Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Mutua posizione di due

circonferenze

Γ Γ ⇔

e non si intersecano d(C ,C )>R +R (circonferenze

 1 2 1 2 1 2

esterne) oppure (una circonferenza è

< −

d (

C , C ) R R

1 2 1 2

interna all’altra).

Γ Γ ⇔

e si intersecano in un solo punto d(C ,C )=R +R

 1 2 1 2 1 2

(circonferenze tangenti esternamente), oppure

= −

d (

C , C ) R R

1 2 1 2 (circonferenze tangenti internamente).

Mutua posizione di due

circonferenze

Γ Γ ⇔

e si intersecano in due punti distinti

 1 2 (circonferenze secanti)

− < < +

R R d (

C , C ) R R

1 2 1 2 1 2

Asse radicale

Γ Γ

Se le circonferenze e non sono concentriche essendo

 1 2

   

a b a b

1 1 2 2

− − ≠ − −

   

C , C ,

1 2

2 2 2 2

   

− −

( a a ), (

b b )

Almeno uno dei due numeri è non nullo, e quindi

1 2 1 2

l’equazione ottenuta come differenza delle equazioni delle due circonferenze

rappresenta una retta r detta asse radicale delle due circonferenze. Poiché il

vettore C –C è uguale a − −

2 1  

a a b b

− −

2 1 2 1

,

 

 

2 2

la retta r è ortogonale a C –C e passa per i punti comuni alle due

2 1

circonferenze. Quindi se le due circonferenze si intersecano in due punti

distinti A e B, l’asse radicale r è la retta passante per A e B. Se invece le due

circonferenze si intersecano in un solo punto A (e quindi sono tra loro

tangenti) l’asse radicale è la retta tangente ad entrambe le circonferenze in

A.

Fasci di circonferenze

Fasci di circonferenze secanti

Siano A e B due punti distinti del piano. L’insieme di

 tutte le circonferenze passanti per A e B si chiama

fascio di circonferenze con punti base A e B. La

circonferenza di raggio minimo del fascio è quella

avente il segmento AB come diametro, ossia avente

per centro il punto medio C del segmento AB e raggio

R=1/2 d(A,B). Si osserva che il luogo dei centri delle

circonferenze del fascio è l’asse del segmento AB.

Fasci di circonferenze secanti

2 2

Γ + + + + =

Teorema Sia una qualunque

: x y ax by c 0

circonferenza passante per A e B, e sia r: dx+ey+f=0 la

retta passante per A e B. Le circonferenze del fascio con

punti base A e B sono tutte e sole quelle aventi

equazione del tipo:

2 2

+ + + + + + + =

(

1

) x y ax by c k ( dx ey f ) 0

dove k è un parametro reale.

Per ogni k reale la (1) rappresenta una circonferenza per

A e B, ed ogni circonferenza per A e B ha un’equazione

del tipo (1) per un opportuno valore del parametro k. La

retta r si chiama asse radicale e la (1) si chiama

equazione del fascio.

Fascio di circonferenze secanti

Γ Γ

Consideriamo due circonferenze distinte secanti e di

 1 2

equazioni: 2 2

Γ + + + + =

: x y a x b y c 0

1 1 1 1

2 2

Γ + + + + =

: x y a x b y c 0

2 2 2 2

Siano A e B i punti comuni alle due circonferenze. La retta per A e B

(cioè l’asse radicale) è

− + − + − =

r : ( a a ) x (

b b ) y c c 0

1 2 1 2 1 2

Pertanto l’equazione del fascio delle circonferenze per A e B si può

scrivere senza calcolare A e B, ma usando l’equazione di r e quella

Γ Γ

di o . Con abuso di notazione scriviamo:

1 2 Γ Γ

+k r=0 o + k r =0.

1 2

Esercizi

Si scriva l’equazione del fascio di circonferenze

con punti base A(3,6) e B(-1,2), e si trovi la

circonferenza del fascio passante per P(2,1).

Date le circonferenze Γ Γ

e di equazioni:

 1 2

2 2

Γ + − =

: x y 2 y 0

1 2 2

Γ + + − =

: x y x 3 y 0

2

Si trovino le equazioni delle circonferenze passanti per i

Γ Γ

punti comuni alle due circonferenze e e aventi raggio

1 2

2.

Fasci di circonferenze tangenti ad

una retta data in un punto dato

Sia A un punto del piano e sia r una retta per A. L’insieme di tutte

 le circonferenze tangenti ad r in A si chiama fascio di

circonferenze con punto base A appartenente ad r. La

circonferenza di raggio minimo del fascio è quella di centro A e

raggio nullo. Si osserva che il luogo dei centri delle circonferenze

del fascio è la retta passante per A ortogonale ad r.

Teorema Siano r: ax+by+c=0 e A (x ,y ) un punto di r. Le

 0 0

circonferenze del fascio con punto base A sono tutte e sole quelle

aventi equazione del tipo:

2 2

− + − + + + =

( 2 ) ( x x ) ( y y ) k ( ax by c ) 0

0 0

dove k è un parametro reale.

Fasci di circonferenze tangenti ad

una retta data in un punto dato

Per ogni k reale la (2) rappresenta una

 circonferenza tangente ad r in A.

Ogni circonferenza tangente ad r in A ha

 un’equazione del tipo (2) (per un opportuno

valore di k). La retta r si chiama asse radicale

del fascio, e la (2) si chiama equazione del

fascio.


PAGINE

22

PESO

147.24 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Equazione della circonferenza. Centro e raggio di una circonferenza. Intersezioni tra una retta ed una circonferenza. Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto. Rette tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto del piano. Intersezione di due circonferenze. Mutua posizione di due circonferenze. Asse radicale. Fasci di circonferenze. Fasci di circonferenze secanti. Fasci di circonferenze tangenti ad una retta data in un punto dato.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Geometria

Coniche - Parte I
Dispensa
Quadriche
Dispensa
Intersezioni di rette e piani
Dispensa
Sfera, cilindro, cono
Dispensa