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concetti d’ordine, non già concetti di materia e concetti di cose”. Nel testo

del 1921, che è anche più esigente e rigoroso sul piano filosofico e scientifico,

Cassirer tratta questa problematica sotto il titolo “Concetti di misura e con-

cetti di cosa”, per mostrare come con la nascita di una pluralità di geometrie

si sia dissolto il punto d’appoggio archimedico, a partire dal quale Newton

32

credeva ancora di poter pensare. Nel quadro della sua interpretazione fi-

33

losofica della fisica einsteiniana — e del dibattito che su ciò egli conduce

34

con Moritz Schlick — egli nel 1925 riassumerà la sua tesi in questi termini:

sarebbero stati “i mutamenti del concetto di oggetto nella scienza esatta stes-

sa” a rendere necessari “nuovi principı̂ anche nell’ambito della teoria della

35

conoscenza”.

La “teoria della relatività della fisica moderna” è “dal punto di vista ge-

nerale della teoria della conoscenza contrassegnata appunto da ciò, che in

essa, in modo più consapevole e più chiaro che in precedenza, si compie il

passaggio dalla teoria del rispecchiamento della conoscenza alla teoria della

36

funzione”. Essenzialmente ciò significa che un “oggetto empirico non vuol

37

dire assolutamente null’altro che un insieme legale di relazioni”. Il pen-

siero fisico [physikalische], che “mira solo a definire e ad enunciare l’oggetto

‘natura’ in pura oggettività [. . . ] in ciò necessariamente enuncia insieme se

38

stesso, la sua propria legge e il suo proprio principio”. In un altro luogo

Cassirer formula il medesimo concetto in modo più generale: “‘Natura’ non

designa una determinata specie della datità delle cose in quanto tali; essa

designa piuttosto una direzione fondamentale della considerazione [Betrach-

31 Ivi, 232. Le “cose dell’abituale visione del mondo, che prima valevano come le uni-

che inoppugnabili realtà” scompaiono; ciò che però nel “cosmo matematico” rimane è

“l’invarianza delle leggi della natura” (ivi, 239).

32 ECW 10, 3. Cfr. complessivamente il capitolo “Geometria euclidea e non-euclidea”,

ivi, 93-110.

33 Cfr. Cassirer, Schlick e l’interpretazione “kantiana” della teoria della

M. Ferrari,

relatività, in “Rivista di filosofia”, vol. LXXXII, 1991.

34 Schlick da parte sua pubblica nel 1921 nella rivista “Kant-Studien” sotto il titolo

Interpretazione criticistica o empiristica della fisica moderna? le sue osservazioni sul libro

di Cassirer. Sul dibattito cfr. Cassirer et l’empirisme logique: la discussion

M. Ferrari,

entre Cassirer et Schlick, in Cassirer 1945-1995. Science et culture, a cura di N. Janz,

Lausanne, 1997.

35 Erkenntnistheorie nebst den Grenzfragen der Logik und Denkpsychologie

E. Cassirer,

(1927), in Erkenntnis, Begriff, Kultur, a cura di Reiner A. Bast, Hamburg, 1993, p. 114

[tr. it., Conoscenza, concetto, cultura, a cura di Giulio Raio, La Nuova Italia, Firenze,

1998, p. 99].

36 ECW 10, 49 [520].

37 Ivi, 41 [511].

38 Ivi, 111 [597]. 15

39

tung, osservazione]”. In altri termini: ‘Natura’ è solo uno tra i concetti nel

“complesso dei possibili concetti di realtà”; in una determinata prospettiva

la realtà diventa per noi natura.

Ogni direzione originaria che la conoscenza prende, ogni interpre-

tazione a cui essa sottopone i fenomeni per raccoglierli nell’unità di

un nesso teorico ovvero in una precisa univocità o unità di senso [Sin-

nheinheit], implica una particolare versione e calibrazione del concet-

to di realtà effettuale. Qui non si danno soltanto le caratteristiche

differenze di significato degli stessi oggetti scientifici — la differenza

dell’oggetto “matematico” da quello “fisico”, dell’oggetto “fisico” da

quello “chimico”, dell’oggetto “chimico” da quello “biologico” — bensı̀

al tutto della conoscenza teoretico-scientifica qui anche si contrappon-

gono altri conferimenti di forma e di senso [Form- und Sinngebungen]

di tipo indipendente, con una loro legalità indipendente — come la

“forma” etica e quella estetica. Sembra il compito di una critica gno-

seologica veramente generale non livellare questa molteplicità, questa

polimorfa ricchezza di forme della conoscenza e dell’intelligenza dell’u-

niverso, non schiacciarla in un’unità puramente astratta, ma lasciarla

sussistere come tale. Solo quando resistiamo alla tentazione di voler

comprimere in un’unità metafisica ultima, nell’unità e semplicità di un

assoluto “fondamento dell’universo”, e dedurre da questo il complesso

delle forme che qui ci si impone — solo allora ci si dischiude l’autentico

contenuto concreto e la concreta ricchezza di quest’ultimo. Certo, ora

nessuna singola forma può più accampare la pretesa di comprendere in

sé e di portare ad espressione completa ed adeguata la “realtà effettua-

le” [Wirklichkeit] come tale, la realtà [Realität] “assoluta”. Piuttosto,

il pensiero di una siffatta realtà univoca ultima è concepibile, se mai,

soltanto come idea: come il compito di una totalità della determina-

zione, a cui deve concorrere, secondo la propria natura specifica ed

entro i propri limiti, ogni particolare funzione della conoscenza e del-

la coscienza. Dove ci si attenga a questa visione d’insieme, già nello

stesso puro concetto di natura ne viene una possibile diversità d’im-

postazioni a ciascuna delle quali è lecito rivendicare per sé un certo

diritto e una propria validità caratteristica. La “natura” di cui parla

Goethe non è della stessa specie di quella a cui si riferisce Newton —

perché nella strutturazione [Gestaltung] originaria dell’una e dell’altra

vigono principı̂ formali assolutamente diversi, tipi diversi di sintesi,

modalità diverse, da parte dello spirito e del pensiero, di dominare i

fenomeni in uno sguardo d’insieme. Dove sussistono siffatte diversità

nella direzione fondamentale del considerare [Grund richtung der Be-

trachtung], ivi non si potranno confrontare e commisurare senz’altro,

39 ECN 2, 157. 16

gli uni agli altri, neppure i risultati della considerazione. Certo, sia

il realismo ingenuo della comune visione del mondo, sia il realismo

della metafisica dogmatica incorrono sempre da capo in questo erro-

re. Dal complesso dei possibili concetti di realtà essi ne spiccano uno

solo e lo presentano come norma e prototipo per tutti gli altri. Cosı̀

determinate prospettive formali necessarie sotto le quali cerchiamo di

valutare, di studiare e di intendere il mondo dei fenomeni, vengono

solidificate e improntate a cose, all’essere sic et simpliciter. Che noi si

definisca come questo essere ultimo la “materia” oppure la “vita”, la

“natura” oppure la “storia”, in ogni caso per questa via finisce sempre

per prodursi un rattrappimento della nostra visione del mondo, per-

ché determinate visioni spirituali, che concorrono alla sua costruzione,

vi appaiono escluse e altre, di contro, unilateralmente accentuate e

40

privilegiate.

La teoria della relatività è per Cassirer occasione di un dibattito sui prin-

cipı̂ fondamentali della teoria della conoscenza, che egli conduce con Moritz

Schlick, uno dei fondatori del Circolo di Vienna. Prendendo spunto dalla

Assiomatica di Hilbert e impressionato dalla nuova fisica di Einstein, Schlick

solleva la questione su come si possano risolvere i problemi che necessaria-

mente debbono nascere dalla opposizione tra una ontologia realistica della

scienza e una teoria convenzionalistica della conoscenza. Con la costruzio-

ne di teorie scientifiche esatte le assiomatiche conducono ad una perdita di

2

realtà. Nella sua Allgemeine Erkenntnislehre (1918, 1925) Schlick scrive:

Una compagine di verità costruita con l’aiuto di una definizione

implicita non riposa da nessuna parte sul fondamento della realtà,

bensı̀ si libra per cosı̀ dire liberamente in aria, come il sistema solare,

portando in se stessa la garanzia della sua stabilità. Nessuno dei

concetti che qui si presentano designa nella teoria un che di reale, bensı̀

si designano reciprocamente l’un l’altro, in modo tale che il significato

di un concetto consiste in una determinata costellazione di un certo

41

numero dei rimanenti.

Tra il “regno della realtà” e il “regno dei concetti rigorosi” non c’è tuttavia

per Schlick alcuna mediazione: “Noi riferiamo certamente le due sfere l’una

all’altra, ma non sembrano affatto collegate tra di loro, i ponti tra le due sfere

42

sono demoliti”. Schlick non intende far nascere alcun dubbio sul fatto che

egli difende una posizione realistica: “Il reale non può esserci [. . . ] dato mai

da conoscenze di un qualche tipo. Il reale esiste prima di ogni conoscenza.

40 ECW 10, 112-113 [599-600].

41 Allgemeine Erkenntnislehre, Frankfurt/M, 1979, p. 35; cfr. p. 314.

M. Schlick,

42 Ivi, 36. 17 43

Esso è il designato che esiste prima di ogni designare”. E tuttavia Schlick

sembra dotare la proposizione sulla realtà di un punto interrogativo. Egli

giunge infatti ad un bilancio epistemologico notevole, che non può appunto

andare d’accordo con le premesse ontologiche: “Tutte le nostre conoscenze

44

della realtà sono [. . . ] rigorosamente intese, ipotesi”.

