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ti non sono più assolute potenze dell’essere, ma servono ad indicare

5

determinate differenze di significato e strutture di significato.

Questa valutazione, tratta dalla Introduzione alla Filosofia delle forme

simboliche, terzo volume (1929), non fa che ribadire quella già ampiamente

formulata e dimostrata da Cassirer in forma sistematica in Substanzbegriff

und Funktionsbegriff (1910) e prima ancora in forma storica nel volume primo

dello Erkenntnisproblem (1906).

1. La conoscenza scientifico-naturale non consiste affatto in un riprodurre

sostanze, bensı̀ in un operare con simboli.

2. “È la fisica moderna che per prima compie il passaggio dall’essere [Sein]

all’attività [Tätigkeit], dal Substanzbegriff al Funktionsbegriff ”. (ECW

2, 63)

Sul piano storico, non si tratta di un salto rivoluzionario, che si consuma

in un sol giorno, bensı̀ di una progressiva auto-dissoluzione della “concezione

ingenua” del conoscere, inteso come “un processo, nel quale una realtà in sé

già presente, ordinata ed articolata viene da noi riprodotta nella coscienza”.

Il superamento progressivo della visione ingenua del conoscere viene vista da

Cassirer come una tendenza generale della storia intellettuale del secolo XIX.

A ciò, secondo Cassirer, avrebbe a suo modo contribuito anche la preminenza

della conoscenza storica a partire da Hegel.

Già nella formulazione stessa della questione riguardante la “corrispon-

denza” tra rappresentazione ed oggetto la filosofia critica vede una falsa stra-

da, che conduce nel vicolo cieco dell’associazione di simboli concettuali a

“cose in se” trascendenti. Essa stessa deve comparire in giudizio nel tribuna-

le della ragione per rendere conto della questione riguardante le correlazioni

interne al conoscere, a cominciare dal rapporto tra i concetti dell’intelletto e

l’intuizione empirica:

La corrispondenza, l’unica che si possa esigere ed attuare, riguarda

il rapporto esauriente tra i concetti e l’intuizione empirica, in modo

tale che le leggi a priori dell’intelletto vengano ritrovate nelle regole

dell’accadere empirico, in ciò che è possibile percepire ed osservare con

i sensi. Unicamente in ciò risiede la loro “oggettiva” attestazione, la lo-

ro “verifica” in un senso empiricamente significativo ed empiricamente

6

dimostrabile.

5 Filosofia delle forme simboliche, trad di E. Arnaud, Vol. III/1:

E. Cassirer,

Fenomenologia della conoscenza, La Nuova Italia, Firenze, 1966, p. 14.

6 Erkenntnistheorie nebst den Grenzfragen der Logik und Denkpsycholo-

E. Cassirer,

gie, 1927, in Erkenntnis, Begriff, Kultur, a cura di R.A. Bast, Hamburg,

E. Cassirer,

1993, p, 130. 5

I concetti possono “riferirsi” ad oggetti, perché essi costituiscono questi

stessi come oggetti di concetti. In questo senso Cassirer sottolinea in Zur

Einsteinschen Relativitätstheorie (1921):

Ad ogni misurazione oggettiva deve essere aggiunto per cosı̀ dire

un determinato indice soggettivo, che renda conoscibili le particolari

7

condizioni di quella misurazione.

Gli oggetti delle scienze empiriche vengono riferiti ad oggetti dell’esperienza

secondo regole che emergono non a partire dagli oggetti, bensı̀ in conformità

ai concetti: “è l’ordinamento del sapere ciò con cui, nella considerazione

8

critico-conosciva, noi determiniamo l’ordinamento degli oggetti”.

Proprio questo aspetto verrebbe ignorato dalle correnti dell’empirismo e

del positivismo dominanti nel secolo XIX, le quali non si rendono neppure

conto dell’equivoco in cui operano: cedono al fascino dei “dati di fatto”, si

illudono che la semplice “datità” dei fatti basti da sola a garantirne anche

l’oggettività, credono che le regole emergano dagli oggetti.

Cassirer riprenderà la questione anche più tardi in An Essay on Man

9

(1944), sia nel capitolo undicesimo, dedicato alla “Scienza”, sia nel capitolo

quinto, intitolato “Fatti e ideali”:

Qui si presenta un problema generale, di notevole importanza per

il carattere e lo sviluppo della cultura. Gli empiristi e i positivisti han-

no sempre sostenuto che il fine più alto dell’intelletto umano è quello

di far conoscere dei fatti, null’altro che fatti. Ogni teoria non basata

su fatti sarebbe campata in aria Ma con ciò più che risolvere il pro-

blema del vero metodo scientifico, si va semplicemente ad indicarlo.

Che cosa vuol dire un “fatto scientifico”? Evidentemente nessun fatto

del genere ci è fornito da osservazioni casuali o dal semplice accumu-

lo di dati sensoriali. I fatti della scienza presuppongono sempre un

10

elemento teoretico, epperò simbolico. Se non la maggior parte dei

7 ECW 10, 9; cfr. ECW 13, 24.

8 ECW 6, 117.

9 “Nel presente capitolo non ho inteso esporre i lineamenti di una filosofia della scienza

o di una fenomenologia della conoscenza. Il secondo problema è stato da me discusso

nel terzo volume della Philosophie der symbolischen Formen (1929), il primo in Substance

and function e in Einstein’s theory of relativity (1923), oltreché in Determinismus und

Indeterminismus in der modernen Physik (Göteborgs Högskolas Arsskrift, 1936, I). Qui

ho cercato solamente di indicare succintamente la funzione generale della scienza e di

stabilirne la collocazione nel sistema delle forme simboliche.” Cfr. Saggio

E. Cassirer,

sull’uomo e Lo strutturalismo nella linguistica moderna, Armando Editore, Roma, 1977,

pp. 343-363.

10 L’elemento simbolico non è in questo caso da riferire al concetto filosofico generale

(cassireriano) di “forma simbolica”, quanto piuttosto alla forma dei segni particolari con

cui le scienze della natura si esprimono a partira da Galilei.

6

fatti scientifici, almeno molti di quelli che hanno mutato il corso della

11

storia della scienza, prima di divenire fatti sono stati ipotesi.

Il secondo volume del Nachlass cassireriano, Ziele und Wege der Wirklich-

keitserkenntnis, pubblicato nel 1999 [ECN 2], raccoglie materiali preparatori

degli anni 1936/37. Il suo contenuto è articolato in quattro capitoli:

1. Die drei Grundrichtungen der Wirklichkeitserkenntnis;

2. Die mathematische Synthesis

3. Die Invarianten der Wahrnehmung und des Begriffs;

4. Kulturwissenschaft und Geschichtswissenschaft.

Cosı̀ ne parla lo stesso Cassirer in una lettera a Gottfried Bermann-Fischer

(27 giugno 1938):

Sono attualmente impegnato nella elaborazione di due grossi la-

vori, i quali devono occuparsi, in modo sistematico e storico, del pro-

blema della conoscenza. L’uno deve portate il titolo “Scopi e vie della

conoscenza della realtà” e fornire una visione d’insieme sistematica

generale sui diversi metodi che vengono impiegati nelle singole scienze

(Matematica, Fisica, Biologia, Storia) e che determinano rispettiva-

mente il loro “concetto di realtà”. Il secondo lavoro intende essere

l’integrazione storica del primo: io voglio scrivere come conclusione

della mia storia dell’Erkenntnisproblem un quarto volume, il quale de-

ve trattare lo sviluppo del problema negli ultimi 100 anni, dunque

12

dalla morte di Hegel fino al tempo presente.

A sostegno e chiarimento della sua tesi, in ECN 2, 97, Cassirer si richiama

alla “moderna psicologia della percezione”, la quale avrebbe, a suo modo di

vedere, operato “in linea di principio un distacco dal sensualismo”. Egli cita

Karl Bühler, con le cui tesi egli concorda:

“I dati dei sensi — cosı̀ spiega per es. Karl Bühler — sono segni

[Zeichen], stanno per qualcosa di diverso da ciò che essi stessi sono, e

rappresentano [vertreten = stanno al posto di] il designato [Bezeich-

nete] [. . . ] In ciò consiste la funzione segnica dei dati dei sensi nelle

nostre osservazioni”

Cassirer sottolinea:

11 Ivi, p.129.

12 ECN 2, quarta di copertina. 7

Con ciò viene riconosciuto che l’autentico valore conoscitivo delle

percezioni in generale non va colto in base alle loro semplici “qualità”,

13

bensı̀ che esso riposa sulla “pregnanza simbolica” insita in esse.

