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Argomenti

• Incertezza

• Rappresentazione dell’incertezza

• Stabilità robusta

• Small Gain Theorem Incertezza

Uno dei principali motivi per il successo del controllo a retroazione risiede nella sua capacità

di ridurre gli effetti delle incertezze sul modello del sistema.

Si ricorda che la maggior parte dei modelli utilizzati al fine di individuare uno schema di

controllo è lineare benché i sistemi reali siano prevalentemente non lineari.

Si possono essenzialmente classificare le incertezze relative al modello in

• incertezze parametriche – i parametri del processo preso in considerazione sono di-

versi da quelli utilizzati nel modello (parametri nominali) a causa di leggere variazioni

nel tempo, difficoltà nell’identificazione dei valori reali, variazioni del punto di lin-

earizzazione, variazioni delle condizioni operative ... (anche definita come incertezza

strutturata).

• dinamiche non modellate – possono essere state trascurate delle dinamiche (tipicamente

ad alta frequenza) nella derivazione del modello, queste dinamiche possono non essere

modellabili,... (anche definita come incertezza non strutturata).

Sono già noti alcuni indicatori riguardanti il comportamento del sistema di controllo rispetto

a incertezze: margine di guadagno, margine di fase,...

Le dinamiche non modellate possono comunque essere prese in considerazione in fase di

progetto del sistema di controllo o sviluppando modelli sempre più accurati (ma contem-

poraneamente si complica la sintesi) o includendo nel modello nominale una funzione di

trasferimento, non specificata, la cui risposta in frequenza è limitata. In tal modo si pos-

sono considerare entrambe le forme di incertezza in modo unificato.

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Incertezza

Prima di affrontare le diverse possibilità di modellare l’incertezza, è opportuno chiedersi

quando due sistemi hanno un comportamento simile. Si considerino le due situazioni

seguenti

• Sistemi simili ad anello aperto – Siano i due sistemi

100 100

P (s) = , P (s) = , 0 <τ 1

1 2 2

s +1 (s + 1)(1 + τ s)

che differiscono per una dinamica ad alta frequenza del secondo ordine caratterizzata

dalla costante di tempo τ . Le risposte dei due sistemi sono chiaramente molto simili.

Ad esempio con τ = 0.025, la differenza nella risposta indiciale non è percettibile. Si

noti però che i relativi sistemi ad anello chiuso sono rispettivamente stabile e instabile

100 1161600

L (s) = , L (s) =

1 2 2 −

s + 101 (s + 83.93)(s 2.92s + 1925.37)

Si hanno quindi due sistemi con comportamenti molto simili ad anello aperto e com-

pletamente diversi ad anello chiuso.

Quindi anche se l’incertezza ad anello aperto è piccola, può portare a un comportamento

ad anello chiuso notevolmente diverso.

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Incertezza

E viceversa

• Sistemi diversi ad anello aperto – Siano i due sistemi

100 100

P (s) = , P (s) =

1 2 −

s +1 s 1

con caratteristiche molto diverse ad anello aperto (P (s) stabile, P (s) instabile). Le

1 2

corrispondenti funzioni di trasferimento ad anello chiuso (riferimento/uscita) sono

100 100

L (s) = , L (s) =

1 2

s + 101 s + 99

con caratteristiche molto simili.

Una misura appropriata della “distanza” tra due sistemi n (s)

n (s) 2

1 , P (s) =

P (s) = 2

1 d (s) d (s)

1 2

con −

p(s) = d (s)n (−s) n (s)d (−s)

1 2 1 2

è, ad esempio, data da

( |P (jω)−P (jω)|

√ 1 2 se p(s) priva di radici Re > 0

sup ω

d(P , P ) = 2 2

(1+|P (jω)| )(1+|P (jω)| )

1 2 1 2

1 altrimenti

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Rappresentazione dell’incertezza

Si assume che il processo sia descritto non più da un solo ma da un insieme di modelli

lineari stazionari i quali, nel dominio della frequenza, si possono descrivere sulla base di due

grandezze: il modulo e la fase.

Dato un modello nominale, si possono definire per ogni pulsazione che varia in un certo

intervallo, dei limiti ai valori del modulo e della fase dando luogo a una regione – nel piano

complesso – di incertezza .