Schlick accetta chiaramente il pensiero neokantiano in base al quale ogni

risposta alla domanda sull’essenza della realtà non consiste in null’altro che

in contrassegni [Bezeichnungen] di ciò che è; il sistema del linguaggio rap-

presenta una intelaiatura della conoscenza della realtà che non è possibile far

45

saltare. Anche per Schlick il ‘mondo’ è un mondo di simboli [Zeichen]:

Sempre il nostro conoscere, che consiste propriamente nel giudica-

re, non ci dà null’altro che segni, e mai il designato. Questo resta per

sempre al di là. E chi dal conoscere esige che questo ci debba portare il

reale realmente più vicino, costui avanza con ciò una richiesta non già

troppo elevata, bensı̀ priva di senso. Lo abbiamo capito ormai da un

pezzo [. . . ]: nel conoscere noi non possiamo e neppure vogliamo avere

presente il conosciuto, diventare un tutt’uno con esso, contemplarlo

in modo immediato, bensı̀ possiamo e vogliamo correlare ed ordinare

soltanto segni. Il fatto che la conoscenza faccia ciò e null’altro, non è

46

una sua debolezza, bensı̀ la sua essenza.

Al riguardo Cassirer nota:

Ogni conoscenza si riferisce dunque in ultima analisi a relazioni,

a dipendenze, non già a cose, a sostanze. [. . . ] Qui Schlick assume

esattamente la tesi che io cercai di sviluppare e di dimostrare circa

47

due decenni fa nel mio scritto Substanzbegriff und Funktionsbegriff.

Tuttavia la critica di Schlick contro il fenomenalismo ricondurrebbe in modo

paradossale, secondo Cassirer, alla tesi seguente:

Il mondo degli oggetti, al quale i segni concettuali delle scienze

esatte si riferiscono, non è un mondo di meri fenomeni, bensı̀ il mondo

delle cose in sé. [. . . ] Al finzionalismo della sua teoria del concetto cor-

risponde dall’altra parte un realismo della teoria della realtà, il quale

considera le “cose in sé” non solo come esistenti e come conoscibili,

43 Ivi, 158 sg.

44 Ivi, 357 sg.

45 Ivi, 247, 269 sgg., 335.

46 Ivi, 158.

47 Erkenntnistheorie, cit., 132 [114].

E. Cassirer, 18

ma assolutamente come gli oggetti della conoscenza, della esperienza

48

scientifica.

Per Cassirer, al contrario, da un portatore materiale del segno [Zeichenträger ]

si sviluppa un simbolo [Zeichen] nella misura in cui “noi gli assegniamo un

‘senso’, verso cui esso si rivolge e attraverso cui esso diventa ‘significativo’”.

Egli non nasconde il fatto che con ciò viene toccato “uno dei più difficili

problemi della critica della conoscenza, se non addirittura il problema della

critica della conoscenza in generale”: “La questione dell’oggettività delle

‘cose’ si inserisce in questo problema: vista più da vicino, essa non è altro

che un corollario della questione — sul piano sistematico di gran lunga più

49

ampia — riguardante l’oggettività del ‘significato’”.

Cassirer trova in un principio teoretico-conoscitivo il fondamento unitario

della configurazione del mondo come mondo fenomenico degli uomini. Schlick

al contrario predilige un fondamento unitario di tipo ontologico: interessato

ad “una visione unitaria del mondo, davvero soddisfacente”, Schlick si lascia

guidare dalla “convinzione” che “ogni essere in generale appartiene ad una

sola e medesima specie, nella misura in cui esso può essere reso accessibile

alla conoscenza mediante concetti quantitativi. In questo senso noi ci di-

chiariamo a favore di un monismo. C’è una sola specie di reale — ciò per

noi significa: abbiamo bisogno in linea di principio solo di un unico sistema

50

di concetti per la conoscenza di tutte le cose dell’universo”. Colpisce qui

una interna discrepanza, perché all’intento programmatico mirante alla co-

struzione di una scienza in senso unitario Schlick fa seguire delle riflessioni

le quali prevengono in modo sistematico il possibile conseguente fisicalismo

— si presenti poi quest’ultimo nelle vesti del naturalismo ontologico oppure

51

in quelle del riduzionismo metodologico: “Conoscere non significa ridur-

re il mondo esterno a mondo interno”. La “connessione della coscienza” è

solo una tra le possibili “nell’insieme delle restanti connessioni che il cosmo

nella sua ricchezza presenta. Si può dunque, se si vuole, parlare tutt’al più

di un pluralismo”. Il monismo della tesi, secondo cui “ogni essere in verità

è uno, [. . . ] ha necessariamente bisogno, come integrazione, di un qualche

48 Ivi, 125 sg. [109]; Allgemeine, cit., 110. Per la discussione sulla teoria della

Schlick,

conoscenza di Schlick cfr. anche Zur Logik des Symbolbegriffs (1938), in

E. Cassirer,

Wesen und Wirkung des Symbolbegriffs, Darmstadt, 1997, p. 226 [tr. it., Sulla logica del

concetto di simbolo (1938), in Disputa sul concetto di

K. Mark-Wogau — E. Cassirer,

simbolo. La discussione sulla rivista “Theoria” (1936-1938), a cura di Annabella d’Atri,

Edizioni Unicopli, Milano, 2001, pp. 155-157].

49 Erkenntnistheorie, cit., 136 [117-118].

E. Cassirer,

50 Allgemeine, cit., 364.

Schlick,

51 Per la critica al fisicalismo di Carnap, cfr. il secondo saggio di Cassirer, su “Percezione

di cose e percezione di espressione”, in Cassirer 1942, 40 sgg. [37-38].

19

52

principio pluralistico”. Questo vago ‘un qualche’, appunto, è ciò che tra-

muta in distanza la vicinanza di Schlick alla Filosofia delle forme simboliche:

per Cassirer il pluralismo non è affatto una ‘integrazione’, bensı̀ la forma

dell’unità per eccellenza.

1.2 La filosofia della matematica di Cassirer

1.2.1 Ragioni e contesti dell’interesse di Cassirer per la matema-

tica

Riguardo alla filosofia della matematica di Cassirer la situazione è del tutto

analoga a quella delle sue ricerche sistematiche riguardanti la sua filosofia

della scienza. In questo campo già abbastanza presto, ovvero nella sua prima

opera sistematica Substanzbegriff und Funktionsbegriff del 1910, occupano

un grande spazio le sue riflessioni sulla Begriffsbildung matematica e sul

significato paradigmatico del pensiero matematico per la funzione simbolica

rappresentativa della conoscenza umana in generale.

In questa prima sezione introduttiva devono essere tratteggiati i motivi

e i contesti dell’interesse di Cassirer per la matematica. Successivamente la

sezione 1.2.2 prende in considerazione più da vicino la filosofia della matema-

tica di Kant, la quale tanto per Cassirer quanto anche per molti matematici

del XIX secolo ha rappresentato un importante punto di partenza. Nella se-

zione 1.2.3 vengono trattati problemi che emergono dall’indagine sull’oggetto

della matematica sullo sfondo della teoria kantiana. Qui al centro dell’inte-

resse è in particolare il significato fondante dei simboli per la matematica,

nonché la modalità specifica dei rapporti di rappresentazione con cui si ha

a che fare in campo matematico. La sezione 1.2.4 si occupa della questione

della sinteticità dei giudizi matematici in relazione con l’interpretazione della

induzione completa avanzata da Poincaré, mentre nell’ultima sezione 1.2.5

deve essere tratteggiato il punto di vista dell’applicazione della matematica,

nel senso di una scienza matematica della natura, prendendo come esempio

il passaggio dalla meccanica classica alla teoria della relatività.

La forma della rappresentazione, che per la conoscenza matematica è ti-

pica, viene da Cassirer trattata in riferimento ai tre principali rapporti in

cui possono trovarsi il segno e il designato nell’ambito di una relazione sim-

bolica. Cassirer congiunge, spesso in modo esemplare, ciascuno di questi tre

rapporti di rappresentazione con determinate forme simboliche, senza tutta-

via restringerli a queste forme; poiché ci sono anche forme simboliche nelle

quali entrano in gioco nello stesso tempo più di uno di questi rapporti di

52 Allgemeine, cit., 372.

Schlick, 20

53

rappresentazione. Il primo livello del rapporto tra segno e designato viene

caratterizzato dalla ‘funzione di espressione’ [Ausdrucksfunktion]. Cassirer la

considera tra l’altro come la funzione tipica per la forma simbolica del mito.

Lo specifico della funzione espressiva consiste nel fatto che segno e designato

in tutto o in parte coincidono: per esempio, in determinate rappresentazioni

mitiche un oggetto o un nome viene inteso non semplicemente come segno

per una divinità, bensı̀ come espressione della presenza della divinità in per-

54

sona [Gottheit selbst]. Il secondo livello viene designato da Cassirer come

‘funzione rappresentativa’ [Darstellungsfunktion]. Il rapporto di rappresen-

tazione della ‘funzione rappresentativa’ è costitutivo per la costruzione di ciò

che Cassirer chiama il “mondo intuitivo”, e dunque per il mondo delle cose

che appaiono nello spazio e nel tempo. Qui segno e designato compaiono sı̀

separatamente, ma in modo tale che il segno rappresenti degli oggetti spaziali

e temporali. In stretta connessione con il rapporto di rappresentazione della

funzione rappresentativa è la forma simbolica del linguaggio. Quando per

esempio nel quadro di una teoria del linguaggio si opera la distinzione tra la

parola e l’oggetto, allora la parola in generale viene interpretata come il segno

per un certo oggetto. Un terzo livello del rapporto di rappresentazione è dato

dalla ‘funzione significativa’ [Bedeutungsfunktion]. Poiché tale funzione è ca-

ratteristica del pensiero scientifico astratto, essa è in stretta relazione con le

forme simboliche della matematica e della scienza matematica della natura.

Nell’ambito della ‘funzione significativa’ i segni stanno per sistemi astratti

di relazioni, i quali non hanno più alcun correlato immediato nel mondo dei

55

fenomeni spaziali e temporali. Per esempio i segni numerici dell’aritmetica

rinviano ad un sistema astratto di assiomi, il quale stabilisce determinate

regole per il calcolo e certe strutture d’ordine, che vengono rappresentate da

questi segni. Questa forma di prestazione rappresentativa da parte dei sim-

boli matematici è secondo Cassirer costitutiva per la costruzione dei sistemi

concettuali della matematica e per il loro status teoretico-conoscitivo. Essa

53 Secondo questo schema triadico è per esempio articolato il terzo volume della Filosofia

delle forme simboliche. In altri luoghi Cassirer parla anche di un “più generale sistema di

riferimento del pensiero” oppure di “tre diverse dimensioni della configurazione simbolica”,

Cfr. Das Symbolproblem und seine Stellung im System der Philosophie

E. Cassirer,

(1927), in Symbol, Technik, Sprache. Aufsätze aus den Jahren 1927-1933, a cura di E.W.

