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Alcune considerazioni generali

Si vogliono rapidamente ricordare alcune considerazioni generali riguardanti alcune differenze

tra il controllo in feedforward e il controllo a retroazione d

y

r m r e y

m +

+ +

(s)

(s) C(s)

C(s) P

P vs -

• Il modo ideale per garantire che l’uscita insegua fedelmente il riferimento è tramite

l’uso del controllo ad anello aperto o feedforward. La stabilià di tale interconnessione

è semplice: il sistema interconnesso è stabile asintoticamente sse lo sono entrambi

−1

i sistemi. La scelta del controllore è inoltre evidente, C(s) = P (s) . Gli svantaggi

derivano dalla sensibilità delle prestazioni rispetto a differenze tra il modello del processo

ed il processo reale; inoltre il sistema di controllo è incapace di far fronte a disturbi

non misurabili.

• Succede quasi l’opposto nel caso di controllo a retroazione. Le incertezze di modello

e i disturbi non misurabili vengono affrontati efficacemente mentre risulta meno ovvia

la stabilità del sistema interconnesso.

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Internal Model Control (IMC)

In alternativa ai due schemi di controllo precedenti si introduce l’Internal Model Control

rappresentato in figura. d

y m y

+

d + +

(s) (s)

Q P

- y +

a

(s)

P

a - d a

Alcune caratteristiche generali:

• nel caso nominale, se il processo è stabile asintoticamente, la stabilità dello schema

IMC è assicurata dalla stabilità di Q(s) (simile al feedforward)

• le caratteristiche dello schema IMC (come il tempo di assestamento) sono direttamente

legate ai parametri di Q (a differenza del feedback)

• il controllore complessivo è racchiuso nella parte tratteggiata di figura e contiene un

modello del processo P (s) (da cui il nome IMC)

a

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Internal Model Control (IMC)

• il segnale in retroazione −

d = (P (s) P (s))m + d

a a

qualora il modello fosse perfetto, P (s) = P (s) e in assenza di disturbi in uscita, d = 0,

a

è nullo. In tal caso si ha un controllo ad anello aperto (feedforward). In altri termini la

necessità della retroazione deriva dalle incertezze (di modello o disturbi). d può essere

a

pensato come una misura dell’incertezza.

• Lo schema di controllo IMC rientra in un quadro più generale – la parametrizzazione

di tutti i controllori stabilizzanti o Parametrizzazione di Youla – illustrata più avanti.

• →

Si noti che confrontando le relazioni r y nei due schemi precedenti (feedforward vs.

feedback) y(s) = C(s)P (s)

r(s)

y(s) C(s)P (s)

=

r(s) 1 + C(s)P (s)

nella prima relazione si ha un legame lineare (affine) in C(s) mentre nel feedback il

legame è non lineare.

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Internal Model Control (IMC)

Lo studio della stabilità interna dell’IMC può essere effettuato considerando come 3 ingressi

indipendenti y , m e m e come uscite indipendenti y, m e y .

a

1 2

d m m

1 2

y m y

d + (s) (s)

Q P

- y +

a

(s)

P

a - d a

Il legame, nel caso nominale P (s) = P (s), è dato da

a

     

P Q (1 P Q)P P

y y d

−P

Q Q 0

m m

= 1

     

2

−P

y m

PQ Q P

a 2

è pertanto immediato verificare il seguente risultato.

Th. Assumendo un modello perfetto del processo, P (s) = P (s), e in assenza di dinamiche

a

nascoste nelle singole funzioni di trasferimento, lo schema di controllo IMC è internamente

stabile sse il processo P e il controllore Q sono entrambi stabili asintoticamente. 4

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Internal Model Control (IMC)

Si consideri il processo caratterizzato dalla relazione

y(s) = P (s)m(s) + d

con P (s) funzione di trasferimento del processo e dove d include tutti gli effetti di disturbi

non misurati sull’uscita controllata. Se si desidera ottenere un comportamento ideale y y ,

d

il controllo in grado di assicurare tale comportamento è ottenuto risolvendo

1 −

y (s) = P (s)m(s) + d, e cioè m(s) = (s) d]

[y

d d

P (s)

Tale legge di controllo ideale presuppone la conoscenza perfetta sia di d che di P (s).

Essendo P (s) in generale noto solo attraverso un modello approssimato P (s) e d non

a

misurabile – e dunque non noto – si può pensare di adottare la seguente strategia per

implementare il controllo ideale appena ricavato.

