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Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

Settri elastici per terremoti deboli: Tipo II

30

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Valo ri dei parametri nell’EC8, terremoti deboli: Tipo II

31

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La proposta di annesso tecnico nazionale dell’EC8, di gennaio 2005, rporta i seguenti valori dei

parametri Zona sismica Categoria S TB TC TD

suolo

A 1,00 0,10 0,40 4,50

1-2 B 1,15 0,15 0,60 5,00

C-D-E 1,30 0,20 0,80 6,00

A 1,00 0,05 0,35 1,50

3, 4 B 1,20 0,10 0,45 1,50

C-D-E 1,35 0,15 0,60 2,00

Valori dei parametri dello spettro di risposta elastico della di accelerazione

componente verticale

per lo SLU Zona sismica Categoria S TB TC TD

suolo

A 1,00 0,10 0,40 4,50

1-2 B 1,15 0,15 0,60 5,00

C-D-E 1,30 0,20 0,80 6,00

A 1,00 0,05 0,35 1,50

3, 4 B 1,20 0,10 0,45 1,50

C-D-E 1,35 0,15 0,60 2,00

Valori dei parametri dello spettro di risposta elastico delle di accelerazione

componenti orizzontali

per lo SLD

Lo spettro di risposta relativo alla componente verticale è generalmente concentrato su frequenze

più elevate di quello per le componenti orizzontali.

L’Eurocodice 8 dà le seguenti espressioni:

I parametri sono dati nella seguente tabella:

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Nell’annesso tecnico nazionale si danno i gli stessi valori.

33

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1.2.4 Confronto tra spettri normativi ed alcune proposte in lettratura

Confronti EC8 / Annex Italiano / OPCM 3274/Pitilakis

Terremoti Tipo 1

Sottosuolo Tipo B

Sottosuolo Tipo A

5 5

g g

Se/a

Se/a A - EC8 B - EC8

normalizzata,

normalizzata, A - Annex Naz. B - Annex Naz.

4 4

A - OPCM B - OPCM

A - Pitilakis B1,B2 - Pitilakis

3 3

spettrale

spettrale (b)

(a)

2 2

Accelerazione

Accelerazione 1 1

0 0

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Periodo, T (s) Periodo, T (s)

Sottosuolo Tipo D

Sottosuolo Tipo C

5 5

g g

Se/a

Se/a D - EC8

C - EC8 normalizzata,

normalizzata, C3,C4 - Annex Naz.

C1,C2 - Annex Naz.

4 4 D - OPCM

B,C,E - OPCM D1,D2 - Pitilakis

C2,C3 - Pitilakis

3 3

spettrale

spettrale 2 2

Accelerazione

Accelerazione (d)

(c)

1 1

0 0

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Periodo, T (s) Periodo, T (s)

5

g

Se/a Sottosuolo Tipo E

E - EC8

normalizzata, C6 - Annex Naz.

4 B,C,E - OPCM

E - Pitilakis

3

spettrale 2

Accelerazione (e)

1

34 0 0 1 2 3 4

Periodo, T (s)

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Confronti EC8 / Annex Italiano / OPCM 3274/Pitilakis

Terremoti Tipo 2

Sottosuolo Tipo B

Sottosuolo Tipo A

5 6

g g

Se/a

Se/a B - EC8

A - EC8 normalizzata,

normalizzata, 5 B - Annex Naz.

A - Annex Naz.

4 B - OPCM

A - OPCM 4 B1,B2 - Pitilakis

A - Pitilakis

3 spettrale

spettrale 3 (b)

(a)

2 2

Accelerazione

Accelerazione 1 1

0 0

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Periodo, T (s) Periodo, T (s)

Sottosuolo Tipo D

Sottosuolo Tipo C

5 5

g g

Se/a

Se/a C - EC8 D - EC8

normalizzata,

normalizzata, C1,C2 - Annex Naz. C3,C4 - Annex Naz.

4 4

B,C,E - OPCM D - OPCM

D1,D2 - Pitilakis

C2,C3 - Pitilakis

3 3

spettrale

spettrale 2 2

(c) Accelerazione

Accelerazione (d)

1 1

0 0

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Periodo, T (s) Periodo, T (s)

8

g

Se/a Sottosuolo Tipo E

7

normalizzata, 6

5

spettrale 4

3 (e)

Accelerazione

35 2

1

0 0 1 2 3 4

Periodo, T (s)

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1.2.5 Testo della Ordinanza della Protezione Civile 3274 relativo alla definizione della

Azione Sismica

Si riporta il testo dell’allegato tecnico alla Ordinanza di Protezione Civile 3274. Si tratta di una

formulazione simile a quella dell’EC8 e relativi Annessi tecnici nazionali. Per questi ultimi si veda

anche il sito Web: www.coordinatore.it.

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40

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41

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1.3 Oscillatore Semplice: Soluzione nel caso in cui il termine noto è una forza

cosinusoidale

L'espressione d’’equilibrio della massa del sistema, in assenza di smorzamento, è la seguente:

+ ⋅ + ⋅ = Ω

m x d x k x F t

&

& & cos

0 ( 29

F

νω ω

+ ⋅ + ⋅ = Ω

x x x t

&

& & 2 0

2 cos

m

Ω

Ove rappresenta la frequenza della eccitazione esterna. In questo caso la soluzione

dell’equazione differenziale è la somma dell 'integrale generale (uguale a quello trovato nel caso di

articolare che varia nel tempo con la stessa frequenza

oscillazioni libere) e dell 'integrale p

della eccitazione esterna indipendentemente dalla struttura:

νω ω ω ( 30

= + + Ω + Ω

t

x e A t B t A t B t

[ cos sin ] [ cos sin ]

1 1 1 1

Nella espressione esso

( 23 il primo termine della addizione è l’integrale generale, all’aumentare

di t tende a zero, la legge del moto a regime, quindi, sarà rappresentata dal integrale particolare:

= Ω + Ω ( 31

x t A t B t

( ) [ cos sin ]

1 1 1 e B . Si deriva quindi due volte l'integrale

Basterà allora calcolarsi I valori delle costanti A

1 1

particplare ricavando le espressioni di della velocità e accelerazioni relative in funzione delle

costanti A e B incognite. Queste espressioni, sostituite ai vi valori nella equazione differenziale, ci

1 1

permettono di calcolare lare i valori di A e B che la soddisfano.

1 1

ω − Ω

F 2 2

=

A 0 ω ν ω

− Ω + Ω

1 m 2 2 2 2

( ) 4 ( 32

νω

Ω

F 2

=

B 0 ω ν ω

− Ω + Ω

1 m 2 2 2 2

( ) 4

Sostituendo queste espressioni nell'integrale particolare si ha la soluzione:

42

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F 1 φ

= Ω −

t

x t 0

( ) cos( )

m ω ν ω

− Ω + Ω

2 2 2 2

( ) 4 ( 33

F ν ω φ

= Ω ⋅ Ω −

x t M t

0

( ) ( , , ) cos( )

m 1

ν ω Ω = = +

M A B

2 2

( , , ) 1 1

ω ν ω

− Ω + Ω

2 2 2 2

( ) 4

νω

Ω

B 2

φ = =

artg 1

( ) ω − Ω

A 2 2

( )

1

ν ω Ω φ

Ove la fonzione M( , , ) è detta funzione di trasferimento, è l’angolo di sfasamento della

risposta. e

Si vede, quindi, che l'ampiezza della risposta direttamente proporzionale all’'intensità della

eccitazione ma dipende anche, tramite la funzione di trasferimento dalla frequenza dell

della struttura, dallo smorzamento.

'eccitazione, da quella

Esplicitando la funzione M(.) si ha:

1 1

ν ω Ω =

M ( , , ) ω 2 Ω Ω

2 2

ν

− +

2 2

(

1 ) 4

ω ω

2 2

Ω 2 ( 34

β = ω 2 1 1 1

ν ω μ ν β

Ω = = ⋅

M ( , , ) ( , )

ω ω

β ν β

2 2

− +

2 2 2 2

(

1 ) 4

1

μ ν β =

( , ) β ν β

− +

2 2 2 2

(

1 ) 4

sostituendo questa nuova funzione nell’espressione della risposta ( 33 si ottiene:

F 1 μ ν β φ

= ⋅ ⋅ ⋅ Ω − =

x t t

0

( ) ( , ) cos( )

ω

m 2

F m μ ν β φ

= ⋅ ⋅ ⋅ Ω − =

x t t

0

( ) ( , ) cos( ) ( 35

m k

43

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F μ ν β φ μ ν β φ

= ⋅ ⋅ Ω − = ⋅ ⋅ Ω −

x t t x t

0

( ) ( , ) cos( ) ( , ) cos( )

st

k

10

10 7.5

μ , β

( 0.01 )

μ , β

( 0.05 ) 5

μ , β

( 0.10 )

μ , β

( 0.20 ) 2.5

0.124 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

β 3

0 μ ν β

Figura 7 Andamento del coefficiente di amplificazione ( , ) per diversi valori dello

ν

smorzamento .

