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Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)

Criteri di resistenza superficie critica definita

dal criterio di Tresca

σ nello spazio delle

2 tensioni principali

β

γ α σ 1

σ 3 α β γ

= =

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza Ipotesi dell’attrito interno

τ Curva intrinseca del materiale σ

il taglio massimo sopportabile dal materiale

6-6 è maggiore in presenza di uno stato di compressione 6

τ Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza

D ϕ ϕ σ

C

B

A +

+ O σ LT Semplificando la curva intrinseca con

σ LC due rette, si ottiene che la rottura

avviene se: σ σ

σ σ σ

= − > = Lc

3 k σ

e Lt

1 k Lt

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza La curva intrinseca può essere approssimata

τ da due rette tangenti ai cerchi di Mohr relativi

alle condizioni limite a trazione e compressione

− σ σ −

σ σ

2 2 1

AD

ϕ = = =

Lc Lt Lc Lt

sin σ σ

σ + σ +

2 2 1

AB Lc Lt Lc Lt

D ϕ ϕ σ

C

B

A +

+ O σ Lt

σ σ =

Lc tensione limite a trazione

Lt

σ = tensione limite a compressione

Lc 7

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza

τ σ

=

Posto: Lc

k σ Lt −

σ −

σ 1 1

k

=

ϕ = Lc Lt

sin

Si ottiene: σ σ + +

1 1

k

Lc Lt

D ϕ ϕ σ

C

B

A +

+ O σ Lt

σ Lc

Quindi si può esprimere la lunghezza del segmento OC in funzione

σ

k e :

di Lt σ Lt

σ σ − 

 k

k 1

2

= + = = σ

= +

+ 

Lt Lt

OC OB BC 1 1 −

ϕ + Lt

 k 1

sin k

2 2 1

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza

τ Il materiale subisce danno quando il maggiore

dei cerchi di Mohr rappresentativi del suo stato

di tensione raggiunge la tangenza con la curva

intrinseca.

d

ρ ϕ

δ C

+ σ

O Quindi, ponendo il raggio e la posizione del centro

ρ δ

e ,

del cerchio massimo pari rispettivamente a

d dalla curva intrinseca può essere

la distanza ( )

espressa come: = − δ ϕ − ρ

d OC sin 8

Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza ϕ ρ δ

Ricordando le espressioni di OC, sin , e ,

σ − σ σ + σ

− 1

k

k ρ = δ =

= σ ϕ = 1 3 1 3

, , ,

sin

OC +

Lt 1 1 2 2

k

k d

l’espressione di per uno stato di tensione triassiale diventa:

( ) σ − σ

σ + σ −

 

k k 1 − =

= − δ ϕ − ρ = σ −

 

1 3 1 3

d OC sin +

Lt

 

k k

1 2 1 2

[ ]

( )

1

= σ − σ + σ

k

+ Lt 1 3

k 1

Per una stato di tensione monoassiale, l'espressione precedente diventa:

( ) ( ) ( )

k

σ = σ = σ − σ

d d , 0

, 0 +

a 1 1 Lt 1

k 1

Si può, quindi, ricavare il valore della tensione equivalente dalla relazione:

[ ]

( )

σ = σ = σ σ σ

1

d d , ,

e 1 a 1 2 3 Curva di resistenza intrinseca (Mohr)

Criteri di resistenza

Ne segue che: +  

[ ] [ ]

( ) ( )

1 1

k

σ = σ = σ σ σ = σ − σ − σ + σ =

1  

, ,

d d k

+

e 1 a 1 2 3 Lt Lt 1 3

 

1

k k

σ

= σ − 3

1 k

Si avrà perciò rottura quando:

σ

σ = σ − > σ

3

1

e L

k

Casi particolari:

torsione pura: torsione + trazione:

+ − +

k k k

1 1

1 τ + τ

σ = σ σ

σ = + 2 2

4

e xy e x x xy

k k k

2 2 9

Massima deformazione normale (de St. Venant)

Criteri di resistenza Il materiale subisce danno quando la massima

deformazione principale raggiunge un valore critico.

superficie critica Nel caso triassiale si ha:

definita dal criterio di ε σ ν σ σ

1 ε

[ ]

- ( + )

= >

St. Venant nello spazio 1 1 2 3

E L

delle tensioni principali ε σ ν σ σ

1 ε

[ ]

- ( + ) < -

=

3 3 1 y L

E

σ 2 Nel caso monoassiale si ha:

σ ε

ε 1 >

= L

E

1

Dal confronto si ottiene

σ che si ha rottura se:

1 ( )

σ σ − ν σ + σ

=  > σ

e 1 2 3 

σ ( )

= − ν σ + σ

σ σ L

3 

e 3 1 2

Massima energia di deformazione (Beltrami)

Criteri di resistenza Il materiale subisce danno quando l’energia

accumulata per deformazione raggiunge un

2 valore critico.