Orth / J.M. Krois, Hamburg, 1985, p. 8-11.

54 Cfr. su questo punto Sprache und Mythos. Ein Beitrag zum Problem

E. Cassirer,

der Götternamen (1925), in Wesen un Wirkung, cit., p. 124: “La tensione tra il semplice

‘segno’ e il ‘designato’ cessa: al posto dell’espressione più o meno adeguata è subentrato

un rapporto di identità, di piena copertura tra ‘immagine’ e ‘cosa’, tra il nome e l’oggetto”.

55 Cfr. ECW 13, 383: “Il processo della ‘smaterializzazione’, come pure il processo della

‘liberazione’ prosegue: il segno si strappa per cosı̀ dire dalla sfera delle cose, per diventare

un puro segno di relazione e un segno d’ordine”.

21

costituisce il contesto sistematico per la sua teoria della matematica e le sue

applicazioni nell’ambito delle scienze matematiche della natura. Ciò viene

esposto ancora più avanti nelle sezioni 1.2.3 e 1.2.5.

Riguardo al contesto storico e ai motivi dell’interesse di Cassirer per i

problemi e le formazioni concettuali della matematica è importante l’influsso

della scuola neokantiana di Marburgo. L’obiettivo dei neokantiani di Marbur-

go consiste nel far concordare i pensieri fondamentali della filosofia kantiana

con gli sviluppi della matematica moderna e delle scienze matematiche della

natura. Dai tempi di Kant tuttavia in campo matematico molte cose erano

cambiate. Oltre al consolidamento dei fondamenti del calcolo infinitesimale,

a cui lo stesso Kant non ha neppure assistito, ciò riguardava soprattutto la

geometria, il cui sviluppo ha conosciuto nel XIX secolo una crescita inaspet-

56

tata. Questi mutamenti assumevano un’importanza rilevante per i marbur-

ghesi, soprattutto per il fatto che la teoria kantiana della matematica con il

suo riferimento all’intuizione pura dello spazio sembrava presupporre che la

geometria euclidea dovesse essere l’unica geometria possibile. Si poneva cosı̀

la questione se la concezione di Kant, che egli aveva esposto all’inizio della

Critica della ragione pura nella ‘estetica trascendentale’ in riferimento allo

spazio e al tempo, potesse ancora essere tenuta in piedi dopo la scoperta delle

geometrie non euclidee. Tale questione tenne occupato anche Ernst Cassirer,

quando egli come studente nel 1896 giunse a Marburgo. Già prima del suo

trasferimento a Marburgo egli si era intensamente occupato dei diversi siste-

mi di geometria non euclidea con studi personali, al centro dei quali erano

57

gli scritti di Gauß, di Riemann e di Helmholtz.

I suoi studi erano motivati soprattutto dai problemi attinenti alla teoria

della conoscenza, che erano stati sollevati dalla dottrina kantiana dello spazio.

Se, essendo mutate le condizioni, la sua dottrina dovesse ancora interessare

sul piano sistematico, ciò si poteva far vedere solo studiando in modo più

preciso questi sviluppi interni alla matematica e valutandone la rilevanza sul

piano della teoria della conoscenza. Nei capitoli secondo e terzo di Substanz-

begriff und Funktionsbegriff Cassirer ha fatto ciò in riferimento all’aritmetica

58

e alla geometria. Qui vengono affrontati gli aspetti più diversi della que-

stione. Per ciò che concerne l’aritmetica, viene discusso tanto il tentativo di

Mill diretto a una fondazione sensistica della matematica, quanto il tentativo

di Frege mirante a ricondurre l’aritmetica alle formazioni logiche dei concetti.

56 Cfr. su questo punto Cassirers Invariantentheorie der Erfahrung und

K.-N. Ihmig,

seine Reception des ‘Erlangener Programms’, Hamburg,1997, 281-305.

57 Sui primi interessi di Cassirer per la matematica e per i problemi delle geometrie non

euclidee cfr. Ernst Cassirer: Leben und Werk, in Ernst

D. Gawronsky, P.A. Schilpp,

Cassirer, Stuttgart/ Berlin/ Köln, 1966, 2-7.

58 Cfr. ECW 6, 27-120 [41-153]. 22

Stanno inoltre al centro dell’interesse il tentativo di Dedekind riguardante la

fondazione dei numeri reali, la logica delle relazioni di Russell e la teoria dei

numeri transfiniti di Cantor. Riguardo alla geometria Cassirer segue il pas-

saggio dall’antica geometria sintetica alla geometria analitica di Descartes,

nonché la fondazione della geometria proiettiva operata da Poncelet, fino al

Programma di Erlanger formulato da Felix Klein ed alla esposizione assioma-

tica della geometria euclidea operata da Hilbert. Diciannove anni più tardi,

nel terzo volume della Filosofia delle forme simboliche, Cassirer si occupa

anche del cosiddetto conflitto dei fondamenti [Grundlagenstreit], che si era

59

sviluppato in seguito alla scoperta dei paradossi della teoria degli insiemi.

Tra gli sforzi miranti ad eliminare tali paradossi vennero tuttavia alla luce

inaspettate diversità di opinioni sui fondamenti concettuali e metodologici

della matematica, le quali hanno poi condotto allo sviluppo dei tre diversi

approcci o alle tre scuole, che oggi noi siamo soliti designare come logicismo,

60

intuizionismo e formalismo.

Al centro degli studi di Cassirer riguardanti la matematica fin dall’inizio

sono state poste soprattutto le seguenti domande: Quali conseguenze da-

gli sviluppi e dalle discussioni qui schizzati è possibile trarre per i metodi

specifici e le formazioni dei concetti della matematica? Ci sono determinati

oggetti o modi di procedere, che possano definirsi tipicamente matematici,

e quale significato spetta ad essi per le possibilità della conoscenza umana

in generale? Sotto questo punto di vista la filosofia kantiana della matema-

tica deve essere modificata? Per comprendere meglio il significato di queste

domande vengono presentati nelle due sezioni seguenti i tratti fondamentali

della filosofia kantiana della matematica.

1.2.2 La filosofia della matematica di Kant

La filosofia della matematica di Kant contiene essenzialmente quattro tesi:

1. Le conoscenze della matematica sono proposizioni sintetiche a priori.

2. Le conoscenze della matematica risultano dalla costruzione dei loro

concetti nella intuizione pura.

3. La matematica considera l’universale nel particolare o nel singolare,

mentre la filosofia esattamente al contrario considera il particolare o il

singolare nell’universale.

59 Cfr. ECW 13, 411-467 [105-170].

60 Su questi termini ed i rispettivi problemi cfr. Philosophie der Mathe-

S. Körner,

matik. Eine Einführung, München, 1968, nonché Abriß der Geschichte der

D.J. Struik,

Mathematik, Berlin, 1976 o Philosophie und Mathematik. Eine Einführung in

C. Thiel,

ihre Wechselwirkung und in die Philosophie der Mathematik, Darmstadt, 1995.

23

4. Le proposizioni della matematica pura “nella loro completa precisio-

ne” sono applicabili ad oggetti dell’esperienza, in quanto si tratti di

apparenze [Erscheinungen, fenomeni] nello spazio e nel tempo.

Per comprendere la prima tesi, cioè, che nelle conoscenze matematiche si

ha a che fare con proposizioni sintetiche a priori, occorre sapere cosa sono

per Kant le proposizioni sintetiche a priori. Secondo Leibniz tutte le verità

si possono suddividere in due classi, ossia nella classe delle verità di ragio-

61

ne (vérités de raison) e nella classe delle verità di fatto (vérités de fait).

Questa suddivisione quanto al tema si ritrova grossomodo anche in Hume, e

precisamente nelle sembianze della distinzione tra relazioni di idee (relations

62

of ideas) e dati di fatto (matters of fact). Le ‘vérités de raison’ ovvero

le ‘relations of ideas’ valgono indipendentemente dall’esperienza, e spetta ad

esse necessità e universalità. Le ‘vérités de fait’ o le ‘matters of fact’ riposano

invece sull’esperienza e godono nel migliore dei casi solo di universalità indut-

tiva o comparativa, cioè possibili eccezioni non possono mai essere escluse.

Queste due classi di giudizi vengono di solito identificate con la distinzione

kantiana tra giudizi analitici a priori e giudizi sintetici a posteriori. Si pone

qui la questione, se una tale disgiunzione, nella forma in cui essa è stata

assunta da Leibniz e da Hume, sia completa. Kant era dell’opinione, che sus-

63

sista ancora un’ulteriore classe di giudizi, ossia i giudizi sintetici a priori.

Fra questi egli annoverava certe proposizioni fondamentali della metafisica

critica, della matematica e delle scienze della natura. L’aspetto particolare

nell’esistenza dei giudizi sintetici a priori è che essi, da una parte, ampliano la

61 Cfr. per es. Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand

G.W. Leibniz, 2

[1765], a cura di W. v. Engelhardt e H. H. Holz, Bd. II, Darmstadt, 1985, p. 238-239. In

altri luoghi Leibniz parla di anche di verità eterne (vérités éternelles e di verità positive

(vérités positives); cfr. Die Theodizee [1710], a cura di V. H. Herring, Bd. I,

Leibniz,

Darmstadt, 1985, p. 70 sg.

62 Cfr. An Enquiry Concerning Human Understanding, [1748], Oxford, 1975,

D. Hume,

p. 25 sg.