Dalla terza delle ( 35 si può dare una interpretazione della risposta dinamica. Essa è data

essenzialmente dalla stessa espressione della risposta statica, rapporto tra forza e rigidezza k,

φ Ω

sfasata rispetto alla applicazione della forza di un tempo t= / , ed amplificata di un fattore pari a

μ ν β namica".

( , ) detto per questo "funzione di amplificazione di

La funzione di amplificazione dinamica dipende dallo smorzamento e dal rapporto tra la frequenza

eccitatrice e quella della struttura.

β Ω ω ∞

Se =0 si ha il caso di forza statica ( =O) o di struttura infinitamente rigida ( = ). Il valore di

μ ν β β ∞

( , =0) vale 1. Se = , si ha il caso struttura molto flessibile con periodo proprio molto lungo

ω Ω ∞ ω ∞ μ ν β ∞ β

( =0) o di eccitazione ad alta frequenza ( = ) ( = ). il valore di ( , = )=0. Se =1, si ha il

ω Ω

( = ) cioè di frequenza propria uguale alla frequenza di eccitazione, il valore di

μ ν β ν

( , =1)=1/(2 ), pertanto se lo smorzamento è piccolo il coefficiente di amplificazione diviene

molto grande. La situazione è detta di risonanza, ed al limite, dopo molte oscillazioni la struttura

può amplificare moltissimo l’effetto dell’azione.

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1.3.1 Valutazione del transitorio

Se si vuole valutare il transitorio si deve risolvere l’equazione differenziale ( 23. L’integrale

particolare dell’equazione del moto è quello illustrato, si ricava d’altronde sostituendo il secondo

termine della soluzione generale, cioè la soluzione particolare nella equazione di equilibrio,

ricavando le espressioni di A e B sopra illustrate:

νω ω ω ( 36

= + + Ω + Ω

t

x e A t B t A t B t

[ cos sin ] [ cos sin ]

1 1 1 1 1

ω − Ω

F 2 2

=

A 0 ω ν ω

− Ω + Ω

1 m 2 2 2 2

( ) 4 ( 37

νω

Ω

F 2

=

B 0 ω ν ω

− Ω + Ω

1 m 2 2 2 2

( ) 4

Derivando la espressione ( 23 si ottiene l’espressione della velocità, si possono così imporre le

, B e dello

condizioni iniziali e da queste ricavare le espressini di A e di B in funzione di A

1 1

spostamento e velocità iniziali:

ω ω

= + + Ω + Ω

x A B A B

[ cos 0 sin 0

] [ cos 0 sin 0 ]

0 1 1 1 1 1 ( 38

νω νω

νω ω ω ω ω ω ω

− −

= − + + − + + − Ω Ω + Ω Ω

t t

x e A t B t e A t B t A t B t

& [ cos sin ] [ sin cos ] [ sin sin ]

0 1 1 1 1 1 1 1 1

= +

x A A

0 1 ( 39

νω ω ω ω νω ω

= − + + Ω Ω = − + + Ω

x A B B A B B

& [ cos 0

] cos 0 cos 0

]

0 1 1 1 1 1 1 1

= −

A x A

0 1

νω νω

Ω Ω

x B x B

& & ( 40

= + + = + − +

B A x A

0 1 0 1

( )

ω ω ω ω ω ω

0 1

1 1 1 1 1 1

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0.2

0.184 0.1

x

( t )

x1 ( t ) 0

x2 ( t ) 0.1

− 0.108 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 t 3

0.2

0.18 0.1

x

( t )

x1

( t ) 0

x2

( t ) 0.1

− 0.129 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 t 3

Figura 8 Forzante cosinusoidale. In alto: risposta nel caso di periodo proprio T=0.127sec,

Θ ν

periodo della forzante =2 sec, coeff. di smorzamento =0.05, ampiezza della forzante

F=100, massa 0.4 (la rigidezza è quindi pari a 1000).In basso: risposta nel caso di periodo

proprio T=0.28 sec e massa 2.0, gli altri parametri sono immutati.

x: risposta totale, x1: integrale generale, x2: risposta senza contributo del transitorio

Le espressioni ( 40 sono diverse da 0 anche nel caso in cui velocità e spostamento iniziale sono

nulli, pertanto il transitorio dà sempre luogo ad una alterazione della risposta, che tende ad

annullarsi con le oscillazioni. Ad esempio, in Figura 8 si nota che la risposta totale x(t), è diversa

inizialmente dalla sola risposta a regime x2(t), la differenza è data dal contributo del transitorio

x1(t).

Nella figura è ben evidente il fatto che l’applicazione della forzante già diversa da 0 dà luogo ad un

considerevole differenza nella fase iniziale tra forzante e risposta, differenza che tende a ridursi

dopo poche oscillazioni. L’effetto del transitorio è più modesto se viene applicata una forzante del

Ω

tipo Fsin( t) che parte anch’essa dal valore nullo al tempo t=0.

Nel caso di forzante sinusoidale le costanti A e B divengono:

1 1

46

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ω − Ω

F 2 2

=

B 0 ω ν ω

− Ω + Ω

1 m 2 2 2 2

( ) 4 ( 41

νω

Ω

F 2

= −

A 0 ω ν ω

− Ω + Ω

1 m 2 2 2 2

( ) 4

Sono pertanto uguali alle espressioni della forzante cosinusoidale ma sono scambiate ed una, la

A con segno invertito, mentre le A e B dell’integrale generale si ottengono imponendo che la

1

soluzione completa soddisfi le condizioni iniziali, hanno pertanto le medesime espressioni ( 40, ove

A e B hanno le espressioni appena trovate.

1 1

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0.2

0.103 0.1

x

( t )

x1

( t ) 0

x2

( t ) 0.1

− 0.102 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 t 3

Figura 9 Forzante sinusoidale: risposta nel caso di periodo proprio T=0.28sec, periodo

Θ ν

della forzante =2 sec, coeff. di smorzamento =0.05, ampiezza della forzante F=100,

massa 2 (la rigidezza è quindi pari a 1000) (tranne la forzante è il secondo caso della

Figura 8)

x: risposta totale, x1: integrale generale, x2: risposta senza contributo del transitorio

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1.4 Oscillatore semplice: Risposta al moto del terreno

ω

Se il moto del terreno è del tipo A(t)=a sin t, l’equazione di equilibrio è la stessa ( 29 nella quale

0

ω ω

sin t, anziché la forzante F sin t. La risposta è quindi quella

a termine noto è il termine -m a

0

appena vista ove al termine F si sostituisce -m a . Il rapporto tra la accelerazione assoluta del

0

sistema e la accelerazione alla base, è detto tramittanza del sistema:

νω

+ + Ω

x t a t

&

& 2

( ( ) ( )) 1 ( 2 / )

= 1 / 2

max ( ) ( 42

ω ν ω

− Ω + Ω

a 2 2 2

(

1 ( / ) ) 2 ( / )

0

Questa espressione è la medesima che si ottiene nel caso di forzante sinusoidale tra forza totale di

risposta e forza agente: ω ⋅ + ⋅

d x k x

&

( ) max

F

0

La stessa relazione vale tra spostamento assoluto, somma di quello relativo e quello del terreno, e

spostamento del solo terreno. La trasmittanza ha pressoché lo stesso valore del coefficiente di

amplificazione, salvo per valori molto elevati dello smorzamento.

10

10 7.5

, Ω

Tr ( 0.01 )

, Ω

Tr ( 0.05 ) 5

, Ω

Tr ( 0.10 )

, Ω

Tr ( 0.20 ) 2.5

0.042 0 0 20 40 60 80 100

Ω

0 100

Figura 10. Andamento della trasmittanza in una struttura con frequenza propria w=10 per

diversi valori del coefficiente di smorzamento

Si noti che la risposta diviene quindi:

ma 1 φ

= Ω −

x t t

0

( ) cos( )

m ω ν ω

− Ω + Ω

2 2 2 2

( ) 4 ( 43

ν ω φ

= Ω ⋅ Ω −

x t a M t

( ) ( , , ) cos( )

0

49

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1

ν ω Ω = = +

M A B

2 2

( , , ) 1 1

ω ν ω

− Ω + Ω

2 2 2 2

( ) 4

νω

Ω

B 2

φ = =

artg 1

( ) ω − Ω

A 2 2

( )

1

La funzione M() è detta funzione di trasferimento, se si vuole la risposta in accelerazione la

funzione va derivata due volte rispetto al tempo, ottenendo quindi la funzione di trasferimento in

Ω 2

accelerazione relativa: M(). 1 1

ν ω Ω =

M ( , , ) ω 2 Ω Ω

2 2

ν

− +

2 2

(

1 ) 4

ω ω

2 2

Ω 2

β = ( 44

ω 2 1 1 1

ν ω μ ν β

Ω = = ⋅

M ( , , ) ( , )

ω ω

β ν β

2 2

− +

2 2 2 2

(

1 ) 4

1

μ ν β =

( , ) β ν β

− +

2 2 2 2

(

1 ) 4

50

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1.5 Oscillatore semplice: Valutazione della Risposta in Forma Numerica.

