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Limitazioni - Risultati generali

Si può generalizzare il risultato integrale (di Bode) precedente rimuovendo il vincolo sul

grado relativo.

Sia un sistema di controllo stabile con funzione d’anello F (s)

−sτ ≥

F (s) = e F (s), τ 0

b

con F (s) funzione razionale con grado relativo r > 0. Si definisce la quantità κ

b κ = lim s F (s)

b

s→∞

Teorema

Nelle ipotesi precedenti, se F (s) è privo di poli a parte reale positiva, si ha

b

Z 0 se τ > 0

|S(jω)|dω

ln = π

−κ se τ = 0

2

0

Es. Sia F (s) data da S(s)

0.1

1 0

log|S(jω)|

F (s) = −0.1

s +1 −0.2

−0.3

si ha κ = 1 e quindi −0.4

−0.5

Z π −0.6

|S(jω)|dω −

ln = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2 Pulsazione (rad/s)

0

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Limitazioni - Risultati generali

In presenza di poli a parte reale positiva in F (s) il teorema diventa.

Teorema ≥

Nelle ipotesi precedenti, se F (s) di grado relativo r 1 ha P poli p – contati con la

p i

b

loro molteplicità – a parte reale positiva, la stabilità del sistema ad anello chiuso impone il

seguente vincolo integrale N

∞ p

Z X {p } ≥

ln dω = π Re se r 2

(|S(jω)|) i

0 i=1 N

∞ p

Z π X {p }

−κ + π Re se r =1

ln dω =

(|S(jω)|) i

2

0 i=1

Tale relazione è valida anche per sistemi a fase non minima. Se P = 0, si ritrovano i

p

risultati precedenti. 6

Se ci sono poli instabili P = 0, la situazione peggiora; il secondo membro è positivo e quindi

p

|S(jω)| |S(jω)|

l’area positiva (dove ln > 0) è maggiore dell’area negativa (dove ln < 0).

dB

Poli, del sistema ad anello aperto, instabili ad alta frequenza sono più dannosi rispetto a

quelli (instabili) a bassa frequenza. Intuitivamente, si può pensare allo sforzo di controllo

complessivo utilizzato in gran parte per spostare tali poli nel semipiano sinistro e in parte

sempre minore per la riduzione della funzione di sensitività.

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Limitazioni - Risultati generali

I risultati precedenti si “dualizzano” alla funzione di sensitività complementare L(s).

Sia un sistema di controllo stabile con funzione d’anello F (s)

−sτ ≥

F (s) = e F (s), τ 0

b

con F (s) funzione razionale con grado relativo r > 1.

b

Teorema

Nelle ipotesi precedenti,

• se F (s) è priva di zeri a parte reale positiva, si ha

b ∞

Z π

1 |L(jω)|dω −

ln = πτ

2

ω 2k ν

0

con k definita come

ν 1 dL(s) 1

− −

= lim = lim

k ds

s→0 s→0 s F (s)

ν b ∗ −1

• Se F (s) ha zeri z , z , ..., z nel semipiano destro e vale F (0) = 0

m

1 2

b b

m

Z 1 π 1

X

|L(jω)|dω −

ln = πτ + π

2

ω 2k z

ν i

0 i=1

∗ In presenza quindi di almeno un integratore in catena diretta.

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Limitazioni - Risultati generali

La presenza di zeri a parte reale positiva induce ulteriori vincoli in particolare sul picco della

funzione di sensitività. Si noti che le relazioni integrali viste finora non mettono in evidenza

|S(jω)|.

il contributo di tali zeri all’andamento di

Si consideri un sistema di controllo a retroazione unitaria nel quale, indicato con F (s) la

funzione d’anello, si assume l’assenza di cancellazioni poli/zeri ad anello aperto (assenza di

modi naturali nascosti). La funzione d’anello F (s) può sempre essere fattorizzata come

−1 −sτ

F (s) = F (s)B (s)B (s)e

z

e p

−sτ

nella quale e rappresenta un ritardo (con τ > 0) e

Z P

p p

− −

z s p s

i

i

Y Y

B (s) = , B (s) =

z p

∗ ∗

z p

+ s + s

i i

i=1 i=1

con z e p rispettivamente gli Z zeri e P poli a parte reale positiva di F (s) contati con le

p p

i i ∗ ∗

loro molteplicità (z e p indicano i coniugati).

i i

I termini B (s) e B (s) sono chiamati prodotti di Blaschke e sono caratterizzati dalla pro-

z p −jωτ

|B |B |e |

prietà (jω)| = (jω)| = 1 valida anche per il ritardo = 1.

z p

La fattorizzazione precedente permette di isolare i contributi di poli e/o zeri a parte reale

positiva.

Es.

