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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Esempio

Determinare in quali punti la funzione

2 − ∈ (−∞, −1)

 x 3 se x

 1

(x) =

f ∈ [−1,

− se x 0)

3x x

 x

 ∈ [0, +∞)

e se x

risulta discontinua

(−∞, −1), (−1, (0, +∞)

In 0) e la funzione è continua per i teoremi

= −1 =

precedenti. Gli eventuali punti di discontinuità sono x e x 0. dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

= −1 (−1) = −2;

Caso x dove f 2

(x) = (x − = −2

lim f lim 3)

x→−1 x→−1

− −

1

(x) = = −2

lim f lim 3x x

+ +

x→−1

x→−1 = −1.

Quindi f è continua in x

= (0) =

Caso x 0 dove f 1;

1

(x) = − = +∞

lim f lim 3x x

x→0 x→0

− − x =

(x) = e 1

lim f lim

+ +

x→0 x→0 =

Quindi f ha una discontinuità a salto infinito in x 0. dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue 1

−1 −2

Figure: Grafico di f dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Il seguente risultato discende immediatamente dall’analogo risultato

sui limiti ed è molto importante dal punto di vista teorico.

Teorema (della permanenza del segno)

: (a, −→ ∈ (a, (x )

Sia f b) continua in x b) con f 0; allora esiste

>

R 0 0

0 tale che

ε > (x) ∀x ∈ (x − +

f 0, x

> ε, ε).

0 0 dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Le funzioni continue permettono di affrontare, con successo, i seguenti

problemi:

esistenza di massimi e minimi (Teorema di Weierstrass);

1 esistenza di soluzioni di equazioni (Teorema degli zeri);

2 individuazione delle funzioni suriettive (Teorema di Darboux), delle

3 funzioni iniettive (Teorema sulla monotonia) e quindi delle funzioni

invertibili. dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Una condizione sufficiente per l’esistenza di massimi e minimi è fornita

dal seguente risultato.

Teorema (di Weierstrass)

: −→

Siano f A continua e A chiuso e limitato (cioè A compatto);

R ∈

allora f ammette massimo e minimo su A. Ovvero esistono x x A

,

m M

tali che (x ) ≤ (x) ≤ (x ), ∀x ∈

f f f A.

m M dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Controesempi al Teorema di Weierstrass.

Se A non è limitato il massimo ed il minimo possono non esistere.

= (x) =

Basta prendere A chiuso e f x continua:

R

(x) = −∞ (x) = +∞.

inf f e sup f

x∈R x∈R

Se A non è chiuso il massimo ed il minimo possono non esistere.

= (−1, (x) =

Basta prendere A 1) limitato e f x continua:

(x) = −1 (x) =

inf f e sup f 1

x∈(−1,1) x∈(−1,1)

∈ (−1,

ma non esistono x 1) che permettono di ottenerli. dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Se f non è continua il massimo ed il minimo possono non

= [−1,

esistere. Basta prendere A 1] compatto (chiuso e limitato)

e la funzione  = −1

0 se x

 ∈ (−1,

(x) = x se x 1)

f =

0 se x 1

Allora (x) = −1 (x) =

inf f e sup f 1

x∈[−1,1] x∈[−1,1]

∈ [−1,

ma non esistono x 1] che permettono di ottenerli.

= ±1.

Osservate che f non è continua in x dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue 1 O

−1 X

X 1

−1

O

Figure: Controesempio con funzione non continua dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Teorema (degli zeri)

: [a, −→ (a) · (b)

Sia f b] continua tale che f f 0; allora esiste

<

R

∈ (a, (x ) =

x b) tale che f 0. Se inoltre f è strettamente monotona

0 0

allora la soluzione è unica.

La dimostrazione intuitiva è banale:

(a) · (b) (a) (b)

f f 0 significa che f e f hanno segno opposto;

<

la continuità su un intervallo significa che il grafico della funzione è

(a, (a)) (b, (b)).

una linea ininterrotta che congiunge f con f

Quindi, necessariamente, il grafico deve attraversare almeno una volta

l’asse delle ascisse. Se è strettamente monotona (e quindi iniettiva) la

soluzione è unica. dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

Esempio

Verificare che l’equazione

5 4

− + − =

x 2x 4x 1 0

ha almeno una soluzione.

5 4

(x) = − + −

La legge f x 2x 4x 1 è continua su tutto Poiché

R.

(0) = −1

f (1) =

f 2 : [0, −→

applicando il Teorema degli zeri alla funzione f 1] si ha che

R,

∈ (0,

l’equazione ha almeno una soluzione x 1) (e si può verificare

0

che è unica in quanto f è strettamente crescente). dsm

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Lezione 12

Proprietà delle funzioni continue

8

6

4

2

0 x 0

−2

−4

−6

−8

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

5 4

(x ) = − + −

Figure: Grafico della funzione f x 2x 4x 1 dsm

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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Funzioni continue: definizione, continuità a destra e sinistra, legame con il limite. Punti di discontinuità: di prima specie (salto), di seconda specie e di terza specie (discontinuità eliminabile). Proprietà fondamentali delle funzioni continue: teorema della permanenza del segno; teorema di Weierstrass; Teorema degli zeri; teorema di Darboux o dei valori intermedi. Funzioni continue e legame con l'iniettività, la monotonia e la funzione inversa.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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