1.5.1 Calcolo della risposta dinamica al passo: Metodo di integrazione al passo

dell’equazione del moto

In genere, disponendo di un calcolatore, è conveniente integrare numericamente l’equazione di

equilibrio dinamico:

+ + = −

m x t d x t kx t ma t (1

&

& &

( ) ( ) ( ) ( )

piuttosto che non risolvere l’integrale di Duhamel o la soluzione relativa alla sovrapposizione in

Δ

frequenza. Si tratta di discretizzare il tempo in intervalli di dimensione costante t, sufficientemente

piccoli e scrivere l’equazione dinamica non in forma differenziale ma in forma finita. La funzione

spostamento e le sue derivate sono calcolate in corrispondenza dei tempi t , in cui è stato

i

discretizzato il fenomeno.

I metodi numerici rappresentano l’unica soluzione per il calcolo della risposta se la struttura entra

in campo non lineare. Peraltro stime della risposta non lineare possono essere fatte con metodi

approssimati basati su approssimazioni lineari della risposta.

Si illustrano nel seguito due metodi di integrazione numerica: il primo delle differenze centrali, nel

quale l’incognita di spostamento all’istante i+1, è espressa in funzione dello spostamento e delle

sue derivate (velocità ed accelerazione) agli istanti precedenti: i ed i-1, è detto per questo un

metodo esplicito; il secondo, chiamato metodo di Newmark, esprime lo spostamento all’istante i+1

in funzione degli spostamenti agli istanti i ed i-1, ma anche della accelerazione all’istante i+1, lo

stesso in cui viene calcolato lo spostamento, e che è anch’esso una incognita. Il metodo, almeno in

linea di principio, richiede di iterare a partire da un valore di tentativo della accelerazione

all’istante i+1, ed è per questo detto implicito.

1.5.2 Metodi espliciti: le differenze centrali

La velocità all’istante i può essere espresse come rapporto incrementale tra quelle agli istanti i+1

ed i-1: −

x x

= + −

i i

x

& 1 1 (2

i Δ

t

2

L’accelerazione si può ottenere dal rapporto tra l’incremento della velocità tra i+1 ed i , ed i ed i-

1:

51

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− −

x x x x

+ − =

= + −

i i i i

x

x

& &

1 1

; (3

i i

Δ Δ

t t

− +

x x x

2

= + −

i i i

x

&

& 1 1 (4

( )

i Δ 2

t

Sostituendo la (3 e la (2 nella equazione di equilibrio dinamico (1 si ottiene:

− + −

x x x x x

2 + + = −

+ − + −

i i i i i

m d kx ma t

1 1 1 1 ( ) (5

( ) i i

Δ

Δ t

2

t 2

Raccogliendo i termini con lo stesso indice e portando a destra dell’uguale i termini che dipendono

da i ed i-1 si ottiene: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

m d m d m

2

− −

= − − −

+ x ma t x k x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ( ) (6

( ) ( ) ( )

+ −

i i i i

Δ

Δ 1 1 Δ

Δ

Δ t t

2 2 2

t t t

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

2 2

La (6 è una equazione ricorrente, all’istante i+1 sono note tutte le grandezze relative agli istanti

precedenti, pertanto è possibile ricavare lo spostamento x relativo ad i+1.

La (6 può essere vista come la classica Kx=F, in cui la F è il secondo membro.

, che rappresenta la forza elastica all’istante i.

Si noti inoltre come nella (6 compaia il termine Kx i

Qualora la struttura abbia comportamento non lineare l’espressione relativa alla forza di richiamo

è f(x), pertanto la (1 diviene :

+ + = −

m x t d x t f x t ma t (7

&

& &

( ) ( ) ( ( )) ( )

e la (5 diviene: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

m d m d m

2

− −

= − − −

+ x ma t x f x x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦

⎢ ⎥ ( ) ( ) (8

( ) ( ) ( )

+ −

i i i i i

Δ

Δ 1 1 Δ

Δ

Δ t t

2 2 2

t t t

⎣ ⎦ ⎣

⎣ ⎦

2 2

Si deve osservare come anche la forza di richiamo non lineare sia nota in quanto è proprio quella

relativa al passo precedente. Nessuna differenza, nemmeno di complessità di calcolo, vi è in questo

caso nel passaggio da una analisi lineare ad una non lineare. Δ

t=i+1, non è possibile definire lo

Si deve infine osservare che per il calcolo del primo passo t=

spostamento all’istante i-1 da inserire nella (6 o nella (8.

Se si specializzano la (2 e la (4 per t=0, ricavando velocità ed accelerazione al tempo t=0,

, e sostituendola nella (4, e ricavando da questa x , si ottiene:

ricavando dalla (2 la x i+1 i-1

( ) (9

= − Δ − Δ 2

x x t

x t x

& &

& /2

i i i i

1

52

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

È chiaro che le grandezze all’istante t=0 sono un dato del problema, in generale sono nulle.

Vi sono due requisiti essenziali cui i metodi di integrazione al passo devono soddisfare: devono

essere “stabili”, e devono assicurare la “convergenza” alla soluzione esatta. Il primo requisito è

dovuto alla caratteristica che alcuni sistemi di integrazione numerica hanno di divergere

indefinitamente se il passo di integrazione non è sufficientemente piccolo rispetto al periodo

proprio della struttura. Più precisamente se si calcola la risposta dell’oscillatore semplice non

ω

smorzato nel caso di oscillazioni libere il cui risultato esatto è: Acos t, nel caso del metodo delle

differenze centrali la risposta può risultare non oscillatoria ed anzi cresce indefinitamente se

Δ π

t>T/ . Il metodo dà comunque luogo a risposte sinusoidali ma con periodi inferiori rispetto a

Δ

quello reale, questa tipo di errore, detto di convergenza, si riduce al diminuire del rapporto t/T

come si vede in figura.

0 0 0,1 0,2 0,3

-0,05

(T'-T)/T -0,1

-0,15

-0,2

-0,25 dt/T

Metodo delle differenze centrali, scostamento tra periodo proprio calcolato ed effettivo per

oscillazioni libere non smorzate

In pratica nel caso sismico la necessità di rappresentare l’azione in modo accurato impone in

genere di scegliere un passo di integrazione non superiore a 0.02 secondi, mentre valori tipici

vanno da 0.005 a 0.01 secondi. Pertanto, nel caso di strutture civili, ad un grado di libertà, nelle

Δ

quali il periodo proprio è in genere superiore a 0.1 secondi, il rapporto t/T è inferiore a 10, il

Δ π

metodo risulta pertanto stabile ( t/T<1/ : condizione di stabilità) ed accurato (si veda la figura).

Se la struttura entra in campo plastico i due requisiti divengono più facili da soddisfare, in quanto

l’effetto globale è equivalente ad un allungamento del periodo.

In definitiva i passi da seguire nella programmazione del metodo delle differenze centrali sono i

seguenti:

passo iniziale: valutazione dell’accelerazione al tempo t=0 (eq.(1, eq.(9, (8:

− = − = − =

d x t kx t ma t

&

( ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ))

= =

x t

&

&

( 0

) m (10

53

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

x

&

&

( )

= − Δ − Δ 2

x x t x t

& 0

1 0 0 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

m d m d m

2

− −

= − − −

+ x ma t x k x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦

⎢ ⎥ ( )

( ) ( ) ( )

Δ

Δ 1 0 1 0

Δ

Δ

Δ t t

2 2 2

t t t

⎣ ⎦ ⎣

⎣ ⎦

2 2

A tutti i passi successivi (eq.(8):

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

m d m d m

2

− −

= − − −

+ x ma t x k x

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦

⎢ ⎥ ( ) (11

( ) ( ) ( )

+ −

i i i i

Δ

Δ 1 1 Δ

Δ

Δ t t

2 2 2

t t t

⎣ ⎦ ⎣

⎣ ⎦

2 2

Se si devono calcolare le altre grandezze di passo si utilizzano la (2 e la (4:

x x

= + −

i i

x

& 1 1

i Δ

t

2 (12

− +

x x x

2

= + −

i i i

x

&

& 1 1

( )

i Δ 2

t

54

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

1.5.3 Metodi impliciti: il metodo di Newmark

Si ipotizzi che si possa approssimare l’accelerazione di risposta (relativa) in ogni passo con una

accelerazione costante pari alla media delle accelerazioni di inizio (punto i) e fine passo (punto

i+1).

