∆x

∆x→0

La derivata della funzione f ln x è

(x) = −

ln(x ln x

+ ∆x)

D ln x lim

= ∆x

∆x→0 ∆x

1

ln + x

lim

= ∆x

∆x→0 ∆x 1

x

lim

= = x

∆x

∆x→0

dove abbiamo utilizzato la forma asintotica

∼ →

ln(1 t) t, per t 0.

+ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 8 / 28

Lezione 14

La derivata della funzione trigonometriche

Per il calcolo delle derivate delle funzioni trigonometriche sen x e cos x

si utilizzano:

le regole di somme tra angoli

sen sen cos sen cos

(α + β) = α β + β α

e −

cos(α cos cos sen

+ β) = α β αsen β

i limiti notevoli −

sen t 1 cos t 1

lim 1 e lim

= = .

2

t 2

t

t→0 t→0

Si ottiene −sen

Dsen x cos x e D cos x x

= = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 9 / 28

Lezione 14

Derivata delle funzioni elementari

Ricapitolando

n n−1 ∈

Dx nx per ogni n

= N,

x x

De e ,

= 1

D ln x ,

= x

Dsen x cos x,

= −sen

D cos x x.

=

Il passo successivo è individuare regole di derivazioni per la somma,

prodotto, rapporto, composizione ed inversione di funzioni. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 10 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Teorema (derivata della somma)

−→ −

Siano f g b) derivabili, allora f g e f g sono derivabili e

, : (a, +

R

D g(x)] Df Dg(x)

[f (x) + = (x) +

− −

D g(x)] Df Dg(x)

[f (x) = (x)

Esempio. Calcoliamo la derivata di

4 −

f x ln x cos x

(x) = +

Utilizzando il precedente teorema si ha 1

4 3

− − −

Df Dx D ln x D cos x 4x sen x.

(x) = + = x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 11 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Teorema (derivata del prodotto)

−→ ·

Siano f g b) derivabili, allora f g è derivabile e

, : (a, R

· · ·

D g(x)] Df g(x) f Dg(x).

[f (x) = (x) + (x)

2

Esempio. Calcoliamo la derivata di f x ln x:

(x) = 1

2 2 2

· · ·

Df D(x ln x x D ln x 2x ln x x 2x ln x x.

(x) = ) + = + = +

x

Se f è derivabile e c allora

R

· · · ·

D[c f Dc f c Df c Df

(x)] = (x) + (x) = (x).

3 3 2

Quindi D(6x 6D(x 18x .

) = ) = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 12 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Teorema (derivata del rapporto) f

−→ 6

Siano f g b) derivabili e g(x) 0, allora è derivabile e

, : (a, =

R g

· − ·

f Df g(x) f Dg(x)

(x) (x) (x)

D = .

2

g(x) g (x)

ln x

Esempio. Calcoliamo la derivata di f . Utilizzando il

(x) = 2

x

precedente teorema si ha 1 2

2 2 · −

x 2x ln x

· − ·

D(ln x) x ln x Dx x

Df =

(x) = 2 2 4

x

(x )

− −

x 2x ln x 1 2 ln x

= = .

4 3

x x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 13 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Due applicazioni del Teorema della derivata del rapporto.

La derivata di tg x è · − ·

sen x D(sen x) cos x sen x D cos x

h i

Dtg x D

= = 2

cos x x)

(cos

2 2

cos x sen x

+

= 2

cos x

riportata nei libri nelle seguenti (equivalenti) formulazioni

utilizzando la I forma fondamentale della trigonometria

I 1

Dtg x = 2

cos x

spezzando la frazione

I 2

Dtg x 1 tg x.

= + dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 14 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione 1 ∈

La derivata di , con n è

N,

n

x n−1

n n

· − · nx n

1 D(1) x 1 Dx − −

D = =

=

n n 2 2n n+1

x x x

(x )

Osservazione 1 −n

Scrivendo f x possiamo dire che continua a valere la

(x) = =

n

x

regola di derivazione dei monomi; infatti n

−n −n−1

−nx −

Dx = = .

n+1

x

Quindi m m−1 ∀m ∈

Dx mx

= , Z. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 15 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Teorema (derivata della funzione composta) ◦

Siano f derivabile in x e g derivabile in y f allora g f è

= (x),

derivabile in x e si ha ◦ ·

D(g f Dg(f Df

)(x) = (x)) (x).

Se usiamo la denotazione introdotta da Leibniz, il teorema sembra

banale. Poniamo y f e z g(y Allora

= (x) = ).

dz dz dy

D(g f Dg(f Df

)(x) = , (x)) = , (x) =

dx dy dx

e la tesi del teorema assume la forma

dz dz dy

·

= .

dx dy dx dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 16 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione 2

Esempio. Calcoliamo la derivata di h(x) ln(x 1).

= +

2

La funzione h risulta la composizione di f x 1 con g(y ln y

(x) = + ) =

cioè 2

−→ −→

h x x 1 y ln y

: + = g

f

2

Quindi, ponendo y x 1 si ha

= + 1 2x

2

· ·

Dh(x) D(ln y D(x 1) 2x

= ) + = = .

2

y x 1

+ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 17 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Mostriamo il motivo per cui la base e semplifica i calcoli. x

Esempio. Calcoliamo la derivata di f log x e f a .

(x) = (x) =

a

Nel primo caso, ricordando la formula del cambiamento di base

ln x

log x =

a ln a

si ha

1

ln x

D log x D =

=

a ln a x ln a

Nel secondo, ricordando la formula del cambiamento di base

x x ln a

a e

=

si ha x x ln a x ln a x

Da De e ln a a ln a.

= = = dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 18 / 28

Lezione 14

Regole di derivazione

Teorema (derivata della funzione inversa) 6

Sia f invertibile; se f è derivabile in x con Df 0 allora la funzione

(x) =

−1

inversa f è derivabile in y f e si ha

= (x) 1

−1

D(f .

)(y ) = Df (x)

Nuovamente la denotazione introdotta da Leibniz rende banale il

−1

teorema. Posto y f e x f la tesi del teorema assume la

= (x) = (y )

forma dx 1

= .

dy

dy dx dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 14 19 / 28


PAGINE

28

PESO

304.58 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza intera, funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzioni seno e coseno. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della funzione composta, della funzione inversa. Criterio di derivabilità di una funzione in un punto. Derivate successive: funzioni di classe [math]C^k[/math].


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica generale

Integrali indefiniti
Dispensa
Limiti di funzioni
Dispensa
Funzioni - Generalità
Dispensa
Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy
Dispensa