63 Come è noto, Kant ha introdotto una classificazione dei giudizi sia dal punto di vista

della loro origine (a priori — a posteriori ), sia anche dal punto di vista del loro contenuto

(analitici — sintetici) e li ha messi in reciproca connessione gli uni con gli altri. Secondo

queste classificazioni i giudizi sintetici a posteriori corrispondono alle ‘vérités de fait’ o

‘matters of fact’. Essi hanno la loro origine nell’esperienza e sono (per questo motivo)

giudizi estensivi di conoscenza. Ai giudizi analitici a priori corrispondono le ‘vérités de

raison’ o ‘relatios of ideas’, la cui validità si fonda sulla semplice analisi dei concetti, e (per

questo motivo) essi non possono essere estensivi di conoscenza, ma hanno semplicemente un

carattere esplicativo. Gli ulteriori giudizi introdotti da Kant, i giudizi sintetici a priori, si

distinguono per il fatto che essi non hanno la loro origine nell’esperienza, ma ciononostante

ampliano la nostra conoscenza. Fondare l’esistenza di tali giudizi sintetici a priori è uno

dei compiti centrali della filosofia trascendentale.

24

nostra conoscenza e, dall’altra, indipendentemente dai dati di fatto empirici,

essi devono avere una validità necessaria ed universale.

Kant ha tentato di fornire per questa concezione anche una fondazione.

Qui entra in gioco la sua seconda tesi, ossia, che la matematica rappresen-

ta una conoscenza basata sulla costruzione dei suoi concetti nella intuizione

64

pura. Cosa significa “costruzione nella intuizione pura”? Kant distingue

tra intuizioni e concetti quali fonti della conoscenza umana. Entrambi de-

vono operare costantemente insieme per poter far emergere una conoscenza

oggettiva. Contrariamente ai concetti, che sono rappresentazioni universali

ed in quanto tali si riferiscono sempre ad una indeterminata molteplicità di

oggetti possibili, nel caso delle intuizioni si ha a che fare con rappresentazioni

singolari, le quali possono essere rese presenti solo per mezzo di un singolo

oggetto. Nel caso delle intuizioni empiriche, per esempio, si tratta di oggetti

che noi percepiamo tramite i nostri sensi in un tempo determinato e in un

luogo determinato. Ma cosa sono le intuizioni pure? Esse sono universali per

il seguente aspetto: esse non sono vincolate né ad un determinato contenuto

percepibile con i sensi, né ad un determinato luogo, né ad un determinato

tempo. Può trattarsi perciò soltanto di forme universali di possibili intuizioni

empiriche, ossia delle forme di spazio e tempo. Spazio e tempo si differenzia-

no dai comuni concetti universali per il fatto che c’è solo un spazio unico ed

un tempo unico, a partire dai quali tutti gli spazi e tutti i tempi determinati

e ristretti possono essere pensati come delimitazioni di quest’unico spazio e

65

di quest’unico tempo. “Costruzione nell’intuizione pura” significa, di con-

seguenza, la possibilità di creare qualsivoglia limitazioni nello spazio e nel

tempo, le quali si riferiscono tutte quante all’unità dello spazio e all’unità del

tempo. Se si tratta di costruzioni matematiche, allora esse sono governate da

regole, queste regole vengono prestabilite come principı̂ costruttivi, e questi

principı̂ sono contenuti nei concetti matematici.

Kant distingue inoltre in modo esplicito tra una costruzione “pura” ovvero

66

“schematica” ed una costruzione “empirica” ovvero “tecnica”. Tra queste

ultime egli annovera concrete costruzioni materiali, quelle che, per es., con

l’ausilio di strumenti come il compasso e la riga vengono realizzate sulla la-

vagna o su un foglio di carta. A questa distinzione corrisponde un’ulteriore

distinzione: quella tra immagine e schema. Cinque trattini o punti segnati

sulla lavagna o su un foglio di carta sono per Kant l’immagine del numero

cinque, cosı̀ come il disegno di un triangolo singolo rappresenta un’immagine

del concetto universale di un triangolo. Invece uno schema contraddistingue

64 KrV B 741.

Kant,

65 Cfr. Ivi, B 39.

66 AA VIII, 192.

Kant, 25

secondo Kant un modo universale di procedere, con il quale viene procurata

67

una immagine a un concetto. Gli schemi mediano dunque tra i concetti

universali e le immagini empiriche. Affermare che la matematica conosce

l’universale nel particolare o nel singolare, significa secondo Kant che una

proposizione, la quale venga dimostrata sulla scorta di una singola figura

empirica, è tuttavia valida in modo universale, ossia vale per tutte le figure

della stessa specie. La validità universale della proposizione dipende dunque

dal fatto che essa non si riferisce alla figura singola in quanto tale, bensı̀ piut-

tosto ai principı̂ costruttivi ovvero agli schemi universali, che essa come figura

singola rappresenta [repräsentiert]. Nondimeno ciascuna di queste immagini

può essere considerata come simbolo o rappresentante dei principı̂ costruttivi

universali. Dal punto di vista della teoria della conoscenza questo modo di

vedere è significativo, in quanto nel caso dei concetti matematici viene alla

luce un rapporto tra l’universale e il particolare, il quale si differenzia dal

rapporto vigente presso i concetti generali classificanti. Nel caso dei concetti

di genere e di specie [Gattungsbegriffen] si procede (si sale e si scende)per

astrazione e per determinazione (in abstracto e in concreto) dal particolare

all’universale o dall’universale al particolare.

La quarta tesi di Kant, infine, sostiene che la matematica pura possa

68

essere applicata agli oggetti dell’esperienza. Anche questa tesi richiede una

fondazione, dato che per Kant la matematica pura, in quanto essa si riferisce

a costruzioni nella intuizione pura, rappresenta una scienza a priori. Con ciò

viene sollevata la questione su come sia possibile che la matematica possa

avere validità per le datità empiriche. Dal punto di vista sistematico sono

pensabili tre tipi di spiegazione per il problema della applicazione.

1. Il primo tipo muove dal presupposto della apriorità della matematica

e spiega la sua applicabilità con il fatto che la realtà fu costituita fin

dall’inizio secondo principı̂ matematici. Poiché un essere divino ha

fatto il mondo secondo archetipi matematici, quando noi riferiamo la

matematica alla realtà, noi non facciano null’altro che riscoprire i divini

principı̂ costruttivi dell’universo (Keplero).

2. Il secondo tipo di spiegazione contesta che nel caso della matematica

si abbia a che fare con una scienza a priori. Secondo questo modo di

vedere, gli assiomi, i concetti e le entità della matematica vanno inte-

si come astrazioni ricavate dalle cose reali. Per esempio Mill difende

67 KrV B 179 s.

Kant,

68 Ivi, B 206 [241]: “Questa proposizione fondamentale trascendentale [Assiomi dell’in-

tuizione] della matematica delle apparenze fornisce una grande estensione alla nostra co-

noscenza a priori. È soltanto essa, difatti, che rende applicabile la matematica pura, in

tutta la sua precisione, ad oggetti dell’esperienza”.

26

la concezione secondo cui i numeri e le regolarità aritmetiche possono

ricondursi a fatti osservati. Se è vera l’affermazione secondo cui i fonda-

menti della matematica e con ciò la matematica stessa sono di origine

empirica, allora non è affatto sorprendente che essa si possa applicare

anche a dati di fatto empirici.

3. La fondazione di Kant si differenzia da entrambi i suddetti tentativi di

spiegazione. Il suo tentativo di dimostrazione condotto in modo esplici-

tamente filosofico — e che in questa sede non può essere ulteriormente

illustrato — si trova nella prima proposizione fondamentale del capi-

tolo sui principı̂ della ‘analitica trascendentale’, ossia negli ‘Assiomi

69

dell’intuizione’. Egli si fonda sul presupposto che la matematica e la

realtà si regolino secondo le stesse leggi, le quali però non risiedono né

soltanto nella matematica né soltanto nella realtà, bensı̀ rappresenta-

no un modo specifico con cui le facoltà umane ottengono conoscenze

su questo universo. Di conseguenza la matematica è applicabile alla

realtà, intendendo quest’ultima nel senso di insieme di tutte le appa-

renze spaziali e temporali, perché tanto la matematica quanto anche le

apparenze si regolano secondo le medesime leggi, le quali hanno la loro

origine nelle facoltà conoscitive umane. Questo tipo di spiegazione ha il

vantaggio di evitare i due difetti essenziali dei tipi precedenti. Da una

parte esso rinuncia ai presupposi teologici e metafisici; dall’altra parte

esso consente di fondare la necessità e l’universalità delle conoscenze

matematiche.

1.2.3 Cosa è l’oggetto della matematica?

L’atteggiamento di Cassirer nei confronti di queste quattro tesi è completa-

mente diversificato. Egli concorda con Kant sul fatto che la matematica non

abbia la sua origine nell’esperienza, sia dunque una scienza a priori. D’al-

tra parte egli intende il principio a priori [das Apriori] non più in un senso

70

assoluto, bensı̀ semplicemente in un senso relativo. Con ciò si intende che

69 Ivi, B 202-207. Nei Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft Kant in

particolare cerca di dimostrare come la matematica possa essere applicata alla ‘dottrina

universale dei corpi’.

70 La qui menzionata distinzione tra Cassirer e Kant risale soprattutto alla diversa con-

cezione di entrambi su ciò che essi ritengono si debba prendere in considerazione quando si

parla di ‘condizione della possibilità dell’esperienza’ ovvero di ‘condizione della possibilità

degli oggetti dell’esperienza’. Per Kant queste condizioni sono emerse come un canone

ben stabilito di concetti puri dell’intelletto ovvero categorie, che egli ha derivato tramite

la ‘deduzione metafisica’ dalla tavola delle funzioni del giudizio. In Cassirer al posto del-

la deduzione metafisica delle categorie subentra la derivazione delle universali invarianti

27

la necessità e l’universalità, che spetta alle proposizioni matematiche, è ogni

volta vincolata a certi presupposti. Per esempio, la proposizione, che la som-

ma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180 gradi, vale ancora in modo

necessario ed universale, solo se essa viene riferita al sistema assiomatico della

geometria euclidea. Per le geometrie non euclidee, che vengono descritte con

altri sistemi assiomatici, essa invece non vale più. È chiaro che la possibilità

di una tale distinzione si basa sull’esistenza di sistemi geometrici differenti,

che Kant non poté neppure inserire nelle sue riflessioni. Allo stesso modo

Cassirer concorda con Kant nel considerare la matematica come una scienza

sintetica, ma egli si differenzia da lui, perché non accetta l’intuizione pura

71

come fonte della conoscenza.

Oltre a ciò ci sono per Cassirer ancora due punti di connessione con Kant.