Un altro studioso con cui Cassirer concorda è Pierre Duhem, il quale vie-

ne da lui spesso citato a sostegno e a conferma della propria concezione del

simbolo. Per es., già in Substanzbegriff und Funktionsbegriff, analizzando la

formazione del concetto nelle scienze della natura, egli evidenzia il caratte-

re sospetto dei cosiddetti “dati di fatto” e della comprensione positivistica

dell’empiria:

Solo quando il crudo fatto viene rappresentato e rimpiazzato con

un simbolo matematico, comincia il lavoro intellettuale del comprende-

14

re, che lo congiunge in modo sistematico con la totalità dei fenomeni.

Più tardi, nel suo studio su Einstein (1921), Cassirer cita una frase di

Duhem contenente il concetto di “forma simbolica”:

I fatti di esperienza, presi nella loro ingenua brutalità, non potreb-

bero servire al ragionamento matematico; per alimentare tale ragio-

15

namento, essi vanno trasformati e messi in forma simbolica.

Ancora, la sezione seconda della “Introduzione” a ECW 13 [III/1](dedicata

alla “conoscenza simbolica e al suo significato per la costruzione del mondo

oggettuale” [pp. 22-30]) si conclude con un esplicito riferimento a Duhem:

[. . . ] il concetto di simbolo è addirittura diventato il centro di

tutta la gnoseologia della fisica. Come tale è stato riconosciuto e indi-

cato particolarmente negli studi di Duhem sull’oggetto e la struttura

della fisica. Per Duhem questo concetto rappresenta la vera linea di

confine fra la semplice empiria e la rigorosa teoria fisica. L’empiria

sembra potersi accontentare di cogliere e di disporre l’uno dopo l’altro

in maniera semplicemente descrittiva i singoli fatti, quali si offrono

all’osservazione sensibile. Ma una siffatta descrizione di concreti feno-

meni sensibili non raggiunge mai neppure la forma più semplice di un

13 ECN 2, 97.

14 ECW 6, 169 sg, [200]; vedi anche ivi, p. 156 sgg. [195-197]; cfr. P.-M. Duhem,

La théorie physique, son objet et sa structure, Paris 1916. Sulla teoria cassireriana del

concetto vedi in particolare Zur Theorie des Begriffs (1928), in

E. Cassirer, Cassirer,

Erkenntnis, Begriff, Kultur, cit.; sul rapporto Cassirer/Duhem cfr. in particolare K.-N.

Grundzüge einer Philosophie der Wissenschaften bei Ernst Cassirer, Darmstadt,

Ihimig,

2001, 102 sgg. e Ernst Cassirer und Pierre Duhem, in

M. Ferrari, E. Rudolph, E./

(a cura di), Kulturkritik nach Ernst Cassirer [Cassirer-Forschungen, 1],

B.-O. Küppers

Hamburg 1995.

15 ECW 10, 90 [571]. 8

concetto della fisica e tanto meno la forma di una legge fisica. Le leggi

infatti non sono mai semplici raccolte di fatti sensibili, per cui i singoli

fenomeni vengano soltanto allineati come su di un filo. Ogni legge in-

vece, a paragone delle percezione immediata, indica una metábasis eis

állo génos, un passaggio a una nuova forma di pensiero. Essa viene

raggiunta solo in quanto in luogo dei dati concreti forniti dall’osser-

vazione vengono poste rappresentazioni simboliche, le quali debbono

corrispondere a questi dati sulla base di determinati presupposti teo-

retici, ammessi dall’osservatore come veri e validi. Ogni giudizio della

fisica si muove necessariamente in quest’ambito: esso non è affatto la

semplice constatazione di una molteplicità di singoli fatti osservabili,

ma esprime un rapporto tra concetti astratti e simbolici. Il significato

di questi concetti non si manifesta alla sensazione immediata, ma può

essere determinato e accertato solo con un processo intellettuale di

interpretazione molto complesso: e proprio questo processo, proprio

questa interpretazione da parte del pensiero è ciò che forma l’essenza

della teoria della fisica. Pertanto tra il mondo dei fatti e il mondo

dei concetti della fisica rimane sempre una frattura, una specie di hia-

tus. Parlare di una uguaglianza o somiglianza tra i contenuti di questi

due mondi non ha alcun senso comprensibile. Sussiste invece sempre

una disparità fra il fatto “pratico” [praktische Tatsache], che si può

realmente osservare, e il fatto teoretico [theoretische Tatsache], cioè la

formula in cui il fisico esprime [ausspricht] la sua osservazione. Fra

questi due fatti invero vi è appunto tutto quel lavoro estremamente

complesso del pensiero, in virtù del quale in luogo di un racconto di

fatti e di eventi concreti viene posto un giudizio, che come tale ha un

significato puramente astratto e può essere in genere formulato solo

16

mediante l’applicazione di determinati segni simbolici. Naturalmen-

te questo non significa che la moderna teoria gnoseologica della fisica,

17

in opposizione a quella classica, abbia rinunciato alla esigenza di

realtà dei concetti di questa scienza, bensı̀ che definisce quest’esigen-

za in altro modo e deve realizzarla [vermitteln] in maniera molto più

complessa. Il riconoscere il carattere simbolico di questi concetti non

è in contrasto con la loro validità oggettiva; rappresenta invece piut-

tosto un elemento di questa stessa validità e della sua motivazione

teoretica. Sorge qui una massa di problemi, dei quali inizialmente non

affrontiamo la soluzione; per le nostre considerazioni introduttive ba-

16 Cfr. La Théorie physique, cit., pp. 245 sgg., 269 sgg.

Pierre Duhem,

17 Alla fine del capoverso precedente [p. 27] Cassirer aveva evidenziato un certo “mate-

rialismo metodologico” come un carattere costante nello sviluppo e nella dialettica delle

scienze: “Nella storia del pensiero scientifico si rivela sempre la forza di questa tendenza

fondamentale, si rivela l’aspirazione a convertire il funzionale in sostanziale, il relativo in

assoluto, i concetti esprimenti misure in concetti esprimenti cose”.

9

sta da principio fissare la questione e indicare il posto che essa occupa

18

nel sistema complessivo della nostra ricerca.

Il richiamo all’ordine anche in questo campo contro le costanti ricadute

nel “materialismo metodologico” viene dunque dalla fisica stessa e dalla teo-

ria scientifica della fisica. Tuttavia ciò non avverrebbe in nome di un vuoto

19

“formalismo metodologico” (o di un “idealismo metodologico”). Nel ca-

pitolo conclusivo di ECW 13, [III/2], intitolato: “Le basi della conoscenza

scientifica della natura” Cassirer mostra come si manifesti anche nel campo

della fisica moderna la dialettica platonica della “separazione” [chorismós] e

della “partecipazione” [méthexis]:

Da questo punto di vista non c’è più quel netto contrasto fra “in-

duzione” e “deduzione”, che di solito viene affermato e formulato nella

polemica delle scuole concernente la critica della conoscenza. “Indu-

zione” e “deduzione”, “esperienza” e “pensiero”, “esperimento” e “cal-

colo” appaiono piuttosto soltanto momenti diversi, e tuttavia egual-

mente indispensabili, della stessa formazione dei concetti [Begriffsbil-

dung] della fisica; momenti che alla fine si incontrano nella soluzione

di un unico problema: la trasformazione del dato nella forma di una

20

pura molteplicità numerica.

Trattando il problema della costruzione della teoria degli insiemi e della

“crisi dei fondamenti” della matematica (Parte terza, cap. IV, sez. II, in

III/2) Cassirer si sofferma sul conflitto anche in campo matematico tra

il metodo deduttivo — privilegiato dai cosiddetti “formalisti” (detti an-

che “fondazionalisti”, ”logicisti”: Frege, Russell), i quali considerano

l’aritmetica come un semplice caso speciale di una generale teoria degli

insiemi e deducono logicamente la serie dei numeri naturali dal concetto

di classe e dal concetto di insieme — e

la procedura della “induzione completa” , privilegiata dai cosiddetti

“intuizionisti” (Brouwer), che al concetto di classe farebbero sottentrare

il primato della relazione.

In questo caso, sottolinea Cassirer, l’uso del termine “induzione” in campo

matematico si discosta del tutto dal senso che ad esso danno gli empiristi:

Questo nome certamente può suscitare qualche preoccupazione.

