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Assumiamo ora che la distribuzione spazio-energetica del flusso neutronico, e quella

spaziale della distribuzione dei precursori, siano separabili da quella temporale.

φ

*o

T *o

T T T

Moltiplicando a sinistra l'equazione (1) per n c e la (2) per c ,

sottraendo la seconda dalla prima ed integrando, si ottiene:

[ ]

~ 

− φ

+ − β χ χ Λ

φ

1 s

A (

1 ) F 

V

d ∫ ∫ NN NM

= +

*o

T *o

T *o

T *o

T 

d d

r n c r n c ~ − Λ

d t 



sist sist c 0

b F

c MN

[ ] γ 

 ~ ~

+ − β χ

* * * Σ

*o

A (

1 ) F F b 

 n

∫ o o o f , o =

− φ +

NN NM

T T W 

d r c 0

o

Λ

χ − Λ 

 *

*

sist c o 

 0

MN

ossia: [ ]

~

 

− φ δ

δ + − β χ δ

φ

1 s

A (

1 ) F 0

 

V

d ∫ ∫ NN

= +

*

T *

T *

T *

T  

d d

r n c r n c ~

o o o o δ

dt  

sist sist 0

c

b F 0

c MN

γ Σ Σ

− δ

( )

s

∫ ∫ f f

o φ

− +

*

T *

T T T W

d d

r n c r c o

o o

sist sist

0 0

Riscriviamo il primo membro nella forma:

− φ

1

V

d ∫ *o

T *o

T

d

r n c

dt sist c

 

< χ φ >

*

< γ >

Σ φ

 

n , S

, − φ

1

s , o f

f V

 

0

d ∫

≡ *o

T *o

T < γ >

Σ φ

d

r n c

 

,

< χ φ >

*o

n , S f

dt sist

 

f

 

c

 

0 1

1 < γ >

Σ φ

< >

φ

* ,

n , V ο

< χ φ >

* o f

n , S ο

o f < γ >

Σ φ

d ,

< χ φ >

*o

≅ ο

n , S f

ο

f

dt < >

*

T .

c c

o 2

Se definiamo le quantità

Σ φ

< γ >

, W

f , o *

= ≡ (potenza normalizzata) (4)

P W

Σ φ

< γ >

, o

ο

f , o − 1

*

< φ >

n , V ο

o

(vita media effettiva dei neutroni pronti) (5)

eff *

< χ φ >

n , S ο

o f

{ } γ

*

< δ + χδ > +

φ < δ

Σ φ >

n , A S , ο

o f W

o f

o

ρ = (reattività generalizzata) (6)

gen *o

< χ φ >

n , S ο

f

*

< δ >

n , s

o

ρ = (reattività di sorgente) (7)

source *

< χ φ >

n , S ο

o f , o

*

< >

c c *

o i

ξ = (Nota: è indipendente dall'indice i) (8)

c o

i *

< χ φ >

n , S ο

o f , o

1 , (8a)

ζ = *

< χ φ >

n , S ο

o f , o

le equazioni della cinetica puntuale per il reattore sottocritico si possono scrivere

nella forma I

dP ∑

= ρ − β + λ ξ + ζ − + ρ

( ) P (

1 P ) (9)

source

eff gen i i

dt =

i 1

ξ

d i = β − λ ξ

P (10)

i i i

dt ξ

=1 and =β /λ in condizioni stazionarie (e quindi al tempo iniziale t ).

con P=P

o i i i o

* Per semplicità di notazione, la potenza normalizzata è definita come il rapporto

γ < Σ φ >

,

W f , o , dove W è la potenza imperturbata in condizioni nominali e

≡ o

γ < Σ φ >

+

W (

1 q ) ,

o o

f , o

< δ

Σ φ >

φ

< δ >

Σ ,

, f o

f . Per avere la potenza corretta W, i valore risultante P va

= ≅

q Σ φ < Σ φ >

< >

, ,

f , o f , o o

(1+q).

moltiplicato per W o 3

ζ

E' interessante notare come la quantità tende a zero con il sistema che sia prossima

* tende a divergere). Di conseguenza, il terzo

a condizioni critiche (in quanto n o

termine a destra della (9) pure tende a zero, mentre la distribuzione spaziale della

* *

φ

funzione si avvicina a quella del flusso aggiunto standard . In questo caso le

n ο

o

equazioni (9) e (10) si riducono ad un sistema omogeneo, e quindi alla forma

dell'equazione della cinetica puntuale già incontrata nel capitolo 14. Cercando

ω

t

ξ della forma , si arriva alla nota equazione

soluzioni relative alle funzioni P ed e

i

I ωβ

∑ i

ρ = ω +

(11)

eff ω + λ i

=

i 1

con { }

*

< φ δ + χδ φ >

, A S

o f

ρ = o (12)

*o

< φ χ φ >

, S f o *

*o

e con data dalla (5) con al posto di . La soluzione generale sarà data dalla

n

φ

eff o ω

sovrapposizione delle soluzioni corrispondenti alle (M+1) radici .