La forma di tale regione purtroppo non ha una semplice caratterizzazione in termini geo-

metrici; si definisce quindi un disco che includa tale regione. Tale disco è caratterizzato da

a

un raggio γ (ω) funzione della pulsazione. Im

Im (

F j!)

(

F j!) n

n Re

Re

limiti

fase regione

incertezza a

(!)

°

limiti

modulo

∗ Lo stesso principio vale se si fanno variare dei parametri. Ad ogni pulsazione, al variare dei parametri, si

ottiene una regione di incertezza approssimabile con un disco.

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Rappresentazione dell’incertezza

L’insieme dei processi è definito come a

{P |P − ≤

: (jω) P (jω)| γ (ω)}

n

• Al variare di ω si ottiene una banda di incertezza intorno all’andamento relativo al valore

nominale;

• Il raggio di solito aumenta con l’aumentare della pulsazione in quanto il modello a bassa

frequenza è più facile da determinare; ∗

a

• la descrizione dell’incertezza tramite il disco di raggio γ (ω) è comoda ma conservativa .

Im Im

(

P j!)

n Re Re

(

P j!*)

n a

(!*)

°

(

P j!*) !

*

(

±P j!*)

Dischi al variare di ω

∗ Le considerazioni su stabilità e prestazioni robuste saranno di conseguenza conservative. In questo modo

si considera il “caso peggiore”. In alternativa si possono considerare approcci basati sull’ottimizzazione di

qualche valor medio oppure facendo ricorso al controllo adattativo

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Rappresentazione dell’incertezza

In altri termini ogni processo perturbato soddisfa la relazione

P (jω) = P (jω) + δP (jω)

n a

con δP (jω) incertezza additiva (non nota), limitata da γ (ω) e cioè

a

|δP ≤

(jω)| γ (ω) (s) (s)

¢ w

(s)

± P a a y

u

y

u +

+ (s)

P

(s)

P n

n +

+ nominale

nominale

perturbato perturbato

Un possibile modello dell’incertezza additiva è dato dalla seguente caratterizzazione dell’insieme

di incertezza P {P

= (s) : P (s) = P (s) + w (s)∆ (s)}

n a a

con ∆ (s) una qualsiasi funzione di trasferimento arbitraria stabile con modulo inferiore a

a

1 per tutte le pulsazioni |∆ ≤ ∀

(jω)| 1 ω

a ∗

k∆ k ≤

(o equivalentemente 1), mentre w (s) è una funzione razionale propria stabile e

a a

fornisce l’informazione di come l’accuratezza del modello nominale varia con la frequenza.

Si noti che in questa formulazione le perturbazioni sono rappresentate da ∆ .

a

∗ Nell’ipotesi molto realistica che l’incertezza cresca con la frequenza.

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Rappresentazione dell’incertezza

Si noti che

• la rappresentazione grafica con gli schemi a blocchi non corrisponde a una situazione

fisica reale;

• P

l’insieme include modelli di ordine arbitrario. Se le incertezze preponderanti sono di

tipo parametrico, la maggiorazione utilizzata rischia di essere largamente sovrabbon-

dante;

• se si considerano tutti i possibili ∆ , a ogni pulsazione ω si ha un disco con raggio pari

a

a 1 centrato nell’origine mentre a P (jω) + w (jω)∆ (jω) corrisponde un disco centrato

n a a

|w

in P (jω) con raggio (jω)|. Si può quindi anche interpretare w (s) come un peso

n a a

introdotto per normalizzare la perturbazione ∆ che assume al massimo il valore 1 in

a

modulo.

Ad esempio, se un parametro α del processo (come una costante di tempo o un coefficiente)

subisce una piccola variazione δα rispetto ad un valore nominale α , in prima approssimazione

0

si può scrivere ∂P

P (s, α + δα) = P (s, α ) + δα

0 0 ∂α α=α 0

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Rappresentazione dell’incertezza

In alternativa, si può definire l’incertezza in termini di deviazione del processo reale da quello

nominale. In tal caso l’insieme dei modelli perturbati diventa

|P −

(jω) P (jω)|

n m

P : γ (ω)

|P (jω)|

n

e ogni P (s) soddisfa la relazione m

P (jω) = P (jω)(1 + δ P (jω))

n m

m incertezza moltiplicativa limitata dalla quantità reale positiva γ (ω)

con δ P (jω) m m

|δ ≤

P (jω)| γ (ω) perturbato

perturbato

m (s) (s)