In tale ipotesi si possono ricavare le grandezze del moto lungo il passo ed a fine passo:

+

x x

&

& &

&

= +

i i

x

&

& 1 (13

i 2 +

x x

&

& &

&

= + Δ +

i i

x x t

& & 1 (14

+

i i

1 2

Δ

t 2 ( )

= + Δ + +

x x x t x x

& &

& &

& (15

+ +

i i i i i

1 1

4

La (14 può essere scritta come

[ ] (16

= + − Δ + Δ

x x t x t x

& & &

& &

&

(

1 0 . 5

) ( 0 . 5 )

+ +

i i i i

1 1

[ ] [ ] (17

= + Δ + − Δ + Δ

x x x t t x t x

2 2

& &

& &

&

( 0 . 5 0 . 25

) 0 . 25

+ +

i i i i i

1 1

Le espressioni (14a ed (14b possono essere generalizzate secondo le due espressioni seguenti

dovute a Newmark (1):

[ ]

α α (18

= + − Δ + Δ

x x t x t x

& & &

& &

&

(

1 ) ( )

+ +

i i i i

1 1

[ ] [ ]

β β (19

= + Δ + − Δ + Δ

x x x t t x t x

2 2

& &

& &

&

( 0 . 5 )

+ +

i i i i i

1 1

α β

Se i valori di e sono rispettivamente 0.5 e 0.25 le due espressioni coincidono con le (16 e (17.

α β

Si trova immediatamente che se i valori di e sono rispettivamente 0.5 e 1/6, le due espressioni

coincidono con la soluzione relativa al caso in cui l’integrazione nel passo si esegua utilizzando

una variazione lineare della accelerazione relativa tra inizio e fine passo (secondo la ben nota

regola dei trapezi).

La (19 può essere utilizzata per ricavare lo spostamento di fine passo. La (18 per ricavare la

velocità di fine passo. Si deve utilizzare un criterio iterativo assegnando inizialmente un valore di

tentativo alla accelerazione. Se a fine passo, sostituendo i valori trovati nella equazione di

equilibrio dinamico (1 si ottiene un valore della accelerazione sufficientemente prossimo a quello

di tentativo, si può ritenere di aver raggiunto la convergenza, altrimenti si deve iterare sino a

convergenza.

1.5.4 Riferimenti bibliografici

Newmark,N.M., 1959, A Method of Computation for Structural Dynamics”, Journal of Engineering

Mechanics Division, ASCE 85

55

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

1.6 Oscillatore Semplice: Stima della risposta massima non lineare

E’ stato dimostrato che lo spostamento massimo di un oscillatore semplice elasto plastico soggetto

ad un accelerogramma, se il periodo proprio è elevato, è circa uguale a quello dell’oscillatore

indefinitamente elastico. Pertanto il taglio massimo nella struttura è pari al taglio elastico diviso

per la duttilità massima richiesta.

Se il periodo proprio è breve, la risposta in spostamento è tale da aver la stessa energia di

e2

=1/2 Kx , detta E =1/2

deformazione massima dell’oscillatore elastico indefinito. Detta E

el ep

y2 y2

Kx +1K (x -x )= K x x -1/2 Kx , uguagliando i due termini si ha:

u y u y 2

e2

x =0.5(x / x + x )= 0.5(q x + x )

u y y y y

esprimendo x normalizzato rispetto ad x si ha:

u y

2 2

μ=x / x = 0.5[(x / x ) + 1)]= 0.5(q + 1)

u y e y

q rappresenta il fattore di riduzione della forza: q=F /F

e y

56

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

10

8.5 9

8

7

6

μ 5

( x ) 4

3

2

1

1 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1 x 4

duttilità richiesta se T con l’ipotesi di ugual Energia in funzione di x= x / x =q

e y

In genere se l’azione sismica è rappresentata dallo spettro di risposta elastico di progetto, ed il

, si assume valida l’ipotesi di ugul

periodo proprio si trova nella zona a velocità costante: T>T

c

spostamento, al di sotto di tale periodo l’ipotesi di ugual energia è ragionevolmente cautelativa.

Detto q il rapporto tra forza di inerzia massima F se la struttura rimane in campo elastico e la

e

resistenza della struttura F , qualora il periodo della struttura T* sia inferiore a T si può utilizzare

y c

l’espressione : d *,max ⎡ ⎤

T

( )

e

= + − ≥

C

d q d

* * *

1 1

⎢ ⎥ e

max ,max

q T

⎣ ⎦

* *

per il calcolo della riposta massima in spostamento, nella espressione data d è lo spostamento

e,max

nel caso di risposta elastica.

57

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

, ⋅

d

( q 0.8 Tc )

, ⋅

d

( q 0.7 Tc )

, ⋅

d

( q 0.6 Tc )

, ⋅

d

( q 0.4 Tc ) q

58

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

2 Strutture a Più Gradi di Libertà: Coordinate Generalizzate

Si consideri il telaio a 2 piani in figura.

Si trascura la deformabilità assiale e per taglio, le travi sono infinitamente rigide

(Unità di misura: [F]=[kN], [L]=[m], [m]=[ton])

Caratteristiche geometriche × × 2

Dimensione pilastri: b h =300 300 mm

=3,000 m

Altezza di piano: h

p

Lunghezza campata: L =6,000 m

Numero di pilastri: n =2 =5,000 m

Interasse telai: i

n

1 × -4 4

=

Momento d’inerzia dei pilastri: =6,75 10 m

I bh 3

p 12 EI × 3 -1

= p

Rigidezza dei pilastri: k =9 10 kNm

12

pp h 3

p

× × 3 -1

=n k =18 10 kNm

Rigidezza di piano: k

p pp

Caratteristiche meccaniche × 3 -2

Modulo elastico del cls: E =30000 MPa (=30000 10 kNm )

Masse -2

Massa impalcato: m =0,70 ton m

i × -1

Massa sulla trave di piano: m =m i =3,5 ton m

t i n

×

Massa di piano: m=m L =21 ton

t

59

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

2.1 EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE

Il sistema di equazioni che governano il moto della struttura si possono ricavare utilizzando

differenti metodi :

1) Equilibrio alla d’Alambert (scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico)

2) Metodo energetico (Principio di Hamilton o della conservazione dell'energia totale del

sistema)

3) Elementi finiti

Mentre il metodo 3) è utilizzato ampiamente nei programmi di calcolo perchè si presta ad un

elevato grado di automatizzazione, i primi due metodi sono il frutto del tradizionale approccio alla

dinamica Lagrangiana.

Con riferimento al telaio dell'esempio viene ora descritto il metodo 1).

Nella figura accanto sono illustrate le sollecitazioni di taglio ad ogni piano (verso ed ampiezza). Il

telaio è soggetto ad uno spostamento alla base x . Effettuando l'equilibrio alla traslazione delle

g

masse di piano possiamo scrivere il sistema di equazioni seguenti, ognuna delle quali mostra come

la forza d'inerzia (proporzionale all'accelerazione assoluta della massa) equilibri la reazione

elastica (proporzionale alla rigidezza di piano kp e dipendente dallo spostamento relativo di

piano).

+ − − + =

⎧⎪ m x x k x x k x

&& &&

( ) ( ) 0

g p p

1 2 1 1

⎨ (1

+ + − =

m x x k x x

&& &&

⎪⎩ ( ) ( ) 0

g p

2 2 1

che si può riscrivere mettendo a fattor comune le incognite x1 e x2 ossia gli spostamento relativi

piano (vedi figura).

60

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

+ − = −

⎧⎪ mx k x k x mx

&& &&

2 p p g

1 1 2

⎨ − + = −

mx k x k x mx

&& &&

⎪⎩ p p g

2 1 2

Volendo scrivere le precedenti in forma compatta si può utilizzare la notazione matriciale:

⎡ ⎤

k k

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

x x

m m

&& 2

0 0 1

p p

+ = − x

1 1 &&

⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− g

k k

x x

m m

&& ⎩ ⎭

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

0 0 1

p p

2 2

&& & −

+ + = x

&&

MX DX KX MI g

nella quale è la matrice delle masse, è la matrice delle rigidezze, è il vettore di

M K I

trascinamento ed è il degli spostamenti di piano. Il termine a secondo membro

X vettore incognito

rappresenta il vettore delle forze equivalenti al sisma.

