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Natural frequency e locked frequency

τ

Dalle f.d.t. prima ricavate risulta quindi, con =0:

l

ζ s

z

+

1 2 ω

nq s

( ) z

=

( )

G s

l = G s

( ) lm 2

ζ s s

lm

q s

( ) z

+ +

1 2

m ω 2

ω

z z

.

τ q q nq

m m l

m G (s) G (s)

1/s

vm lm J J

Il sistema libero oscilla alla pulsazione m l

D el

ω

dei poli di G , ossia : questa

vm p

pulsazione è detta .

natural frequency K el

Se invece si blocca meccanicamente il J J

m l

D

motore, il sistema oscilla alla el

ω

pulsazione dei poli di G , ossia :

lm z

questa pulsazione è detta locked K el

.

frequency Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [16]

Normalizzazione delle frequenze

Per massimizzare la generalità della discussione, conviene normalizzare la

frequenza ed operare su parametri adimensionali.

Introduciamo la variabile complessa adimensionale p=s/ω .

z

Risulta: 2

ζ s s

+ +

z

1 2 2

+ ζ +

µ

~ 1 2 p p

ω 2

ω

µ z

=

( )

G p

z z

= vm

G s

( ) ω 2

p p

vm ζ 2 z

s

s + ζ +

s 1 2 p ( )

p

+ + z

1 2 + ρ

1

ω 2

ω

p p

ζ s

z

+

1 2 ω + ζ

~ 1 2 p

z

=

( )

G s z

=

G ( p )

lm 2

ζ lm

s s 2

+ ζ +

1 2 p p

z

+ +

1 2 z

ω 2

ω

z z Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [17]

Disposizione di poli e zeri

Come sono messi nel piano complesso p normalizzato poli e zeri di G ?

vm

2

+ ζ +

µ p p

~ 1 2 z

=

G p

( )

vm ω 2

p p

z + ζ +

p

1 2 ( )

z + ρ

1

1.5 + ρ 1

1 I poli sono a

1 più alta

0.5 frequenza e più

0

im smorzati

− ζ

− ζ + ρ

1 z

-0.5 z

-1

-1.5 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

re

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [18]

Risposta in frequenza

Cha aspetto assume la risposta in frequenza di ?

G

vm 2

+ ζ +

µ p p

~ 1 2 z

=

G p

( )

vm ω 2

p p

z + ζ +

p

1 2 ( )

z + ρ

1

40

ρ =1

ζ =0.1 30

z 20 risonanza

|

vm 10

|G 0

-10 antirisonanza

-20 -2 -1 0 1

10 10 10 10

w/w

z

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [19]

Controllo P/PI sul motore

Nella robotica industriale i sensori sono di norma disposti solo dal lato motore.

τ

Concentrandoci sulla risposta al riferimento ( =0) si ha:

l

s .

+ τ q

q q nq

om + + m m l

m G

K R (s) (s) G (s)

1/s

pp PI vm lm

− −

Nel caso di velocità ottenuta per derivazione della posizione:

s .

+ τ q

q q nq

om + + m m l

m

K R (s) (s) G (s)

G 1/s

pp PI vm lm

− − s Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [20]

Controllo PI di velocità motore

.

τ q

+ m

m

R (s) G (s)

PI vm

  + sT

1

1

( )   iv

=

= +

R s K K

1

 

PI pv pv sT

sT

 

iv iv 2

ζ s s

Funzione d’anello: + +

z

1 2 ω 2

+ ω

µ

1 sT

( ) ( ) ( ) z

iv z

= =

L s R s G s K

v PI vm pv ζ 2

s

sT s s

p

iv + +

1 2 Guadagno d’anello

ω 2

ω

p

Passiamo ai parametri adimensionali: p normalizzato

µ

~ K

2

ω + τ + ζ + ~

p

1 p p

1 2

~ pv

( ) 

ω =

cv iv z

=

L p cv

 ω

v τ

2 2

p p z

iv 

+ ζ +

p

1 2 τ = ω T

( ) 

z + ρ iv z iv

1 Costante di tempo

dello zero normalizz.

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [21]

Criterio di Bode

µ

K

~ È la , valutata sul modello rigido

pulsazione critica di progetto

pv

ω =

cv ω µ ω

( ), alla pulsazione .

K normalizzata

z pv z

τ =10, posizioniamo lo zero del PI una decade prima

Ponendo

τ = ω T iv

iv z iv ω

della pulsazione .

z

ρ =1

ζ ~

=0.1 ~

ω = 0 . 5

z ω = 1 .

5

cv

τ =10 cv

iv 100 150

100

50 50

dB dB

0 Il margine di

0

-5 0 -5 0 fase è

-3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 elevato

100 100

0 0

g g

de de

-1 0 0 -1 0 0

-2 0 0 -2 0 0

-3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [22]

Criterio di Bode

Dal criterio di Bode risulta sempre margine di fase molto elevato. Non emergono

limiti significativi…

Guardiamo però la risposta in frequenza lato motore e carico:

in anello chiuso

~

ω = 1 .

5 10

cv motore

0 carico

-1 0

-2 0

-3 0

-4 0

-5 0

-6 0

-7 0

-8 0

-9 0 -2 -1 0 1 2

10 10 10 10 10

ra d

C’è una risonanza lato carico che il criterio di Bode non coglie.

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [23]

Anello di velocità: luogo delle radici

~

ω

Tracciamo il luogo delle radici al variare di :

cv

1.5 Ci sono dei poli complessi il cui

1 smorzamento prima aumenta e

poi diminuisce.