• ipotizzando che P (s) sia la nostra migliore stima della dinamica del processo, la migliore

a

stima del disturbo è ottenibile sottraendo la predizione fornita dal modello P (s)m(s)

a

all’uscita misurata y(s) e cioè − −

d = y(s) y (s) = y(s) P (s)m(s)

a a a

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Internal Model Control (IMC)

• Ponendo Q(s) = 1/P (s) e utilizzando la stima del disturbo al posto del disturbo vero,

a

si ottiene un ingresso che coincide con quello ideale se d (s) = d(s)

a

m(s) = Q(s)[y (s) d (s)]

a

d

Lo schema a blocchi risultante è lo schema IMC. d

y m y

+

d + +

(s) (s)

Q P

- y +

a

(s)

P

a - d a

Schema di controllo IMC di base

Volendo estendere il ragionamento ideale precedente includendo disturbi sia misurabili d

1

che non d , si pone

2 d(s) = P (s)d (s) + d (s)

1 2

d

in y (s) = P (s)m(s) + d(s)

d

ottenendo il controllo ideale 1 P (s)

d

− −

m(s) = (s) d d (s)

[y ]

2 1

d

P (s) P (s)

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Internal Model Control (IMC)

Nel caso di disturbo non misurabile, si ha l’equivalenza tra i seguenti due schemi

d d

y y

m y m y

+ +

d + d +

+ + +

(s)

(s) (s)

(s) C

Q P

P

- -

+ (s)

P

a

tramite le seguenti relazioni Q(s) C(s)

C(s) = , Q(s) =

1 Q(s)P (s) 1 + C(s)P (s)

a a

Si noti che, se P (s) = P (s),

a y(s) C(s)P (s)

= = Q(s)P (s)

y (s) 1 + C(s)P (s)

d

e cioè la funzione di trasferimento è lineare (affine) in Q(s) come per il solo feedforward.

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Internal Model Control (IMC)

6

Nel caso generale P (s) = P (s), si possono individuare le seguenti relazioni

a Q(s) −

→ (y d)

R1 (y , d) m m(s) = d

d −

1 + Q(s)(P (s) P (s))

a

Q(s)P (s)

→ −

R2 (y , d) y y(s) = d + (y d)

d d

1 + Q(s)(P (s) P (s))

a −

Q(s)P (s) 1 Q(s)P (s)

a

= y + d

d

− −

1 + Q(s)(P (s) P (s)) 1 + Q(s)(P (s) P (s))

a a

Dalle relazioni precedenti si possono desumere le seguenti proprietà dell’IMC.

P1 Stabilità nel caso nominale. Se il modello è perfetto, caso nominale P (s) = P (s), le

a

due relazioni diventano − −

m(s) = Q(s)(y d), y = P (s)Q(s)(y d) + d

d d

L’ingresso di controllo e l’uscita sono limitati se rispettivamente Q(s) e P (s)Q(s) sono

stabili asintoticamente. Il sistema ad anello chiuso sarà quindi stabile asintoticamente

se lo sono anche C (s) e P (s)Q(s). Mentre per il processo tale richiesta non è molto

a

stringente, per il controllore Q(s) = 1/P (s) può essere un vincolo difficile da soddisfare.

P2 Regolazione perfetta. Nel caso nominale P (s) = P (s) e con Q(s) = 1/P (s) si ha y = y

a d

in ogni istante. Data la limitatezza in potenza del controllore, tale struttura per il

controllore difficilmente può essere realizzata.

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Internal Model Control (IMC)

P3 Guadagno unitario del sistema ad anello chiuso. Se almeno la condizione

1

Q(s)| =

s=0 P (0)

a

è soddisfatta, a regime permanente si ha, dalla R2, y = y d

Le osservazioni precedenti mettono in rilievo quanto l’IMC sia uno schema di controllo

ideale. In particolare si hanno i seguenti problemi

• non si ha praticamente mai P (s) = P (s);

a

• implementare Q(s) = 1/P (s) non è sempre possibile per la presenza di ritardi e/o zeri

a

a parte reale positiva nel modello;

• anche in assenza di tali problemi, dall’espressione di C(s) viene fuori che la sua imple-

mentazione richiederebbe uno sforzo di controllo infinito.

