Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Schema AR(1) ( ) =

γ

Dividendo per la seconda delle (3.6.4) con ricaviamo che la funzione di

1

p

0

autocorrelazione soddisfa all’equazione alle differenze finite del primo ordine

omogenea ( ) ( ) τ =

ρ τ = ϕ ⋅ρ τ − 1, 2, ...

1 (4.2.1)

1 ( )

ρ = , ha per soluzione

che, ponendo come condizione iniziale 0 1

( ) τ τ =

ρ τ = ϕ 1, 2, ... (4.2.2)

1 ϕ <

L’ipotesi di stazionarietà stazionarietà, determinata nell’esempio 3.6, è che 1

1

ϕ >

ed allora il correlogramma si smorza a zero esponenzialmente se (caso a

0

1 ϕ <

della Figura 4.1) oppure ancora esponenzialmente ma oscillando di segno se 0

1

( )

ϕ = ρ

(caso b). Si noti che .

1

1

La funzione di autocorrelazione parziale è

( )

ρ τ =

1 1

ϕ =  (4.2.3)

ττ τ >

0 1

come si determina facilmente sulla base della (4.1.1). Come esempio, facendo uso

della seconda delle (4.1.1) si può calcolare

( ) ( )

   

ϕ = ϕ − ρ − ρ =

2 2 2

1 / 1 1 0

   

22 1

( )

ρ = ϕ <

2 2 per l’ipotesi di stazionarietà.

essendo 1 1

1

Schema AR(2) ( ) =

γ

Dividendo per la seconda delle (3.6.4) con troviamo che la funzione di

1

p

0

autocorrelazione soddisfa all’equazione alle differenze finite del secondo ordine

omogenea ( ) ( ) ( ) τ =

ρ τ = ϕ ⋅ρ τ − + ϕ ⋅ρ τ − 1, 2, ...

1 2 (4.2.4)

1 2 ( ) ( ) ( )

τ = ρ = ρ − = ρ −

e considerando che e che per la

Valutando questa per 1 0 1 1 1

parità della funzione di autocorrelazione, si ottiene

( ) ( )

ρ = ϕ − ϕ

1 / 1 (4.2.5)

1 2

ϕ ≠ τ =

. Valutando la (4.2.4) per ed inserendo l’espressione (4.2.5) si ha,

se 1 2

2

inoltre, ( ) ( )

ρ = ϕ − ϕ + ϕ

2

2 / 1

1 2 2 tramite la prima

per cui siamo in grado di calcolare la varianza del processo { }

x

t

delle (3.6.4) Pagina 4-6

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

 

γ = γ ⋅ ϕ − ϕ + ϕ ⋅ ϕ − ϕ + ϕ + σ

2 2 2

0 0 / 1 / 1

  ε

1 2 2 1 2 2

cioè ( )

− ϕ ⋅ σ 2

1

( ) ε

γ = 2

0 ( ) ( ) ( )

+ ϕ ⋅ − ϕ − ϕ ⋅ + ϕ − ϕ

1 1 1

2 1 2 1 2

Poiché la varianza deve essere positiva e finita per l’ipotesi di stazionarietà, questa

sussiste se ϕ > −

 1

2

 ϕ + ϕ < 1

 (4.2.6)

1 2

 −ϕ + ϕ < 1

 1 2 ϕ ϕ

e per cui il processo AR(2)

sistema di disequazioni che definisce la regione di 1 2

ϕ <

è stazionario. Si noti che dalle (4.2.6) segue , per cui, in conclusione,

1

2

ϕ < 1

2

Risolvendo l’equazione alle differenze (4.2.4) si incontrano due possibilità, a

seconda del segno del discriminante dell’equazione caratteristica associata:

i) discriminante positivo o nullo: le radici dell’equazione caratteristica sono

( )

ρ τ assume una

reali ed in relazione al loro segno la funzione

configurazione che si smorza verso lo zero in maniera monòtona oppure

oscillante di segno;

discriminante negativo: le radici dell’equazione caratteristica sono

ii) ( )