1

F

3 Nel caso triassiale si ha:

σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ

1 -

2 2 2

+ + 2 ( + + )]

[

U = 1 2 3 1 2 2 3 3 1

s 2E σ

1 2

Nel caso monoassiale si ha: U = 1

s 2E

Dal confronto si ottiene che si ha rottura se:

( )

σ = + σ + σ − ν σ σ + σ σ + σ σ > σ

σ 2 22 23 2

e 1 1 2 2 3 1 3 L 10

Massima energia di deformazione (Beltrami)

Criteri di resistenza

all’esterno del volume c’è rottura

σ 3

la superficie

rappresenta

la condizione

limite σ 2

all’interno del volume

il materiale resiste

σ 1 Massima energia di distorsione (von Mises)

Criteri di resistenza Il materiale subisce danno quando l’energia di

stato di tensione distorsione accumulata raggiunge un valore critico.

triassiale = +

stato di tensione

sferico (idrostatico): stato di tensione deviatorico:

variazione di volume variazione di forma

L’energia di distorsione nel caso triassiale si può scrivere:

( ) [ ]

+ ν ( ) ( ) ( )

1 σ − σ + σ − σ + σ − σ

= 2 2 2

U dist 1 2 2 3 1 3

6 E ( )

ν

+

1 σ

= 2

U

Nel caso monoassiale si ha: dist 1

3 E

( ) ( ) ( )

1

σ = σ − σ + σ − σ + σ − σ > σ

2 2 2

Si ha rottura se: 1 2 2 3 1 3

e L 6-5

2 11

Massima energia di distorsione (von Mises)

Criteri di resistenza Il materiale subisce danno quando l’energia di

distorsione accumulata raggiunge un valore critico.

stato di tensione

triassiale = +

stato di tensione

sferico (idrostatico): stato di tensione deviatorico:

variazione di volume variazione di forma

Stato di tensione Componente Componenti

triassiale: idrostatica: deviatoriche:

σ − σ − σ

2

σ =

d 1 2 3

σ = + σ d 1

S σ + σ + σ 3

1 1 = σ − σ − σ

1 2 3

S 2

= + σ

σ d σ =

S d 2 1 3

3

2 2 2 3

= + σ

σ d

S σ − σ − σ

2

3 3 =

σ d 3 1 2

3 3

Massima energia di distorsione (von Mises)

Criteri di resistenza

2 In campo elastico, per la trazione

semplice, l’energia di deformazione

1

F 1

= σ ε

per unità di volume vale : U

3 1 1 1

2

Nel caso triassiale si avrà quindi:

( )

1

= + + = σ ε + σ ε + σ ε

U U U U

tot 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2

Avendosi dallo studio della relazione

tensione-deformazione in campo elastico che:

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

1 1 1

ε = σ − ν σ + σ ε = σ − ν σ + σ ε = σ − ν σ + σ

1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2

E E E

Si potrà scrivere l’energia di deformazione totale come:

 

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

1 1 1 1

= σ σ − ν σ + σ + σ σ − ν σ + σ + σ σ − ν σ + σ =

 

U tot 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2 

 E E E

2 [ ]

( )

1

= σ + σ + σ − ν σ σ + σ σ + σ σ

2 22 23 2

1 1 2 2 3 1 3

E

2 12


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Elementi Costruttivi delle Macchine del Prof. Giovanni Broggiato, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: criteri di resistenza; concetto di tensione equivalente; classificazione dei criteri di resistenza; massima tensione tangenziale (Tresca - Guest); massima tensione normale (Rankine); massima deformazione normale (de St Venant); massima energia di deformazione (Beltrami); massima energia di distorsione (Von Mises).


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (LATINA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elementi Costruttivi delle Macchine e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Broggiato Giovanni.

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