2.2 SOLUZIONE CON APPLICAZIONE AD UN TELAIO PIANO

Nel caso dell'esempio le matrici delle masse e delle rigidezze assumono le espressioni:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

m 0 21 0

=⎢ =⎢ matrice delle masse

M M

⎥ ⎥

m

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 21

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

k k ⋅ − ⋅

4 4

2 3.6 10 1.8 10

p p =⎢

=⎢ matrice delle rigidezze

⎥ ⎥

K K

− k k − ⋅ ⋅

4 4

⎣ ⎦

⎣ ⎦ 1.8 10 1.8 10

p p φ y(t), ove y(t) è uno scalare che viene detto la

Se si ipotizza di conoscere una soluzione del tipo X= φ

coordinata generalizzata e serve a modulare il vettore , quest’ultimo dà la forma della

deformazione.

Ad esempio:

⎡ ⎤

0.115

φ = ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦

0.186 Spostamenti del primo e secondo piano

Per il principio dei lavori virtuali il lavoro delle forze interne ed esterne fatto in uno spostamento

virtuale deve essere nullo perché vi sia equilibrio. φ

Sostituendo a l’espressione dello spostamento y e le sue derivate temporali, assunto proprio

X X=

δ φ δ φ T

y quale spostamento virtuale, premoltiplicando per i termini dell’equazione di equilibrio

X=

si ottiene:

φ φ φ φ φ φ φ

∂ ⋅ + ∂ ⋅ + ∂ ⋅ + ∂ ⋅ =

T T T T

y y y x y y y y

&& && &

M MI D K 0

g

δ

Dividendo per y si ottiene:

φ φ φ φ φ φ φ

+ + + =

T T T T

y x y y

&& && &

M MI D K 0

g

61

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

Che può riscriversi come:

φ φ φ φ φ φ φ

+ + = −

T T T T

y y y x

&& & &&

M D K MI g

Da cui:

φ φ φ φ φ φ φ

+ + = −

T T T T

y y y x

&& & &&

M D K MI g

Ponendo:

φ φ =

T m

M

φ φ =

T d

D

φ φ =

T k

K

φ =

T L

MI

L’equazione di equilibrio si riscrive:

+ + = −

my dy ky Lx

&& & &&

g

m = massa generalizzata, d = smorzamento generalizzato, k = rigidezza generalizzata.

Dividendo per la massa generalizzata si ottiene:

νω ω

+ + = −

y y y px

&& & &&

2

2 g

Ove p=L/m, è detto coefficiente di partecipazione.

L’equazione è quella di un oscillatore semplice soggetto ad una accelerazione amplificata p volte

rispetto a quella effettiva.

62

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

3 Strutture a Più Gradi di Libertà: Analisi Modale

3.1 CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL SISTEMA

Si consideri ora il caso nel quale sia assente la forzante esterna in genere denominato problema

delle OSCILLAZIONI LIBERE.

&

& + =

M X KX 0

Si può ipotizzare una soluzione di tentativo del tipo

:= φ

X sinωt

Sostituendo la precedente nel sistema di equazioni si ottiene un nuovo sistema nel quale le

φ ω

incognite sono il vettore delle ampiezze e la frequenza del moto , la determinazione della cui

soluzione è detta PROBLEMA AGLI AUTOVALORI

− ω φ =

2

( K M ) 0

φ =

E 0

ossia in forma compatta

Il sistema così ottenuto è un sistema omogeneo che come ben noto dalla matematica ammette

soluzione (autosoluzione) se e soltanto se il determinante della matrice dei coefficienti possiede

determinante nullo. Dunque per calcolare le del sistema occorre imporre la

autosoluzioni

condizione:

=

det[ E ] 0

Nel caso del telaio in esame il problema agli autovalori si scrive semplicemente:

⎛ ⎞

⎛ ⎞

− φ

⎛ ⎛

⎞ ⎞

k

2k 0

m 0

p p 11

2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− ω ⋅ :=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− φ

⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ 0

k k 0 m

p p 12

ossia

⎛ ⎞

2 ⎞

− ω − φ ⎞

m k

2k

⎜ ⎟ 0

p p 11

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ :=

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

φ

⎝ ⎠ 0

2 12

− − ω

⎝ ⎠

k k

p p

Imponendo l'annullamento del determinante della matrice si ottiene la seguente equazione

E

ω

algebrica biquadratica nell'incognita

63

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 2

− ω − ω − :=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2k m k m k 0

p p p

4 2 2

2 ω − ω + :=

m 3mk k 0

p p

le cui soluzioni sono date dalle espressioni seguenti

⎛⎝ ⎞⎠

2 2

2 2

+ −

3mk 9m k 4m k

2 p p p

:=

ω 1 2

2m

⎛ ⎞

2 2

2 2

− −

⎝ ⎠

3mk 9m k 4m k

2 p p p

ω :=

2 2

2m

ω ω

I due valori 1 e 2 sono detti del sistema

FREQUENZE PROPRIE

Calcolo coefficienti ax2+bx+c=0:

Polinomio caratteristico

2

:=

a m

( )

:= − ⋅ ⋅

3 k m

b p

2

:= k

c p 2

− − − ⋅ ⋅

b b 4 a c

λ :=

1 ⋅

2 a

λ = 327.399

1 2

− + − ⋅ ⋅

b b 4 a c

:=

λ

2 ⋅

2 a

3

λ = ×

2.244 10

2

FREQUENZE PROPRIE

PERIODI PROPRI

ω := λ

1 1

ω = 18.094

1 ⋅ π

2

:=

T 1 ω 1

=

T 0.347

1

ω := λ

2 2

ω = 47.371

2 ⋅ π

2

:=

T 2 ω 2

=

T 0.133

2

- Uso del problema agli autovalori generalizzato implementato in Mathcad

64

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

Spesso i programmi di calcolo automatico sfruttano metodi numerici approssimati per la

valutazione della frequenze proprie

:= ,

FQUAD genvals ( K M )

⎛ ⎞

3

×

2.244 10

⎜ ⎟

=

FQUAD ⎝ ⎠

327.399

Ω := FQUAD

− 1

:= ⋅ π

⋅ Ω

T 2

⎛ ⎞

47.371

⎜ ⎟

Ω = ⎝ ⎠

18.094

(FREQUENZE PROPRIE)

⎛ ⎞

0.133

⎜ ⎟

=

T ⎝ ⎠

0.347

(PERIODI PROPRI)

CALCOLO DEGLI AUTOVETTORI

65

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

Poichè gli autovettori sono definiti a meno di una costante è possibile scegliere differenti condizioni

di normalizzazione

1 ) metodo della componente unitaria

Imponendo la condizione che almeno una componente di ciascun autovettore sia 1 e partizionando

la matrice del problema agli autovalori si ha

⋅ φ :=

E 0

i i

problema agli autovalori

autovettore i-mo

⎛ ⎞

φ

i1

⎜ ⎟

:=

φ

i φ

⎝ ⎠

i2

:= − λ ⋅

E K M

i i

matrice del problema agli autovalori

partizionamento della matrice del problema agli autovalori

,

⎛ ⎞

E

e 10

i1 i

⎜ ⎟

:=

E

i , ,

⎝ ⎠

E 01 11

E

i i

se si pone ad esempio

φ := 1

i1 φ

dalla seconda equazione si ricava il valore di 12

poichè gli autovalori hanno reso dipendenti le due equazioni la prima sarà automaticamente

soddisfatta. Nel caso di più di due gradi di libertà il termine rappresenta la prima colonna

,

E 01

i

della matrice dei coefficienti moltiplicato per 1, primo valore dell'autovettore posto =1, esso fa si

che i termini noti del problema siano proprio i valori ,

E 01

i

passiamo al nostro esempio

φ1

Autovettore

φ := 1

11

:= − λ ⋅

E K M

1 1

:=

E E

11 1 ,

1 1

:=

E E

01 1 ,

0 1

− 1

φ := − ⋅

E E

21 11 01

⎛ ⎞

φ

11

⎜ ⎟

:=

φ

1a φ

⎝ ⎠

21

⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

φ =

1a ⎝ ⎠

1.618 φ2

Autovettore

φ := 1

12

66

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

:= − λ ⋅

E K M

2 2

:=

E E

22 2 ,

1 1

:= E

E

02 2 ,

0 1

− 1

φ := − ⋅

E E

22 22 02

⎛ ⎞

φ

12

⎜ ⎟

:=

φ

2a φ

⎝ ⎠

22

⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

φ =

2a ⎝ ⎠

0.618

La forma generale prima ricavata può essere particolarizzata al caso attuale. Ad esempio con

riferimento al primo modo la prima equazione del moto si può scrivere:

67

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

( )

⋅ − λ ⋅ ⋅ φ − ⋅ φ :=

2 kp m kp 0

1 11 12

dalla quale si evince, che posto

φ := 1

11 ⋅ − λ ⋅

2 k m

p 1

:=

φ

12 k

p

φ = 1.618

12

Analogamente per l'autovettore del secondo modo

2 ) metodo della normalizzazione della matrice delle masse

In tale caso si impongono le seguenti condizioni:

T

φ ⋅ φ :=

M 1

i i

:=

i 1..