Esso in vero sembra ricondurre la matematica, invece che alla logica,

18 ECW 13, [III/1, 29-30].

19 Sulla “idealizzazione della fisica” cfr. ECW 13, [III/2, 203].

20 ECW 13, 497; [III/2, 204-205]. 10

alla scienza empirica e volerla ancorare a un procedimento fondamen-

tale di questa. Ma l’“induzione” di cui qui si tratta è nettamente

distinta dal procedimento della “generalizzazione empirica”, che di

solito viene inteso con questo termine. Essa ha conservato il senso ori-

ginario della parola: il senso dell’epagogé, il senso del “condurre verso

qualcosa”. Questo “condurre verso qualcosa” non meriterebbe questo

nome, se restasse un semplice brancolar nel buio, se non disponesse di

un criterio generale per indicare la direzione in cui procedere. La vera

induzione matematica non si limita quindi a cercare la via che conduce

all’universale, ma indica questa via; anzi è essa stessa questa via. E

il suo vero principio direttivo non è quel ragionamento induttivo che

da un certo numero di casi particolari passa a una congettura ipote-

tica o a un’affermazione circa la totalità dei casi, ma è la cosiddetta

“inferenza da n a n + 1”. In quest’inferenza determinazioni trovate

e dimostrate in singoli casi, cioè per singoli numeri, non già vengono

raccolte ed estese ad altri casi parimenti singoli, ma in certo qual mo-

do si risale al principio assoluto del numero: si riconosce che la stessa

relazione fondamentale, onde un termine della serie numerica è lega-

to al termine “immediatamente successivo”, si estende alla totalità di

21

questa serie e la determina in tutte le sue parti.

Al problema dell’induzione e al rapporto tra induzione e deduzione già

in Substanzbegriff und Funktionsbegriff (1910) Cassirer dedica una esauriente

trattazione (Capitolo quinto). Ma il suo interesse al problema persiste anche

in III/2. Se con il termine “induzione” si intende la tradizionale procedura

della “generalizzazione empirica”, allora con ciò non si indica null’altro che

un problema. Infatti, se l’induzione punta sul “particolare” solo allo scopo di

pervenire all’“universale”, epperò ogni giudizio singolare fin dall’inizio pre-

tende per sé una incondizionata validità, allora deve essere spiegato in che

modo una osservazione singola possa essere integrata in una totalità, in un

ordinamento dei fenomeni. Per Cassirer è già il concetto induttivo stesso,

che compie l’assegnazione ad un certo ordinamento:

[. . . ] per esempio, noi determiniamo la posizione astronomica dei

corpi celesti per un dato istante del tempo fondandoci sulle relazioni

universalmente valide che ci sono offerte dai principı̂ della meccanica,

nonché dalla legge di gravitazione. Non la semplice e singola determi-

nazione cronologica come tale, bensı̀ l’inserimento di questa determi-

nazione nel processo complessivo dell’accadere forma anche qui il vero

scopo dell’induzione.

Il “segreto dell’induzione”, del quale spesso si è parlato, non comin-

cia quindi solo [erst] là dove da una pluralità di osservazioni ricaviamo

21 ECW 13, 433-434 [III/2, 131-132]. 11

una conclusione circa la totalità dei casi, bensı̀ è già completamente

contenuto nella constatazione di un singolo caso. La soluzione del pro-

blema dell’induzione può essere trovata solo in questo ampliamento del

suo significato.

[. . . ]

Il primo risultato [Leistung] che si chiede al “concetto” induttivo

nel senso rigoroso di questa parola, consiste nel convertire la pluralità

delle osservazioni presentatesi inizialmente come una semplice e slega-

ta giustapposizione [Nebeneinander ] di singoli elementi, in una stabile

22

forma seriale [Reihenform].

Anche in altri contesti problematici Cassirer sottolinea il rapporto tra

osservazione e legge, che egli considera importante per la soluzione del pro-

blema dell’induzione. Nel suo tardo studio del 1937, Determinismus und

Indeterminismus in der modernen Physik, la sua soluzione è la seguente:

Ciò che in verità costituisce il contenuto del nostro sapere empiri-

co, è [. . . ] l’insieme delle osservazioni, che noi riuniamo in determinati

ordini e che, in conformità a quest’ordine, noi possiamo presentare

[darstellen] mediante concetti di legge teoretici. Quanto più si estende

il dominio di questi concetti, tanto più si estende anche il nostro sape-

re oggettivo. C’è “oggettualità” ovvero “realtà oggettiva”, in quanto e

nella misura in cui c’è legalità, non viceversa. [. . . ] Noi non rileviamo

semplicemente le leggi “dagli oggetti”, bensı̀ condensiamo i dati em-

pirici, che ci sono accessibili mediante l’osservazione e la misurazione,

in leggi e con ciò in asserzioni oggettive, e al di fuori di queste non c’è

23

per noi nessuna realtà oggettiva che si possa indagare e cercare.

Di conseguenza, per Cassirer, il dissidio tra induzione e deduzione è solo

apparente: esse designano passi che si avvicinano l’uno all’altro sulla via della

conoscenza, la quale non è possibile senza la connessione del singolare in un

ordine: Il taglio [. . . ] fra percezione e pensiero, distrugge non meno il

concetto di coscienza che il concetto oggettivo di esperienza. Ogni

coscienza esige una certa specie di connessione, e ogni forma di con-

nessione presuppone una relazione del singolo con un tutto complessi-

vo, presuppone l’inserimento del contenuto individuale in un sistema

generale. Per quanto questo sistema sia pensato primitivo e involuto,

non si può tuttavia mai eliminare del tutto senza che venga distrutto

22 Cfr. ECW 6, 265 e 272 [327-328 e 335-336].

23 Determinismus und Indeterminismus in der modernen Physik. Hi-

E. Cassirer,

storische und systematische Studien zum Kausalproblem (1936), in Zur

E. Cassirer,

modernen Physik, Darmstadt, 1987, p. 279 [traduzione mia].

12

il contenuto stesso. Un quid di percezioni assolutamente senza rego-

la e senz’ordine è perciò un’idea che non si può mai realizzare come

finzione metodologica: infatti, la semplice possibilità della coscienza

implica almeno l’anticipazione concettuale di un ordine possibile, an-

che se non ancora accertato nei suoi particolari. Se pertanto si indica

come “transsoggettivo” ogni elemento che trascenda il dato imme-

diato della sensazione, si ammette allora la paradossale proposizione

secondo cui non solo la certezza dell’oggetto, ma anche la certezza del-

la coscienza nasconde in sé un elemento “transsoggettivo”. Cosı̀ che

anche il semplice “giudizio di percezione” acquista il suo significato

solo mediante il riferimento al sistema dei giudizi d’esperienza e deve

quindi necessariamente riconoscere le condizioni concettuali di questo

24

sistema (cfr. sopra p. 326).

Infine — nel primo dei suoi cinque studi raccolti in Zur Logik der Kul-

turwissenschaften (1942) [Cassirer 1942], riguardante “l’oggetto della scienza

della cultura” — Cassirer si richiama al teorema di Vico, secondo cui “ogni

25

essere comprende e coglie veramente solo ciò che egli stesso produce”. Per

Cassirer ciò vale anche per le scienze della natura, anzi diventa per lui occa-

sione per riprendere la questione dei “dati di fatto” e per rigettare il “dogma

sensistico”, persistente anche nella psicologia del linguaggio, secondo cui le

26

“idee” altro non sarebbero che “mere copie di impressioni”.

L’alternativa di Cassirer è un “antropomorfismo” inteso in “senso critico-

trascendentale”. Egli condivide con Goethe la convinzione che “il massimo

27

risultato sarebbe riconoscere che ogni dato di fatto è già teoria”. Da Goethe

Cassirer riprende anche un’altra massima di sapore antropomorfico:

Abbiamo cercato di mostrare che i nuovi concetti di natura e di

oggetto introdotti dalla teoria della relatività trovano la loro giustifi-

cazione nella forma stessa del pensiero fisico e che questa forma essi

portano semplicemente a conclusione e chiarezza ultime. Il pensiero

fisico mira solo a definire e ad enunciare l’oggetto “natura” in pura

oggettività: ma in ciò necessariamente enuncia insieme se stesso, la

24 ECW 6, 320 [393].

25 Cassirer 1942, 9 [8].

26 Cassirer 1942, 14 [13]. Sulla crisi interna alla stessa psicologia empirica della perce-

zione, cfr. ECN 2, 97 sgg., dove Cassirer stesso rimanda per approfondimenti alla sua

esposizione della questione già pubblicata in ECW 13, III, parte II, capitolo 2, nonché al

suo saggio: Gruppenbegriff und Wahrnehmungstheorie, che appare invece in ECN 8.