ρ τ

complesse e la funzione tende a zero con una oscillazione

sinusoidale;

e poiché la funzione di autocorrelazione parziale è

( ) ( )

ρ = ϕ − ϕ τ =

 1 / 1 1

1 2

 ( ) ( )

 ρ − ρ 2

2 1

ϕ = = ϕ τ= 2

 ( )

ττ 2

− ρ 2

1 1

 τ>

0 2



come il lettore può verificare a partire dalle (4.1.2) e dalla (4.1.1), combinando le

ϕ

eventualità i) ed ii) con i possibili valori della funzione , si ottengono i quattro

ττ

casi seguenti, anch’essi esposti nella Figura 4.1:

( ) ϕ > ϕ >

ρ τ → esponenzialmente; , ;

c) 0 0

0 11 22 Pagina 4-7

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

( ) ϕ < ϕ >

ρ τ →

d) oscillando di segno; , ;

0 0

0 11 22

( ) ϕ < ϕ <

ρ τ

e) sinusoidale smorzata; , ;

0 0

11 22

( ) ϕ > ϕ <

ρ τ

f) sinusoidale smorzata; , ;

0 0

11 22

Schema MA(1) τ >

La funzione di autocorrelazione, data dalle (3.6.15), si annulla per . D’altro

1

canto, sostituendo le (3.6.15) nella (4.1.1) si ottiene

( )

( ) ( )

τ+

τ τ 2 1

ϕ = −θ ⋅ − θ − θ

1 / 1

ττ 1 1 1

τ ϕ

ϕ < θ

e poiché ivi si riscontra che , si trae che la configurazione di si smorza

ττ ττ

1

( ) θ <

ρ >

a zero, esponenzialmente se , per cui , oppure in modo oscillatorio nel

0

1 0 1

( ) θ >

ρ <

segno se , per cui .

0

1 0 1 ( ) ϕ

ρ τ e di per il

Da queste considerazioni segue che le configurazioni di ττ

modello MA(1) sono analoghe a quelle del modello AR(1) scambiate tra di loro;

pertanto nella Figura 4.1 le configurazioni a) e b) valgono anche per il modello

( ) ϕ

ρ τ

MA(1) se si permuta con .

ττ

Schema MA(2) ( )

γ

La funzione di autocorrelazione è calcolata dalle (3.6.18) dividendole per ; la

0

τ >

sua caratteristica più appariscente è che si annulla per . Anche in questo caso,

2

come per il modello MA(1), si può dimostrare che le configurazioni delle funzioni

( ) ϕ

ρ τ e sono analoghe a quelle del modello AR(2) scambiate tra di loro; pertanto

ττ

la Figura 4.1 è ancora di aiuto nella specificazione del modello MA(2), se si

( ) ϕ

ρ τ

sostituisce al posto di e viceversa.

ττ

Il metodo di Box e Jenkins per specificare un modello ARMA stazionario si basa

dunque sulla stima delle due funzione di autocorrelazione e sullo studio delle loro

( ) τ ≤

ρ τ =

configurazioni; la verifica dell’ipotesi , da attuarsi per ogni , è

m

: 0

H 0

eseguita come indicato all’inizio di questo paragrafo.

Se le configurazioni sono di un tipo rappresentato nella Figura 4.1, come spesso

accade nelle applicazioni, la specificazione non presenta problemi, se così non è,

l’individuazione di un modello AR( ) o di un MA( ) può essere realizzata

p q

basandosi sul fatto che la funzione di autocorrelazione parziale del primo si annulla

τ > τ >

per e quella di autocorrelazione del secondo si annulla per . La

p q

specificazione di un modello ARMA( ), infine, è ottenuta dalla composizione

,

p q

delle conformazioni delle funzioni di autocorrelazione di modelli AR( ) ed MA( ).

p q

Pagina 4-8

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Il processo integrato I(d)

Talvolta accade che, data una serie storica , il suo correlogramma sia del tipo

{ }

z

t

a) dalla Figura 4.1 con valori molto alti che decrescono molto lentamente. In questo

caso è molto probabile che la serie debba essere filtrata con il filtro alle differenze

ϕ =

prime, in pratica specificando un modello AR(1) con . Operando

1

1

preliminarmente in questo modo si presuppone che la serie temporale originaria

sia la realizzazione finita di un processo aleatorio non stazionario in media, e

{ }

z

t −

mediante l’operatore di differenziazione prima ( ) la si rende stazionaria. Il

1 L −

=

modello ARMA è quindi costruito sulla serie .