0.5

Axis 0 Lo smorzamento massimo si

g

Ima ottiene per:

-0.5 ~

ω ≈ 0

.

7

-1 cv

( )

ω ≈ ω

0

.

7

-1.5 cv z

-1 -0.5 0 0.5 1

Re a l Axis Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [24]

Controllo P di posizione

s .

+ q

q q nq

om + + m m l

K (s) G (s)

F 1/s

pp v lm

( )

L s

( ) v

=

F s Anello chiuso di velocità

( )

v +

1 L s

v ( )

F s

( ) v

=

L s K

La funzione d’anello per il controllo di posizione è: p pp s

In termini normalizzati: ~ ( )

~ ( ) K

L p

~ ( )

F p

~ pp

( ) v

= γ =

F p

v

= γ ~

L p ( )

v pp

+ ω

p pp L p

1

p v z

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [25]

Anello di posizione: luogo delle radici

~ ( )

F p

~ ( ) v

= γ

L p

p pp p ~

γ ω

Tracciamo il luogo delle radici al variare di , per diversi valori di :

pp cv

~ ~ ~

ω = ω = ω =

0 . 5 1 1 .

5

cv cv cv

3

3 3 2

2 2 1

1 1

Axis Axis

Axis

0 0

0

g g

g

Ima Ima

Ima

-1 -1

-1

-2 -2

-2

-3 -3

-3

-1 -0.5 0 0.5 1 -3 -2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

Re a l Axis Re a l Axis

Re a l Axis

All’aumentare della banda dell’anello di velocità si generano dei poli in anello

chiuso poco smorzati. Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [26]

Simulazioni

ω ρ ζ

=200, =1, =0.1

Sistema: z z

τ γ

PI di velocità: =10 P di posizione: =0.1

iv pp

~ ~

ω = ω =

0 . 5 2 .

5

cv cv

1.8

1.6 motore

motore 1.6

carico ca rico

1.4 1.4

1.2 1.2

1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4

0.4 0.2

disturbo di coppia

0.2 0

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (s )

t (s ) Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [27]

Controllo P sul carico e PI sul motore

In alcune applicazioni, come nelle macchine utensili e in alcuni robot, l’anello di

posizione è chiuso lato carico:

s .

+ τ

nq q q nq

ol + + m m l

m

K R (s) (s) G (s)

G 1/s

pp PI vm lm

− −

Nel caso di velocità motore ottenuta per derivazione della posizione:

s .

nq ol + τ q q nq

+ + m m l

m

K R (s) (s) G (s)

G 1/s

pp PI vm lm

− − s Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [28]

Controllo P di posizione

s .

+

nq q q nq

ol + + m m l

K (s) G (s)

F 1/s

pp v lm

( )

L s

( ) v

=

F s Anello chiuso di velocità: nulla cambia nel suo progetto

( )

v +

1 L s

v ( )

F s

( ) ( )

v

=

L s K G s

La funzione d’anello per il controllo di posizione è: p pp lm

s

In termini normalizzati: ~ ( )

~ K

( ) L p

~ ( ) pp

F p ~

~ v

= γ =

( ) ( ) F p ~

v

= γ ( )

L p G p v pp

+ ω

L p

1

p pp lm

p v z

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [29]

Luogo delle radici

~ ( )

F p ~

~ ( ) ( )

v

= γ

L p G p

p pp lm

p ~

ω

γ

Tracciamo il luogo delle radici al variare di , per diversi valori di :

cv

pp

~ ~ ~

ω = ω = ω =

0 . 5 1 1 .

5

cv cv cv

3 3

3

γ ≈ γ ≈

1 .

07 0

. 63 γ ≈ 0 . 5

pp max pp max pp max

2 2

2

1 1

1

Axis Axis

Axis

0 0

0

g g

g

Ima Ima

Ima

-1 -1

-1

-2 -2

-2

-3 -3

-3

-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

Re a l Axis Re a l Axis

Re a l Axis

All’aumentare della banda dell’anello di velocità si complica il progetto dell’anello

il sistema può diventare .

di posizione. Anche per piccoli valori di K instabile

pp

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [30]

Simulazioni

ω ρ ζ

=200, =1, =0.1

Sistema: z z

τ γ

PI di velocità: =10 P di posizione: =0.1

iv pp

~ ~

ω = ω =

0 . 5 2 .

5

cv cv

1.4 1.8

motore motore

ca rico 1.6

1.2 ca rico

1.4

1 1.2

0.8 1

0.6 0.8

0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

disturbo di coppia

0 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t (s ) t (s )

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [31]

Simulazioni

ω ρ ζ

=200, =1, =0.1

Sistema: z z

τ γ

PI di velocità: =10 P di posizione: =0.7

iv pp

~

ω = 1 . 5

cv

6

x 10

3 motore

ca rico

2 Il sistema è

1 instabile

0

-1

-2

-3

-4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t (s )

Robotica industriale - Controllo di posizione e velocità - P. Rocco [32]


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Robotica Industriale del Prof. Paolo Rocco, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: controllo di posizione e velocità; il controllo P/PI; anticipo di velocità e PID; modello rigido e sue limitazioni; Natural Frequency e Locked Frequency; criterio di Bode; controllo P/PI sul motore; filtro Notch; modello input shaping.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica (COMO - CREMONA - MILANO)
SSD:
Docente: Rocco Paolo
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Robotica industriale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Rocco Paolo.

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