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Coniche - Parte I Appunti scolastici Premium

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione di conica. Classificazione delle coniche. Simmetrie di una figura. L’ellisse. Regione in cui si svolge il grafico dell’ellisse. Nomenclatura relativa all’ellisse. Ellisse traslata. Rappresentazione parametrica dell’ellisse. L’iperbole.... Vedi di più

Esame di Geometria docente Prof. V. Bonanzinga

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ESTRATTO DOCUMENTO

Osservazione 2 2

y x

L’equazione

 − = 1

2 2

b a

rappresenta ancora un’iperbole di centro O, con assi di

simmetria coincidenti con gli assi coordinati e asintoti

b

= ±

y x

a

ma l’asse focale, cioè l’asse che incontra l’iperbole è

l’asse delle I fuochi sono F(0,c) e F’(0,-c) dove

y. 2 2 2

= +

c a . b .

Ciò si vede effettuando il cambiamento di coordinate

X= Y=

y, -x.

Iperbole con asintoti paralleli agli

assi coordinati

La curva di equazione xy=c (dove c è una costante diversa da

 zero) è un’iperbole equilatera di centro O, avente per asintoti gli

assi coordinati. Ciò si vede con il cambiamento di riferimento

π/4):

(rotazione antioraria di  2 2

= −

x X Y

 2 2

 2 2

 = +

y X Y

 2 2

1 1

2 2

− =

X Y c

.

L’equazione xy=c diventa

 2 2

Iperbole con asintoti paralleli agli

assi coordinati

Quest’ultima è l’equazione di un’iperbole nel

 sistema OXY, e poiché c è diverso da zero,

rappresenta un’iperbole equilatera con asintoti

Y=X e Y=-X (nel sistema OXY). Nel sistema

Oxy, xy=c è l’equazione di un’iperbole

equilatera di centro O, i cui asintoti sono gli

assi coordinati.

Grafici dell’iperbole equilatera xy=c

Con c>0

 Con c<0

Iperbole traslata

Più in generale l’equazione

 − − = ≠

( x p )( y q ) c con c 0

rappresenta un’iperbole equilatera di centro

C(p,q) e avente per asintoti le rette x=p, y=q.

Infatti con la traslazione = −

 X x p

.

 = −

Y y q

ricadiamo nel caso precedente.

Esercizio

Provare che l’equazione

 2 2

− =

x 4 y 4

rappresenta un’iperbole. Trovare la distanza tra i

vertici, i fuochi e gli asintoti.

La parabola

Ha equazione canonica

 2 = ≠

y 2 px , con p 0

.

Simmetrie: Poiché la variabile compare solo

y

 al quadrato, l’asse è asse di simmetria per la

x

parabola e non vi sono altri assi di simmetria,

né vi è centro di simmetria.

Regione in cui si svolge il grafico

della parabola

Intersechiamo la parabola con rette parallele agli assi coordinati e

 con rette passanti per l’origine.

Le rette y=h intersecano la parabola in un unico punto.

 Le rette x=c, con c diverso da zero e avente lo stesso segno di p

 tagliano la parabola in due punti reali e distinti.

Le rette x=c, con c diverso da zero e avente segno opposto a

 quello di p non intersecano la parabola.

La retta x=0 interseca la parabola in due punti coincidenti,

 pertanto è tangente alla parabola nell’origine.

Le rette del tipo y=mx, con m diverso da zero, intersecano la

 parabola in due punti distinti.

Grafici della parabola

Se p>0 la parabola è contenuta nel semipiano

 ≥

x 0 :

Se p<0 la parabola è contenuta nel semipiano

 ≤

x 0 :

Nomenclatura relativa alla parabola

L’unico asse di simmetria è l’asse che si

x

 chiama asse della parabola.

Il punto V(0,0) si chiama vertice ed è l’unico

 punto di intersezione della parabola con il suo

asse.

Il punto F(p/2,0) si chiama fuoco della

 parabola e la retta =-p/2 si chiama direttrice

x

della parabola.

La Parabola come luogo geometrico

La parabola è il luogo dei punti P tali che

 d(P,F)=d(P,r),

dove r è la direttrice.

Se consideriamo un riferimento in cui F(p/2,0) è il

fuoco, la direttrice r ha equazione = -p/2 e

x

quindi p è la distanza tra F ed r, si ottiene

l’equazione 2 =

y 2 px

.

Parabola traslata

La curva di equazione

 2

= + +

x ay by c

con a diverso da zero. Infatti, completando il

2

binomio ad un quadrato, l’equazione

+

ay by

precedente si può scrivere: 2

 

2  

b b

 

− − = +

 

x c a y

   

4 a 2 a

 

Parabola traslata

e con la traslazione   

2

b

 

= − −

X x c

  

 4 a

 

 b

= +

Y y

 2 a

1

diventa 2 = =

Y 2 pX con p .

2 a

Parabola con asse parallelo all’asse y

L’equazione 2

= + + ≠

y ax bx c con a 0

rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse delle y. Infatti

π/2)

col cambiamento di riferimento (rotazione antioraria di

= −

 x Y

 =

y X

l’equazione diventa 2

= − + ≠

X aY bY c ( a 0

)

rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse X, cioè

parallela all’asse y.

Parabola in forma parametrica

La parabola di equazione

 2

= + +

x ay by c

si può porre in forma parametrica

 2

= + +

x at bt c

 =

y t

La parabola è una curva razionale.


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Definizione di conica. Classificazione delle coniche. Simmetrie di una figura. L’ellisse. Regione in cui si svolge il grafico dell’ellisse. Nomenclatura relativa all’ellisse. Ellisse traslata. Rappresentazione parametrica dell’ellisse. L’iperbole. Regione in cui si svolge il grafico dell’iperbole. Nomenclatura dell’iperbole. Equazione complessiva dei due asintoti. Fuochi dell’iperbole. Iperbole traslata. Iperbole con asintoti paralleli agli assi coordinati. Iperbole traslata. La parabola. Regione in cui si svolge il grafico della parabola. Nomenclatura relativa alla parabola. La Parabola come luogo geometrico. Parabola traslata. Parabola con asse parallelo all’asse y. Parabola in forma parametrica.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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