1 L

{ } {( ) }

z z

t t

In casi più rari è necessario eliminare una tendenza rappresentabile tramite un

; in questa eventualità si costruisce dapprima la differenza

polinomio di ordine d

-esima della serie { }

z

d t ( ) d

− =

1 L z x (4.2.7)

t t . Se il processo

e quindi si specifica il modello ARMA stazionario per la serie { x }

t

generatore della è stazionario, il processo è detto integrato di ordine

{ x } { z } d

t t

ed è indicato con .

I ( d )

Il modello ARIMA(p,d,q)

Un modello nel quale oltre allo schema ARMA sia presente anche una

differenziazione -esima è detto ARIMA (autoregressivo integrato a somma

d

mobile) di ordine ( ) ed è scritto combinando la (3.5.3), scritta ponendo

p , d , q

= − µ , con la (4.2.7)

y x

t t ( ) ( ) ( )

 

d

ϕ ⋅ − − µ = θ ε

L 1 L z L (4.2.8)

 

t t

( ) ( )

ϕ θ

dove e sono i polinomi nell’operatore dati dalle (3.6.1) e (3.6.16).

L

L L Pagina 4-9

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.3 Esempi

Una volta che sia stato specificato l’ordine ( ) di un modello ARIMA, la stima

p , d , q

dei parametri può essere ottenuta per mezzo del metodo dei minimi quadrati non

n

∑ ε 2 , dove

lineari, con il quale si minimizza la somma dei quadrati dei residui t

=

t 1

( ) ( ) ( )

ε = θ ⋅ ϕ ⋅ − µ

1 L L x (4.3.1)

t t ( )

ϕ

è il residuo del modello ARMA (3.5.3) da costruirsi su ed i polinomi e

{ x } L

t

( )

θ sono dati dalle (3.6.1) e (3.6.16). La non linearità del metodo dei minimi

L

quadrati è essenzialmente dovuta alla presenza dello schema a somma mobile ed è

facilmente verificabile determinando le equazioni normali.

In realtà questa procedura, utilizzata originariamente da G.E.P. Box e G.M.

Jenkins (1970), è una approssimazione del metodo della massima verosimiglianza,

la cui formulazione esatta è stata ricavata da P. Newbold (1974). Attualmente i

programmi di calcolo più usati determinano la stima dei parametri del modello

ARMA opzionalmente con l’uno o con l’altro metodo.

Una difficoltà di questa procedura di stima è dovuta al fatto che se l’ordine del

modello è ( ), per innescare l’algoritmo occorre conoscere i valori iniziali

,

p q ε ε ε

della serie e quelli dei residui; per ovviare a

x , x , ..., x { x } , , ...,

− − − −

0 1 1 p 0 1 1 q

t

questo problema si possono azzerare tutti i valori dei residui iniziali oppure,

meglio, si può utilizzare un modello stimato preliminarmente senza valori iniziali

. La stima determinata facendo uso di questi

per “retroproiettare” x , x , ..., x 4

− −

0 1 1 p

valori iniziali è detta condizionata ad essi.

Illustriamo, ora, di seguito, alcuni esempi di specificazione e di stima di modelli

ARMA. in Italia è

Esempio 4.1 – La serie storica del livello degli ordinativi {LOI }

t

illustrata nella Figura 2.1; il correlogramma del suo logaritmo naturale è riportato

nella Figura 4.2 e si rivela chiaramente del tipo e) della Figura 4.1, per cui sembra

opportuno specificare il modello in un AR(2).