− −

(s 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) s 1 s +4

F (s) = =

− −

s(s + 3)(s 4) s(s + 3)(s + 4) s +1 s 4

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Limitazioni - Risultati generali

Se il sistema ad anello chiuso è stabile asintoticamente, S(s) e L(s) saranno caratterizzati

da poli a parte reale negativa. Si ipotizza la presenza in F (s) di uno zero z e P poli a

p

parte reale positiva. I poli di F (s) diventano zeri di S(s) e quindi si fattorizza la funzione di

sensitività S(s) = S(s)B (s)

p

e

con S(s) priva di zeri nel semipiano destro . Ricordando le caratteristiche di B (s), si ha

p

e †

|S(jω)| |

= S(jω)|. Sotto opportune ipotesi si ha il seguente risultato

e

Teorema ±

Sia z = σ jω uno zero a parte reale positiva della funzione d’anello F (s) nella quale

0 0

sono anche presenti N poli a parte reale positiva; se il sistema ad anello chiuso è stabile,

p

la funzione di sensitività deve soddisfare il seguente vincolo integrale

Z −1

|S(jω)|dθ(z,

(R1) ln ω) = π ln B (z)

p

−∞

con

ω ω

0

θ(z, ω) = arctan σ 0

∗ Si ricorda che non sono presenti, per l’ipotesi di stabilià asintotica del sistema ad anello chiuso, poli a parte

reale positiva in S(s) e quindi si fattorizza solo il necessario.

† Le ipotesi riguardano principalmente vincoli sul comportamento di ln S(s) e delle sue derivate all’infinito. Si

veda J.S. Freudenberg and D.P. Looze, IEEE Trans. Aut. Control, Vol. AC-30, n.6, June 1985, pp.555 –

565.

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Limitazioni - Risultati generali

Una versione più esplicita del risultato precedente è data dal seguente teorema.

Teorema

Sia z uno zero a parte reale positiva della funzione d’anello F (s) nella quale sono anche

presenti P poli a parte reale positiva; se il sistema ad anello chiuso è stabile, la funzione di

p ∗

sensitività deve soddisfare il seguente vincolo integrale P

∞ ∗

p

Z p + z

Y i

|S(jω)|w(z,

ln ω)dω = π ln −

p z

i

0 i=1

con, se z reale, 2z 2 1

w(z, ω) = =

2 2 2

z + ω z 1 + (ω/z)

±

mentre se z = σ jω

0 0 σ σ

0 0

w(z, ω) = +

2 2

σ + (ω ω) σ + (ω + ω)

0 0 0 0

Si noti che la funzione peso tende a zero al crescere della frequenza, e pertanto non è

possibile spalmare l’area positiva sulle alte frequenze.

∗ Alternativamente si può sfruttare la ∗

p + z p + z

i

i = ∗

− −

p z p z

i i

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Prestazioni – presenza di poli/zeri a parte reale positiva

Si noti infine che, se lo zero a fase non minima è prossimo a un polo a parte reale positiva,

il termine a secondo membro può risultare molto grande

p + z

i

→ →∞

se p z, allora

i −

p z

i

L’eccesso di area positiva sarà quindi notevole.

In altri termini, se il sistema ha poli e zeri a parte reale positiva tra loro vicini, è molto difficile

soddisfare contemporaneamente le specifiche sulla fedeltà di risposta e sulla sensitività; in

pratica sono quasi impossibili da controllare. |S(jω)|

La funzione peso w(z, ω) taglia il contributo di ln nell’integrale a pulsazioni ω > z.

|S(jω)|

Pertanto per un processo stabile con prossimo a 1 ad alta frequenza, si ha le seguente

approssimazione z

Z |S(jω)|dω ≈

ln 0

0

La relazione è molto simile all’integrale di Bode della sensitività con la notevole differenza

che il bilanciamento tra l’area positiva e negativa avviene in un campo limitato di frequenza.

Im

Si noti infine che se la funzione di sensitività assume

∗ *

)

un valore elevato in modulo ad una data pulsazione ω , L( j!

∗ *

)

S( j!

|L(jω |

dal vincolo algebrico tra L(s) e S(s) anche avrà Re

un valore elevato. 1

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Limitazioni - Risultati generali

Si vuole vedere il contributo di uno zero a parte reale positiva nella fase confrontando i due

sistemi (F (s) è la versione a fase minima di F (s))

2 1

1 s 1

1

F , F (s) =

(s) =

1 2

s +1 s +1 s +1

† |S(jω)|

Il cerchio in figura rappresenta il luogo = 1. La presenza dello zero positivo in

F (s) introduce un ritardo di fase il quale, aggiunto al ritardo dovuto al polo aggiuntivo, fa

1 |S(jω)|

entrare F (jω) nel cerchio = 1 e quindi la sensitività diventa maggiore di 1.

1 Im (

F j!)

