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Coniche - Parte I Appunti scolastici Premium

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione di conica. Classificazione delle coniche. Simmetrie di una figura. L’ellisse. Regione in cui si svolge il grafico dell’ellisse. Nomenclatura relativa all’ellisse. Ellisse traslata. Rappresentazione parametrica dell’ellisse. L’iperbole.... Vedi di più

Esame di Geometria docente Prof. V. Bonanzinga

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ESTRATTO DOCUMENTO

Grafico dell’ellisse

Con a>b

 Con a<b

Nomenclatura relativa all’ellisse

I punti A(a, 0), A’(-a,0), B(0,b) e B’(0,-b) si chiamano vertici

 dell’ellisse e le rette X= a, X=-a, Y=b e Y=-b sono le tangenti nei

vertici. I segmenti AA’ e BB’ si chiamano assi dell’ellisse; le loro

lunghezze sono rispettivamente 2a e 2b. Vi sono due punti

notevoli situati sull’asse maggiore dell’ellisse, che si chiamano

fuochi. Se a>b essi sono F(c,0) ed F(-c,0) dove 2 2

= −

c a b .

Se a<b essi sono F(0,c) e F’(0,-c), con 2 2

= −

c b a .

Si può dimostrare che l’ellisse è il luogo geometrico dei punti P del

 piano tali che d(P,F)+d(P,F’)=2a

dove a è il semiasse maggiore.

Ellisse traslata

L’equazione

 2 2

− −

( x p ) ( y q )

+ = 1

2 2

a b

rappresenta un’ellisse di centro C(p,q) con assi di

simmetria x=p e y=q, paralleli agli assi coordinati,

e semiassi a e b. Ciò si vede effettuando la

traslazione: = −

 X x p

.

 = −

Y y q

Rappresentazione parametrica

dell’ellisse

L’ellisse di equazione 2 2

X Y

+ = 1

2 2

a b

si può rappresentare parametricamente tenendo conto che

ϕ

=

 X a cos ϕ π

≤ <

. con 0 2 .

 ϕ

=

Y bsen

ϕ

Ponendo si ottiene un’altra rappresentazione parametrica

=

t tg 2

dell’ellisse  2

1 t

=

X a

 2

+

1 t .

 2

t

 =

Y b

 2

 +

1 t

Esercizi

Trovare l’ellisse E di centro O, avente semiassi

5 e 6 e con l’asse maggiore sull’asse delle x.

Verificare che l’equazione

 2 2

+ =

x 16 y 4

rappresenta un’ellisse e trovarne i semiassi, i

vertici ed i fuochi.

L’iperbole

Ha equazione canonica: 2 2

X Y

− = > >

1 con a 0

, b 0

2 2

a b

Simmetrie: Come per l’ellisse gli assi coordinati sono assi di

simmetria per l’iperbole e l’origine delle coordinate è centro di

simmetria ed è detto centro dell’iperbole.

Regione in cui si svolge il grafico: Intersechiamo l’iperbole con le

rette parallele agli assi coordinati e con le rette passanti per l’origine.

La retta Y=h interseca l’iperbole in due punti reali e distinti qualunque

sia h.

Regione in cui si svolge il grafico

dell’iperbole

La retta X=h taglia l’iperbole in due punti reali e

 distinti se h<-a oppure h>a; in due punti

coincidenti se h=a oppure h=-a; e non

interseca l’iperbole se –a<h<a, In particolare

X=0 non interseca l’iperbole.

La retta Y=mX taglia l’iperbole in due punti

 b b

distinti se e non la interseca se

− < <

m ,

a a

b b

≤ − ≥

m , oppure m .

a a

Grafico dell’iperbole

I punti reali dell’iperbole

sono contenuti

nella regione di

piano individuata

dal sistema di disuguaglianze:

≤ − ≥

 X a oppure X a

 b b

− ≤ ≤

X Y X

 a a

Nomenclatura dell’iperbole

Il grafico dell’iperbole è formato da due parti staccate dette rami.