È il backforecasting di G.E.P. Box e G.M. Jenkins (1970). Questa tecnica può creare delle

4

difficoltà nella stima dei parametri se gli zeri del polinomio (3.6.1) giacciono vicino al

cerchio unitario, oppure se quelli dell’altro (3.6.16) sono situati vicino o sopra il cerchio

unitario, oppure ancora se la serie storica è corta. Pagina 4-10

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale { }

{ } ( )

ln LOI 1 L ln LOI

Figura 4.2 – Autocorrelogrammi delle serie (in alto) e (in

t t

basso).

La funzione di autocorrelazione dei residui non presenta valori

τ =

significativamente diversi da zero salvo che per , per cui si aggiunge nel

4

modello un coefficiente a somma mobile al ritardo 4. Il modello così stimato diventa

     

− + + = + ε

2 4

1 1.13 L 0.18 L ln LOI 0.0490 1 0.47 L

     (4.3.2)

t t

    

( ) ( ) ( ) ( )

0.10 0.10 0.0354 0.10

( ) ( )

=

= =

2

R 0.949

Q 44.40 32 SS 0.3058 82

0 Pagina 4-11

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

dove gli errori standard delle stime sono riportati tra parentesi, il coefficiente di

determinazione è calcolato rispetto alla serie originale, indica la devianza dei

SS

residui che sono in numero di 82, e l’indice di G.M. Ljung e G.E.P. Box (1978) è

Q

costruito per mezzo delle stime dei coefficienti di correlazione, secondo la formula

m

∑ ( ) ( )

1

= ⋅ − τ ⋅ρ τ

2 2

ˆ

Q n n (4.3.3)

τ=

1 −

Tale indice si distribuisce asintoticamente come un chi quadrato con gradi di

m k

libertà, dove è il numero dei parametri del modello, sotto l’ipotesi nulla che i

H

k 0

residui costituiscano un rumore bianco. Nel caso in esame i parametri del modello

=

sono quattro, e quindi il numero dei gradi di libertà è ; la soglia critica

32

m 36 =

α =

del test del chi quadrato vale circa per e poiché è inferiore,

46 Q 44.40

0.05

possiamo accettare l’ipotesi di non correlazione (rumore bianco) dei residui. In

effetti l’autocorrelazione negativa al ritardo semiciclico che nella Figura 4.2 vale

τ = −

non è scomparsa nel correlogramma dei residui: essa è pari a , sussiste

18 0.26

τ =

al ritardo ed è responsabile dell’alto valore di .

Q

14 perché la terza della (4.2.6) è

Il modello (4.3.2), tuttavia, non è stazionario

5 ϕ =

violata; un modello stazionario è ottenuto eliminando che non risulta

0.18

2

significativo      

− + = + ε

4

1 0.95 L ln LOI 0.9489 1 0.53 L

      (4.3.4)

t t

    

( ) ( ) ( )

0.04 0.2063 0.09

( ) ( )

=

= =

2

R 0.944

Q 55.06 33 SS 0.3023 77

0

Questo modello possiede una funzione di autocovarianza dei residui peggiore di

quella del (4.3.2), ma spiega meglio i dati in termini di devianza residuale. Il test

della non permette di considerare la serie dei residui come un rumore bianco: il

Q

valore è infatti superiore al quantile con gradi di libertà che vale per

55.06 33 47.52

α = .

0.05

Poiché il modello (4.3.4) suggerisce di utilizzare l’operatore alle differenze prime

− ), si può stimare il seguente modello ARIMA( )

( 1 L 0,1,4

La non stazionarietà del modello è stata prodotta dal tentativo, non riuscito, della

5 ϕ prossimo ad 1 in uno schema AR(2). In casi del

procedura di stimare un valore per 1 ϕ ϕ

genere accade spesso che sussita una forte correlazione tra le stime e che risultano

1 2

ϕ ϕ

alterate e non stazionarie. Eliminando nel successivo modello (4.3.4) si verifica che è

2 1

molto vicino all’unità. Pagina 4-12

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

 

( )

− = + ε

4

1 L ln LOI 1 0.45 L

  (4.3.5)

t t

 

( )

0.09

( ) ( )

= =

=

2

Q 56.80 35 SS 0.3232 83

R 0.946

0 { }

( )

− è esposto

non dissimile dal (4.3.4). Il correlogramma della serie 1 L ln LOI t

nella parte bassa della Figura 4.2 e mostra un andamento ciclico di periodo

approssimativamente pari a 32 mesi/ciclo. Questo andamento rimane per la gran

parte nel correlogramma dei residui del modello (4.3.5) ed è responsabile dell’alto

valore per la ivi ritrovato.