1

S( j!) < Funzioni S(jω)

1 10

(

F j!) S (jω)

(dB)

2 1

5 S (jω)

1

S( j!) > 2

1 Modulo 0

-1 Re −5

−10 −2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

∗ Si noti che gli andamenti del modulo di F (jω) e F (jω) coincidono; l’andamento apparentemente diverso

1 2

del modulo sul diagramma di Nyquist si spiega ricordando che a parità di pulsazione, e quindi di valore del

modulo, la fase è diversa.

† |1 −1.

Si ricorda che + F (jω)| = 1/|S(jω)| rappresenta la distanza del punto F (jω) da

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Limitazioni nei sistemi SISO 23

Limitazioni - Esempio

Siano i due sistemi −

1 1 0.5s

F (s) = , F (s) =

1 2

s(1 + 0.1s) s(1 + 0.1s)(1 + 0.5s)

|F |F

caratterizzati dallo stesso andamento del modulo (jω)| = (jω)| e con la presenza di

1 2

uno zero z = 2 in F (s).

2 Funzioni S(jω)

(ln|S(jω)|) 2

1 Presenza zero z > 0, maggiore area

0 |S

positiva per ln (jω)|.

2

−1 |S

L’area positiva di ln (jω)| viene

1

−2 spalmata ad alta frequenza.

S

Modulo 1

−3 S

2

−4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pulsazione (rad/s)

Funzioni L(jω)

10

0

(dB) −10 Banda passante per S maggiore

−20 2

Modulo |L

Picco per (jω)| più pronunciato.

−30 2

−40 L

1

L

−50 2

−60 −2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Limitazioni nei sistemi SISO 24

Limitazioni - Risultati generali

Per quanto riguarda la funzione di sensitività complementare L(s) invece, nelle stesse ipotesi,

si fattorizza −sτ

L(s) = L(s)B (s)e

z

e ±

con L(s) priva di zeri/poli nel semipiano destro. Detto p = σ jω un polo a parte reale

0 0

e

positiva della funzione d’anello F (s), vale la seguente relazione integrale

Z −1

|L(jω)|dθ(p,

ln ω) = π ln B (p) + τ σ π

0

z

−∞

con

ω ω

0

θ(p, ω) = arctan σ 0

Valgono le considerazioni duali al caso S(s). |S(jω)| |L(jω)|

Si noti che i termini al secondo membro dei vincoli sull’integrale di ln e di ln

sono non negativi. Pertanto i sistemi di controllo che attenuano gli effetti di disturbi in uscita

(|S(jω)| < 1) o delle incertezze (|L(jω)| < 1) in qualche banda di frequenza, necessariamente

avranno un peggioramento in un’altra banda. In generale poli e zeri a parte reale positiva,

vicini alle zone di frequenza alle quali vengono date le specifiche, costituiscono un ostacolo

maggiore per il soddisfacimento di tali specifiche rispetto a poli e zeri lontani da tali regioni.

Rispetto al vincolo S(s) + L(s) = 1 si sono quindi ottenuti dei vincoli di tipo integrale i quali

comportano nuovi compromessi anche a pulsazioni diverse. Il concetto di vicinanza viene

quantificato dalle funzioni peso dθ(z, ω) e dθ(p, ω).

∗ Sistema ad anello chiuso stabile asintoticamente, zeri di F (s) diventano zeri di L(s).

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Limitazioni - Risultati generali

Si ricorda che tra i diversi approcci alla sintesi di un controllore si possono distinguere

• Loop shaping – Essenzialmente si traducono le specifiche sul sistema di controllo (sis-

tema ad anello chiuso) in specifiche sul sistema in catena diretta (in uno schema a

retroazione unitaria). Queste consistono in richieste sulla risposta armonica della fun-

zione d’anello F (jω) (ad es. pulsazione di attraversamento, margine di fase, ...).

• Closed-loop shaping – Si cerca di ottenere direttamente un controllore che garantisca

una forma desiderata delle funzioni di sensitività L, S o S . In questa categoria si trovano

u H

la sintesi diretta, l’IMC o alcuni metodi di ottimizzazione . In quest’ultimo caso il

vero compito del progettista consiste nella scelta dei limiti da imporre al comportamento

desiderato del sistema ad anello chiuso. La conoscenza dei limiti appena esposti risulta

quindi di primaria importanza. Scelti dei vincoli ragionevoli, si minimizza un qualche

H

indicatore di prestazioni basato sulla norma .

Si ricorda che, data una funzione di trasferimento G(s), si ha

4

kG(s)k |G(jω)|

= sup

∞ ω

G(s) 1

j!) Si noti che si prende il sup e non il max perché teori-

camente si potrebbe tendere al massimo, senza mai

G( → ∞.

raggiungerlo, solo per ω Dal punto di vista “in-

gegneristico” si può più comodamente pensare al max.

!