1..n

n=n° piani φ Φ

Raccogliendo gli autovettori i in un'unica matrice detta le precedenti possono

matrice modale

scriversi in maniera compatta

T

Φ ⋅ Φ :=

M I

dove la matrice I è la matrice unità

⎛ ⎞

1 0

⎜ ⎟

:=

I ⎝ ⎠

0 1

Per il caso dell'esempio imponendo la precedente al problema agli autovalori prima definito si

ottengono le seguenti componenti del i-mo autovettore

2

k p

m

φ :=

i1 ( ) 2 2

− λ ⋅ +

2kp m kp

1

2

− ⋅ φ

1 m i1

φ :=

i2 m

Calcoliamoci dunque le componenti dei singoli autovettori

φ1

Autovettore 2

k p

m

:=

φ

11 ( ) 2 2

− λ ⋅ +

2kp m kp

1

2

− ⋅ φ

1 m 11

:=

φ

12 m

⎛ ⎞

φ

11

⎜ ⎟

φ :=

1 φ

⎝ ⎠

12

68

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

⎛ ⎞

0.115

⎜ ⎟

φ =

1 ⎝ ⎠

0.186 φ2

Autovettore 2

k p

m

:=

φ

21 ( ) 2 2

− λ ⋅ +

2kp m kp

2 2

− ⋅ φ

1 m 21

:= −

φ

22 m

⎛ ⎞

φ

21

⎜ ⎟

φ :=

2 φ

⎝ ⎠

22

⎛ ⎞

0.186

⎜ ⎟

φ =

2 ⎝ ⎠

0.115

Una maniera alternativa di imporre la normalizzazione rispetto alla matrice delle masse è

NB.

quella di utilizzare i vettori normalizzati col metodo della componente unitaria e poi sfruttare la

proprietà che gli autovettori sono definiti a meno di una costante per valutare i nuovi vettori. In

particolare ponendo le seguenti condizioni

φ := ⋅ φ

C

1 1 1a

φ := ⋅ φ

C

2 2 2a

T

φ ⋅ ⋅ φ :=

M 1

1 1

T

φ ⋅ ⋅ φ :=

M 1

2 2

(normalizzazione rispetto alla matrice delle masse)

dove i vettori

φ

1a

φ

2a

sono i vettori ricavati col metodo della componente unitaria

si ottengono le soluzioni per i coefficienti C1 e C2

1

:=

C

1 T ⋅ ⋅ φ

φ M

1a 1a

1

:=

C

2 T ⋅ ⋅ φ

φ M

2a 2a

φ φ

1 e 2 risultano ora normalizzati rispetto alla matrice della masse

I nuovi vettori

Nel caso dell'esempio si ha:

= 0.115

C

1 = 0.186

C

2

69

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

φ := ⋅ φ

C

1 1 1a

φ := ⋅ φ

C

2 2 2a

:=

i 0 1

1

0 2

1

⎛ ⎞

0.115

⎜ ⎟

φ =

1 ⎝ ⎠

0.186

⎛ ⎞

0.186

⎜ ⎟

φ =

2 ⎝ ⎠

0.115

che sono esattamente i vettori precedentemente determinati imponendo direttamente la

normalizzazione rispetto alla matrice delle masse.

Naturalmente per valutare gli autovettori è possibile, come logico, utilizzare anche un comando

automatico come quello implementato in Matchad

Mathcad usa una normalizzazione differente dalle due esposte precedentemente

Φ := ,

genvecs ( M K

)

⎛ ⎞

0.526 0.851

⎜ ⎟

=

Φ ⎝ ⎠

0.851 0.526

70

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

2

i 1.5

1

0.1 0.15 0.2

φ

1

2

i 1.5

1 0.2 0 0.2

φ

2

I° modo di vibrare

II° modo di vibrare

=

T 0.347

1 =

T 0.133

2

NB : Come è usuale il primo modo di vibrare risulta lineare mentre il secondo risulta intrecciato

con valore negativo dello spostamento in sommità

71

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

3.1.1 PROPRIETA' DI ORTONORMALITA' DEGLI AUTOVETTORI

A perscindere dal metodo di normalizzazione adottato si dimostra facilmente che gli autovettori

appena ricavati possiedono una importantissima proprietà detta di ortonormalità che si esprime

come segue

T

φ ⋅ ⋅ φ :=

M 0

i j

se

i è diverso da j

T

φ ⋅ ⋅ φ :=

K 0

i j

se

i è diverso da j

Se poi si adottasse la normalizzazione degli autovettori rispetto alla matrice delle masse si

otterrebbero le condizioni aggiuntive seguenti

T

φ ⋅ ⋅ φ :=

M 1

i i 2

T

φ ⋅ ⋅ φ := ω

K

i i i

Ossia in forma compatta:

T ⋅ ⋅ Φ :=

Φ M I

⎛ ⎞

1 0 0

⎜ ⎟

:=

I 0 0

..

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 0 1

T

Φ ⋅ ⋅ Φ := Λ

K

⎛ ⎞

2

ω

⎜ ⎟

0

0

1

⎜ ⎟

Λ := 0 0

..

⎜ ⎟

⎜ ⎟

n2

ω

⎝ ⎠

0

0

Con le precedenti è possibile rendere le equazioni del sistema indipendenti tra loro (vedi calcolo

della risposta col metodo della sovrapposizione modale).

Nel caso dell'esempio la verifica dell'ortonormalità degli autovettori è immediata :

T

φ ⋅ φ =

M 0

1 2

T ⋅ φ =

φ M 0

1 2 − 14

T ⋅ φ = − ×

φ K 2.842 10

1 2 − 13

T ⋅ φ = ×

φ K 2.274 10

2 1

Calcolo a posteriori delle frequenze proprie del sistema

T

:= φ ⋅ φ

A M

1 1

T

:= ⋅ φ

φ M

B 2 2

72

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

T

:= φ ⋅ φ

C K

1 1

T

:= ⋅ φ

φ K

D 2 2

C

ω :=

1 A

ω = 18.094

1

Frequenza I° Modo

D

ω :=

2 B

ω = 47.371

2

Frequenza II° Modo

73

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

3.1.2 CALCOLO ITERATIVO DEI MODI E FREQUENZE PROPRIE

Si illustra un metodo iterativo per il calcolo di autovalori ed autovettori, utilizzabile con qualsiasi

programma statico, utile per il controllo dei risultati dell'analisi dinamica.

data l'espressione agli autovalori:

− ω φ =

2

K M 0

( )

se si premoltiplica per

1 ω φ

− − =

1 2

( )

K K M 0

ω 2

si ottiene l'espressione:

1 φ

− =

I 1

( )

K M 0

ω 2

che dà luogo alla forma iterativa:

1 φ φ

=

1 1 0

K M

ω 2 1

φ φ φ φ

= =

n n

1 1 0 1 1

;

K M ω 2

o anche

ove con l'apice 0 ed 1 si indica iterazione 0 e iterazione 1. Cioò si assegna una forma di tentativo e

si ricava dall'espressione detta una forma successiva. Poiché la frequenza è incognita essa può

essere inclusa nel vettore che deve essere poi normalizzato. La normalizzazione si può fare a

φ

posteriori osservando che il rapporto tra il valore effettivo di un autovettore in un punto e quello ed

2

il suo valore normalizzato è appunto . Pertanto eseguite un certo numero di iterazioni è possibile

ω

calcolare il quadrato della frequenza come il valore prima dell'iterazione e dopo l'iterazione ma da

normalizzare:

1 φ φ

=

n

1 0

ω 2

da questa espressione si ha che il valore della frequenza si può ottenere come rapporto tra i valori

che l'autovettore alla iterazione precedente e quello successivo hanno in un punto preciso della

struttura. Da punto a punto tale rapporto varia, il valore esatto sarà compreso tra il massimo ed il

minimo dei rapporti trovati, ovvero, pesando i valori con la distribuzione delle masse:

φ φ

n M

1 0

ω =

2 ′

φ φ

n M n

1 1

il metodo converge rapidamente, ci si ferma quando a iterazioni successive i valori ottenuti sono

simili.

ad esempio nel caso in questione si ha, con l'assunzione di un autovettore iniziale unitario ai due

piani:

74

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

⎛ ⎞

1.

