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Un corpo rigido è un corpo i cui posizionamenti sono tali che le deformazioni corrispondenti a ciascuna coppia di essi sono rigide. Lo spazio dei campi di velocità test è costituito dall’insieme di tutti i campi di velocità rigidi.
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Esame di Scienza delle costruzioni docente Prof. A. Tatone

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ESTRATTO DOCUMENTO

2 corpi affini elastici

1 Principi di bilancio

1.1 Corpo rigido

Un corpo rigido è un corpo i cui posizionamenti sono tali che le deformazioni corrispondenti a

ciascuna coppia di essi sono rigide. Lo spazio dei campi di velocità test è costituito dall’insieme di

tutti i campi di velocità rigidi.

Si assuma il seguente principio: in corrispondenza di una qualsiasi configurazione le forze sono

tali che la potenza esterna in ogni campo di velocità test rigido è nulla:

(ext) (v) = 0 (1)

W ∀v.

Essendo in un campo di velocità test rigido

(ext) (v) = + (2)

W · ·

f v M W,

O p O

dove è la forza risultante e è il momento risultante rispetto ad un qualsiasi polo , il

f M p

p O

O

principio enunciato è equivalente alle equazioni di bilancio delle forze

= (3)

f o,

skw = (4)

M O.

p O

1.2 Corpo affine e tensione di Cauchy

Un corpo affine è un corpo i cui posizionamenti sono tali che le deformazioni corrispondenti a

ciascuna coppia di essi sono affini. Lo spazio dei campi di velocità test è in questo caso costituito

dall’insieme di tutti i campi di velocità affini.

Il corpo affine è il modello di corpo più semplice che si possa concepire.

deformabile

Se si assumesse che in corrispondenza di una qualsiasi configurazione le forze sono tali che la

potenza esterna in ogni campo di velocità test affine è nulla, poiché in un campo di velocità test

affine è (ext) (5)

(v) = + ·

W · L,

f v M

O p O

si giungerebbe alla conclusione = (6)

f o,

skw = (7)

M O,

p O = (8)

sym O.

M p O

Questa ultima condizione escluderebbe la presenza di sistemi di forze che spendano potenza in

campi di velocità test di dilatazione, rendendo il modello di corpo poco interessante. Al fine di

descrivere la proprietà dei corpi deformabili di poter essere soggetti a sistemi di forze di tal genere,

occorre ammettere l’esistenza di una potenza interna

(int) (v) = + (9)

W −(z · ·

v T L) V ,

O R

con e descrittori della del corpo, e assumere che

tensione in corrispondenza di una qualsiasi

z T totale

configurazione le forze e la tensione sono tali che la potenza in ogni campo di velocità test

affine è nulla: (ext) (int)

(v) + (v) = 0 (10)

W W ∀v.

Il cosı̀ formulato risulta equivalente alle

principio di bilancio equazioni di bilancio

= (11)

f z o,

V R = (12)

M T O.

V

p R

O

si dice tensione di Cauchy.

T

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

3

corpi affini elastici

2 Caratterizzazione della tensione

(int)

Poiché la è stata introdotta per un corpo suscettibile di deformazioni non

W

potenza interna

rigide, è ragionevole assumere che essa sia nulla in ogni campo di velocità test rigido:

+ = 0, (13)

· ·

z v T W

O

con antisimmetrico. Tale principio risulta equivalente alle condizioni

W = (14)

z o,

skw = (15)

T O.

Le per un corpo affine diventano pertanto

equazioni di bilancio = (16)

f o,

skw = (17)

M O,

sym = (18)

M T V ,

R

dove si è eliminata la indicazione del polo , essendo il momento indipendente da questo.

p O

2.1 Obiettività

Un punto di vista più generale consiste nel considerare due “osservatori”. Un moto affine φ

= + ) (19)

− ∀A ∈ B

F(t)(p̄

φ(p̄ φ(p̄ p̄

, t) , t)

A O A O

visto dal primo osservatore sia, in termini di moto di ciascun punto, descritto da

(t) = (t) + ). (20)

F(t)(p̄

p p p̄

A O A O ∗

Un fa corrispondere ad una posizione (t) una diversa posizione (t)

cambiamento di osservatore p p

A A

definita, ad ogni istante dalla espressione

t, ∗ ∗

(t) = (t) + (t) (21)

Q(t)(p

p q q(t)),

A

A

essendo tre funzioni del tempo, con tensore ortogonale. Poiché

Q, Q(t)

q, q ∗ ∗

(t) = (t) + (t) (22)

Q(t)(p

p q q(t)),

O

O

dalla differenza tra la (21) e la (22) si ottiene, sostituendo la (20) e omettendo d’ora in poi

l’argomento t, ∗ ∗ = ) = ). (23)

− − −

Q(p QF(p̄

p p p p̄

A O A O

A O

Risulta pertanto ∗ ∗ ∗

= + (p̄ ) (24)

F

p p p̄

A O

A O

con ∗ = (25)

F QF.

Derivando rispetto al tempo la (21) si ottiene la relazione tra le velocità nel cambiamento di

osservatore ∗ ∗

= + +

− −

Q̇(p Q(

ṗ q̇ q) ṗ q̇)

A A

A T

∗ ∗ ∗ (26)

= + (p ) +

− −

Q̇Q Q(

q̇ q ṗ q̇)

A

A T

∗ ∗ ∗

= + ( + (p ).