 I punti A(-a,0) e A’(a,0) si chiamano vertici dell’iperbole. La retta

 AA’, che è uno degli assi di simmetria, si chiama asse di

simmetria trasverso dell’iperbole. Per analogia col caso

dell’ellisse a e b si chiamano semiasse trasverso e b semiasse

non trasverso.

Se i semiassi sono uguali, cioè se a=b, l’iperbole si dice

 equilatera. b

= ±

Y X

Le rette si chiamano asintoti dell’iperbole.

 a

L’iperbole è equilatera se e solo se gli asintoti sono tra loro

 ortogonali.

Equazione complessiva dei due

asintoti

L’equazione complessiva dei 2 asintoti

  

 

b b

dell’iperbole è − + =

 

 

Y X Y X 0

 

 

a a

2

b

2 2

− =

Y X 0

.

2

a

Si ottiene uguagliando a zero il complesso dei

 termini di secondo grado dell’equazione

dell’iperbole.

Fuochi dell’iperbole

Sono i punti F(c,0) e F’(-c,0), dove

 Poiché si ha c>a, e

2

2 2 >

= + b 0

c a b .

quindi ciascuno dei fuochi è interno ad uno dei

due rami dell’iperbole.

Si dimostra che l’iperbole è il luogo geometrico

dei punti del piano tali che − =

d ( P , F ) d ( P , F ' ) 2 a

dove a è il semiasse trasverso. Si ottiene

2

2 y

x 2 2 2

− = = −

1 dove b c a .

2 2

a b

Iperbole traslata

L’equazione

 2 2

− −

( x p ) ( y q )

− = 1

2 2

a b

rappresenta un’iperbole di centro C(p,q) con assi

di simmetria e paralleli agli assi

x=p y=q,

coordinati, e semiassi a e b. Ciò si vede

effettuando la traslazione: = −

 X x p

.

 = −

Y y q

Osservazione 2 2

y x

L’equazione

 − = 1

2 2

b a

rappresenta ancora un’iperbole di centro O, con assi di

simmetria coincidenti con gli assi coordinati e asintoti

b

= ±

y x

a

ma l’asse focale, cioè l’asse che incontra l’iperbole è

l’asse delle I fuochi sono F(0,c) e F’(0,-c) dove

y. 2 2 2

= +

c a . b .

Ciò si vede effettuando il cambiamento di coordinate

X= Y=

y, -x.

Iperbole con asintoti paralleli agli

assi coordinati

La curva di equazione xy=c (dove c è una costante diversa da

 zero) è un’iperbole equilatera di centro O, avente per asintoti gli

assi coordinati. Ciò si vede con il cambiamento di riferimento

π/4):

(rotazione antioraria di  2 2

= −

x X Y

 2 2

 2 2

 = +

y X Y

 2 2

1 1

2 2

− =

X Y c

.

L’equazione xy=c diventa

 2 2

Iperbole con asintoti paralleli agli

assi coordinati

Quest’ultima è l’equazione di un’iperbole nel

 sistema OXY, e poiché c è diverso da zero,

rappresenta un’iperbole equilatera con asintoti

Y=X e Y=-X (nel sistema OXY). Nel sistema

Oxy, xy=c è l’equazione di un’iperbole

equilatera di centro O, i cui asintoti sono gli

assi coordinati.


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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione di conica. Classificazione delle coniche. Simmetrie di una figura. L’ellisse. Regione in cui si svolge il grafico dell’ellisse. Nomenclatura relativa all’ellisse. Ellisse traslata. Rappresentazione parametrica dell’ellisse. L’iperbole. Regione in cui si svolge il grafico dell’iperbole. Nomenclatura dell’iperbole. Equazione complessiva dei due asintoti. Fuochi dell’iperbole. Iperbole traslata. Iperbole con asintoti paralleli agli assi coordinati. Iperbole traslata. La parabola. Regione in cui si svolge il grafico della parabola. Nomenclatura relativa alla parabola. La Parabola come luogo geometrico. Parabola traslata. Parabola con asse parallelo all’asse y. Parabola in forma parametrica.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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