⎜ ⎟

φ :=

0 ⎝ ⎠

1.

( ) − 1

φn1 := ⋅ ⋅ φ

K M 0

⎛ ⎞

− 3

×

⎜ ⎟

2.333 10

φn = ⎜ ⎟

1 − 3

⎝ ⎠

×

3.5 10

normalizzando a 1 la prima componente si ha:

φn 1

φa :=

1 φn 1

1

:= φa

φ

0 1

− 1

φn := ⋅ ⋅ φ

K M

1 0

⎛ ⎞

− 3

×

⎜ ⎟

1.944 10

=

φn ⎜ ⎟

1 − 3

⎝ ⎠

×

3.111 10 0.5

⎛ ⎞

1T ⋅ ⋅ φ

φn

⎜ ⎟

M 0

ω1 := ⎜ ⎟

T ⋅ ⋅ φn

φn

⎝ ⎠

M

1 1

ω1 = 18.096

1

⋅ π

:= ⋅

T1 2 ω1

=

T1 0.347

se si vuol rendere il vettore normalizzato in modo ortonormale:

T

:= φn ⋅ ⋅ φn

c M

1 1

φn 1

φ :=

1 0.5

c

⎛ ⎞

0.116

⎜ ⎟

=

φ

1 ⎝ ⎠

0.185

T ⋅ ⋅ φ =

φ M 1

1 1

3.2 CALCOLO DELLA RISPOSTA: METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE MODALE

Equazioni modali e fattori di partecipazione

Una volta valutati i modi di vibrare e le frequenze proprie del sistema è possibile calcolare la

risposta sismica del nostro telaio. Spesso in fase progettuale si adotta quello che viene usualmente

denominato metodo della sovrapposizione modale.

L'idea base del metodo è legata alla proprietà di ortonormalità degli autovettori e alla

normalizzazione degli stessi rispetto alla matrice delle masse che rendono disaccopiate le equazioni

del moto. Infatti si ponga:

75

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

:= Φ ⋅

X Y Φ

dove Y è il mentre X è il vettore degli spostamenti di piano e è

vettore delle coordinate normali

la matrice modale

( )

Φ := φ φ φ

.......

1 2 n

essendo n il numero dei gradi di libertà

Sostituendo le precedenti nelle equazioni del moto e premoltiplicando ambo i membri per il vettore

φ i trasposto si ottiene un nuovo sistema in Y, composto da n equazioni disaccopiate, la cui generica

espressione è la seguente:

&

&

Φ Φ + Φ Φ = − Φ

T T T &

&

M Y K Y MI

x g

:=

i 1..

1..n

Con la normalizzazione dei modi rispetto alla matrice delle masse l'i-ma equazione diventa

+ ω = −

2

&

& &

&

y y p x

i i i i g ω

ossia l'equazione di un generico oscillatore semplice di frequenza i soggetto ad una accelerazione

moltiplicata per il fattore pi. Quest'ultimo è detto fattore di partecipazione ed è definito come segue

T

:= φ ⋅ ⋅

p M I

i i

e rappresenta il lavoro compiuto dalle forze sismiche

M I

nel modo

φ

i φ

E' allora chiaro che se è alto c'è un forte coinvolgimento del modo i nel moto imposto dal

pi

sisma. E' altrettanto chiaro che più il modo è intrecciato e più c'è la possibilità che il relativo

fattore di partecipazione sia piccolo.

Smorzamento Strutturale ξ

i. In tal caso

E' usuale considerare il singolo oscillatore smorzato con fattore di smorzamento

l'equazione diventa

+ ξ ω + ω = −

2

&

& &

&

y 2 y p x

i i i i i i g

In genere il valore dello smorzamento modale viene determinato immaginando una matrice degli

smorzamenti C cosi' definita

:= ⋅ + ⋅

C a M b K

Smorzamento alla Rayleigh

I parametri a e b vengono definiti sulla base dei due modi più importanti:

T T T

φ ⋅ ⋅ φ := ⋅ φ ⋅ ⋅ φ + ⋅ φ ⋅ ⋅ φ

C a M b K

i i i i i i

T T T

φ ⋅ ⋅ φ := ⋅ φ ⋅ ⋅ φ + ⋅ φ ⋅ ⋅ φ

C a M b K

j j j j j j

Ponendo

T

φ ⋅ ⋅ φ := ⋅ ξi

⋅ ω

C 2

i i i

76

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

si ottengono le espressioni dei coefficienti a e b

⎛ ⎞

ω

⋅ ⋅ ω

2 i j

:= ⋅ ξ ⋅ ⎜ ⎟

a 2 i + ω

ω

⎝ ⎠

i j

2

:= ξ ⋅

b i + ω

ω j i

Massa eccitata

NB : la somma dei quadrati dei fattori di partecipazione è, per effetto delle ortonormalizzazione

degli autovettori, uguale alla massa totale del sistema:

p12+p22=mtot

Valutata la risposta del singolo oscillatore è suffciente tornare al vettore X per determinare la

risposta in coordinate lagrangiane. Lo spostamento di piano può essere espresso semplicemente

come somma dei contributi dei singoli modi (sovrapposizione modale)

n

= φ

x y

i iJ J

=

J 1

dove n è il numero dei modi

In genere è possibile considerare nella sommatoria solo i modi di vibrare più significativi. A tale

scopo è utile definire la massa eccitata dal singolo modo:

2

p i

ε :=

i m

tot

essendo mtot la massa totale dell'edificio

Valori bassi sono indice di un modo poco eccitato e che contribiusce poco alla risposta ( valore

basso nel termine della sommatoria) . Dunque la massa eccitata è un mezzo per avere un'immediata

idea di quanti modi considerare per avere una risposta attendibile.

Nel caso dell'esempio si ha:

vettore delle incidenze per moto orizzontale, detto anche vettore di trascinamento:

⎛ ⎞

1

⎜ ⎟

:=

I ⎝ ⎠

1

Fattori di partecipazione

T

:= φ ⋅

p M I

1 1

= 6.315

p 1

Fattore di partecipazione I° Modo di Vibrare

T

:= φ ⋅

p M I

2 2

= 1.489

p 2

Fattore di partecipazione II° Modo di Vibrare

2

2

:= + p

pT p 1 2

=

pT 42.093

77

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

⋅ =

2 m 42

si noti il basso valoredel secondo fattore di partecipazione sintomo del fatto che il secondo modo è

relativamente (al primo modo) poco attivato. A tale scopo è utilie anche il calcolo della massa

eccitata dei singoli modi di vibrare.

2

p 1

:= ⋅

ε 100

1 ⋅

2 m

ε = 94.944

1

% 2

p 2

ε := ⋅ 100

2 ⋅

2 m

ε = 5.279

2

%

La risposta del singolo oscillatore può essere determinata in vari modi ad esempio

1 ) Calcolo della risposta istante per istante con l'Integrale di Duhamel

2 ) Calcolo della risposta massima col Metodo dello spettro di risposta

Metodo dell'Integrale di Duhamel

n 1

∑ t

∫ − ξ ω − τ

= φ − ω − τ

( t )

&

&

x p x e sin ( t ) dt

J J

ω

i iJ J g J

0

=

J 1 J

Metodo dello Spettro di Risposta

Se in presenza di una accelerazione ag lo spettro di risposta in spostamento è pari

( )

Ω , ξ

S

d i i

la risposta massima del singolo oscillatore modale sottopostoi ad un accelerazione pi*ag sarà

( )

:= ⋅ Ω , ξ

y p S

imax i d i i

Passando ora in coordinate non normali il vettore degli spostamenti di piano può essere

determinato con un opportuna combinazione che in genere viene scelta come segue

:= ΦY

X

max max

dove il vettore Ymax racchiude i valori massimi delle risposte dei singoli oscillatori modali

Sicchè l'i-ma componente di X varrà

:= φ ⋅

x yimax

imax ij

Usualmente la scelta del numero di modi da considerare dipende dalla % di massa eccitata dei

singoli modi.