Il primo consiste nel fatto che la tesi kantiana, secondo cui la matematica

conosce in un certo senso l’universale nel particolare o nel singolare, viene da

lui assunta ed ulteriormente generalizza. Secondo Kant una dimostrazione

matematica può essere condotta sulla scorta di una singola (empirica) figura

geometrica, solo perché quest’ultima viene presa in considerazione non co-

me figura singolare, bensı̀ piuttosto come rappresentante o come simbolo per

un sistema di principı̂ costruttivi astratti. In questo caso si ha a che fare

con una relazione tra segno e designato, corrispondente al rapporto di rap-

presentazione menzionato all’inizio, che Cassirer caratterizza come ‘funzione

significativa’ e che secondo la sua concezione è tipica per l’uso dei segni nella

matematica in generale.

Il secondo punto di connessione sta nel fatto che la strategia di Cassirer

per la soluzione del problema dell’applicazione segue una direzione analoga

a quella di Kant. Tuttavia anche qui la funzione fondativa dello spazio e

dell’esperienza tramite un’analisi dei fondamenti metodologici e concettuali delle scienze,

dove la matematica e la scienza matematica della natura stanno in primo piano. Tali

invarianti si delineano con nettezza solo nel corso dello sviluppo delle scienze. Esse pos-

sono essere individuate in un determinato (contingente) momento temporale nel migliore

dei casi come punti di convergenza, ma la loro validità rimane ipotetica, poiché non si

può mai escludere che nel corso del tempo esse vengano sostituite da invarianti ancora

più universali. Esse sono dunque per un verso relative, in quanto dipendono dall’ulteriore

sviluppo delle scienze; per altro verso però esse sono a priori, in quanto, trattandosi di fon-

damenti concettuali universali delle scienze, esse non hanno la loro origine nell’esperienza,

bensı̀ valgono indipendentemente dall’esperienza. Cfr. su questo punto Cassirers

Ihmig,

Invariantentheorie, cit., pp. 244-249; 313 s.

71 I neokantiani della scuola di Marburgo hanno reinterpretato la dottrina dello spazio

e del tempo, da Kant visti come pure forme dell’intuizione, in un senso concettuale, al-

lo scopo di superare il dualismo di intuizione e concetto presente in Kant. Secondo la

concezione di Cohen e di Natorp lo spazio e il tempo rappresentano categorie concettuali

ovvero pure relazioni, le quali in qualità di costrutti del pensiero stanno alla base di tutte

le apparenze esterne. 28

del tempo intesi come pure forme a priori dell’intuizione passa piuttosto in

secondo piano. Ciononostante Cassirer riconduce allo stesso modo la pos-

sibilità di applicazione della matematica al fatto che nella facoltà umana

di pensare sono ancorate certe strutture universali, secondo cui si orientano

le nostre formazioni tanto dei concetti matematici quanto dei concetti delle

scienze della natura. Con ciò però non si intendono affatto delle proposizioni

fondamentali statiche, bensı̀ piuttosto viene chiamata in causa una specifica

forma dell’attività spirituale, la quale si può manifestare presso i contenuti

più disparati e che Cassirer contraddistingue come una “funzione originaria

72

della rappresentazione” [Urfunktion der Repräsentation]. Con ciò si inten-

de che un singolo, quanto ai diversi modi di connessione (come, per esempio,

le connessioni spaziali o temporali, le connessioni causali, le relazioni cosa-

proprietà, ecc.), può essere colto solo come parte di un tutto, dove esso come

singolo in virtù di questa funzione nello stesso tempo rappresenta o simboleg-

gia il tutto. Questa teoria della funzione simbolica dello spirito ha secondo

Cassirer una stretta relazione con il modo di pensare matematico. Quando

egli tuttavia sostiene la tesi secondo cui nella matematica una determinata

forma del pensiero si esprimerebbe in maniera pregnante, ciò presuppone na-

turalmente una concezione su ciò che costituisce l’autentico oggetto del modo

matematico di considerare ovvero su ciò che caratterizza il modo di pensare

matematico in generale.

Chi frequenta un corso universitario sulla teoria dei gruppi, non avrà dif-

ficoltà alcuna nel dichiarare quale sia l’oggetto di cui le lezioni si occupano:

appunto dei gruppi. Quanto alla domanda su cosa sia un gruppo, si riman-

derà alla definizione appropriata che sarà stata data all’inizio delle lezioni.

In modo analogo si potranno determinare gli oggetti dell’analisi, della teo-

ria delle funzioni, della topologia e di altre discipline matematiche. Quando

però la domanda riguarda l’oggetto della matematica in generale, allora non

è affatto chiaro a cosa ci si riferisca. Esiste un oggetto della matematica in

generale?

Proposte in risposta a questa domanda nella storia della matematica non

sono certo mancate. Alcuni hanno ravvisato come oggetto della matemati-

ca un calcolo guidato da regole, altri l’hanno vista occupata con relazioni

e strutture, per taluni essa ha a che fare con insiemi, altri ancora hanno

riconosciuto nell’infinito l’oggetto specificamente matematico. Le diverse ri-

sposte indicano che questo oggetto è soggetto a mutamenti storici. Ai tempi

di Kant era dominante una idea della matematica, che si è mantenuta ancora

nel corso del XIX secolo, cioè, che essa si occupi in primo luogo di grandezze

[Größen], che sia dunque una scienza delle grandezze. Questa definizione,

72 ECW 11, 32. 29

secondo Cassirer, che giudica sulla base delle sue analisi della matematica

del XIX secolo, all’inizio del XX secolo non può più onestamente essere man-

tenuta. Riassunto in una sola battuta, con una “parola d’ordine”, il risultato

delle riflessioni di Cassirer è il seguente: l’oggetto autentico della matemati-

ca sono le relazioni universali o le strutture, e l’essenza del modo di pensare

matematico si manifesta nel principio della formazione delle serie [Reihenbil-

73

dung]. In questa definizione generale sono inclusi i seguenti quattro punti

di vista.

1. In primo luogo questa parola d’ordine contiene un modo di considerare

gli oggetti matematici, che potrebbe essere detto di tipo strutturale (o

“strutturalista”), si tratta cioè del principio della priorità delle relazioni

rispetto ai relata. Con ciò si intende che gli oggetti matematici, conside-

rati come oggetti singoli, individuali, devono la loro sussistenza ad una

universale connessione relazionale, che è ad essi logicamente preordina-

ta. Al di fuori di questo complesso di relazioni universalmente valide

non spetta ad essi né individualità e neppure un essere o un’‘esistenza’.

Per esempio dell’esistenza di determinati numeri (come ad es. il π o

74

il numero e ) non si può parlare, né nel senso di una esistenza fisi-

ca esterna, né nel senso di un isolato contenuto rappresentativo della

psiche umana; perché:

L’esistenza del numero e non significa null’altro che questo:

attraverso la serie, che noi impieghiamo per la sua definizione,

noi stabiliamo in modo oggettivamente necessario ed univoco una

75

posizione e solo una nel sistema ideale dei numeri.

2. In secondo luogo l’origine e il motivo della formazione seriale risiedono

nell’attività creatrice dello spirito umano e non sono limitati da datità

empiriche. Ciò non esclude affatto che esperienze empiriche possano

73 Qui occorre far notare che il concetto di serie viene da Cassirer inteso come un con-

cetto epistemologico, il quale in quanto tale ha un significato più vasto del concetto di

serie strettamente matematico, che è definito come una specie particolare di successione,

ossia della successione delle somme parziali. Generalmente per serie Cassirer intende un

qualsivoglia insieme di oggetti (che possono anche essere di natura astratta, per es., con-

cetti, simboli, sistemi di segni, ecc.), i quali in virtù di un determinato principio, di una

legalità o altro possono essere tradotti in un ordinamento seriale. Come viene illustrato

ancora nel seguito, è anche possibile che ordinamenti seriali differenti si congiungano o si

sovrappongano.

74 A tale numero, compreso tra 2 e 3, corrisponde un valore approssimato per difetto

pari a 2,718281828459. . . . Il numero e è un numero irrazionale, cioè decimale non finito

e non periodico, e trascendente, cioè non è radice di un’equazione algebrica a coefficienti

razionali.

75 ECW 6, 134 [170-171]. 30

offrire l’occasione [Anlaß, pretesto] per certe forme di ordinamento se-

riale. Per esempio l’operazione del contare oggetti concreti può essere

l’occasione per la formazione di un concetto numerale. Tuttavia il con-

cetto numerale in quanto tale trova la sua giustificazione non in questa

occasione, bensı̀ mediante un sistema di connessioni e di relazioni, che

deve essere sviluppato in modo indipendente dall’occasione e che viene

definito da assiomi appropriati al sistema stesso.

3. In terzo luogo la caratterizzazione del modo di pensare matematico

come formazione di serie consente il passaggio in modo naturale da

insiemi finiti ad insiemi infiniti. Poiché ogni numero è determinato da

un complesso generale di relazioni e poiché tale complesso è logicamente

preordinato ai singoli numeri, è possibile generare in virtù di questo

complesso ogni qualsivoglia numero. Dato che Cassirer considera il

passaggio dal finito all’infinito come un tratto essenziale del pensiero

matematico, la sua definizione include anche le definizioni fornite da

Hermann Weyl e da Henri Poincaré, i quali considerano la matematica

come la “scienza dell’infinito”.

4. In quarto luogo infine — e questo è per Cassirer un punto del tutto

decisivo — un allargamento verso l’infinito non è possibile solo su un

unico piano. Si può, cioè, non soltanto mediante la ripetuta applicazio-

ne della medesima relazione fondamentale (come, per es., nel passaggio

da n a n + 1) produrre continuamente nuovi elementi della medesima

serie, bensı̀ mediante l’applicazione di una operazione di ordine supe-

riore sul principio di una serie si può mettere in relazione questa serie

con altre serie ad alto livello. Questo stato di cose si fonda sulla consta-

tazione che elementi delle serie e principı̂ delle serie appartengono ogni

volta a livelli differenti. Sulla base di questo presupposto, sussiste la

possibilità di estrapolare la legge funzionale stessa e di farla diventare

oggetto specifico e separato di considerazione. Accanto all’allargamen-

to ‘orizzontale’ mediante la reiterata applicazione di un solo e medesimo

principio seriale, è dunque possibile ancora il passaggio dal principio se-

riale stesso a principı̂ seriali d’ordine superiore, quindi a ‘serie di serie’

e a ‘serie di serie di serie’ ecc. Questi passaggi in ‘direzione verticale’

sono secondo la concezione di Cassirer i passaggi più decisivi per il pen-

siero matematico, perché essi aprono la possibilità della costruzione di

76

sistemi sempre più complessi e nello stesso tempo sempre più astratti.

