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Margine di stabilità vettoriale

Sono note le grandezze margine di fase e margine di guadagno come primi indicatori della

“vicinanza” del diagramma di Nyquist al punto di coordinate (−1, 0).

La distanza del diagramma di Nyquist dal punto (−1, 0) è, con riferimento alla figura, data

|1

dal valore più piccolo di + F (jω)| o, equivalentemente, dal valore più elevato di

1 |S(jω)|

=

|1 + F (jω)|

1 Im

(

S j!) 1

-1 =

! = 0

!

+ 1 Re

1+F ( j!) (

F j!)

!

1

(

S j!) Margine di stabilità vettoriale

Si definisce margine di stabilità vettoriale la quantità

1

kS(jω)k ∞

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Due indicatori importanti ∗

Dalle funzioni di sensitività e sensitività complementare si definiscono le seguenti due

grandezze utili per caratterizzare il transitorio

|S(jω)| kS(jω)k

M = max = ∞

S ω |L(jω)| kL(jω)k

M = max = ∞

L ω

Da S + L = 1 si ha, ad ogni frequenza,

|S| − |L| ≤ |S + L| = 1

e quindi M e M differiscono al più di 1. Di conseguenza M assume un valore elevato

S L S

quando anche M è grande.

L

Si noti che M è proprio (a meno di un fattore costante di normalizzazione) il modulo alla

L

risonanza |L(jω)|/|L(j0)|

M = max

r ω

quindi specifiche sul comportamento riferimento/uscita si traducono in vincoli su M (vedi

L

ad esempio il legame tra modulo alla risonanza e sovraelongazione).

∗ In realtà la definizione prevede il “sup”.

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Due indicatori importanti

Importanza di M . Con riferimento allo schema generale di controllo di figura si noti che

S d

(s)

P

d d' y

r m +

e

+ +

(s) (s)

C P

- +

y

m + n

• − −

in assenza di controllo (m = 0), si ha e = r y = r P (s)d se è presente un disturbo

d

in uscita d filtrato da P (s);

d

• −W

in presenza di controllo e = W (s)r + W (s)P (s)d, con W (s) = (s) = S(s) e

r,e r,e

0 0

d ,e d d ,e

quindi −

e = S(s)[r P (s)d]

d

La controreazione migliora le prestazioni del sistema di controllo (riducendo e) a

|S(jω)|

tutte le frequenze per le quali < 1.

|S(jω)|

D’altra parte non può essere minore di 1 a tutte le pulsazioni.

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Due indicatori importanti |L| →

Si noti che i sistemi reali sono strettamente propri e quindi ad alta frequenza 0 e

|S| → |S|

1; molto spesso è difficile evitare che > 1 a frequenze intermedie con conseguente

M > 1 e degrado delle prestazioni. In effetti dalla relazione

S 1

S(jω ) =

−π 1

1 m

g |S|

con m margine di guadagno. Pertanto se m > 1 si ha necessariamente > 1 in ω ,

−π

g g

−180

pulsazione alla quale la fase vale .

• M è una misura del caso peggiore di degrado delle prestazioni. Le specifiche impor-

S

ranno un vincolo superiore su M .

S

• Si ha inoltre che la minima distanza di F (jω) dal punto critico (−1, 0) è proprio 1/M S

(margine di stabilità vettoriale) e quindi si desidera avere, anche ai fini della stabilità

robusta, il minor valore di M possibile (massima “distanza” dall’instabilità nel caso di

S

sistema in catena diretta privo di poli a parte reale positiva).

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Banda passante & Co

In generale si parla di larghezza di banda indicando l’intervallo di pulsazioni [ω , ω ] nel quale

1 2

il controllo è efficace.

Ad esempio si può definire efficace un controllo che fornisce qualche beneficio in termini di

prestazioni.

• Rispetto all’errore, si può dire che il controllo è efficace (in termini di prestazioni) se

|e|/|r| |S|

l’errore relativo = è piccolo:

banda passante ω del sistema ad anello chiuso la pulsazione alla quale

Si definisce √

BS

|S(jω)| −3dB)

assume la prima volta il valore 1/ 2 = 0.707 (≈ da sotto

1

|S(jω

ω : tale che )| =

BS BS 2

• Rispetto al riferimento, si può dire che il controllo è efficace se influenza in modo

significativo la risposta in uscita y(s) = L(s)r(s). In assenza di controllo si ha L = 0 e

quindi il controllo è efficace se L è abbastanza grande.