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Internal Model Control (IMC)

Per rendere implementabile l’IMC sono state proposte le seguenti modifiche

− +

+

• (s) è a guadagno

(s) dove P

(s)P

Si fattorizza il modello del processo in P (s) = P

a a

a

a

unitario e contiene tutti i termini non-invertibili (ritardi, zeri a parte reale positiva)

− (s) rientrano tutti gli altri termini;

mentre in P

a

• Il controlllore Q(s) è scelto pari a 1

Q(s) = −

P (s)

a

Si noti che Q(s) può essere tipicamente improprio (grado del numeratore maggiore del

grado del denominatore);

• Si aggiunge un filtro C (s) della forma

F 1

C (s) =

F m

(1 + τ s)

F

con m tale da rendere Q(s) almeno proprio e τ parametro libero.

F

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Internal Model Control (IMC)

Lo schema di controllo risultante può essere rappresentato in modo equivalente secondo i

due schemi a blocchi

y y

m y m y

+ + +

d d

(s) (s)

(s) (s) (s)

(s)

Q Q

C P P

C

- - -

F F

+

(s) (s)

P P

a a

- C(s)

• •

P (s) processo P (s) modello interno del processo

a

• •

C (s) filtro (e.g. del primo ordine) Q(s) compensatore

F

Essendo l’ingresso di controllo m(t) ottenibile dalla relazione

m(s) = Q(s)C (s)[y (s) y(s) + P (s)m(s)]

a

F d

la funzione di trasferimento del controllore equivalente C(s) è data da

Q(s)C (s)

m(s) F

=

C(s) = − −

y (s) y(s) 1 Q(s)P (s)C (s)

a F

d

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Internal Model Control (IMC)

In realtà l’IMC è una forma di sintesi diretta.

Infatti, supponendo di poter implementare Q(s) = 1/P (s) con P (s) = P (s), si ottiene

a a

dall’espressione di C(s) 1 C (s) 1 C (s)

F F

P (s)

a =

C(s) = 1 −

− P (s) 1 C (s)

1 P (s)C (s) a F

a F

P (s)

a

la quale coincide, se P (s) = P (s), con l’espressione del controllore ricavato con la sintesi

a

diretta volendo imporre, come funzione di trasferimento del sistema ad anello chiuso, proprio

C (s). Questa osservazione fornisce anche una possibile interpretazione del filtro C (s).

F F

Nel caso di processo con ritardo, ad esempio −t s

Ke 0

P (s) = 1 + τs

si ha −t s

Ke 1 + τs (1 + τ s) 1

0 ⇒

P (s) = , Q(s) = , C(s) =

a −t s

1 + τs K K + τ s e

(1 )

0

F

cioè la stessa espressione derivata con la sintesi diretta.

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Approssimazione di Padé

−T s

Si vuole approssimare la funzione non razionale e (trascendente) con una funzione

razionale. Trattandosi di sistemi di controllo si desidera ottenere una buona approssi-

mazione a bassa frequenza .

Una possibile approssimazione, attribuita a H. Padé, consiste nell’uguagliare lo sviluppo in

−T s

serie della funzione e con lo sviluppo in serie di una funzione razionale con a numeratore

un polinomio di ordine p e a denominatore un polinomio di ordine q. Il risultato viene

approssimante (p, q) di Padé (o approssimazione di ordine n se p = q = n).

chiamato −s

Si consideri la funzione e di cui si vuole ottenere l’approssimante (1,1), e cioè individuare

i coefficienti a , b e b tale che l’errore

0 0 1 b s + b

0 1

−s −

e =

a s + 1

0

sia piccolo. Espandendo in serie di McLaurin entrambe le funzioni

2 3 4

s s s

−s − − −

e = 1 s + + ...

2 3! 4!

b s + b

0 1 2 20 3

− − − −

= b + (b a b )s a (b a b )s + a (b a b )s + ...

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

a s + 1

0

e uguagliando i coefficienti dei primi tre termini si ottiene

1 s/2

−s

e = 1 + s/2

∗ −T s

Si noti che la funzione non razionale e è analitica per valori finiti di s e può dunque essere approssimata

da una funzione razionale. Nel caso di funzione non analitica come s, la sua approssimazione nell’intorno

di s = 0 deve essere individuata con cura.

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi SISO; controllo di stabilità interna; Internal Model Control (IMC); l'approssimazione di Padé; il predittore di Smith.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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