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2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto

Cerchiamo ora di analizzare l’integrale delle forze di contatto (2.1.3) e di

esprimerlo in modo più appropriato.

Supponiamo che nell’eq. (2.2.2) la configurazione χ(B , t) abbia dimen-

n 3

sione caratteristica d. Il volume è quindi proporzionale a d e l’area della

2

superficie ∂χ(B , t) di contorno è proporzionale a d . Dividendo la (2.2.2)

n

2 →

per d e considerando il limite per d 0 si ottiene

Z

1

lim t S = 0 (2.2.4)

(n)

2

d

d→0 ∂χ(B ,t)

n

cioè le forze di contatto per unità di area, o tensioni, sono localmente in

equilibrio.

2.3 Il tensore delle tensioni

Il vettore tensione t relativo a un elemento di superficie, è associato al vet-

(n)

tore normale alla superficie tramite il tensore delle tensioni T che esprime

ij

una trasformazione lineare tra le due classi di vettori t e n

(n)

t = T n (2.3.1)

ij j

(n) i

che ricordando la (A.7.15) si può scrivere:

·

t = T n (2.3.2)

(n)

Per avere un’interpretazione fisica del tensore delle tensioni, seguiamo la

dimostrazione di Cauchy.

Consideriamo il tetraedro (Fig. 2.2) con tre facce parallele ai piani co-

ordinati del sistema con origine in 0 e la quarta faccia con normale n =

n e .

i (i) ⊥

Se dA è l’area della faccia obliqua, le altre facce assi 0 sono date da

i

dA = n dA (2.3.3)

i i −t

con normale uscente e e quindi la tensione è per la (2.1.2) mentre

(i) (i)

t corrisponde a normale uscente +e .

(i) (i)

36

Il tensore delle tensioni 2.4

3 n 2

O

1

Applicando l’equilibrio locale (2.2.4) al tetraedro di Fig. 2.2 con dimen-

sione caratteristica d tendente a zero si ha

− − −

t dA t dA t dA t dA = 0 (2.3.4)

1 2 3

(n) (1) (2) (3)

e per la (2.3.3) t = t n + t n + t n (2.3.5)

1 2 3

(n) (1) (2) (3)

che dimostra che le tensioni in un punto 0 relative a 3 piani tra loro in-

dipendenti (come quelli coordinati su cui è costruito il tetraedro in Fig. 2.2)

determinano la tensione per qualunque superficie passante per quel punto.

Se indichiamo con T la componente i-esima del vettore t e con t

ij (j) (n) i

la componente i-esima di t ), possiamo riscrivere la (2.3.5) in termini di

(n)

componenti t = T n (2.3.6)

ij j

(n) i

ove T associando le componenti del vettore t alle componenti del vet-

ij (n)

tore n da esso indipendente, per la regola del quoziente (A.11.1), sono le

componenti di un tensore del secondo ordine.

Lo stato delle tensioni in questo punto, la cui posizione è x, è comple-

tamente individuato dalle nove componenti del tensore T (x) e quindi in

ij

generale la (2.3.1) si scrive ·

t(x, n) = T (x) n (2.3.7)

che, essendo una relazione tensoriale, è valida per una qualunque rotazione

degli assi coordinati, limitandosi qui a sistemi di coordinate cartesiane.

37

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto

2.4 Conservazione della quantità di moto in forma

differenziale

Se si sostituisce la (2.3.1) nella (2.2.2), tenendo conto della (2.2.3) si ottiene

Z Z Z

Du i

ρ dV = ρf dV + T n dS (2.4.1)

i ij j

Dt

χ(B ,t) χ(B ,t) ∂χ(B ,t)

n n n

e applicando all’integrale superficiale il teorema di Green nella forma (A.15.2)

Z

Z T dV (2.4.2)

T n dS = ij,j

ij j χ(B ,t)

∂χ(B ,t) n

n

Essendo ora tutti i termini dell’equazione costituiti da integrali estesi

allo stesso volume, peraltro scelto arbitrariamente, l’equazione (2.4.1) può

essere soddisfatta solo se è nullo l’integrando:

Du i

ρ = ρf + T (2.4.3)

i ij,j

Dt

nota anche come equazione di Cauchy.