76 Attestati in proposito sarebbero per esempio il passaggio dalla derivazione di una

funzione alla derivazione successiva di ordine superiore, il passaggio dal sistema dei numeri

agli spazi vettoriali pluridimensionali, il passaggio dai vettori ai tensori, il passaggio dalle

31

I passaggi a sistemi di ordine superiore approdano alla fine a teorie i

cui oggetti o ‘elementi’ non sono affatto grandezze, numeri o funzioni,

bensı̀ un insieme di operazioni.

Il punto decisivo di questi passaggi a sistemi di grado superiore va visto

secondo Cassirer nel fatto che non solo si giunga ad oggetti di alto livello,

ma che debba essere possibile congiungere questi oggetti gli uni agli altri

mediante un canone di operazioni fondate su leggi e dimostrarli quali parti

di un preordinato sistema di relazioni. Si può perfino con buone ragioni

sostenere la tesi che proprio questi passaggi descritti da Cassirer traccino la

linea di demarcazione tra la matematica antica e la matematica moderna.

Per esempio Bochner richiama l’attenzione sul fatto che forme di astrazione

di alto livello, quali ad esempio le ‘idee di idee’ in senso platonico, sono

rimaste del tutto estranee al pensiero greco. E quando ve ne furono, come

per esempio il concetto di ‘episteme epistemes’ in Platone (Carmide, 169a)

o il concetto della ‘noesis noeseos’ in Aristotele (Metafisica, Libro XII, cap.

9) non furono applicate a riflessioni matematiche, né trattate come punto di

77

partenza di un livello indipendente di connessioni operazionali.

1.2.4 Il problema dell’infinito e la sinteticità della matematica

Come si è già detto, Cassirer ha seguito l’opinione di Kant, secondo cui la

matematica contiene proposizioni sintetiche a priori. Kant aveva fondato ciò

sul fatto che la conoscenza matematica si realizza mediante costruzione di

concetti nella intuizione pura. Tuttavia Cassirer non accetta l’intuizione co-

me fonte conoscitiva per la matematica. Egli fa ciò riferendosi in particolare

al programma dell’aritmetizzazione, che la scuola intorno a Weierstraß, Kro-

necker, Dedekind e Cantor aveva sviluppato nel secolo XIX, al fine di poter

definire nel modo il più possibile esatto e rigoroso certi concetti matematici

fondamentali: quali per esempio il concetto del continuo, della costanza, del

limite, o il concetto di funzione. In questo modo si doveva anche creare un

solido fondamento per l’analisi. Più tardi hanno seguito questo programma

anche i logicisti intorno a Russell e Couturat. Questi sostenevano la tesi, che

tutti i concetti fondamentali della matematica si possano definire in modo

puramente logico e che la matematica pura sia deducibile da questi principı̂

funzioni reali alle funzioni complesse ovvero alle funzioni di grado superiore, i cui elementi

sono a loro volta essi stessi funzioni.

77 Cfr. The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton, 1966,

Bochner,

p. 55: “Ed è molto importante tenere in mente che ciò che costituisce un avanzamento

su questa scala delle astrazioni è in modo significativo la possibilità di adattamento e

di reinterpretazione di talune proprietà operazionali da una astrazione alla più elevata

successiva. Astrazioni senza le rispettive operazioni sono matematicamente inutili”.

32

logici. Dato che la logica in ultima analisi si fonda su giudizi di identità,

questa proprietà viene trasmessa anche ai giudizi della matematica. Cassirer

tuttavia non ha seguito questa impostazione logicistica, ma è invece rimasto

fedele alla sinteticità della matematica. Per comprendere le ragioni di ciò, è

utile osservare più da vicino il contesto della discussione dell’epoca.

La concezione dei logicisti, che in matematica si debba trattare esclusi-

vamente di giudizi analitici, già all’inizio del XX secolo suscitò opposizione.

Questa venne da uno dei più importanti matematici contemporanei, che si era

fatto un nome anche come filosofo della scienza: Henri Poincaré (1854-1912).

Poincaré oppose ai logicisti un dilemma teoretico-conoscitivo, che metteva

in causa la matematica pura. Il modo di procedere della matematica è o

induttivo o deduttivo. Posto il primo caso, ossia che essa sia non una scienza

deduttiva, bensı̀ induttiva: allora i suoi risultati non potrebbero essere sicuri;

perché proposizione ottenute in modo induttivo valgono solo con una certa

probabilità, ossia la possibilità della confutazione mediante esempi contrari è

sempre data. I risultati della matematica sono però sicuri. Dunque essa non

può essere induttiva. Se al contrario la conclusione della matematica fosse

deduttiva, allora essa deriverebbe le sue affermazioni in base a ragionamenti

puramente logici. In tal caso però la matematica non potrebbe insegnare

nulla di nuovo; poiché il principio della logica sarebbe il principio di contrad-

dizione o di identità. Ora però si dà il caso che i suoi teoremi possano fornire

conoscenze del tutto nuove quanto al contenuto. Dunque la matematica non

78

può essere deduttiva nel senso indicato. Al riguardo va notato che Poincaré

non ha affermato che le derivazioni matematiche non possano essere tradotte

in ragionamenti logici. Egli semplicemente era dell’idea che in tale traduzio-

ne qualcosa andasse perduto di ciò che, quanto al contenuto, è caratteristico

per le derivazioni matematiche.

Per sfuggire al secondo corno del dilemma, si potrebbe certo assumere

quanto segue: quand’anche la forma delle derivazioni nella matematica fosse

riducibile alle forme logiche del ragionamento, ciò non dovrebbe certo valere

incondizionatamente per i principı̂ e gli assiomi, da cui le deduzioni con-

clusive vengono tratte; si potrebbe allora far risalire la determinatezza dei

contenuti delle proposizioni matematiche alla determinatezza dei contenuti

degli assiomi. Ma, agli occhi di Poincaré, neppure questa interpretazione to-

glie la difficoltà. Certamente le proposizioni matematiche potrebbero essere

intese del tutto come proposizioni sintetiche, esse tuttavia non potrebbero in

alcun modo, quanto al contenuto, superare ciò che gli assiomi già contengo-

no. Dunque neanche in questo modo ci sarebbe un autentico progresso della

78 Cfr. su questo punto Wissenschaft und Hypothese, Leipzig/ Berlin

H. Poincaré,

(1902), 1914, p. 1 sg. 33

conoscenza. In questo caso si negherebbe alla matematica ogni momento

creativo ed innovativo. Ma appunto questo carattere creativo ed innovativo

sarebbe ciò che è tipico della matematica e grazie a ciò essa si distinguerebbe

79

in linea di principio dalle conclusioni sillogistiche della logica.

Questa interpretazione costringe Poincaré a determinare con rigore mag-

giore ciò che egli intende quando parla di momento creativo, ovvero lo induce

a chiarire in che modo questo momento creativo trovi espressione nella de-

rivazione matematica. Per Poincaré si tratta del fatto che lo spirito umano

possiede la capacità di eseguire certe operazioni e di ripeterle quante volte

voglia, nonché il potere di combinarle tra di loro, senza che le loro proprietà

mutino. Egli discute essenzialmente due esempi corrispondenti a questa ca-

pacità, ossia il principio della induzione completa, che egli designa anche

come “conclusione ricorrente”, e il concetto generale di gruppo. Perché il

principio della induzione completa è adeguato per spiegare un ampliamento

delle conoscenze della matematica per quanto riguarda il contenuto? Secondo

Poincaré il progresso della conoscenza nella matematica, come del resto anche

nelle scienze della natura, si esprime mediante progressive generalizzazioni.

Il progresso dal particolare all’universale tuttavia si imbatte all’improvviso

in un punto nel quale si deve operare il passaggio dal finito all’infinito. Se

per esempio si vuole provare la validità della legge distributiva per la mate-

matica, non è possibile fare ciò in un numero finito di passi; perché questa

legge deve [soll ] valere per tutti i numeri, dunque anche per i numeri infiniti.

A tal fine occorre un principio, che da un lato renda possibile questo pas-

saggio, che però dall’altro lato garantisca anche il necessario rigore. Tale è il

principio della induzione completa. Esso viene applicato nel modo seguente:

dapprima viene mostrato che una proposizione o una formula è valida per

un determinato numero. Successivamente viene mostrato che, se essa vale

per un qualsivoglia numero n, essa vale anche per il numero successivo n + 1.

Con ciò è indicato che essa vale per tutti i numeri. La proprietà particolare

di questo principio consiste nel fatto che in esso praticamente è riunito un in-

finito numero di sillogismi ipotetici. A differenza del procedimento induttivo

delle scienze naturali, che da un numero finito di casi osservati inferisce l’in-

sieme di tutti i casi possibili, il risultato dell’induzione matematica soddisfa

l’ideale del rigore e non è confutabile mediante esempi contrari.

Questo principio, secondo Poincaré, non è dimostrabile né per via logica

80

né mediante l’esperienza. Non per via logica, perché in ogni tentativo di di-

mostrazione logica si cadrebbe in un circolo, che presuppone esattamente ciò

che deve essere dimostrato. Perché si rende possibile un passaggio da insiemi

79 Ivi, p. 3 sg.

80 Ivi, p. 12 sgg. 34

finiti a insiemi infiniti e nel campo dell’infinito le leggi della logica valgono

ancora solo in modo assai limitato. Ciò si può chiarire con la proposizione

fondamentale che asserisce che il tutto è sempre più grande di una sua parte.

Se si considera come il tutto l’insieme dei numeri interi e come una parte

del medesimo tutto l’insieme dei [numeri] quadrati, si osserva allora che ad

ogni numero intero è possibile correlale in modo univoco il suo quadrato.