¢ w

(s)

± P m m nominale

nominale y

u +

y

u + (s)

P

(s)

P n

+

n

+

Un possibile modello dell’incertezza moltiplicativa è dato dalla seguente caratterizzazione

dell’insieme di incertezza

P {P

= (s) : P (s) = P (s)(1 + w (s)∆ (s))}

n m m

|∆ ≤ ∀ k∆ k ≤

con (jω)| 1 ω, (o 1), w (s) stabile e propria, ∆ (s) arbitraria e stabile.

m m m m

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Rappresentazione dell’incertezza

Dalla relazione precedente (in s = jω), dividendo per P (jω) si ha

n

P (jω) P (jω) P (jω)

n

= 1 + w (jω)∆ (jω) = w (jω)∆ (jω)

m m m m

P (jω) P (jω)

n n

|∆

e quindi, data la limitatezza di (jω)|, si ottiene

m

P (jω) P (jω)

n ≤ |w ∀ ≥

(jω)|, ω 0

m

P (jω)

n |w

Per ogni pulsazione ω, la funzione (jω)| rappresenta la massima “distanza relativa” tra

2

il processo nominale P (jω) e la funzione non nota P (jω).

n

I metodi di sintesi sviluppati sulla base di queste rappresentazioni dell’incertezza sono tali

P;

da garantire le proprietà desiderate per ogni elemento P (jω) dell’insieme di incertezza P

in altri termini tali metodi considerano il sistema perturbato come se ogni elemento di

fosse un’istanza del processo reale. La conservatività di tale approccio risiede nell’assumere

P

che tutti gli elementi di sono possibili modelli del sistema perturbato.

Si noti infine che, nella rappresentazione grafica dell’incertezza moltiplicativa, lo schema

a blocchi non corrisponde ad uno schema fisico reale. Ad esempio, si ha che ogni polo

instabile di P (s) è anche polo di P (s) ma non vale necessariamente il vice-versa a causa di

n

possibili cancellazioni tra 1 + w (s)∆ (s) e P (s). Ciò significa che il processo perturbato

m m n

può anche avere meno poli a parte reale positiva di quello nominale; le cancellazioni tuttavia

non danno luogo a modi nascosti instabili.

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Rappresentazione dell’incertezza

Si può utilizzare la seguente procedura per l’individuazione della funzione peso

• Si seleziona un modello nominale (modello semplificato – ordine ridotto o senza ritardo

– o basato sui valori medi dei parametri o infine tramite considerazioni sul diagramma

di Nyquist);

• Incertezze additive – individuare per ogni pulsazione il minor raggio r (ω) che includa

a

tutti i possibili sistemi perturbati |P −

r (ω) = max (jω) P (jω)|

a n

∈P

P

w (s) (funzione razionale di ordine ridotto) è scelto tale che

a |w ≥ ∀ω

(jω)| r (ω)

a a

• Incertezza moltiplicativa – si ha −

P (jω) P (jω)

n

r (ω) = max

m P (jω)

n

e un peso funzione razionale w (s)

m |w ≥ ∀ω

(jω)| r (ω)

m m

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Rappresentazione dell’incertezza parametrica

• Incertezza sul guadagno Sia l’insieme dei processi perturbati data da

≤ ≤

P (s) = k P (s), k k k

p p o p max

min

con P (s) priva di incertezza. Definendo

o −

k + k k k

max max

min min

k = k̄(1 + r ∆), k̄ = , r =

p k

k 2 2 k̄

si ha la seguente rappresentazione sotto forma di incertezza moltiplicativa

|∆| ≤

P (s) = k̄P (s)(1 + r ∆) = P (s)(1 + w (s)∆), 1

p o m

k

con ∆ reale e processo nominale.

k̄P (s) il k̄ è il guadagno medio mentre la funzione

o

peso w (s) = r rappresenta l’ampiezza relativa dell’incertezza di guadagno.

m k

• Incertezza sulla costante di tempo Sia l’insieme dei processi perturbati data da

1 ≤ ≤

P (s) = P (s), τ τ τ

p o p max

min

1 + τ s

p

Definendo −

τ + τ τ τ

max max

min min

τ = τ̄ (1 + r ∆), τ̄ = , r =

p τ τ

2 2τ̄

si ha la seguente rappresentazione nella forma di incertezza moltiplicativa inversa