Le equazioni (9) e (10) possono essere considerate l'estensione ai sistemi sottocritici

ρ

delle equazioni della cinetica relative ai reattori critici. Risolvendo la (11), con gen

ρ, dato dalla (5), si otterranno le

dato dalla (12) in luogo della reattività e con eff

ω

(M+1) radici relative alle soluzioni esponenziali della soluzione omogenea

i

associata alle equazioni (9) e (10). Come noto, la soluzione generale è data dalla

somma della soluzione omogenea e di quella particolare.

Asintoticamente, se il sistema dopo la perturbazione è ancora sottocritico, si

raggiungerà un nuovo livello di potenza (relativa), dato dall'espressione:

ζ + ρ source

= , (13)

P

as ζ − ρ gen ρ ρ

che, come è da attendersi, aumenta con e .

source gen

ζ

La quantità rappresenta una misura della sottocriticità. Per dimostrarlo,

consideriamo dapprima due misure di sottocriticità generalmente adottate:

4

φ φ

< χ >

*o , S f , o

= o

K (14)

eff φ φ φ

< > + < χ >

* *

s

, , S

o o o f , o o

φ

< χ >

u , S f , o

= o (15)

K source φ

< > + < χ >

u s u

, , S

o f , o o

dove u è un vettore unitario. K è un fattore di moltiplicazione associato al modo

eff

fondamentale del flusso neutronico. Esso è importante negli studi di sicurezza che

implicano incidenti che possono portare a condizioni di sovracriticità. K è un

source

fattore di moltiplicazione in cui si tiene conto del flusso reale prodotto dalla aorgente

neutronica, e quindi dato dalla sovrapposizione di autofunzioni. In questo caso non si

tiene conto dell'importanza dei neutroni di fissione e di quelli della sorgente in

*

n , e ricordando

rapporto alla potenza. Considerando invece l'importanza o

< >=

*

che n s 1 , possiamo definire il coefficiente di moltiplicazione

o o < χ φ >

*o , S

n f , o

= o

K . (16)

sub + < χ φ >

*o

1 n , S f , o o

ζ

La quantità può quiindi essere scritta come

1− K

ζ = sub , (17)

K sub

e può essere chiaramente assunta come una misura adeguata della distanza del

sistema dalle condizioni di criticità. *

E' facile verificare che con l'approssimarsi di K all'unità, la funzione n diverge,

sub o

mentre la sua distribuzione spazio-energetica si approssima a quella del flusso

ρ

aggiunto standard. Corrispondentemente, converge al espressione standard ella

gen

reattività, data dalla (12). ρ

Abbiamo visto come la quantità abbia nell'equazione della cinetica puntuale un

gen

ruolo analogo a quello della reattività standard definita per i sistemi critici. Possiamo

anche verificare come questa quantità, per la stessa perturbazione parametrica,

produca una variazione decrescente della potenza con l'aumentare del grado di

ζ(1-P),

sottocriticità. Ciò è dovuto alla presenza nella (9) del termine collegato alla

5

presenza della sorgente, Con l'aumentare della sottocriticità questo termine infatti

ζ. 1

cresce (in valore assoluto) con

Da notare come i coefficienti che appaiono nelle equazioni (9) e (10) abbiano tutti un

ρ

significato fisico. La reattività generalizzata , in particolare, può essere

gen

determinata sperimentalmente. Infatti, come si vede dalla (13), essa corrisponde, con

ρ associato ad

il segno cambiato, al valore (determinabile sperimentalmente) di source

una variazione di sorgente tale da ripristinare (asintoticamente) la potenza iniziale.

In base a quanto detto sopra, si può concludere che per un sistema sottocritico

l'importanza appropriata da utilizzare come funzione peso dei processi neutronici è la

*

n , cui è associato il coefficiente di moltiplicazione k .

funzione sub

o

L'affermazione precedente è pertinente allorché la cinetica puntuale viene usata per

calcoli di transitori tali da mantenere il sistema al di sotto delle condizioni critiche,

per esempio nello studio di transitori durante le normali operazioni del reattore. In

casi di analisi di transitori conseguenti a eventi accidentali che possano comportare

condizioni di sovracriticità, l'uso della funzione aggiunta standard, cui è associato il

coefficiente k sono più appropriati. Infatti, in queste circostanze, la condizione di

eff

criticità è raggiunta dapprima dal modo fondamentale del flusso, cui tale coefficiente

è associato.

Esempio illustrativo

Consideriamo un semplice sistema a geometria infinita formato da un gruppo di

neutroni ed un gruppo di ritardati. In questo caso le il sistema (1) si riduce alle

equazioni:

φ

1 d = − Σ φ + − β ν Σ φ + λ +

(

1 ) c s

c f

v dt

dc = βν Σ φ − λ c .

f

dt

In condizioni imperturbate, si ha:

− Σ φ + ν Σ φ + =

s 0

c , o o f , o o o

1 Ciò ha particolare rilievo in rapporto ai coefficienti di temperatura. Viene ad essere quindi ad

essere corrispondentemente ridotto l'effetto delle controreazioni (negative) di temperatura, in caso

di incidente di portata del refrigerante. 6


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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