Adottando per il teorema di trasporto di Reynolds la seconda forma

riportata in (2.2.3) si ha ∂ρu u ∂T

∂ρu i j ij

i + = ρf + (2.4.4)

i

∂t ∂x ∂x

j j

che si può scrivere ∂ρu i −

= ρf + (T ρu u ) (2.4.5)

i ij i j j

∂t

Ricordando che l’accelerazione è la derivata materiale della velocità,

la (2.4.3) diviene in forma vettoriale ∇ ·

ρa = ρf + T (2.4.6)

2.5 Conservazione del momento della quantità di

moto

Se si assume che tutte le coppie applicate alla particella di fluido derivano

da momenti di forze macroscopiche (fluidi non-polari) allora si può ricavare

dalla (2.2.2) l’equazione di conservazione del momento della quantità di moto

(o seconda legge del moto di Eulero)

Z Z Z

d × × ×

ρ(x u)dV = ρ(x f )dV + x t dS (2.5.1)

(n)

dt χ(B ,t) χ(B ,t) ∂χ(B ,t)

n n n

38

Conservazione del momento della quantità di moto 2.5

da cui si può dedurre la condizione di simmetria per il tensore delle tensioni

T nel caso considerato di fluidi non-polari.

Applicando al primo integrale e ricordando la (A.12.4)

Z

Z

d ×

× ρ(x a)dV (2.5.2)

ρ(x u)dV =

dt χ(B ,t)

χ(B ,t) n

n

×

essendo u u = 0.

L’ultimo integrale della (2.5.1) scritto per la componente i-esima, diviene

per il teorema di Green e ricordando la (2.3.1)

Z

Z ε x T n dS =

ε x t(n) dS = j

j ijk kl l

ijk k ∂χ(B ,t)

∂χ(B ,t) n

n (2.5.3)

Z Z

ε (x T ) dV = (ε x T + ε T ) dV

j j

ijk kl l ijk kl, ijk kj

l

χ(B ,t) χ(B ,t)

n n

essendo ε = 0 e x = δ . Ritornando alla forma vettoriale si ha

j,

ijk, jl

l

l Z Z

× ·

x (∇ T )dV + ε T e dV (2.5.4)

ijk kj (1)

χ(B ,t) χ(B ,t)

n n

Sostituendo le (2.5.2) e (2.5.4) nella (2.5.1) e raggruppando alcuni termini

si ottiene

Z Z

× − − ∇ · −

x (ρa ρf T )dV ε T e dV = 0 (2.5.5)

ijk kj (i)

χ(B ,t) χ(B ,t)

n

n

dove il primo integrale per la (2.4.5) è nullo. Essendo arbitrario il volume

di integrazione, perché sia soddisfatta la (2.5.5) deve essere

ε T e = 0 (2.5.6)

ijk kj (i)

cioè devono essere indipendentemente uguali a zero tutte tre le componenti

del vettore (2.5.6) e quindi

− − −

T T = 0 T T = 0 T T = 0

32 23 13 31 21 12

cioè T = T (2.5.7)

kj jk

che è la condizione di simmetria del tensore T .

Nel caso di fluidi non polari si può quindi assumere il tensore delle ten-

sioni simmetrico, e con tale assunzione non c’è più bisogno di consider-

are l’equazione di conservazione del momento della quantità di moto come

39

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto

equazione indipendente. Essendo T simmetrico vi sono tre direzioni princi-

pali fra loro ortogonali, rispetto alle quali il tensore assume forma diagonale,

con i termini sulla diagonale dati dalle tensioni principali.

2.6 Fluidi polari

Si chiamano fluidi polari quei fluidi la cui microstruttura è meccanicamente

importante. Per esempio: sospensioni gas-solido, liquido solido, fluidi con

particelle cariche elettricamente soggetti a campi elettromagnetici esterni,

etc. La microstruttura del fluido può essere meccanicamente importante

anche se molto piccola, quando le dimensioni caratteristiche del problema

sono dello stesso ordine di grandezza della microstruttura. Es.: strati sot-

tili di lubrificanti, flussi superficiali, etc. In tutti questi casi una particel-

la costituente la microstruttura può ruotare indipendentemente dal fluido

circostante se ad essa viene direttamente applicata una coppia. Pertanto

nello studio dei fluidi polari si introduce una variabile cinematica che dà la

velocità angolare della particella indipendentemente dal campo di velocità

circostante ed inoltre il tensore delle tensioni non è più simmetrico come per

i fluidi non-polari. Si possono quindi introdurre coppie per unità di massa q

applicate direttamente al volume (analoghe alle forze f ) e tensioni di coppia

c agenti attraverso il contatto tramite la superficie di contorno (analoghe

(n)

a t ). Analogamente a quanto detto per t in 2.3, si può definire il tensore

(n) (n)

C tale che ·

c = C n (2.6.1)

(n)

L’equazione di conservazione del momento della quantità di moto si scrive

Z Z Z

d

× ×

[ρl + ρ(x u)] dV = ρ(q+x×f )dV + c + x t dS

(n) (n)

dt χ(B ,t) χ(B ,t) χ(B ,t)

n n n (2.6.2)

dove ρl è il momento della quantità di moto intrinseco delle particelle cos-

tituenti la microstruttura.

