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Argomenti

• Principio di base dei regolatori in cascata

• Presenza di più disturbi

• Processo instabile

• Studio di un caso “reale”: CSTR

• Esempio: scambiatore di calore

• Altri esempi

• Estensioni Regolatori in cascata

Nello schema classico di controllo a controreazione l’ingresso di controllo è una funzione

della sola variabile di errore (riferimento meno variabile controllata). Anche se tale schema

di controllo può far fronte a qualsiasi tipo di disturbo, l’azione correttiva incomincia solo

dopo che l’effetto di tali disturbi si manifesta sulla variabile controllata; l’effetto si deve

propagare fino alla variabile controllata. Può accadere, in corrispondenza di disturbi ampi

e frequenti, che il comportamento del sistema di controllo sia non proprio soddisfacente.

Spesso è possibile misurare i disturbi maggiori o direttamente, dando luogo a schemi di

controllo in avanti o con compensazione del disturbo, o indirettamente tramite il loro effetto

su qualche variabile intermedia. In quest’ultimo caso è utile poter usare questa informazione

aggiuntiva per poter migliorare le prestazioni del sistema di controllo.

Si ipotizzi ad esempio che il processo sia composto da due sottosistemi in serie descritti

dalle funzioni di trasferimento P (s) e P (s) e che sull’uscita di P (s) agisca un disturbo d

1 2 1

d +

u v y

+ P(s)

P(s) 2

1

Supponendo infine che la variabile v sia accessibile, si può usare tale informazione per

migliorare le prestazioni del sistema di controllo.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Regolatori in cascata 1

Regolatori in cascata

Un possibile utilizzo di v consiste nel chiudere un ulteriore anello di controreazione come

illustrato in figura. d +

0

+ + v y

v u

r +

(s)

(s) R P(s)

P(s)

R 1 1 2

2

- -

Fig. 1 – Schema di controllo in cascata

Si ricava facilmente la relazione 1 R (s)P (s)

1 1 0

v(s) = d(s) + v (s)

1 + R (s)P (s) 1 + R (s)P (s)

1 1 1 1

e 0

(s)v (s)

= D (s)d(s) + P

1 1

che evidenzia come, al tendere del modulo di R (jω) all’infinito,

1

e 0

→ → ⇒ →

D (s) 0, P (s) 1 v v

1 1

In altri termini un anello interno ad elevate prestazioni rende l’effetto del disturbo d sull’ingresso

v (e quindi sull’intero sistema di controllo) trascurabile.

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Regolatori in cascata

Si noti che imporre un modulo di R (jω) molto elevato equivale ad imporre all’anello interno

1

una velocità di reazione molto elevata.

Ad esempio, se lo spettro del disturbo d ha componenti significative fino alla pulsazione ω̄,

scegliendo R (s) tale che

1 |R ≤

(jω)P (jω)| 1, per ogni ω ω̄

1 1

si ha che l’effetto di d su v risulta notevolmente attenuato, e cioè

1 ' 0

1 + R (jω)P (jω)

1 1

Inoltre, poiché P (s) pone dei vincoli stringenti sulla pulsazione di attraversamento ottenibile

2

ω , se risulta ω ω̄, nel progetto di R (s) si può assumere

t t 2

R (jω)P (jω)

1 1 ' 1

1 + R (jω)P (jω)

1 1

nell’intervallo di pulsazioni di interesse [0, ω ]. Ciò implica che R (s) può essere progettato

t 2

disaccoppiamento in frequenza.

unicamente con riferimento a P (s). Si ottiene una forma di

2

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Regolatori in cascata

In generale si possono fare le seguenti considerazioni

• dovrebbe essere, a questo punto, chiaro che l’obiettivo principale del controllo in cascata

riguarda il comportamento del sistema di controllo rispetto a disturbi. Inoltre, ad

esempio rispetto a disturbi costanti, i vantaggi non riguardano il comportamento a

regime (R (s) potrebbe già contenere un polo in s = 0) ma bensı́ il transitorio.

2

• Di solito l’anello interno in uno schema di controllo in cascata ha una scala dei tempi

di almeno un ordine di grandezza inferiore (più veloce) rispetto all’anello esterno. Si

0

può quindi ragionare come se il valore dell’ingresso di riferimento v (t) all’anello interno

fosse praticamente costante.

• Si può usare un semplice controllo di tipo Proporzionale per l’anello interno in quanto

eventuali errori di regime verranno compensati da un’azione integrale nell’anello esterno.

• Spesso la distinzione della dinamica del processo in due dinamiche P (s) e P (s) nasce

1 2

naturalmente includendo la dinamica dell’attuatore (più veloce del processo sul quale

agisce) e si ottiene quindi la naturale separazione della dinamica dell’intero processo in

due dinamiche, una lenta e una veloce.

• Lo stesso principio può essere esteso a più anelli.

Il controllore dell’anello interno viene spesso chiamato controllore secondario mentre il con-

trollore dell’anello esterno controllore primario (a volte anche Master–Slave).

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Regolatori in cascata

Lo stesso principio si applica in schemi simili come quello rappresentato in Fig. 2.

