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Corpi affini elastici Appunti scolastici Premium

In questo materiale didattico relativo ai corpi affini elastici vengono trattati i seguenti argomenti:
- principi di bilancio;
- corpo rigido;
- corpo affine e tensione di Cauchy;
- caratterizzazione della tensione;
- composizione con un moto rigido;
- gruppo
di simmetria... Vedi di più

Esame di Meccanica dei solidi e dei materiali docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

5

corpi affini elastici

Ne deriva che T ∗

= (36)

z Q z ,

T ∗

= (37)

T Q T Q.

Sostituendo queste espressioni la (34) diventa

T T

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

( + (p ) + = 0. (38)

· − − ·

z Q Q̇Q T Q̇Q

q̇ q̇) q

O T

Considerando cambiamenti di osservatore tali che = deve essere

Q̇Q O

∗ ∗

( = 0 (39)

· −

z Q

q̇ q̇)

qualunque sia il vettore ( Risulta pertanto

− Q

q̇ q̇). ∗ = (40)

z o.

La (38) diventa dunque T

∗ = 0. (41)

·

T Q̇Q T

Affinché questa condizione valga per qualunque cambiamento di osservatore, essendo anti-

Q̇Q

simmetrico, deve essere ∗

skw = (42)

T O. e la (15). Infatti dalla (36) e dalla

Si noti che dalle condizioni trovate derivano di nuovo la (14)

(40) deriva T ∗

= = (43)

z Q z o ,

e dalla (42) deriva

mentre dalla (37)

1 1

T T T T T

∗ ∗ ∗ ∗

skw = (T ) = (T )

− −

T Q T Q Q Q Q T Q

2 2

T ∗

= (skw ) = (44)

Q T Q O .

2.2 Composizione con un moto rigido e la

Un altro punto di vista, equivalente al precedente, consiste nel considerare il moto affine (19)

sua composizione con un moto rigido descritta all’istante dall’espressione

t

(p (t), = (q(t), + (t) (45)

Q(t)(p

φ φ q(t)).

t) t)

A A

r r

Se si pone ∗ (t) = (p (t), (46)

p φ t),

A

A r

∗ (t) = (q(t), (47)

q φ t),

r

la (45) diventa identica alla (21). Riformulando il nei seguenti

principio di obiettività materiale

termini: la potenza interna, per qualunque campo di velocità test, sia invariante nella composi-

si giunge alle stesse conseguenze del principio formulato in termini di

zione con un moto rigido,

cambiamento di osservatore.

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

6 corpi affini elastici

3 Risposta del materiale

Al fine di caratterizzare la relazione tra la tensione e il moto, propria di una classe di materiali, si

assumono in generale i seguenti principi:

Principio di determinismo:

• la tensione è determinata dalla storia trascorsa della deformazio-

ne.

Principio di azione locale:

• la tensione in un punto non dipende dalla deformazione in altri

punti ad una distanza finita. Ad ogni istante la deformazione è definita

Si consideri il moto affine descritto dalla espressione (19).

dal valore in e dal gradiente Poiché per il principio di azione locale la tensione non può

F.

p O

dipendere dal valore della deformazione in un particolare punto, essa dipenderà solo dal gradiente.

La all’istante ha pertanto la forma

funzione di risposta t b t

= ), (48)

T T(F

t

dove con si indica la storia del moto attraverso il gradiente della deformazione. Una classe di

F

materiali particolarmente importante è quella dei caratterizzata dalla seguente

materiali elastici,

proprietà: La funzione

la tensione dipende solo dal valore attuale del gradiente della deformazione.

di risposta in questo caso diventa b

= (49)

T T(F).

Si noti che la funzione di risposta include la descrizione di un posizionamento a cui si riferisce

p̄,

la deformazione caratterizzato da una tensione nulla.

φ, e il corrispondente moto (24) in un

Si consideri per un materiale elastico il moto affine (20)

cambiamento di osservatore descritto dalla (21). La risposta, vista dal secondo osservatore, sarà,

per la (25) b b

∗ ∗

= ) = (50)

T T(F T(QF).

sostituendo in questa la (49) e la (50)

Poiché il implica la (37),

principio di obiettività materiale

si ottiene b b

T

= (51)

T(F) Q T(QF)Q

Tale proprietà deve essere garantita dalla funzione di risposta per una qualsiasi scelta di Q.

T

Considerando tra i casi possibili quello in cui = , essendo la rotazione in

Q R R

= (52)

F RU,

deve essere necessariamente vera la condizione

b b T

= (53)

T(F) R T(U)R ,

o la condizione equivalente b b

T = (54)

R T(F)R T(U).