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Limitazioni - Risultati generali

Si ricorda che la funzione di sensitività è un buon indicatore delle prestazioni di un sistema

di controllo a retroazione (tipicamente si richiede un modulo piccolo e quindi non sono

necessarie specifiche sulla fase). Alcune specifiche su S sono

• minima banda passante ω ;

BS

• massimo errore rispetto a riferimenti sinusoidali;

• comportamento a bassa frequenza rispetto a riferimenti canonici di ordine k (tipo di

sistema e relativi errori a regime);

• |S(jω)|

forma di in campi di frequenza di interesse;

• |S(jω)|, kS(jω)k ≤

massimo valore di picco dell’ampiezza di cioè M .

Il vincolo sul massimo valore del picco del modulo limita l’amplificazione del rumore ad alta

frequenza e introduce un margine di robustezza (valore tipico M = 2).

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Limitazioni - Risultati generali

Tutte le specifiche precedenti possono essere soddisfatte imponendo un limite superiore al

modulo di S(jω) tramite l’opportuna scelta di una funzione peso w (s).

S

In particolare si sceglie la funzione peso in modo tale che il limite superiore sia rappresentato

da 1/|w (jω)|. Il compito del progettista risiede nella scelta della funzione w (s).

S S

Il vincolo assume quindi la forma 1

|S(jω)| ∀ω

< ,

|w (jω)|

S

il quale si trasforma in |w ∀ω

(jω)S(jω)| < 1

S

o equivalentemente

kw (s)S(s)k < 1

S

La funzione w (s)S(s) prende il nome di sensitività pesata (weighted sensitivity).

S

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Sensitività pesate

Se in un intervallo di pulsazioni la funzione di sensitività “sfora” il limite superiore individuato

da 1/|w (jω)|, nello stesso intervallo la funzione di sensitività pesata assumerà valori, in

S

∗ |w

modulo (jω)S(jω)| maggiori o uguali a 1.

S Funzione peso 1/w e S

S

10

5

(dB) 0 S

Modulo -5 1

S 2

-10 1/w

S

-15

-20 -1 0 1 2

10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

|w (jω)S(jω)|

S

3

2.5 1/w S

S 1

2 1/w S

Modulo S 2

1.5

1

0.5

0 -1 0 1 2

10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

∗ |w

Non è necessario riportare il modulo (jω)S(jω)| in scala logaritmica.

S

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Sensitività pesate - Scelta della funzione peso

Una tipica scelta della funzione peso w (s) è data da

S s/M + ω

BS

w (s) =

S s + ω A

BS

Funzione peso 1/w S

10 M dB

(dB) 0 • ≥

ad alta frequenza il modulo vale M 1

Modulo • a bassa frequenza il modulo vale A

-10 ω • il modulo vale circa 1 in ω

BS BS

-20 A

dB

-30 -1 0 1 2

10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

• |S(j0)|

Si noti che ponendo A = 0 è equivalente a richiedere che = 0 e cioè, ricordando

che S(s) rappresenta anche il legame disturbo in uscita/uscita, che il sistema sia astatico

rispetto ad un disturbo costante in uscita (è necessaria la presenza di un polo in s = 0

a monte del punto di ingresso del disturbo).

• Tramite M si impone un vincolo sul picco M della funzione di sensitività.

S

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Sensitività pesate - Scelta della funzione peso

Se si desidera aumentare la pendenza di F e quindi di S si può scegliere

n

1/n

s/M + ω

BS

w (s) =

S n

1/n

s + ω A

BS

Funzione peso 1/w S

10 • ≥

ad alta frequenza il modulo vale M 1;

(dB) 0 • a bassa frequenza il modulo vale A

Modulo -10 ≈

(tipicamente A 0);

n=1 • maggiore pendenza.

-20 n=2

-30 -1 0 1 2

10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Limitazioni nei sistemi SISO 31

Sensitività pesate - Scelta della funzione peso ∗

In uno schema come quello riportato in figura, se volessimo attenuare l’effetto del disturbo

d a tutte le frequenze (ipotizzando che sia già stata effettuata una scalatura), si deve

assicurare |S(jω)P (jω)| < 1

d |w

e quindi una possibile scelta iniziale della funzione peso potrebbe essere tale che (jω)|

S

|P |P

sia simile a (jω)| a quelle pulsazioni per le quali (jω)| > 1.

d d d

(s)

P

d d' y

+

r m

e

+ +

(s) (s)

C P

- +

y

m + n

Schema a 1 D.O.F.

∗ →

Si ricorda che la funzione di trasferimento d y è pari a S(s)P (s).

d

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi SISO; limitazioni; il legame di Bode e limiti imposti; Waterbed Effect; presenza di poli a parte reale positiva; presenza di zeri a parte reale postiva; limiti alle funzioni di sensitività pesate.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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