Questa volta, ad esempio, si vuole ridurre l’effetto del disturbo d sull’uscita controllata.

2

L’effetto di d (t) viene prima percepito dalla variabile v che si ipotizza misurabile. Può

2

anche eventualmente essere presente, dopo il regolatore R(s), la dinamica dell’attuatore

(come una valvola di controllo). d

1 Processo

d

2

+ +

+

r u v y

+

(s) P(s) P(s)

R 2 1

+

- Fig. 2 – Schema ad anello singolo

Nello schema classico con una sola controreazione, l’influenza del solo disturbo d sull’uscita

2

è data dalla funzione di trasferimento

y(s) P (s)P (s)

2 1

=

d (s) 1 + R(s)P (s)P (s)

2 2 1

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Regolatori in cascata

Lo schema con due regolatori R (s) (primario) e R (s) (secondario) in cascata è riportato

1 2

in Fig. 3. d

1 Processo

d

2

+ v +

u

m

+ +

r y

+

(s) (s) P(s) P(s)

R R 2 1

1 2

- +

- Fig. 3 – Schema di controllo in cascata

Le funzioni di trasferimento tra m e v, e tra d e v sono

2

R (s)P (s)

v(s) 2 2

=

F (s) =

mv m(s) 1 + R (s)P (s)

2 2

v(s) P (s)

2

F (s) = =

d v

2 d (s) 1 + R (s)P (s)(1 + R (s)P (s))

2 2 2 1 1

→ →

Se, ad esempio, R (s) = K , ad alto guadagno si avrà F (s) 1 e F (s) 0. R (s)

mv

2 2 1

d v

2

dovrà essere progettato per rispettare altre specifiche.

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Regolatori in cascata - processo instabile

Una variante del controllo in cascata viene spesso utilizzata nel controllo di sistemi instabili.

Si ricorda che se l’instabilità nasce dalla presenza di poli a parte reale positiva, non è

possibile utilizzare i metodi di sintesi in frequenza basati sul criterio di stabilità di Bode.

Ovviamente si possono usare tecniche basate sul criterio di Nyquist, sul luogo delle radici o

tramite l’assegnazione degli autovalori, ma non sempre la definizione delle specifiche risulta

agevole.

Si può pensare di utilizzare lo schema riportato in figura

r y

u

+ +

(s) (s) (s)

R R P

1

2

- -

Fig. 4 – Primo schema per processo instabile

nel quale R (s) ha il compito principale di stabilizzare l’anello interno con funzione d’anello

1

R (s)P (s), mentre R (s) viene successivamente determinato in modo tale da soddisfare le

1 2

specifiche sul regime permanente, sulla pulsazione di attraversamento e sul margine di fase.

• R unità stabilizzante,

(s) prende a volte il nome di

1

• mentre R (s) unità di regolazione asintotica.

2

Ad esempio R (s) può anche essere sintetizzata con la sintesi diretta; questo schema viene

2

infatti a volte utilizzato nella sintesi diretta per poter affrontare il caso di processi instabili.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Regolatori in cascata 7

Regolatori in cascata - processo instabile

Un’importante alternativa allo schema di Fig. 4 consiste nell’avere il controllore stabilizzante

nell’anello di reazione come riportato in Fig. 5.

u y

r + +

(s)

R P(s)

2

- - (s)

R 1

Fig. 5 – Secondo schema per processo instabile

zeri del sistema “stabilizzato” (interconnessione

La differenza tra i due schemi risiede negli

tra P (s) e R (s). Si ha infatti

1 N (s)N (s)

R (s)P (s)

1 R P

1

= Primo schema

F (s) =

I 1 + R (s)P (s) D (s)D (s) + N (s)N (s)

1 R P R P

1 1

P (s) D (s)N (s)

R P

1

F (s) = = Secondo schema

II 1 + R (s)P (s) D (s)D (s) + N (s)N (s)

1 R P R P

1 1

da cui si ottiene che gli zeri del sistema stabilizzato sono dati nel caso di Fig. 4 dall’unione

degli zeri del sistema controllato e gli zeri dell’unità stabilizzante, mentre nel caso di Fig. 5

dall’unione degli zeri del sistema controllato e i poli dell’unità stabilizzante.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Regolatori in cascata 8

Esempio – reattore CSTR

Problema: →

in un reattore avviene una reazione A B esotermica. Il reagente A deve essere pre-

riscaldato e ciò avviene in un pre-riscaldatore. Una camicia di raffreddamento ha il compito

di eliminare il calore in eccesso prodotto dalla reazione. Si desidera controllare la temper-

atura all’interno del reattore T .

R T

R

TT TC

Pre-riscaldatore 101 101

T

H CW

Liquido

raffred.

Reattore

Vapore FC Prodotto

FO

Aria Carburante

Un primo approccio al controllo della temperatura T avviene attraverso la manipolazione del

R

flusso del liquido di raffreddamento. In tal caso la variabile cw (cooling water) rappresenta

l’ingresso di controllo.

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi SISO, i regolatori in cascata; il processo instabile; alcuni esempi, il reattore CSTR, lo scambiatore di calore; varianti controllori in cascata.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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