Poiché l’insieme dei quadrati è più piccolo dell’insieme dei numeri interi, ciò

significa che è possibile correlare in modo univoco il tutto a una parte. Ciò

tuttavia contraddice il presupposto che il tutto è sempre più grande della par-

te del medesimo tutto. Dunque il principio dell’induzione matematica non

è dimostrabile per via logica. Ma esso non è dimostrabile neppure mediante

l’esperienza; poiché nell’esperienza è possibile seguire sempre solo procedi-

menti che constano di una quantità finita di passi. Contrariamente a ciò il

principio dell’induzione completa implica non di meno una quantità infinita

di passi. Dunque esso non è dimostrabile né per via logica né mediante l’e-

sperienza. Di conseguenza esso neppure può essere considerato né come una

proposizione analitica a priori, né come una proposizione sintetica. Esso è

dunque una proposizione sintetica a priori, che riposa sulla possibilità della

illimitata ripetizione di una operazione dello spirito umano e non dipende da

alcuna datità esterna.

Cassirer rimanda espressamente a questa procedura dell’induzione com-

81

pleta sia nel terzo volume della Filosofia delle forme simboliche sia anche

82

nel quarto volume dello Erkenntnisproblem. Egli aderisce qui senza riserve

alla tesi di Poincaré, che questa procedura dimostrativa esprima un modo

di pensare tipicamente matematico, e la riconduce alle funzioni pure del

pensiero che si esprimono negli atti del porre l’“unità”, la “diversità”, nella

produzione della “serie” e nella operazione della “correlazione”. Egli collega

inoltre questa idea ad una critica contro i tentativi della logistica miranti a

derivare il concetto di numero dal concetto di insieme, ossia dal concetto di

classe. Ammesso anche che si riuscisse in questa impresa senza incorrere in

circoli viziosi, cosa che non sussiste affatto, sarebbe con ciò stata percorsa,

benché evitabile e superflua, una via indiretta [Umweg]:

Pertanto — come Poincaré specialmente ha fatto più volte notare

— a fondamento del principio d’induzione completa si trova una ve-

ra e propria “sintesi a priori ”. Anche per Weyl questo principio non

ha bisogno né è suscettibile di ulteriore giustificazione, giacché rap-

presenta in sé nient’altro che l’intuizione matematica fondamentale,

l’intuizione dell’“indefinito aggiungersi dell’unità”. Tutte le cosiddette

81 ECW 13, 433 sg.

82 ECW 5, 89 sgg. 35

“dimostrazioni per ricorrenza” nella matematica non perseguono altro

scopo che quello di ricondurre un determinato problema matematico a

questa fonte prima della conoscenza [letzten Erkenntnisquelle] e quin-

di al punto in cui lo si possa risolvere con certezza. Non già rapporti

fra oggetti, ma sempre soltanto puri rapporti fra atti del porre, rap-

porti che risalgono alle funzioni dell’atto che pone l’unità e dell’atto

della coordinazione, possono giustificare l’apriorità dei giudizi mate-

matici e l’“evidenza” specifica che è loro caratteristica. La logistica,

nel suo tentativo di ricavare il concetto di numero dal concetto d’in-

sieme, ha sempre respinto con particolare energia l’obiezione secondo

cui un tentativo di tal genere racchiuderebbe una petitio principii ;

ha fatto notare che il senso in cui la logica parla di “identità” e di

“diversità” non implica affatto già l’unità numerica e la pluralità nu-

merica e che quindi si avrebbe un decisivo progresso della conoscenza,

se si riuscisse a ridurre il senso “numerico” al senso puramente “lo-

gico”. Ma comunque stiano le cose circa le ragioni formali di questa

petitio principii che si rimprovera, una cosa può essere difficilmente

contestata, cioè che la deduzione del concetto di numero dal concetto

di classe nel senso critico-gnoseologico, nel senso “trascendentale“ [im

erkenntniskritischen, im streng “transzendentalen” Sinne] racchiude

in sé un usteron proteron. Infatti, per dare al concetto di classe un

contenuto determinato, bisogna già sempre introdurre in esso le fun-

zioni concettuali del porre, dell’identità, della diversità, e quindi gli

stessi rapporti che sono necessari per costituire il concetto di numero e

da cui questo può essere ricavato immediatamente, senza che si segua

83

la via indiretta del concetto di “classe”.

1.2.5 La scienza matematica della natura

Nella sezione 1.2.3 si è fatto riferimento al fatto che Cassirer concorda con

la via proposta da Kant per la soluzione del problema riguardante l’appli-

cazione dei concetti matematici alla natura, nella misura in cui anche egli

sostiene la tesi che nella umana facoltà di pensare siano ancorate certe strut-

ture universali, secondo le quali si orientano tanto le formazioni concettuali

della matematica quanto quelle della scienza della natura. In concreto egli

con ciò pensa alla “funzione originaria della rappresentazione”, la quale sot-

to le sembianze della funzione significativa gioca un ruolo importante tanto

nel campo della matematica quanto nel campo delle scienze della natura. In

effetti la matematica moderna e la scienza moderna della natura non hanno

più a che fare con singoli oggetti sensibili, bensı̀ con universali e complessi

sistemi di relazioni, che stabiliscono quali proprietà spettino agli oggetti che

83 ECW 13, 424 sg. [132-133]. 36

si vogliono o si devono di volta in volta prendere in considerazione. Questa

proposizione epistemologica fondamentale che preordina le relazioni ai relata,

da cui Cassirer prende le mosse, implica una concezione dell’oggetto di tipo

strutturale. La tesi di Cassirer è che alla concezione strutturale dell’oggetto

della matematica corrisponda una analoga concezione dell’oggetto nelle teo-

rie della fisica moderna. Questa concezione dell’oggetto costituisce dal suo

punto di vista anche la chiave per comprendere il cammino della scienza della

natura dai suoi inizi nell’età moderna fino all’epoca contemporanea. Trat-

teggiamo ora in breve questo punto assumendo come esempio il passaggio

84

dalla meccanica classica alla teoria della relatività speciale e generale.

La rappresentazione del movimento di una particella di massa limitata

nello spazio tridimensionale euclideo costituiva il punto di partenza della

meccanica classica. Le regolarità del movimento furono determinate median-

te gli assiomi ovvero le leggi del movimento, nonché una serie di concetti fon-

damentali e di principı̂ , che Newton aveva enunciato all’inizio dei Principia.

L’oggetto della meccanica era definito dalla correlazione a questo complesso

di condizioni concettuali. La rappresentazione dell’oggetto della meccanica

classica era ancora improntata alla rappresentazione di parti dello spazio tri-

dimensionale occupate, che rassomigliano ai corpi percepibili nell’esperienza

quotidiana e che si muovono in uno spazio vuoto. L’immutabilità delle unità

di misura di lunghezza e il significato assoluto del concetto della simultaneità

furono presupposti senza problemi.

Nel quadro della teoria speciale della relatività, tuttavia, il significato as-

soluto dei concetti di lunghezza spaziale e di simultaneità viene notevolmente

ristretto. Tutti i sistemi di riferimento, che si muovono l’uno contro l’altro in

modo rettilineo ed uniforme, per la descrizione dei processi naturali devono

essere considerati equiparati nei diritti. Tuttavia valgono poi per ciascuno di

questi sistemi di riferimento condizioni particolari quanto al comportamento

degli orologi e dei parametri fissi. Ciò significa che una determinata lunghez-

za viene misurata relativamente a un sistema di riferimento K. Se si passa

0

a un sistema di riferimento K , che si muove in modo rettilineo-uniforme

relativamente a K, non è allora a priori sicuro che la misurazione delle lun-

0

ghezze in riferimento a K dia lo stesso valore. Lo stesso dicasi per le distanze

temporali e per gli eventi simultanei. Neppure a questi parametri spetta più

un significato assoluto, bensı̀ essi valgono sempre soltanto in relazione a un

determinato sistema di riferimento.

Cosa consegue da ciò per il concetto di oggetto della fisica moderna? Nella

84 Cfr. su questo punto Ernst Cassirer and the Structural Conception of

K.-N. Ihmig,

Objects in Modern Science: The Importance of the ‘Erlanger Programm’, in “Science in

Context”, 12.4.1999. 37

teoria speciale della relatività una definizione univoca dell’accadere naturale

riposa sula scelta di un sistema inerziale. Poiché in linea di principio ci so-

no infiniti sistemi inerziali, e questi tuttavia devono essere considerati come

condizioni della possibilità dell’oggettività, sembra che l’unità e l’univocità

del concetto di oggetto venga annullata. Subentra al suo posto il significato

del concetto di oggetto di tipo strutturale. L’unità dell’oggetto riposa sul

fatto che ci sia una possibilità di mettere in relazione l’uno sull’altro in modo

univoco e in base a leggi l’accadere naturale nei diversi sistemi di riferimen-

to. Quand’anche le misurazioni delle grandezze spaziali e temporali diano

valori diversi per i diversi sistemi inerziali, l’unità del concetto di oggetto

viene ristabilita su un piano superiore, a condizione che sia possibile in ma-

niera univoca e conforme a leggi una conversione dei valori nel passaggio da

un sistema di riferimento ad un altro. Nel caso della teoria speciale della

relatività, questa conversione viene fissata mediante le formule della trasfor-

mazione di Lorentz. Ciò significa che l’unità dell’oggetto riposa sull’unità

legale [gesetzmäßigen Einheit] dei sistemi inerziali. In conseguenza di ciò le

85

leggi naturali sono fissate come invarianti rispetto a tali trasformazioni.

Nella meccanica classica la dipendenza del concetto di oggetto da un com-

plesso di leggi universalmente valide si riferiva alle leggi fondamentali della

geometria, che sembravano trovare la loro immediata “materializzazione” nei

corpi (approssimativamente) rigidi. Nella teoria speciale della relatività in-

vece si presenta uno strato più generale di legalità, le quali si riferiscono non

più immediatamente ai corpi, bensı̀ alle operazioni, che devono rendere possi-

bile il passaggio da un sistema di riferimento ad un altro. Le determinazioni,

che rispetto a queste trasformazioni si dimostrano come invarianti, sono gli

autentici oggetti di questa teoria.