27 ECW 13, 29. Per questa citazione di Goethe, significativa per Cassirer, cfr. ivi, 471

[III/2, 175], ECN 2, 90, e ECN 3, 93. Sulla visione cassireriana di Goethe in rapporto

alle scienze della natura cfr. Goethe und die exakten Naturwissenschaften

H.G. Dosch,

aus der Sicht Ernst Cassirers, in Kulturkritik nach Ernst

E. Rudolph / B.O. Küppers,

Cassirer [Cassirer-Forschungen Bd. 1], Hamburg, 1995.

13

sua propria legge e il suo proprio principio. Nel che torna a confer-

marsi quell’“antropomorfismo” di tutti i nostri concetti di natura, a

cui amava alludere la saggezza senile di Goethe. “Ogni filosofia della

natura resta nondimeno soltanto antropomorfismo, cioè l’uomo, uno

con se stesso, comunica questa unità a tutto ciò che egli non è, lo

tira dentro nella propria unità, ne fa tutt’uno con se stesso. . . Nella

natura noi possiamo osservare, misurare, calcolare, pesare quanto vo-

gliamo, ma si tratta pur sempre solo di una nostra misura e di un

nostro peso, nello stesso senso in cui l’uomo è la misura delle cose”.

Solo che, dopo tutte le considerazioni precedenti, questo stesso “antro-

pomorfismo” non va inteso in senso pedestremente psicologico, ma in

senso general-universale, critico-trascendentale. Planck qualifica co-

me nota caratteristica del sistema della fisica teorica nel suo evolversi

una progressiva emancipazione dagli elementi antropomorfici, che ha

per fine la separazione più completa possibile del sistema della fisica

dalla personalità individuale dello scienziato fisico. Ma appunto in

questo sistema “oggettivo”, sciolto da ogni accidentalità del punto di

vista individuale e della personalità individuale, rientrano anche quelle

universali condizioni sistematiche dalle quali dipende la natura spe-

cifica della problematica fisica come tale. L’immediatezza sensibile e

la particolarizzazione sensibile delle singole qualità percettive vengono

eliminate; ma proprio questa eliminazione è possibile solo per mezzo

dei concetti di spazio e tempo, di numero e grandezza. In questi la

fisica fissa il contenuto più generale della realtà effettiva, perché e in

quanto in essi è segnata la direzione della interpretazione fisica come

tale, potremmo quasi dire la forma stessa dell’appercezione fisica ori-

ginaria [ursprünglich: “originario” nel senso di “irriducibile ad altro”.

28

— N.d.T.].

Come attesta il sottotitolo del saggio di Cassirer Sulla teoria della relati-

vità di Einstein (1921), si tratta di “considerazioni dal punto di vista della

teoria della conoscenza”. Durante l’elaborazione di questo scritto Cassirer

pubblica nel 1920, con il titolo Problemi filosofici della teoria della relatività,

un’esposizione più breve con l’intento di “estrapolare il nocciolo puramente

29

filosofico della teoria della relatività”. Egli comprende che “si annuncia un

rivoluzionamento della nostra immagine del mondo” e che anche si trasforma

30

“in modo radicale il concetto della natura e della conoscenza della natura”.

La concordanza tra la nuova fisica e la “critica della conoscenza” consiste in

ciò: entrambe sanno che lo spazio e il tempo sono “puri concetti di forma e

28 ECW 10, 111 [tr. it. 597, trattasi del primo capoverso del capitolo VII: “La teoria

della relatività e il problema della realtà”].

29 ECW 9, 217, nota.

30 Ivi, 218. 14 31

concetti d’ordine, non già concetti di materia e concetti di cose”. Nel testo

del 1921, che è anche più esigente e rigoroso sul piano filosofico e scientifico,

Cassirer tratta questa problematica sotto il titolo “Concetti di misura e con-

cetti di cosa”, per mostrare come con la nascita di una pluralità di geometrie

si sia dissolto il punto d’appoggio archimedico, a partire dal quale Newton

32

credeva ancora di poter pensare. Nel quadro della sua interpretazione fi-

33

losofica della fisica einsteiniana — e del dibattito che su ciò egli conduce

34

con Moritz Schlick — egli nel 1925 riassumerà la sua tesi in questi termini:

sarebbero stati “i mutamenti del concetto di oggetto nella scienza esatta stes-

sa” a rendere necessari “nuovi principı̂ anche nell’ambito della teoria della

35

conoscenza”.

La “teoria della relatività della fisica moderna” è “dal punto di vista ge-

nerale della teoria della conoscenza contrassegnata appunto da ciò, che in

essa, in modo più consapevole e più chiaro che in precedenza, si compie il

passaggio dalla teoria del rispecchiamento della conoscenza alla teoria della

36

funzione”. Essenzialmente ciò significa che un “oggetto empirico non vuol

37

dire assolutamente null’altro che un insieme legale di relazioni”. Il pen-

siero fisico [physikalische], che “mira solo a definire e ad enunciare l’oggetto

‘natura’ in pura oggettività [. . . ] in ciò necessariamente enuncia insieme se

38

stesso, la sua propria legge e il suo proprio principio”. In un altro luogo

Cassirer formula il medesimo concetto in modo più generale: “‘Natura’ non

designa una determinata specie della datità delle cose in quanto tali; essa

designa piuttosto una direzione fondamentale della considerazione [Betrach-

31 Ivi, 232. Le “cose dell’abituale visione del mondo, che prima valevano come le uni-

che inoppugnabili realtà” scompaiono; ciò che però nel “cosmo matematico” rimane è

“l’invarianza delle leggi della natura” (ivi, 239).

32 ECW 10, 3. Cfr. complessivamente il capitolo “Geometria euclidea e non-euclidea”,

ivi, 93-110.

33 Cfr. Cassirer, Schlick e l’interpretazione “kantiana” della teoria della

M. Ferrari,

relatività, in “Rivista di filosofia”, vol. LXXXII, 1991.

34 Schlick da parte sua pubblica nel 1921 nella rivista “Kant-Studien” sotto il titolo

Interpretazione criticistica o empiristica della fisica moderna? le sue osservazioni sul libro

di Cassirer. Sul dibattito cfr. Cassirer et l’empirisme logique: la discussion

M. Ferrari,

entre Cassirer et Schlick, in Cassirer 1945-1995. Science et culture, a cura di N. Janz,

Lausanne, 1997.

35 Erkenntnistheorie nebst den Grenzfragen der Logik und Denkpsychologie

E. Cassirer,

(1927), in Erkenntnis, Begriff, Kultur, a cura di Reiner A. Bast, Hamburg, 1993, p. 114

[tr. it., Conoscenza, concetto, cultura, a cura di Giulio Raio, La Nuova Italia, Firenze,

1998, p. 99].

36 ECW 10, 49 [520].

37 Ivi, 41 [511].

38 Ivi, 111 [597]. 15

39

tung, osservazione]”. In altri termini: ‘Natura’ è solo uno tra i concetti nel

“complesso dei possibili concetti di realtà”; in una determinata prospettiva

la realtà diventa per noi natura.

Ogni direzione originaria che la conoscenza prende, ogni interpre-

tazione a cui essa sottopone i fenomeni per raccoglierli nell’unità di

un nesso teorico ovvero in una precisa univocità o unità di senso [Sin-

nheinheit], implica una particolare versione e calibrazione del concet-

to di realtà effettuale. Qui non si danno soltanto le caratteristiche

differenze di significato degli stessi oggetti scientifici — la differenza

dell’oggetto “matematico” da quello “fisico”, dell’oggetto “fisico” da

quello “chimico”, dell’oggetto “chimico” da quello “biologico” — bensı̀

al tutto della conoscenza teoretico-scientifica qui anche si contrappon-

gono altri conferimenti di forma e di senso [Form- und Sinngebungen]

