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Lezione 13

Introduzione alla derivata

Gli obiettivi delle prossime lezioni sono:

studiare la monotonia,

studiare i massimi e minimi,

studiare la convessità e concavità,

individuare strumenti che permettono di risolvere in maniera

meccanica limiti difficili.

Lo strumento che permetterà di affrontare tutti questi problemi è la

derivata. dsm

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Lezione 13

Introduzione alla derivata

La nascita della derivata è dovuta al francese Pierre de Fermat che,

verso il 1630, la descrisse nel libro “Methodus ad disquirendam

maximam et minimam”.

Tale concetto fu genialmente ripreso e sviluppato da Isaac Newton e

da Gottfried Wilhelm Leibniz nella seconda metà del 1600 ed infine

formalizzato solamente nel 1821 da parte di Augustin Louis Cauchy

nel primo libro di matematica moderna “Cours d’analyse de l’École

royale polytechnique”.

In tale libro comparve, per la prima volta, il concetto di limite e quindi

possiamo affermare che la derivata (sebbene necessiti del concetto di

limite) nacque 200 anni prima del limite. dsm

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Lezione 13

Introduzione alla derivata

Informalmente possiamo affermare che

una funzione risulta derivabile in x se risulta continua ed il suo grafico

0

è “ben arrotondato” (gli inglesi usano il termine “smooth”, cioè liscio) e

privo di spigoli vicino a x . La derivata rappresenta la velocità di

0

variazione della funzione in tale punto. dsm

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Lezione 13

La derivata

: (a, −→ ∈ (a, ∈ (a,

Siano f b) e x b). Per ogni x b) definiamo

R 0

incremento della variabile indipendente

∆x = − ;

x x

0

= + ∆x;

quindi x x

0

incremento della variabile dipendente

∆y = (x) − (x ) = (x + ∆x) − (x );

f f f f

0 0 0

rapporto incrementale (o tasso di variazione medio in ambito

economico) ∆y (x) − (x ) (x + ∆x) − (x )

f f f f

0 0 0

= = .

∆x − ∆x

x x

0 dsm

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Lezione 13

La derivata P

f(x) ∆ y

P

0

f(x )

0 ∆ x x

x

0

Figure: Rappresentazione del rapporto incrementale

Il rapporto incrementale indica il coefficiente angolare della retta dsm

secante il grafico.

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Lezione 13

La derivata

Esempio economico. Nella tabella sono elencati i prezzi approssimati

del titolo azionario Boston Chicken nei 5 anni seguenti l’offerta

pubblica iniziale del 1993

Anno,t 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Prezzo azioni, S(t) 20$ 20$ 20$ 30$ 20$ 10$

Il tasso di variazione medio nei primi tre anni è

∆S − −

S(1996) S(1993) 30 20

= = = 3, 3$.

∆t 3 3

Il tasso di variazione medio nell’intero periodo è

∆S − −

S(1998) S(1993) 10 20

= = = −2$.

∆t 5 5 dsm

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Lezione 13

La derivata

Esempio economico. I ricavi annui della South African Breweries

(basati su una regressione quadratica) tra il 1991 ed il 1997 sono

rappresentati dalla funzione

2

= −0, + + ∈ [1,

R(t) 13t 0, 54t 5, 22, t 7]

dove R(t) è il ricavo in miliardi di dollari mentre t è il tempo misurato in

=

anni e t 1 indica gennaio 1991. Il tasso di variazione medio nel

periodo gennaio 1991–gennaio 1995 è

− −

∆R R(5) R(1) 4, 67 5, 63

= = = −0, 24$.

∆t 4 4 dsm

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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione di derivata: rapporto incrementale e limite di esso. Significato geometrico ed economico della derivata: coefficiente angolare della retta tangente e tasso di crescita. Derivabilità: derivata destra e derivata sinistra. Condizione necessaria (ma non sufficiente) per la derivabilità: se f è derivabile allora f è continua.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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