78

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

3.2.1 ESEMPIO: Calcolo della risposta di un telaio con lo spettro di risposta

Spettro di progetto nuova normativa: zona 1

:= ⋅

a 0.35 9.81

gmax = 3.434

a gmax

Caratteristiche dello spettro di risposta elastico (Categoria suolo A)

:= 1

S :=

T 0.15

B := 0.40

T C := 2.0

T D

η := 1

(Smorzamento 5%)

:= 4

q

(Fattore di Struttura)

Spettro di risposta elastico in accelerazione

a ( )

T

gmax

:= ⋅ ⋅ + ⋅ η ⋅ − ≤ <

⎢ ⎥

S ( T ) S 1 2.5 1 if 0 T T

a B

⎣ ⎦

q T B

a gmax

⋅ ⋅ η ⋅ ≤ <

S 2.5 if T T T

B C

q ⎞

⎛ T

a gmax C

⎜ ⎟

⋅ ⋅ η ⋅ ⋅ ≤ <

S 2.5 if T T T

C D

⎝ ⎠

q T

⎛ ⎞

⋅ T

T

a gmax C D

⋅ ⋅ η ⋅ ⋅ ≤

⎜ ⎟

S 2.5 if T T

D

q 2

⎝ ⎠

T

=

( 0.4

) 2.146

S

a =

( 1

) 0.858

S

a

Spettro di risposta in spostamento

2

⎛⎜ ⎞

T

:= ⋅

S ( T ) S ( T )

d a

⎝ ⎠

⋅ π

2

Nel caso del telaio dell'esempio gli spettri in spostamento e accelerazione dei singoli oscillatori

modali varranno:

( )

:= ⋅

S p S T

d1 1 d 1

= 0.041

S

d1

Spostamento massimo oscillatore modale 1

( )

S T

a 1

:= p

S

a1 1 9.81

= 1.381

S

a1

Accelerazione massima oscillatore modale 1 (in g)

79

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

( )

:= ⋅

S p S T

d2 2 d 2 − 3

= ×

1.325 10

S

d2

Spostamento massimo oscillatore modale 2

( )

S T

a 2

:= p

S

a2 2 9.81

= 0.303

S

a2

Accelerazione massima oscillatore modale 2 (in g)

E dunque la risposta massima ai singoli piani varrà

Vettore degli spostamenti di piano

⎛ ⎞

0.041

⎜ ⎟

:=

Y ⎝ ⎠

0.001325

⎛ ⎞

0.116 0.186

⎜ ⎟

=

Φ ⎝ ⎠

0.185 0.115

:= ⋅

Φ Y

X ⎛ ⎞

− 3

×

⎜ ⎟

5.033 10

=

X ⎜ ⎟

− 3

⎝ ⎠

×

7.507 10

In modo formalmente equivalente si può scrivere:

⟨ ⟩

⟨ ⟩ i

i 1

Φ

:= ⋅ ⟨ ⟩

Y

u ∑ n

i := u

Xmmax =

n 0

Ove con u(i) si sono indicati i vettori colonna dei contributi dei singoli modi.

3.2.2 Criteri di sovrapposizione modale con l’uso dello spettro di risposta

La formulazione sopra riportata è corretta se applicata alla risposta Y(t), è una stima per eccesso

della risposta, infatti i massimi delle due coordinate Y non sono contemporanei.

Si adotta usualmente uno dei due metodi di seguito indicati:

Dove con E è indicato il contributo di ciascun modo alla risposta.

il primo criterio si applica come riportato di seguito:

80

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

⎛ ⎞

0.5 3

⎡ ×

⎜ ⎟

( ) 4.793 10

1 2

⟨ ⟩

∑ =

⎢ ⎥ Xmax

n ⎜ ⎟

:=

Xmax u − 3

⎢ ⎥ ⎝ ⎠

×

7.661 10

⎣ ⎦

=

n 0

Il secondo criterio di sovrapposizione modale è più preciso, tiene conto della correlazione tra i

modi, dovuta alla vicinanza delle frequenze ed allo smorzamento. La prima formulazione della

correlazione modale è dovuta a Rosemlueth ed Elourdy, così come la formula di combinazione. Qui

si mostra la formulazione suggerita da Der Kiureghian :

3 −

T ( ) 3

2 2 ρ = ×

ξ

⋅ ⋅ + β ⋅ β

1 8.856 10

8 1

β := ρ := ( )

T 2

0 ( )

2 2 2

β

− + ⋅ ξ ⋅ β ⋅ + β

1 4 1 ⎛ ⎞

0.5 3

⎤⎥ ⎤⎥

⎡ ×

⎜ ⎟

( ) 4.794 10

1 2

⟨ ⟩

∑ =

⎢ Xmax1

n ⎜ ⎟

:= + ρ ⋅

Xmax1 u uv − 3

⎢ ⎥ ⎥ ⎝ ⎠

×

7.66 10

⎣ ⎦ ⎦

=

n 0

Mettiamo a confronto i tre risultati ottenuti con i tre criteri di sovrapposizione modale:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −

− 3 3

3 × ×

× ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ 4.793 10 4.794 10

5.033 10 = =

= Xmax Xmax1

X ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ − −

− 3 3

3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

× ×

⎝ ⎠

× 7.661 10 7.66 10

7.507 10

Si osseva come il primo criterio, eccessivamente cautelativo, dia risultati non particolarmente più

gravosi in questo caso. Esso rappresenta una stima per eccesso. Il secondo ed il terzo criterio

danno luogo a risultati pressoché coincidenti. Questo fatto è dovuto alla scarsa correlazione

modale. Infatti i periodi propri sono piuttosto lontani: 0.35 e 0.14 secondi. La correlazione è

sempre pressoché nulla al di sopra di una distanza di 0.1 secondi.

81

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

1

1 0.9

0.8

0.7

0.6

ρ β

( ) 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

− 4

×

7.09 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

β

0.1 2

β

Correlazione modale al variare del rapporto tra i periodi: =T T

1/ 2

82

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

3.3 TELAIO SHEAR-TYPE 2 PIANI ISOLATO ALLA BASE

PREDIMENSIONAMENTO SISTEMA DI ISOLAMENTO

periodo di progetto struttura isolata

:=

T 2

iso

Massa base isolamento

:=

m m

iso =

m 21

iso

Massa totale del sistema di isolamento e della sovrastruttura

:= ⋅ +

m 2 m m

tot iso

=

m 63

tot

Calcolo rigidezza della base isolata considerando la sovrastruttura rigida

2

⋅ π

4

:= ⋅

k m

iso tot

2

T iso

= 621.785

k

iso

3.3.1 MATRICI DEL SISTEMA DI EQUAZIONI DEL MOTO

⎛ ⎞

0

0

m

⎜ ⎟

:= 0

m

0

M ⎜ ⎟

⎝ ⎠

m

0

0

⎛ ⎞

0

0

21

⎜ ⎟

= 0

21

M 0

⎜ ⎟

⎝ ⎠

21

0

0

⎛ ⎞

+ −

k

k k 0

p iso p

⎜ ⎟

− −

⎜ ⎟

:= k 2k k

K p p p

⎜ ⎟⎠

⎝ 0 k

k

p p

83

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007

⎛ ⎞

4 4

× ×

⎜ ⎟

1.8 10 0

1.862 10

⎜ ⎟

= 4 4 4

− × × ×

K ⎜ ⎟

1.8 10

1.8 10 3.6 10

⎜ ⎟

4 4

⎝ ⎠

− × ×

0 1.8 10 1.8 10

3.3.2 CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL TELAIO

- Uso del problema agli autovalori generalizzato implementato in Mathcad

:= ,

FQUAD genvals ( K M )

⎛ ⎞

3

×

⎜ ⎟

2.576 10

⎜ ⎟

=

FQUAD 872.073

⎜ ⎟

⎝ ⎠

9.682

(FREQUENZE PROPRIE)

Ω := FQUAD

⎛ ⎞

50.759

⎜ ⎟

Ω = 29.531

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.112

− 1

:= ⋅ π

⋅ Ω

2

T ⎛ ⎞

0.124

⎜ ⎟

=

T 0.213

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2.019

(PERIODI PROPRI)

Si noti come la prima frequenza sia prossima alla frequenza del sistema considerando la

sovrastruttura rigida e che la seconda frequenza sia relativamente più grande

k

iso

ω :=

iso 3m

ω = 3.142

iso k

iso

ω :=

bas m

ω = 5.441

bas

84


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AUTORE

Jacko

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense di Costruzioni in zona sismica del prof. Camillo Nuti sulla risposta dinamica delle strutture a un sisma, l'oscillatore semplice, equazioni del moto e matrici delle masse e delle rigidezze, calcolo delle frequenze e dei periodi di un sisma, proprietà di ortonormalità degli autovettori, calcolo della risposta, il telaio Shear-type, le analisi di spinta.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile per la protezione dai rischi naturali
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Costruzioni in zona sismica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Nuti Camillo.

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