di tipo indipendente, con una loro legalità indipendente — come la

“forma” etica e quella estetica. Sembra il compito di una critica gno-

seologica veramente generale non livellare questa molteplicità, questa

polimorfa ricchezza di forme della conoscenza e dell’intelligenza dell’u-

niverso, non schiacciarla in un’unità puramente astratta, ma lasciarla

sussistere come tale. Solo quando resistiamo alla tentazione di voler

comprimere in un’unità metafisica ultima, nell’unità e semplicità di un

assoluto “fondamento dell’universo”, e dedurre da questo il complesso

delle forme che qui ci si impone — solo allora ci si dischiude l’autentico

contenuto concreto e la concreta ricchezza di quest’ultimo. Certo, ora

nessuna singola forma può più accampare la pretesa di comprendere in

sé e di portare ad espressione completa ed adeguata la “realtà effettua-

le” [Wirklichkeit] come tale, la realtà [Realität] “assoluta”. Piuttosto,

il pensiero di una siffatta realtà univoca ultima è concepibile, se mai,

soltanto come idea: come il compito di una totalità della determina-

zione, a cui deve concorrere, secondo la propria natura specifica ed

entro i propri limiti, ogni particolare funzione della conoscenza e del-

la coscienza. Dove ci si attenga a questa visione d’insieme, già nello

stesso puro concetto di natura ne viene una possibile diversità d’im-

postazioni a ciascuna delle quali è lecito rivendicare per sé un certo

diritto e una propria validità caratteristica. La “natura” di cui parla

Goethe non è della stessa specie di quella a cui si riferisce Newton —

perché nella strutturazione [Gestaltung] originaria dell’una e dell’altra

vigono principı̂ formali assolutamente diversi, tipi diversi di sintesi,

modalità diverse, da parte dello spirito e del pensiero, di dominare i

fenomeni in uno sguardo d’insieme. Dove sussistono siffatte diversità

nella direzione fondamentale del considerare [Grund richtung der Be-

trachtung], ivi non si potranno confrontare e commisurare senz’altro,

39 ECN 2, 157. 16

gli uni agli altri, neppure i risultati della considerazione. Certo, sia

il realismo ingenuo della comune visione del mondo, sia il realismo

della metafisica dogmatica incorrono sempre da capo in questo erro-

re. Dal complesso dei possibili concetti di realtà essi ne spiccano uno

solo e lo presentano come norma e prototipo per tutti gli altri. Cosı̀

determinate prospettive formali necessarie sotto le quali cerchiamo di

valutare, di studiare e di intendere il mondo dei fenomeni, vengono

solidificate e improntate a cose, all’essere sic et simpliciter. Che noi si

definisca come questo essere ultimo la “materia” oppure la “vita”, la

“natura” oppure la “storia”, in ogni caso per questa via finisce sempre

per prodursi un rattrappimento della nostra visione del mondo, per-

ché determinate visioni spirituali, che concorrono alla sua costruzione,

vi appaiono escluse e altre, di contro, unilateralmente accentuate e

40

privilegiate.

La teoria della relatività è per Cassirer occasione di un dibattito sui prin-

cipı̂ fondamentali della teoria della conoscenza, che egli conduce con Moritz

Schlick, uno dei fondatori del Circolo di Vienna. Prendendo spunto dalla

Assiomatica di Hilbert e impressionato dalla nuova fisica di Einstein, Schlick

solleva la questione su come si possano risolvere i problemi che necessaria-

mente debbono nascere dalla opposizione tra una ontologia realistica della

scienza e una teoria convenzionalistica della conoscenza. Con la costruzio-

ne di teorie scientifiche esatte le assiomatiche conducono ad una perdita di

2

realtà. Nella sua Allgemeine Erkenntnislehre (1918, 1925) Schlick scrive:

Una compagine di verità costruita con l’aiuto di una definizione

implicita non riposa da nessuna parte sul fondamento della realtà,

bensı̀ si libra per cosı̀ dire liberamente in aria, come il sistema solare,

portando in se stessa la garanzia della sua stabilità. Nessuno dei

concetti che qui si presentano designa nella teoria un che di reale, bensı̀

si designano reciprocamente l’un l’altro, in modo tale che il significato

di un concetto consiste in una determinata costellazione di un certo

41

numero dei rimanenti.

Tra il “regno della realtà” e il “regno dei concetti rigorosi” non c’è tuttavia

per Schlick alcuna mediazione: “Noi riferiamo certamente le due sfere l’una

all’altra, ma non sembrano affatto collegate tra di loro, i ponti tra le due sfere

42

sono demoliti”. Schlick non intende far nascere alcun dubbio sul fatto che

egli difende una posizione realistica: “Il reale non può esserci [. . . ] dato mai

da conoscenze di un qualche tipo. Il reale esiste prima di ogni conoscenza.

40 ECW 10, 112-113 [599-600].

41 Allgemeine Erkenntnislehre, Frankfurt/M, 1979, p. 35; cfr. p. 314.

M. Schlick,

42 Ivi, 36. 17 43

Esso è il designato che esiste prima di ogni designare”. E tuttavia Schlick

sembra dotare la proposizione sulla realtà di un punto interrogativo. Egli

giunge infatti ad un bilancio epistemologico notevole, che non può appunto

andare d’accordo con le premesse ontologiche: “Tutte le nostre conoscenze

44

della realtà sono [. . . ] rigorosamente intese, ipotesi”.

Schlick accetta chiaramente il pensiero neokantiano in base al quale ogni

risposta alla domanda sull’essenza della realtà non consiste in null’altro che

in contrassegni [Bezeichnungen] di ciò che è; il sistema del linguaggio rap-

presenta una intelaiatura della conoscenza della realtà che non è possibile far

45

saltare. Anche per Schlick il ‘mondo’ è un mondo di simboli [Zeichen]:

Sempre il nostro conoscere, che consiste propriamente nel giudica-

re, non ci dà null’altro che segni, e mai il designato. Questo resta per

sempre al di là. E chi dal conoscere esige che questo ci debba portare il

reale realmente più vicino, costui avanza con ciò una richiesta non già

troppo elevata, bensı̀ priva di senso. Lo abbiamo capito ormai da un

pezzo [. . . ]: nel conoscere noi non possiamo e neppure vogliamo avere

presente il conosciuto, diventare un tutt’uno con esso, contemplarlo

in modo immediato, bensı̀ possiamo e vogliamo correlare ed ordinare

soltanto segni. Il fatto che la conoscenza faccia ciò e null’altro, non è

46

una sua debolezza, bensı̀ la sua essenza.

Al riguardo Cassirer nota:

Ogni conoscenza si riferisce dunque in ultima analisi a relazioni,

a dipendenze, non già a cose, a sostanze. [. . . ] Qui Schlick assume

esattamente la tesi che io cercai di sviluppare e di dimostrare circa

47

due decenni fa nel mio scritto Substanzbegriff und Funktionsbegriff.

Tuttavia la critica di Schlick contro il fenomenalismo ricondurrebbe in modo

paradossale, secondo Cassirer, alla tesi seguente:

Il mondo degli oggetti, al quale i segni concettuali delle scienze

esatte si riferiscono, non è un mondo di meri fenomeni, bensı̀ il mondo

delle cose in sé. [. . . ] Al finzionalismo della sua teoria del concetto cor-

risponde dall’altra parte un realismo della teoria della realtà, il quale

considera le “cose in sé” non solo come esistenti e come conoscibili,

43 Ivi, 158 sg.

44 Ivi, 357 sg.

45 Ivi, 247, 269 sgg., 335.

46 Ivi, 158.

47 Erkenntnistheorie, cit., 132 [114].

E. Cassirer, 18

ma assolutamente come gli oggetti della conoscenza, della esperienza

48

scientifica.

Per Cassirer, al contrario, da un portatore materiale del segno [Zeichenträger ]

si sviluppa un simbolo [Zeichen] nella misura in cui “noi gli assegniamo un

‘senso’, verso cui esso si rivolge e attraverso cui esso diventa ‘significativo’”.

Egli non nasconde il fatto che con ciò viene toccato “uno dei più difficili

problemi della critica della conoscenza, se non addirittura il problema della

critica della conoscenza in generale”: “La questione dell’oggettività delle

‘cose’ si inserisce in questo problema: vista più da vicino, essa non è altro

che un corollario della questione — sul piano sistematico di gran lunga più

49

ampia — riguardante l’oggettività del ‘significato’”.