Viceversa se una funzione di risposta ha la proprietà (53), allora risulta soddisfatta la (37) per

qualsiasi Infatti utilizzando la (53) nella (50) si ha

Q. b b b b

T T T T T

∗ = = (QR) = )Q = = (55)

T T(QF) T(U)(QR) Q(R T(U)R Q T(F)Q QTQ

La proprietà (53) caratterizza dunque tutti i materiali elastici ed è detta

equivalente alla (37).

forma ridotta della funzione di risposta per materiali elastici.

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

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corpi affini elastici

F F

Q b b

Figura 2: Una rotazione appartiene al gruppo di simmetria del materiale se =

Q T(FQ) T(F).

4 Gruppo di simmetria del materiale

Si osservi che se la deformazione affine è da una deformazione rigida tale che

preceduta

φ φ r

= (p̌ ) = (p̌ ) + ) (56)

Q(p̌

p̄ φ φ p̌

A A O A O

r r

risulta definita la deformazione affine = , tale che

φ φ φ r

⋆ (p̌ ) = (p̌ )) = (p̌ )) + ), (57)

FQ(p̌

φ φ(φ φ(φ p̌

A A O A O

r r

con gradiente = La tensione corrispondente è

F FQ. b b

⋆ ⋆

= ) = (58)

T T(F T(FQ).

Il gruppo costituito dalle rotazioni che, seguite dalla stessa deformazione, lasciano invariata la

Q

risposta, cioè tali che b b

= (59)

∀F

T(FQ) T(F) ,

si dice gruppo di simmetria del materiale.

Ad esempio, se la rotazione in Fig 2 o in Fig. 3 è nel gruppo di simmetria, la successiva

Q

applicazione di genera delle configurazioni a cui corrisponde la stessa tensione come risposta del

F

materiale.

4.1 Isotropia

Si dicono quei materiali il cui gruppo di simmetria è costituito da tutto il gruppo delle

isotropi vale per qualsiasi rotazione essa deve valere in

rotazioni di Poiché in questo caso la (59)

V. Q

T

particolare per = diventando

Q R b b

T ) = (60)

T(RUR T(F),

che a sua volta, per la (53), si trasforma nella

b b

T T

) = (61)

T(RUR R T(U)R . risulta isotropo. Infatti, notando

Viceversa un materiale la cui funzione di risposta soddisfa la (61)

che la decomposizione polare di è

FQ T

= = (RQ)(Q (62)

FQ RUQ UQ),

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

8 corpi affini elastici

F F F

Q Q b b

Figura 3: Un materiale è isotropo se per qualunque rotazione si ha =

Q T(FQ) T(F).

poi la (61) e infine ancora la (53),

risulta, applicando prima la (53),

b b b b

T T T

= (RQ) = = (63)

T(FQ) T(Q UQ)(RQ) R T(U)R T(F)

5 Tensione di Piola-Kirchhoff

L’espressione della potenza interna in campi di velocità test affini può essere scritta utilizzando il

volume prima della deformazione = det (64)

· ·

T L T L F

V V .

R R̄

Questo permette di definire una tensione alternativa alla tensione nel seguente modo. In un

S, T,

campo di velocità test la differenza di velocità tra le posizioni e è data da

p p

A O

). (65)

L(p p

A O

Poiché ) = ), (66)

− −

L(p LF(p̄

p p̄

A O A O

la stessa differenza di velocità si ottiene applicando alla differenza delle posizioni corrispondenti

LF

in Si definisce la nuova tensione come l’applicazione lineare tale che

R̄. S

= (67)

· · ∀L.

T L S LF

V V ,

R R̄

Per la (64) si ha det = (68)

· ·

T L F S LF

V V ,

R̄ R̄

da cui deriva T

det = (69)

· · ∀L.

T L F SF L,

Deve dunque essere T

det = (70)

T F SF ,

che fornisce l’espressione T −1

= ) det (71)

S T(F F.

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico relativo ai corpi affini elastici vengono trattati i seguenti argomenti:
- principi di bilancio;
- corpo rigido;
- corpo affine e tensione di Cauchy;
- caratterizzazione della tensione;
- composizione con un moto rigido;
- gruppo
di simmetria del materiale;
- isotropia;
- tensione di Piola-Kirchhoff;
- vincoli e forze reattive.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria informatica e automatica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei solidi e dei materiali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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