Si definisce banda passante ω del sistema ad anello chiuso la pulsazione alla quale

BL

|L(jω)| assume la prima volta il valore 1/ 2 = 0.707 da sopra

1

|L(jω

ω : tale che )| =

BL BS 2

N.B. Se il margine di fase è m < 90 si ha

ϕ ω < ω < ω

t

BS BL

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Banda passante & Co - Esempio

Sia a

F (s) = s

con a > 0. Le funzioni S e L sono

1 a F (s) s

S(s) = = , L(s) = =

1 + F (s) s + a 1 + F (s) s + a

In questo caso particolare (m = 90 ) si ha ω = ω = ω

ϕ t

BS BL

10 |F|

dB

5

(dB) ω =ω

BS BT

0

Modulo −3 dB

−5 |L|

dB

|S|

dB

−10 −1 0 1 2

10 10 10 10

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Banda passante & Co - Esempio

Sia −s + z , τ = 1, z = 0.1

F (s) = s(τ s + τ z + 2)

caratterizzata da uno zero in s = z a parte reale positiva (presente anche nella L). La

sensitività complementare L vale −s

1 + z −

L(s) = , mentre S =1 L

1 + τs s + z

10 Risposta indiciale (o al gradino)

1

5 |S|

(dB) dB

ω ω 0.8

BS BL

0

Modulo 0.6

−3 dB |L|

−5 dB 0.4

−10 −2 −1 0 1

10 10 10 10 0.2

y(t) 0

0

−50 −0.2

(deg) −100 −0.4

−150

Fase −0.6

−200 −0.8

−250 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t (sec)

−300 −2 −1 0 1

10 10 10 10

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Banda passante & Co - Esempio

Dai diagrammi di Bode di F (jω), L(jω) e S(jω) si ha

• M = 1 e M = 1.93

L S

• ω = 0.036 rad/sec e ω = 1/τ = 1 rad/sec mentre ω = 0.054 rad/sec

t

BS BL

• entrambi ω e ω sono inferiori a z = 0.1 (si vedranno successivamente le limitazioni

t BS

indotte dalla presenza di uno zero a parte reale positiva nella funzione d’anello), mentre

ω è notevolmente maggiore di z.

BL

• Il tempo di salita (nella risposta indiciale) vale t = 31 s, valore prossimo a 1/ω = 28 s

s BS

ma molto distante da 1/ω = 1 s.

BL

Le grandezze ω e ω sono dei buoni indicatori delle prestazioni del sistema ad anello chiuso,

t

BS

mentre ω può, in alcuni casi, portare a conclusioni errate.

BL |L| ≈

Infatti richiedere 1 per avere buone prestazioni può non essere sufficiente in quanto si

deve considerare anche la fase. D’altro canto, richiedere, per buone prestazioni, che sia S

|S| ≈

prossimo a zero è garantito da 0 indipendentemente dall’andamento della fase.

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Banda passante & Co ◦

|L| ≈ −40

Nell’esempio 1 fino a circa ω mentre la fase tra ω e ω scende da circa a

BL BS BL

−220 con conseguente deterioramento della risposta.

Si noti che L(s) ha lo stesso modulo di 1

L (s) =

1 1 + τs

mentre la fase differisce notevolmente come illustrato dai diagrammi di Bode.

10

0

(dB) −10

Modulo |S| |L| = |L |

−20 L(s) e L (s) sono caratterizzati dallo

dB dB 1 dB 1

|S | stesso modulo (e quindi ω = ω )

−30 1 dB BL BL

1

e da fase diversa, mentre gli anda-

−40 −3 −2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10 10 menti del modulo della funzione di

|S(jω)| |S

sensitività e (jω)| sono di-

1

0 versi (in particolare ω < ω ) con

BS BS

1

−50 ∠ conseguente comportamento diverso

L

1

(deg) −100 della risposta nel tempo.

−150 L

Fase −200

−250

−300 −3 −2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10 10

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Banda passante & Co

Il deterioramento della risposta è evidente nella risposta indiciale.

Risposta indiciale

1 L

1 L

0.5

La seconda figura illustra la risposta y(t)

forzata a un ingresso sinusoidale 0

sin(0.1 t). −0.5

Mentre lo sfasamento introdotto a −1

0.1 rad/sec da L (jω) è

1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t

trascurabile, lo sfasamento Risposta forzata a sin(0.1t)

introdotto a 0.1 rad/sec da L(jω) è 1 L1

notevole. L

sin

• (—) y (t) 0.5

1 y(t)

• (—) y(t) 0

• (- -) sin(0.1 t) −0.5

−1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

t

In generale si può dire che fino a ω il controllo è efficace nel migliorare le prestazioni in

BS

|S|

quanto < 0.7. Nella banda [ω , ω ] il controllo influenza la risposta ma non migliora

BS BL |S|

le prestazioni (molto spesso in tale banda > 1). Oltre ω il controllo non ha nessun

BL

effetto significativo sulle prestazioni.

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Assegnazione poli & Co

Sintesi di un controllore che imponga poli desiderati ad anello chiuso.

N (s) N (s)

c p

C(s) = , P (s) =

D (s) D (s)

c p

con ` `−1

N (s) = d s + d s + . . . + d

c 0

` `−1

m m−1

D (s) = c s + c s + . . . + c

c m m−1 0

n−1 n−2

N (s) = b s + b s + . . . + b

p n−1 n−2 0

n n−1

D (s) = a s + a s + . . . + a

p n n−1 0

e polinomio con soluzioni = poli desiderati −1

cn n cn n c

D (s) = a s + a s + . . . + a

c c

cl −1 0

c c

Pb: dati D (s) e N (s), esistono D (s) e N (s) tali che il sistema ad anello chiuso abbia

p p c c

polinomio caratteristico D (s)?

cl

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi SISO; margine di stabilità vettoriale; larghezza di banda e banda passante; assegnazione algebrica dei poli; parametrizzazione dei controllori stabilizzanti (controllori Youla).


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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