Cassirer trova in un principio teoretico-conoscitivo il fondamento unitario

della configurazione del mondo come mondo fenomenico degli uomini. Schlick

al contrario predilige un fondamento unitario di tipo ontologico: interessato

ad “una visione unitaria del mondo, davvero soddisfacente”, Schlick si lascia

guidare dalla “convinzione” che “ogni essere in generale appartiene ad una

sola e medesima specie, nella misura in cui esso può essere reso accessibile

alla conoscenza mediante concetti quantitativi. In questo senso noi ci di-

chiariamo a favore di un monismo. C’è una sola specie di reale — ciò per

noi significa: abbiamo bisogno in linea di principio solo di un unico sistema

50

di concetti per la conoscenza di tutte le cose dell’universo”. Colpisce qui

una interna discrepanza, perché all’intento programmatico mirante alla co-

struzione di una scienza in senso unitario Schlick fa seguire delle riflessioni

le quali prevengono in modo sistematico il possibile conseguente fisicalismo

— si presenti poi quest’ultimo nelle vesti del naturalismo ontologico oppure

51

in quelle del riduzionismo metodologico: “Conoscere non significa ridur-

re il mondo esterno a mondo interno”. La “connessione della coscienza” è

solo una tra le possibili “nell’insieme delle restanti connessioni che il cosmo

nella sua ricchezza presenta. Si può dunque, se si vuole, parlare tutt’al più

di un pluralismo”. Il monismo della tesi, secondo cui “ogni essere in verità

è uno, [. . . ] ha necessariamente bisogno, come integrazione, di un qualche

48 Ivi, 125 sg. [109]; Allgemeine, cit., 110. Per la discussione sulla teoria della

Schlick,

conoscenza di Schlick cfr. anche Zur Logik des Symbolbegriffs (1938), in

E. Cassirer,

Wesen und Wirkung des Symbolbegriffs, Darmstadt, 1997, p. 226 [tr. it., Sulla logica del

concetto di simbolo (1938), in Disputa sul concetto di

K. Mark-Wogau — E. Cassirer,

simbolo. La discussione sulla rivista “Theoria” (1936-1938), a cura di Annabella d’Atri,

Edizioni Unicopli, Milano, 2001, pp. 155-157].

49 Erkenntnistheorie, cit., 136 [117-118].

E. Cassirer,

50 Allgemeine, cit., 364.

Schlick,

51 Per la critica al fisicalismo di Carnap, cfr. il secondo saggio di Cassirer, su “Percezione

di cose e percezione di espressione”, in Cassirer 1942, 40 sgg. [37-38].

19

52

principio pluralistico”. Questo vago ‘un qualche’, appunto, è ciò che tra-

muta in distanza la vicinanza di Schlick alla Filosofia delle forme simboliche:

per Cassirer il pluralismo non è affatto una ‘integrazione’, bensı̀ la forma

dell’unità per eccellenza.

1.2 La filosofia della matematica di Cassirer

1.2.1 Ragioni e contesti dell’interesse di Cassirer per la matema-

tica

Riguardo alla filosofia della matematica di Cassirer la situazione è del tutto

analoga a quella delle sue ricerche sistematiche riguardanti la sua filosofia

della scienza. In questo campo già abbastanza presto, ovvero nella sua prima

opera sistematica Substanzbegriff und Funktionsbegriff del 1910, occupano

un grande spazio le sue riflessioni sulla Begriffsbildung matematica e sul

significato paradigmatico del pensiero matematico per la funzione simbolica

rappresentativa della conoscenza umana in generale.

In questa prima sezione introduttiva devono essere tratteggiati i motivi

e i contesti dell’interesse di Cassirer per la matematica. Successivamente la

sezione 1.2.2 prende in considerazione più da vicino la filosofia della matema-

tica di Kant, la quale tanto per Cassirer quanto anche per molti matematici

del XIX secolo ha rappresentato un importante punto di partenza. Nella se-

zione 1.2.3 vengono trattati problemi che emergono dall’indagine sull’oggetto

della matematica sullo sfondo della teoria kantiana. Qui al centro dell’inte-

resse è in particolare il significato fondante dei simboli per la matematica,

nonché la modalità specifica dei rapporti di rappresentazione con cui si ha

a che fare in campo matematico. La sezione 1.2.4 si occupa della questione

della sinteticità dei giudizi matematici in relazione con l’interpretazione della

induzione completa avanzata da Poincaré, mentre nell’ultima sezione 1.2.5

deve essere tratteggiato il punto di vista dell’applicazione della matematica,

nel senso di una scienza matematica della natura, prendendo come esempio

il passaggio dalla meccanica classica alla teoria della relatività.

La forma della rappresentazione, che per la conoscenza matematica è ti-

pica, viene da Cassirer trattata in riferimento ai tre principali rapporti in

cui possono trovarsi il segno e il designato nell’ambito di una relazione sim-

bolica. Cassirer congiunge, spesso in modo esemplare, ciascuno di questi tre

rapporti di rappresentazione con determinate forme simboliche, senza tutta-

via restringerli a queste forme; poiché ci sono anche forme simboliche nelle

quali entrano in gioco nello stesso tempo più di uno di questi rapporti di

52 Allgemeine, cit., 372.

Schlick, 20

53

rappresentazione. Il primo livello del rapporto tra segno e designato viene

caratterizzato dalla ‘funzione di espressione’ [Ausdrucksfunktion]. Cassirer la

considera tra l’altro come la funzione tipica per la forma simbolica del mito.

Lo specifico della funzione espressiva consiste nel fatto che segno e designato

in tutto o in parte coincidono: per esempio, in determinate rappresentazioni

mitiche un oggetto o un nome viene inteso non semplicemente come segno

per una divinità, bensı̀ come espressione della presenza della divinità in per-

54

sona [Gottheit selbst]. Il secondo livello viene designato da Cassirer come

‘funzione rappresentativa’ [Darstellungsfunktion]. Il rapporto di rappresen-

tazione della ‘funzione rappresentativa’ è costitutivo per la costruzione di ciò

che Cassirer chiama il “mondo intuitivo”, e dunque per il mondo delle cose

che appaiono nello spazio e nel tempo. Qui segno e designato compaiono sı̀

separatamente, ma in modo tale che il segno rappresenti degli oggetti spaziali

e temporali. In stretta connessione con il rapporto di rappresentazione della

funzione rappresentativa è la forma simbolica del linguaggio. Quando per

esempio nel quadro di una teoria del linguaggio si opera la distinzione tra la

parola e l’oggetto, allora la parola in generale viene interpretata come il segno

per un certo oggetto. Un terzo livello del rapporto di rappresentazione è dato

dalla ‘funzione significativa’ [Bedeutungsfunktion]. Poiché tale funzione è ca-

ratteristica del pensiero scientifico astratto, essa è in stretta relazione con le

forme simboliche della matematica e della scienza matematica della natura.

Nell’ambito della ‘funzione significativa’ i segni stanno per sistemi astratti

di relazioni, i quali non hanno più alcun correlato immediato nel mondo dei

55

fenomeni spaziali e temporali. Per esempio i segni numerici dell’aritmetica

rinviano ad un sistema astratto di assiomi, il quale stabilisce determinate

regole per il calcolo e certe strutture d’ordine, che vengono rappresentate da

questi segni. Questa forma di prestazione rappresentativa da parte dei sim-

boli matematici è secondo Cassirer costitutiva per la costruzione dei sistemi

concettuali della matematica e per il loro status teoretico-conoscitivo. Essa

53 Secondo questo schema triadico è per esempio articolato il terzo volume della Filosofia

delle forme simboliche. In altri luoghi Cassirer parla anche di un “più generale sistema di

riferimento del pensiero” oppure di “tre diverse dimensioni della configurazione simbolica”,

Cfr. Das Symbolproblem und seine Stellung im System der Philosophie

E. Cassirer,

(1927), in Symbol, Technik, Sprache. Aufsätze aus den Jahren 1927-1933, a cura di E.W.

Orth / J.M. Krois, Hamburg, 1985, p. 8-11.

54 Cfr. su questo punto Sprache und Mythos. Ein Beitrag zum Problem

E. Cassirer,

der Götternamen (1925), in Wesen un Wirkung, cit., p. 124: “La tensione tra il semplice

‘segno’ e il ‘designato’ cessa: al posto dell’espressione più o meno adeguata è subentrato

un rapporto di identità, di piena copertura tra ‘immagine’ e ‘cosa’, tra il nome e l’oggetto”.

55 Cfr. ECW 13, 383: “Il processo della ‘smaterializzazione’, come pure il processo della

‘liberazione’ prosegue: il segno si strappa per cosı̀ dire dalla sfera delle cose, per diventare

un puro segno di relazione e un segno d’ordine”.

21

costituisce il contesto sistematico per la sua teoria della matematica e le sue

applicazioni nell’ambito delle scienze matematiche della natura. Ciò viene

esposto ancora più avanti nelle sezioni 1.2.3 e 1.2.5.