La teoria generale della relatività si spinge ancora oltre su questa strada.

La limitazione del principio di relatività ai moti rettilinei-uniformi è stata

da Einstein avvertita come insoddisfacente e artificiosa. Di conseguenza egli

considerò come una esigenza naturale l’estensione di questo principio a qual-

sivoglia genere di movimenti. Questo passo ha come conseguenza, che per la

teoria generale della relatività non c’è più alcuna classe eccellente di sistemi

di riferimento globali. Con ciò non è più possibile un riferimento a parame-

tri rigidi. Vero è che già la teoria speciale della relatività implica che tali

parametri possano subire un cambiamento nel passaggio da un sistema di ri-

ferimento ad un altro. Ma il carattere globale di queste trasformazioni viene

ancora conservato. Rispetto a ciò la teoria generale della relatività cono-

sce solo ancora parametri ‘infinitamente piccoli’, che valgono esclusivamente

per un singolo punto e per i punti ad esso adiacenti su scala infinitesimale.

85 Cfr su questo punto ECW 10, 20-26 [485-493].

38

Nel passaggio da un punto a un altro, il quale abbia una determinata di-

stanza finita, il parametro può subire una qualsiasi (continua) deformazione.

Per questa ragione si deve operare il passaggio dalla geometria euclidea alle

86

coordinate di Gauß.

Una serie di determinazioni, che nella teoria speciale della relatività veni-

vano ancora pensate come invarianti ed immutabili, perdono questa proprietà

nella teoria generale della relatività. Fa parte di ciò, oltre alla progressiva

relativizzazione dei parametri rigidi, in particolare la relativizzazione della

legge della costanza della velocità della luce nel vuoto. Secondo la teoria

generale della relatività raggi luminosi in vicinanza di campi gravitazionali

subiscono una deviazione. Deriva da qui il compito di ristabilire l’unità del-

l’oggetto dell’esperienza scientifica da un punto di vista più alto. Le leggi di

trasformazione della teoria generale della relatività si riferiscono esclusiva-

mente ai dintorni infinitamente piccoli dei punti (quadridimensionali) di una

molteplicità spazio-temporale.

Cosa indica lo sviluppo che è stato qui delineato per la concezione strut-

turale dell’oggetto, che Cassirer sostiene nel quadro della sua ‘concezione fun-

zionale della conoscenza’ ? Esso indica un processo di universalizzazione, che

può essere caratterizzato in questi termini: ciò che costituisce l’oggetto della

teoria viene determinato mediante una serie di trasformazioni, che lasciano

invarianti certe grandezze fisiche o certe leggi. Sotto il presupposto della

rappresentazione tradizionale della sostanza, che, riprendendo l’esperienza

quotidiana, limitava il concetto di oggetto a parti di spazio impenetrabili,

tridimensionali, strutturate in senso euclideo, questo processo di universaliz-

zazione, che implica un passaggio dal dato intuitivo ai livelli di astrazione

delle trasformazioni matematiche, non sarebbe pensabile. L’unità dell’espe-

rienza poteva essere costituita solo sul ‘piano delle leggi’, non più invece sul

‘piano delle cose’.

Non furono molti in quel periodo (cioè negli anni 1920 e 1930) gli scienzia-

ti, tanto meno i filosofi, che al pari di Cassirer (qui andrebbe nominato anche

Hermann Weyl) abbiano cosı̀ chiaramente sviscerato il significato e l’impor-

tanza della concezione strutturale dell’oggetto per il progresso nel campo

della matematica pura e della sua applicazione nelle scienze della natura. Il

metodo del contrassegnare delle invarianti relativamente a determinate ope-

razioni offre un eminente vantaggio al seguente riguardo. In linea di principio

la procedura può essere reiterata a piacere. Di conseguenza è possibile un

passaggio a sempre più elevati livelli di astrazione o ‘piani di oggettività’,

come occasionalmente li chiama Cassirer. Ogni insieme di operazioni può

essere fissato mediante un simbolo. Questo simbolo a sua volta può poi es-

86 Ivi, 66 sg. [540-541]. 39

sere considerato come elemento di un insieme sovraordinato di operazioni.

Diciotto anni dopo Cassirer, il fisico inglese Arthur Eddington ha fatto rife-

rimento all’importanza fondamentale del punto di vista strutturale in campo

fisico: La scienza fisica consiste in una conoscenza puramente struttura-

le, sicché noi conosciamo soltanto la struttura dell’universo che essa

descrive. Questa non è una congettura su come deve essere la natura

della conoscenza fisica; ciò è precisamente quello che la conoscenza

fisica, come è formulata nella teoria del nostro tempo, stabilisce essa

87

stessa di essere.

2 Biologia — Questioni di autonomia

2.1 Epistemologia e Antropologia 88

Nella sua prefazione a The Problem of Knowledge Charles Hendel osserva

che nessuno dei contributi dedicati a Cassirer nella Library of Living Phi-

losophers ha come suo oggetto la biologia — e ciò, benché Cassirer abbia

89

dimostrato un grande interesse per la biologia. Egli aveva per lo meno

un duplice interesse: da una parte un interesse epistemologico, dall’altra un

interesse antropologico. Quest’ultima prospettiva è quella del antropologo e

filosofo Cassirer, che lavora ad una teoria della cultura ed è interessato a una

biologia della rappresentazione. Non è certo un caso, che Cassirer nel Saggio

sull’uomo definisca l’uomo come animal symbolicum, come animale creatore

90

di simboli — che crea simboli, certo, ma appunto anche animale. La prima

prospettiva è quella del Cassirer critico della conoscenza, che lavora ad una

teoria e a una storia delle scienze ed è interessato alla questione, su come lo

sviluppo delle forme simboliche abbia determinato lo sviluppo della biologia.

87 The Philosophy of Physical Science, Cambridge, 1939, p. 142.

A. Eddington,

88 The Problem of Knowledge. Philosophy, Science, and History since

E. Cassirer,

Hegel (1950), New Haven and London, 1966, p. XII [Traduzione inglese di ECW 5: Das

Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit. Vierter Band:

Von Hegels Tod bis zur Gegenwart (1832-1932)].

89 Ivi. Hendel fa riferimento anche ad una annotazione di Gawronsky contenuta nel suo

saggio sui lavori che Cassirer ha dedicato a Kant. In quella nota Gawronsky sostiene che

“forse il più importante di questi contributi è l’analisi cassireriana dell’idea fondamentale

della Critica della capacità di giudizio di Kant e la sua spiegazione del perché Kant basò

la sua teoria del giudizio su due radici apparentemente cosı̀ differenti quali la filosofia

dell’arte, da una parte, e la biologia, dall’altra”.

90 An Essay on Man. An introduction to a philosophy of human culture

E. Cassirer,

(1944), New Haven and London, 1972. 40

Oltre a ciò egli e dell’avviso che nei tentativi della biologia, volti a ‘spiegare’

la vita, affiori un problema che somiglia molto al suo problema del simbolico.

Nel suo occuparsi della biologia come una forma simbolica suscettibile

di trasformazioni Cassirer ha studiato lo sviluppo della scienza biologica dai

suoi inizi nell’antichità fino al dibattito contemporaneo sul darwinismo e il

vitalismo (in Driesch e von Uexküll). Egli scopre nello sviluppo della scienza

biologica il modello universale, che dal pensiero mitico passando per l’asse-

gnazione del nome e la tassonomia conduce fino alla teoria. Nella biologia

fu naturalmente Darwin il pensatore e uomo di scienza che compı̀ il passo

decisivo verso la formazione della teoria.

Laddove invece la questione riguarda la biologia della rappresentazione,

è l’opera di Jakob von Uexküll che assume un ruolo centrale nel pensiero di

Cassirer. Nei lavori di Uexküll sull’‘ambiente’ [Umwelt], nel quale ogni orga-

nismo vive in conformità al proprio progetto costruttivo [Bauplan], Cassirer

scopre un tema fondamentale del suo proprio pensiero: la dipendenza della

realtà dalla specifica forma (morphé) dell’organismo. Nello stesso tempo il

biologo assolve per lui la funzione dell’elemento di contrasto (simile a quella

assolta dal partner amico-nemico per il pugile che si allena in palestra): per

l’uomo, ciò che determina l’ambiente non è tanto l’anatomia, quanto invece

il simbolo. Con il simbolo gli uomini sono entrati in un nuovo regno della

forma. Ciò ha permesso loro non solo di portarsi ad una certa distanza ri-

spetto alla realtà naturale, bensı̀ anche di ottenere un sapere oggettivo su

tale realtà e di raggiungere anche un certo grado di libertà.

Lo status ontologico specifico dei tre livelli formali (forma fisica, forma

organica e forma simbolica) come anche le conseguenze epistemologiche che

derivano dalle distinzioni ontologiche collegano i due ambiti del ‘pensiero

biologico’ di Cassirer. La sua concezione dello status ontologico del simbolico

(come anche dell’organico) costituisce il fondamento tanto per la sua critica

del riduzionismo nella biologia quanto anche per la sua risoluta difesa della

specificità dell’umano rispetto al biologico.

2.2 La rappresentazione della biologia

2.2.1 La logica della scienza

Aristotele sviluppò per primo un sistema concettuale per la biologia. Egli

concepı̀ la biologia come un tutto in sé concluso e fece in questo modo ciò che

Platone aveva fatto con la matematica. Il sistema aristotelico fu seriamente

messo in discussione per la prima volta solo da Descartes. Descartes scoprı̀

una nuova, universale forma di scienza. La conseguenza di ciò fu una tra-

sformazione generale ed una riorganizzazione di tutti gli ambiti scientifici; da

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questa dispensa si riferisce alle lezioni di Storia della filosofia moderna, tenute dal Prof. Giuseppe Saponaro nell'anno accademico 2011 in cui sono trattati i temi del pensiero critico ed esponenti della filosofia trascendentale, in particolare questa dispensa è dedicata alla scienza come forma simbolica secondo il pensiero di Cassirer.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in filosofia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Storia della filosofia moderna e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saponaro Giuseppe.

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