− −

Q Q Q̇Q

ṗ q̇ q̇) q

A A

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

4 corpi affini elastici

Q

F QF

Figura 1: Cambiamento di osservatore

Considerato un campo di velocità test = + ), (27)

v v L(p p

A O A O

si dirà nel cambiamento di osservatore il campo di velocità

campo di velocità test corrispondente

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= + (p ) (28)

v v L p

A O A O

tale che T

∗ ∗ ∗ ∗

= + ( + (p ). (29)

− −

v Qv Q Q̇Q

q̇ q̇) q

A

A A

Essendo in particolare T

∗ ∗ ∗ ∗

= + ( + (p ), (30)

− −

v Qv Q Q̇Q

q̇ q̇) q

O

O O

dalla differenza si ottiene T

∗ ∗ ∗ ∗

= ) + (p )

− − −

v v Q(v v Q̇Q p

A O

A O A O

T ∗ ∗

= ) + (p )

− −

QL(p Q̇Q

p p

A O A O (31)

T T

∗ ∗ ∗ ∗

= (p ) + (p )

− −

QLQ Q̇Q

p p

A O A O

T T ∗ ∗

= (QLQ + )(p ).

Q̇Q p

A O

Risulta pertanto T T

∗ = + (32)

L QLQ Q̇Q .

Il si formula nel modo seguente:

principio di obiettività materiale la potenza interna, per qualunque

Questo implica che ad

campo di velocità test, sia invariante in un cambiamento di osservatore.

ogni istante per qualunque cambiamento di osservatore, definito dalle tre funzioni del tempo Q,

t

∗ , deve essere

q, q ∗ ∗ ∗ ∗

+ = + (33)

· · · ·

z v T L z v T L

O

O e la (32) si ottiene

qualunque sia il campo di velocità test. Sostituendo la (30)

T

∗ ∗ ∗ ∗

+ ( + (p )

· − − − ·

z Qv Q Q̇Q z v

q̇ q̇) q

O O

O

T T

∗ = 0. (34)

+T + − ·

· T L

QLQ Q̇Q T ∗

Considerando cambiamenti di osservatore tali che = = deve essere, per qualunque

Q̇Q O, Q

q̇ q̇,

campo di velocità test,

T T

∗ ∗

+ = 0. (35)

− · − ·

Q z z v Q T Q T L

O

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.

5

corpi affini elastici

Ne deriva che T ∗

= (36)

z Q z ,

T ∗

= (37)

T Q T Q.

Sostituendo queste espressioni la (34) diventa

T T

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

( + (p ) + = 0. (38)

· − − ·

z Q Q̇Q T Q̇Q

q̇ q̇) q

O T

Considerando cambiamenti di osservatore tali che = deve essere

Q̇Q O

∗ ∗

( = 0 (39)

· −

z Q

q̇ q̇)

qualunque sia il vettore ( Risulta pertanto

− Q

q̇ q̇). ∗ = (40)

z o.

La (38) diventa dunque T

∗ = 0. (41)

·

T Q̇Q T

Affinché questa condizione valga per qualunque cambiamento di osservatore, essendo anti-

Q̇Q

simmetrico, deve essere ∗

skw = (42)

T O. e la (15). Infatti dalla (36) e dalla

Si noti che dalle condizioni trovate derivano di nuovo la (14)

(40) deriva T ∗

= = (43)

z Q z o ,

e dalla (42) deriva

mentre dalla (37)

1 1

T T T T T

∗ ∗ ∗ ∗

skw = (T ) = (T )

− −

T Q T Q Q Q Q T Q

2 2

T ∗

= (skw ) = (44)

Q T Q O .

2.2 Composizione con un moto rigido e la

Un altro punto di vista, equivalente al precedente, consiste nel considerare il moto affine (19)

sua composizione con un moto rigido descritta all’istante dall’espressione

t

(p (t), = (q(t), + (t) (45)

Q(t)(p

φ φ q(t)).

t) t)

A A

r r

Se si pone ∗ (t) = (p (t), (46)

p φ t),

A

A r

∗ (t) = (q(t), (47)

q φ t),

r

la (45) diventa identica alla (21). Riformulando il nei seguenti

principio di obiettività materiale

termini: la potenza interna, per qualunque campo di velocità test, sia invariante nella composi-

si giunge alle stesse conseguenze del principio formulato in termini di

zione con un moto rigido,

cambiamento di osservatore.

DISAT, Università dell’Aquila, 29 aprile 2011 (929) A. Tatone – Meccanica dei Solidi.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Un corpo rigido è un corpo i cui posizionamenti sono tali che le deformazioni corrispondenti a ciascuna coppia di essi sono rigide. Lo spazio dei campi di velocità test è costituito dall’insieme di tutti i campi di velocità rigidi.
Un corpo affine è un corpo i cui posizionamenti sono tali che le deformazioni corrispondenti a ciascuna coppia di essi sono affini. Lo spazio dei campi di velocit`a test `e in questo caso costituito dall’insieme di tutti i campi di velocità affini. Il corpo affine è il modello di corpo deformabile pi`u semplice che si possa concepire.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria chimica
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Tatone Amabile.

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