Q fa uso della differenza terza

Un ultimo modello stimato per il logaritmo di LOI t

( )

   

− − = + ε

3 4

1 0.77 L 1 L ln LOI 1 0.39 L

    (4.3.6)

t t

   

( ) ( )

0.07 0.10

( ) ( )

=

= =

2

R 0.905

Q 59.42 33 SS 0.5094 77

0

e produce risultati peggiori dei precedenti; il motivo della costruzione dello schema

(4.3.6), che riprenderemo nel seguito, risiede nel fatto che la differenza terza

influisce sull’oscillazione ciclica meno della differenza prima, di modo che i residui

possono essere utilizzati con profitto nella costruzione di relazioni valide negli studi

dell’economia di breve periodo .

6

Esempio 4.2 – La serie storica del logaritmo naturale dell’indice generale dei

è illustrata nella parte alta della Figura 2.2 e

prezzi al consumo in Italia {P }

t

mostra una marcata tendenza crescente; questa ha il suo riscontro nel

correlogramma della serie, disegnato nella parte alta della Figura 4.3.

I modelli (4.3.4) e (4.3.6) sono stati utilizzati da F. Carlucci (1988) in un contesto analitico

6

di breve periodo. Pagina 4-13

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

{ }

{ } ( )

ln P 1 L ln P

Figura 4.3 – Autocorrelogrammi delle serie (in alto) e (in basso).

t t

È necessario, pertanto, eliminare questo trend, supposto approssimativamente

=

lineare, con una differenza prima del tipo (4.2.7) per . La serie storica

d 1

differenziata (filtrata) è esposta ancora nella Figura 2.2 ed il suo correlogramma

nella parte bassa della 4.3; la funzione di autocorrelazione è del tipo e) della Figura

4.1 e suggerisce la specificazione di uno schema ARIMA( ) che, stimato, fornisce

2,1,0

il modello seguente i cui coefficienti di autoregressione soddisfano le condizioni di

stazionarietà (4.2.6)

  ( )

− − − = ε

2

1 0.73 L 0.20 L 1 L ln P

  (4.3.7)

t t

 

( ) ( )

0.11 0.11

( ) ( )

=

= =

2

R 1.000

Q 61.20 34 SS 0.0029 82

0 Pagina 4-14

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

L’indice mostra che i residui non sono stati perfettamente “sbiancati”, cioè che

Q

esiste ancora della autocorrelazione non spiegata. L’eliminazione del coefficiente di

autoregressione e la contemporanea aggiunta della costante produce il modello

0.20

ARIMA( )

1,1,0   ( )

− − = + ε

1 0.47 L 1 L ln P 0.0066

  (4.3.8)

t t

 

( ) ( )

0.10 0.0013

( ) ( )

= =

=

2

Q 43.20 34 SS 0.0023 82

R 1.000

0

migliore per devianza e con residui che passano il test del chi quadrato. Se si

elimina lo schema autoregressivo e lo si sostituisce con uno a somma mobile, si

)

ottiene il modello ARIMA(

0,1,2  

( )

− = + + + ε

2

1 L ln P 0.1265 1 0.43 L 0.35 L

  (4.3.9)

t t

 

( ) ( ) ( )

0.0010 0.10 0.11

( ) ( )

=

= =

2

R 0.999

Q 40.91 33 SS 0.0017 57

0 ancor più basso di quello del

il cui correlogramma è associato ad un valore della Q −

⋅ 5

(4.3.8). Si osservi che la varianza campionaria dei residui vale per il

3.53 10

− −

⋅ ⋅

5 5

modello (4.3.7), per il (4.3.8) e per il (4.3.9).