Ricordando la (2.5.2) e raggruppando i termini in modo da far apparire

la (2.4.5) si ottiene, procedendo come in 2.5,

Z Z Dl

× − − ∇ · dV +

x (ρa ρf T )dV + ρ Dt

χ(B ,t) χ(B ,t)

n n (2.6.3)

Z ∇ ·

(ρq + C + ε T e dV = 0

ijk kj (i)

χ(B ,t)

n 40

Fluidi polari 2.7

essendo per la (2.4.5) il primo integrale nullo ed essendo arbitrario il volume

di integrazione, perché sia soddisfatta la (2.6.4) deve essere

Dl ∇ ·

ρ = ρq + C + ε T e (2.6.4)

ijk kj (i)

Dt

che si riduce alla (2.5.6) per l, q, C nulli cioè per fluidi non-polari.

Nei fluidi polari quindi il tensore delle tensioni non è simmetrico ed è

necessario considerare l’equazione di conservazione del momento della quan-

tità di moto per ricavare le componenti della quantità di moto intrinseco l.

Il fluido polare, caratterizzato cinematicamente da un campo di velocità del

continuo e da un campo di velocità angolare della microstruttura tra loro

indipendenti, si può studiare associando a ciascuna particella materiale P ,

introdotta in 1.1, una terna rigida ortonormale costituita dai 3 direttori d ,

(k)

che soddisfano la ·

d d = δ (2.6.5)

kl

(k) (e) B

P

d

(k)

B

Il moto del corpo è dato non solo dalla (1.2.1), ma dall’insieme delle

due relazioni ( x = χ(P, t) (2.6.6)

d = ψ (P, t)

k

(k)

oltre che dalla (2.6.5). Ciascuna particella materiale è perciò una copia

infinitesima di un corpo rigido con 6 gradi di libertà: 3 di posizione e 3 di

orientamento. E’ questo un particolare esempio di “Continuo di Cosserat”,

nel quale alla particella materiale possono essere associati gradi di libertà di

vario genere. 41

2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto

2.7 Comportamento dei fluidi

Finora non si è ancora specificato nullo sul tipo di fluido che consideriamo

e nel suo comportamento durante il moto. Le equazioni di conservazione

di massa, quantità di moto e momento della quantità di moto sono valide

in generale indipendentemente dal tipo di fluido considerato. Da un punto

di vista matematico, si sono introdotte nel sistema di equazioni le seguenti

incognite: le 3 componenti u del vettore velocità, le 6 componenti T (per

i ij

fluidi non polari) del tensore delle tensioni e la densità ρ, supponendo nota

la forza di massa f . Corrispondentemente si hanno a disposizione solo 4

equazioni, escludendo per fluidi non polari l’equazione di conservazione del

momento di quantità di moto, e cioè: le 3 componenti dell’equazione vet-

toriale della conservazione di quantità di moto e l’equazione scalare della

conservazione della massa.

E’ quindi necessario fornire ulteriori informazioni sul comportamento del

fluido: in particolare sulla dipendenza delle forze di contatto (e quindi T )

ij

dal moto del corpo (e quindi u ). Tali relazioni tra forze di contatto e moto,

i

dette equazioni costitutive, sono basate sui seguenti assiomi, introdotti da

Noll:

• principio di determinismo: la tensione in un corpo è determinata dalla

storia del moto che il corpo ha avuto fino al tempo t, e non è quindi

influenzata dal moto futuro del corpo

• principio di effetto locale: il moto del fluido al di fuori di un intorno

abbastanza piccolo di una particella materiale P , può essere ignorato

nel determinare la tensione in quel punto. Cioè il moto di una parte del

corpo non ha effetto sulla tensione in un’altra parte del corpo stesso.

• principio di indifferenza al sistema di riferimento della risposta del ma-

teriale: le equazioni costitutive devono risultare invarianti per cambi

del sistema di riferimento e quindi dell’osservatore.

2.8 Relazioni costitutive

Gli assiomi illustrati in 2.7 si possono utilizzare nel modo seguente per la

costruzione delle relazioni costitutive dei fluidi.

Si può soddisfare il principio di determinismo assumendo che il tensore

T dipende solo dallo stato attuale di moto del fluido. Vedremo in seguito

ij

come considerare la eventuale dipendenza dalla storia passata. Il principio

di effetto locale è soddisfatto se si assume che T in un punto dipende solo

ij

dalla velocità e dal tensore gradiente di velocità in quel punto, oltre che

42


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AUTORE

Jacko

PUBBLICATO

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria aeronautica
SSD:
Docente: Piva Renzo
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fluidodinamica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Piva Renzo.

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