Riguardo al contesto storico e ai motivi dell’interesse di Cassirer per i

problemi e le formazioni concettuali della matematica è importante l’influsso

della scuola neokantiana di Marburgo. L’obiettivo dei neokantiani di Marbur-

go consiste nel far concordare i pensieri fondamentali della filosofia kantiana

con gli sviluppi della matematica moderna e delle scienze matematiche della

natura. Dai tempi di Kant tuttavia in campo matematico molte cose erano

cambiate. Oltre al consolidamento dei fondamenti del calcolo infinitesimale,

a cui lo stesso Kant non ha neppure assistito, ciò riguardava soprattutto la

geometria, il cui sviluppo ha conosciuto nel XIX secolo una crescita inaspet-

56

tata. Questi mutamenti assumevano un’importanza rilevante per i marbur-

ghesi, soprattutto per il fatto che la teoria kantiana della matematica con il

suo riferimento all’intuizione pura dello spazio sembrava presupporre che la

geometria euclidea dovesse essere l’unica geometria possibile. Si poneva cosı̀

la questione se la concezione di Kant, che egli aveva esposto all’inizio della

Critica della ragione pura nella ‘estetica trascendentale’ in riferimento allo

spazio e al tempo, potesse ancora essere tenuta in piedi dopo la scoperta delle

geometrie non euclidee. Tale questione tenne occupato anche Ernst Cassirer,

quando egli come studente nel 1896 giunse a Marburgo. Già prima del suo

trasferimento a Marburgo egli si era intensamente occupato dei diversi siste-

mi di geometria non euclidea con studi personali, al centro dei quali erano

57

gli scritti di Gauß, di Riemann e di Helmholtz.

I suoi studi erano motivati soprattutto dai problemi attinenti alla teoria

della conoscenza, che erano stati sollevati dalla dottrina kantiana dello spazio.

Se, essendo mutate le condizioni, la sua dottrina dovesse ancora interessare

sul piano sistematico, ciò si poteva far vedere solo studiando in modo più

preciso questi sviluppi interni alla matematica e valutandone la rilevanza sul

piano della teoria della conoscenza. Nei capitoli secondo e terzo di Substanz-

begriff und Funktionsbegriff Cassirer ha fatto ciò in riferimento all’aritmetica

58

e alla geometria. Qui vengono affrontati gli aspetti più diversi della que-

stione. Per ciò che concerne l’aritmetica, viene discusso tanto il tentativo di

Mill diretto a una fondazione sensistica della matematica, quanto il tentativo

di Frege mirante a ricondurre l’aritmetica alle formazioni logiche dei concetti.

56 Cfr. su questo punto Cassirers Invariantentheorie der Erfahrung und

K.-N. Ihmig,

seine Reception des ‘Erlangener Programms’, Hamburg,1997, 281-305.

57 Sui primi interessi di Cassirer per la matematica e per i problemi delle geometrie non

euclidee cfr. Ernst Cassirer: Leben und Werk, in Ernst

D. Gawronsky, P.A. Schilpp,

Cassirer, Stuttgart/ Berlin/ Köln, 1966, 2-7.

58 Cfr. ECW 6, 27-120 [41-153]. 22

Stanno inoltre al centro dell’interesse il tentativo di Dedekind riguardante la

fondazione dei numeri reali, la logica delle relazioni di Russell e la teoria dei

numeri transfiniti di Cantor. Riguardo alla geometria Cassirer segue il pas-

saggio dall’antica geometria sintetica alla geometria analitica di Descartes,

nonché la fondazione della geometria proiettiva operata da Poncelet, fino al

Programma di Erlanger formulato da Felix Klein ed alla esposizione assioma-

tica della geometria euclidea operata da Hilbert. Diciannove anni più tardi,

nel terzo volume della Filosofia delle forme simboliche, Cassirer si occupa

anche del cosiddetto conflitto dei fondamenti [Grundlagenstreit], che si era

59

sviluppato in seguito alla scoperta dei paradossi della teoria degli insiemi.

Tra gli sforzi miranti ad eliminare tali paradossi vennero tuttavia alla luce

inaspettate diversità di opinioni sui fondamenti concettuali e metodologici

della matematica, le quali hanno poi condotto allo sviluppo dei tre diversi

approcci o alle tre scuole, che oggi noi siamo soliti designare come logicismo,

60

intuizionismo e formalismo.

Al centro degli studi di Cassirer riguardanti la matematica fin dall’inizio

sono state poste soprattutto le seguenti domande: Quali conseguenze da-

gli sviluppi e dalle discussioni qui schizzati è possibile trarre per i metodi

specifici e le formazioni dei concetti della matematica? Ci sono determinati

oggetti o modi di procedere, che possano definirsi tipicamente matematici,

e quale significato spetta ad essi per le possibilità della conoscenza umana

in generale? Sotto questo punto di vista la filosofia kantiana della matema-

tica deve essere modificata? Per comprendere meglio il significato di queste

domande vengono presentati nelle due sezioni seguenti i tratti fondamentali

della filosofia kantiana della matematica.

1.2.2 La filosofia della matematica di Kant

La filosofia della matematica di Kant contiene essenzialmente quattro tesi:

1. Le conoscenze della matematica sono proposizioni sintetiche a priori.

2. Le conoscenze della matematica risultano dalla costruzione dei loro

concetti nella intuizione pura.

3. La matematica considera l’universale nel particolare o nel singolare,

mentre la filosofia esattamente al contrario considera il particolare o il

singolare nell’universale.

59 Cfr. ECW 13, 411-467 [105-170].

60 Su questi termini ed i rispettivi problemi cfr. Philosophie der Mathe-

S. Körner,

matik. Eine Einführung, München, 1968, nonché Abriß der Geschichte der

D.J. Struik,

Mathematik, Berlin, 1976 o Philosophie und Mathematik. Eine Einführung in

C. Thiel,

ihre Wechselwirkung und in die Philosophie der Mathematik, Darmstadt, 1995.

23

4. Le proposizioni della matematica pura “nella loro completa precisio-

ne” sono applicabili ad oggetti dell’esperienza, in quanto si tratti di

apparenze [Erscheinungen, fenomeni] nello spazio e nel tempo.

Per comprendere la prima tesi, cioè, che nelle conoscenze matematiche si

ha a che fare con proposizioni sintetiche a priori, occorre sapere cosa sono

per Kant le proposizioni sintetiche a priori. Secondo Leibniz tutte le verità

si possono suddividere in due classi, ossia nella classe delle verità di ragio-

61

ne (vérités de raison) e nella classe delle verità di fatto (vérités de fait).

Questa suddivisione quanto al tema si ritrova grossomodo anche in Hume, e

precisamente nelle sembianze della distinzione tra relazioni di idee (relations

62

of ideas) e dati di fatto (matters of fact). Le ‘vérités de raison’ ovvero

le ‘relations of ideas’ valgono indipendentemente dall’esperienza, e spetta ad

esse necessità e universalità. Le ‘vérités de fait’ o le ‘matters of fact’ riposano

invece sull’esperienza e godono nel migliore dei casi solo di universalità indut-

tiva o comparativa, cioè possibili eccezioni non possono mai essere escluse.

Queste due classi di giudizi vengono di solito identificate con la distinzione

kantiana tra giudizi analitici a priori e giudizi sintetici a posteriori. Si pone

qui la questione, se una tale disgiunzione, nella forma in cui essa è stata

assunta da Leibniz e da Hume, sia completa. Kant era dell’opinione, che sus-

63

sista ancora un’ulteriore classe di giudizi, ossia i giudizi sintetici a priori.

Fra questi egli annoverava certe proposizioni fondamentali della metafisica

critica, della matematica e delle scienze della natura. L’aspetto particolare

nell’esistenza dei giudizi sintetici a priori è che essi, da una parte, ampliano la

61 Cfr. per es. Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand

G.W. Leibniz, 2

[1765], a cura di W. v. Engelhardt e H. H. Holz, Bd. II, Darmstadt, 1985, p. 238-239. In

altri luoghi Leibniz parla di anche di verità eterne (vérités éternelles e di verità positive

(vérités positives); cfr. Die Theodizee [1710], a cura di V. H. Herring, Bd. I,

Leibniz,

Darmstadt, 1985, p. 70 sg.

62 Cfr. An Enquiry Concerning Human Understanding, [1748], Oxford, 1975,

D. Hume,

p. 25 sg.

63 Come è noto, Kant ha introdotto una classificazione dei giudizi sia dal punto di vista

della loro origine (a priori — a posteriori ), sia anche dal punto di vista del loro contenuto

(analitici — sintetici) e li ha messi in reciproca connessione gli uni con gli altri. Secondo

queste classificazioni i giudizi sintetici a posteriori corrispondono alle ‘vérités de fait’ o

‘matters of fact’. Essi hanno la loro origine nell’esperienza e sono (per questo motivo)

giudizi estensivi di conoscenza. Ai giudizi analitici a priori corrispondono le ‘vérités de

raison’ o ‘relatios of ideas’, la cui validità si fonda sulla semplice analisi dei concetti, e (per

questo motivo) essi non possono essere estensivi di conoscenza, ma hanno semplicemente un

carattere esplicativo. Gli ulteriori giudizi introdotti da Kant, i giudizi sintetici a priori, si

distinguono per il fatto che essi non hanno la loro origine nell’esperienza, ma ciononostante

ampliano la nostra conoscenza. Fondare l’esistenza di tali giudizi sintetici a priori è uno

dei compiti centrali della filosofia trascendentale.