2.80 10 2.98 10 Pagina 4-15

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

4.4 I modelli ARIMA con stagionalità

Se nella serie storica sono presenti delle stagionalità, accade che, una volta

{ x }

t

costruito il modello ARIMA( )

, ,

p d q

( ) ( ) ( )

 

d

ϕ ⋅ − − µ = θ ε

L 1 L x L (4.4.1)

 

t t

( ) ( )

ϕ θ

e ancora dati dalle (3.6.1) e (3.6.16), la

con gli operatori polinomiali L L

ε

serie dei residui è autocorrelata, anche fortemente, ai ritardi stagionali

{ }

t

τ = τ =

, se la serie è mensile, e , se è trimestrale. Quando

12, 24, 36, ... 4, 8, 12, ...

l’autocorrelazione è rilevante occorre filtrare preliminarmente la serie con una

=

differenza -esima, dove è il periodo della stagionalità ( nel caso mensile e

s s s 12

= in quello trimestrale), ottenendosi, in linea generale, il modello

s 4 ( ) ( )

ϕ = θ ε

L w L (4.4.2)

t t

dove ( ) ( ) d

= − − − µ

s

w 1 L 1 L x (4.4.3)

t t − s

Sia che la serie sia stata differenziata con il filtro , sia nel caso contrario, i

(1 L )

ε

residui del modello (4.4.2) possono presentare autocorrelazioni ai ritardi

{ }

t ε

stagionali; in questo caso Box e Jenkins consigliano di costruire su un nuovo

{ }

t

τ =

schema ARMA sulla base delle autocorrelazioni di ritardo , in

, 2 , 3 , ...

s s s

pratica considerando separatamente le dodici serie dei dati di gennaio, febbraio,

ecc. per dati mensili, oppure le quattro serie dei valori del I trimestre, del II, ecc.

per quelli trimestrali. Sotto l’ipotesi che il modello stagionale sia identico per

ciascuna delle dodici (quattro) serie, si ottiene

( ) ( ) ( )

− ϕ + − ϕ ε = − θ + − θ θ

s s s Ps s s s Qs

1 L ... L 1 L ... L L v (4.4.4)

1 1

P t Q t

che in forma compatta diventa

( ) ( )

ϕ ε = θ

s s s s

L L v (4.4.5)

t t

( ) ( )

ϕ θ

s s s s s

e i polinomi nell’operatore riportati nella (4.4.4) e

definendo con L L L

indicando con un processo del tipo rumore bianco. Risolvendo la (4.4.5)

v

{ }

t

ε

rispetto alla e sostituendo l’espressione ricavata nella (4.4.2) si ottiene il modello

t

ARIMA con stagionalità

( ) ( )

( ) ( )

ϕ ⋅ ϕ = θ ⋅ θ

s s s s

L L w L L v (4.4.6)

t t

×

detto di ordine , dove l’unità indica che è stata operata una sola

p d q P Q

( , , ) ( ,1, ) s

− s

differenza come evidenziato nella (4.4.3).

L

(1 ) Pagina 4-16

Modulo VII – Serie storiche: il dominio temporale

Una serie economica fortemente stagionale è quella illustrata nella parte alta

della Figura 2.3 che rappresenta il logaritmo naturale dell’indice grezzo della

produzione industriale : il suo correlogramma è riportato nella Figura 4.4 (in

{lnPI }

t

alto) che contiene anche il correlogramma della serie filtrata con la differenza

prima dodicesima. {ln PI } {ln PI }

Figura 4.4 – Autocorrelogrammi delle serie (in alto) e (in basso).

t t

Eliminando la tendenza con la differenza prima e la stagionalità con quella

dodicesima si perviene al modello Pagina 4-17


PAGINE

28

PESO

440.80 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta la Costruzione di modelli e proiezione, come sviluppati nel corso di lezioni di econometria dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi: Specificazione dei modelli ARMA, I modelli ARIMA con stagionalità, I modelli a funzione di trasferimento, Livellamento esponenziale e schemi ARIMA.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Econometria

Modelli autoregressivi vettoriali
Dispensa
VAR di cointegrazione
Dispensa
Inferenza statistica
Dispensa
Identificazione e VAR strutturali
Dispensa