P (s) P (s) 1 1 r τ̄ s

o o τ

P (s) = = = P (s) , w (s) =

p i

1 + τ̄ s + r τ̄ s∆ 1 + τ̄ s 1 + w (s)∆ 1 + w (s)∆ 1 + τ̄ s

τ i i

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Rappresentazione dell’incertezza in frequenza

A titolo di esempio, si consideri il caso in cui si dispone di un modello della forma

P (s) = P (s)P (s)

n δ

nella quale P (s) rappresenta il modello nominale (semplificato) e P (s) una dinamica che

n δ

si desidera trascurare per la sintesi del controllore. P (s) può sia essere una dinamica fissa

δ

P

o appartenere a un insieme . Si desidera rappresentare la dinamica trascurata tramite

δ

un’incertezza moltiplicativa. L’ampiezza dell’incertezza relativa è data da

P (jω) P (jω)

n |P −

r (ω) = max = max (jω) 1|

m δ

P (jω) ∈P

P P

n δ δ

Si considerano i seguenti casi particolari.

• Dinamica del primo ordine trascurata

1 ¿ ¿

(dB) >

≤ ≤

P (s) = , 0 τ τ 2 1

p max

δ 1 + τ s

p modulo

In questa situazione la quantità

−τ s 1 1

p

|P −

(jω) 1| =

δ ¿ ¿

1 + τ s

p 2 1

pulsazione

assume il massimo per τ = τ .

p max

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Rappresentazione dell’incertezza

e quindi la r (ω) può essere rappresentata da una funzione razionale w (s) con

m m

τ s

max

w (s) =

m 1 + τ s

max

|w

tale che (jω)| = r (ω). Ad alta frequenza il peso tende a 1 mentre l’asintoto a

m m

bassa frequenza passa per 1 a 1/τ .

max

• Ritardo trascurato – La P (s) è un puro ritardo

δ T s ≤ ≤

P (s) = e , 0 T T

p p max

δ

Prendendo in considerazione il ritardo massimo T si ha l’errore relativo corrispondente

max jωT

|P − |1 − |1 − |

(jω) 1| = P (jω)| = e max

T =T T =T

δ δ

p max p max Incertezza relativa e peso

10

5

Andamento dell’errore relativo per T = 1 sec

max 0

assume il valore massimo 2 in π/T e taglia

max −5

(dB)

l’asse 1 a circa π/T

max −10

Per ogni altro valore di T < T l’andamento è simile Modulo −15

p max −20

con lo stesso massimo −25

Al variare di T , l’andamento max si ottiene

∈P

p P

δ δ −30

per T = T −35

p max w

m

−40 −2 −1 0 1 2

10 10 10 10 10

Pulsazione (rad/s)

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Rappresentazione dell’incertezza

e quindi la r (ω) è data da

m jωT

|1 − |

r (ω) = max e p

m ≤T

0≤T

p max

jωT

|1 − |

= e max

jωT

|1 − |

e per ω < π/T

max max

= ≥

2 per ω π/T

max

Una funzione razionale stabile che maggiora la r (ω) è ad esempio data da

m

πT s

max , α> 1

w (s) = 2α

m πT s + 1

max

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Rappresentazione dell’incertezza

Il seguente esempio illustra una possibile individuazione della funzione peso w (s) in un caso

m

di variazione parametrica. Sia la famiglia di processi perturbati data da

K −T s

P (s) = e

1 + τs

con i parametri K, τ e T che assumono valori nell’intervallo [2, 3].

A titolo di esempio si riportano alcune regioni, per diversi valori della pulsazione ω, relative

all’incertezza ipotizzata. -1

Im = 2

!

= 1

! = 0.01 Re

! -2

= 7

! = 0.05

!

= 0.5 modello

! = 0.2 nominale

! -3 1 2

Approssimazione in ω = 0.2

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Controllo dei processi del Prof. Leonardo Lanari, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo dei sistemi SISO; incertezza e robustezza; incertezze parametriche; dinamiche non modellate; rappresentazione dell'incertezza; rappresentazione dell'incertezza parametrica; la stabilità robusta; incertezza additiva; incertezza moltiplicativa; vincoli sulla funzione d'anello; Small Gain Theorem.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dei sistemi
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Controllo dei processi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Lanari Leonardo.

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