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Intersezioni tra una retta ed una circonferenza

C:

Sia 2 2 2

α β

− + − =

( x ) ( y ) R .

la circonferenza di centro C(α,β) e raggio R, e sia r la retta di equazione

C

ax+by+c=0. I punti comuni a ed r sono quelli le cui coordinate

soddisfano il sistema di II grado

 2 2 2

α β

− + − =

( x ) ( y ) R

 + + =

ax by c 0

Si possono presentare 3 casi

d(C, r)=R la retta è tangente alla circonferenza

1) d(C, r)<R la retta è secante

2) d(C, r)>R la retta è esterna

3)

Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto

Γ:

Sia 2 2 2

α β

− + − =

( x ) ( y ) R

la circonferenza di centro C(α,β) e raggio R, e sia P 0

Γ. Γ

(x ,y ) un punto di La retta tangente a in P è la retta

0 0 0

per P ortogonale al raggio CP , cioè ortogonale al vettore

0 0

P –C ed ha equazione:

0 α β

− − + − − =

( x )( x x ) ( y )( y y ) 0 .

0 0 0 0

Rette tangenti ad una circonferenza

uscenti da un punto del piano

Γ:

Sia 2 2 2

α β

− + − =

( x ) ( y ) R

la circonferenza di centro C(α,β) e raggio R, e sia

P (x ,y ) un punto del piano, e consideriamo le rette passanti per

0 0 0 Γ.

P che sono tangenti a Si presentano tre casi:

0 Γ,

P è esterno a cioè d(P ,C)>R, in questo caso vi sono due

a) 0 0

tangenti; Γ,

P appartiene a cioè d(P ,C)=R, in questo caso vi è una retta

b) 0 0

Γ

tangente a per P .

0

Γ,

P è interno a cioè d(P ,C)<R, non c’è nessuna retta reale per

c) 0 0

Γ

tangente a per P .

0

Intersezione di due circonferenze

Γ Γ

Consideriamo due circonferenze distinte e di centri C e C e

 1 2 1 2

raggi R e R di equazioni:

1 2 2 2

Γ + + + + =

: x y a x b y c 0

1 1 1 1

2 2

Γ + + + + =

: x y a x b y c 0

2 2 2 2

I punti comuni alle due circonferenze si trovano risolvendo il sistema

Γ Γ

formato dalle equazioni di e . Sottraendo la seconda equazione

1 2

dalla prima si ottiene il sistema equivalente

 2 2

+ + + + =

x y a x b y c 0

1 1 1

 − + − + − =

( a a ) x (

b b ) y c c 0

 1 2 1 2 1 2

che può avere al più due soluzioni reali.

Mutua posizione di due

circonferenze

Γ Γ ⇔

e non si intersecano d(C ,C )>R +R (circonferenze

 1 2 1 2 1 2

esterne) oppure (una circonferenza è

< −

d (

C , C ) R R

1 2 1 2

interna all’altra).

Γ Γ ⇔

e si intersecano in un solo punto d(C ,C )=R +R

 1 2 1 2 1 2

(circonferenze tangenti esternamente), oppure

= −

d (

C , C ) R R

1 2 1 2 (circonferenze tangenti internamente).

Mutua posizione di due

circonferenze

Γ Γ ⇔

e si intersecano in due punti distinti

 1 2 (circonferenze secanti)

− < < +

R R d (

C , C ) R R

1 2 1 2 1 2

Asse radicale

Γ Γ

Se le circonferenze e non sono concentriche essendo

 1 2

   

a b a b

1 1 2 2

− − ≠ − −

   

C , C ,

1 2

2 2 2 2

   

− −

( a a ), (

b b )

Almeno uno dei due numeri è non nullo, e quindi

1 2 1 2

l’equazione ottenuta come differenza delle equazioni delle due circonferenze

rappresenta una retta r detta asse radicale delle due circonferenze. Poiché il

vettore C –C è uguale a − −

2 1  

a a b b

− −

2 1 2 1

,

 

 

2 2

la retta r è ortogonale a C –C e passa per i punti comuni alle due

2 1

circonferenze. Quindi se le due circonferenze si intersecano in due punti

distinti A e B, l’asse radicale r è la retta passante per A e B. Se invece le due

circonferenze si intersecano in un solo punto A (e quindi sono tra loro

tangenti) l’asse radicale è la retta tangente ad entrambe le circonferenze in

A.

Fasci di circonferenze

Fasci di circonferenze secanti

Siano A e B due punti distinti del piano. L’insieme di

 tutte le circonferenze passanti per A e B si chiama

fascio di circonferenze con punti base A e B. La

circonferenza di raggio minimo del fascio è quella

avente il segmento AB come diametro, ossia avente

per centro il punto medio C del segmento AB e raggio

R=1/2 d(A,B). Si osserva che il luogo dei centri delle

circonferenze del fascio è l’asse del segmento AB.

Fasci di circonferenze secanti

2 2

Γ + + + + =

Teorema Sia una qualunque

: x y ax by c 0

circonferenza passante per A e B, e sia r: dx+ey+f=0 la

retta passante per A e B. Le circonferenze del fascio con

punti base A e B sono tutte e sole quelle aventi

equazione del tipo:

2 2

+ + + + + + + =

(

1

) x y ax by c k ( dx ey f ) 0

dove k è un parametro reale.

Per ogni k reale la (1) rappresenta una circonferenza per

A e B, ed ogni circonferenza per A e B ha un’equazione

del tipo (1) per un opportuno valore del parametro k. La

retta r si chiama asse radicale e la (1) si chiama

equazione del fascio.


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Equazione della circonferenza. Centro e raggio di una circonferenza. Intersezioni tra una retta ed una circonferenza. Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto. Rette tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto del piano. Intersezione di due circonferenze. Mutua posizione di due circonferenze. Asse radicale. Fasci di circonferenze. Fasci di circonferenze secanti. Fasci di circonferenze tangenti ad una retta data in un punto dato.


DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Mediterranea - Unirc o del prof Bonanzinga Vittoria.

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