24

nostra conoscenza e, dall’altra, indipendentemente dai dati di fatto empirici,

essi devono avere una validità necessaria ed universale.

Kant ha tentato di fornire per questa concezione anche una fondazione.

Qui entra in gioco la sua seconda tesi, ossia, che la matematica rappresen-

ta una conoscenza basata sulla costruzione dei suoi concetti nella intuizione

64

pura. Cosa significa “costruzione nella intuizione pura”? Kant distingue

tra intuizioni e concetti quali fonti della conoscenza umana. Entrambi de-

vono operare costantemente insieme per poter far emergere una conoscenza

oggettiva. Contrariamente ai concetti, che sono rappresentazioni universali

ed in quanto tali si riferiscono sempre ad una indeterminata molteplicità di

oggetti possibili, nel caso delle intuizioni si ha a che fare con rappresentazioni

singolari, le quali possono essere rese presenti solo per mezzo di un singolo

oggetto. Nel caso delle intuizioni empiriche, per esempio, si tratta di oggetti

che noi percepiamo tramite i nostri sensi in un tempo determinato e in un

luogo determinato. Ma cosa sono le intuizioni pure? Esse sono universali per

il seguente aspetto: esse non sono vincolate né ad un determinato contenuto

percepibile con i sensi, né ad un determinato luogo, né ad un determinato

tempo. Può trattarsi perciò soltanto di forme universali di possibili intuizioni

empiriche, ossia delle forme di spazio e tempo. Spazio e tempo si differenzia-

no dai comuni concetti universali per il fatto che c’è solo un spazio unico ed

un tempo unico, a partire dai quali tutti gli spazi e tutti i tempi determinati

e ristretti possono essere pensati come delimitazioni di quest’unico spazio e

65

di quest’unico tempo. “Costruzione nell’intuizione pura” significa, di con-

seguenza, la possibilità di creare qualsivoglia limitazioni nello spazio e nel

tempo, le quali si riferiscono tutte quante all’unità dello spazio e all’unità del

tempo. Se si tratta di costruzioni matematiche, allora esse sono governate da

regole, queste regole vengono prestabilite come principı̂ costruttivi, e questi

principı̂ sono contenuti nei concetti matematici.

Kant distingue inoltre in modo esplicito tra una costruzione “pura” ovvero

66

“schematica” ed una costruzione “empirica” ovvero “tecnica”. Tra queste

ultime egli annovera concrete costruzioni materiali, quelle che, per es., con

l’ausilio di strumenti come il compasso e la riga vengono realizzate sulla la-

vagna o su un foglio di carta. A questa distinzione corrisponde un’ulteriore

distinzione: quella tra immagine e schema. Cinque trattini o punti segnati

sulla lavagna o su un foglio di carta sono per Kant l’immagine del numero

cinque, cosı̀ come il disegno di un triangolo singolo rappresenta un’immagine

del concetto universale di un triangolo. Invece uno schema contraddistingue

64 KrV B 741.

Kant,

65 Cfr. Ivi, B 39.

66 AA VIII, 192.

Kant, 25

secondo Kant un modo universale di procedere, con il quale viene procurata

67

una immagine a un concetto. Gli schemi mediano dunque tra i concetti

universali e le immagini empiriche. Affermare che la matematica conosce

l’universale nel particolare o nel singolare, significa secondo Kant che una

proposizione, la quale venga dimostrata sulla scorta di una singola figura

empirica, è tuttavia valida in modo universale, ossia vale per tutte le figure

della stessa specie. La validità universale della proposizione dipende dunque

dal fatto che essa non si riferisce alla figura singola in quanto tale, bensı̀ piut-

tosto ai principı̂ costruttivi ovvero agli schemi universali, che essa come figura

singola rappresenta [repräsentiert]. Nondimeno ciascuna di queste immagini

può essere considerata come simbolo o rappresentante dei principı̂ costruttivi

universali. Dal punto di vista della teoria della conoscenza questo modo di

vedere è significativo, in quanto nel caso dei concetti matematici viene alla

luce un rapporto tra l’universale e il particolare, il quale si differenzia dal

rapporto vigente presso i concetti generali classificanti. Nel caso dei concetti

di genere e di specie [Gattungsbegriffen] si procede (si sale e si scende)per

astrazione e per determinazione (in abstracto e in concreto) dal particolare

all’universale o dall’universale al particolare.

La quarta tesi di Kant, infine, sostiene che la matematica pura possa

68

essere applicata agli oggetti dell’esperienza. Anche questa tesi richiede una

fondazione, dato che per Kant la matematica pura, in quanto essa si riferisce

a costruzioni nella intuizione pura, rappresenta una scienza a priori. Con ciò

viene sollevata la questione su come sia possibile che la matematica possa

avere validità per le datità empiriche. Dal punto di vista sistematico sono

pensabili tre tipi di spiegazione per il problema della applicazione.

1. Il primo tipo muove dal presupposto della apriorità della matematica

e spiega la sua applicabilità con il fatto che la realtà fu costituita fin

dall’inizio secondo principı̂ matematici. Poiché un essere divino ha

fatto il mondo secondo archetipi matematici, quando noi riferiamo la

matematica alla realtà, noi non facciano null’altro che riscoprire i divini

principı̂ costruttivi dell’universo (Keplero).

2. Il secondo tipo di spiegazione contesta che nel caso della matematica

si abbia a che fare con una scienza a priori. Secondo questo modo di

vedere, gli assiomi, i concetti e le entità della matematica vanno inte-

si come astrazioni ricavate dalle cose reali. Per esempio Mill difende

67 KrV B 179 s.

Kant,

68 Ivi, B 206 [241]: “Questa proposizione fondamentale trascendentale [Assiomi dell’in-

tuizione] della matematica delle apparenze fornisce una grande estensione alla nostra co-

noscenza a priori. È soltanto essa, difatti, che rende applicabile la matematica pura, in

tutta la sua precisione, ad oggetti dell’esperienza”.

26

la concezione secondo cui i numeri e le regolarità aritmetiche possono

ricondursi a fatti osservati. Se è vera l’affermazione secondo cui i fonda-

menti della matematica e con ciò la matematica stessa sono di origine

empirica, allora non è affatto sorprendente che essa si possa applicare

anche a dati di fatto empirici.

3. La fondazione di Kant si differenzia da entrambi i suddetti tentativi di

spiegazione. Il suo tentativo di dimostrazione condotto in modo esplici-

tamente filosofico — e che in questa sede non può essere ulteriormente

illustrato — si trova nella prima proposizione fondamentale del capi-

tolo sui principı̂ della ‘analitica trascendentale’, ossia negli ‘Assiomi

69

dell’intuizione’. Egli si fonda sul presupposto che la matematica e la

realtà si regolino secondo le stesse leggi, le quali però non risiedono né

soltanto nella matematica né soltanto nella realtà, bensı̀ rappresenta-

no un modo specifico con cui le facoltà umane ottengono conoscenze

su questo universo. Di conseguenza la matematica è applicabile alla

realtà, intendendo quest’ultima nel senso di insieme di tutte le appa-

renze spaziali e temporali, perché tanto la matematica quanto anche le

apparenze si regolano secondo le medesime leggi, le quali hanno la loro

origine nelle facoltà conoscitive umane. Questo tipo di spiegazione ha il

vantaggio di evitare i due difetti essenziali dei tipi precedenti. Da una

parte esso rinuncia ai presupposi teologici e metafisici; dall’altra parte

esso consente di fondare la necessità e l’universalità delle conoscenze

matematiche.

1.2.3 Cosa è l’oggetto della matematica?

L’atteggiamento di Cassirer nei confronti di queste quattro tesi è completa-

mente diversificato. Egli concorda con Kant sul fatto che la matematica non

abbia la sua origine nell’esperienza, sia dunque una scienza a priori. D’al-

tra parte egli intende il principio a priori [das Apriori] non più in un senso

70

assoluto, bensı̀ semplicemente in un senso relativo. Con ciò si intende che

69 Ivi, B 202-207. Nei Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft Kant in

particolare cerca di dimostrare come la matematica possa essere applicata alla ‘dottrina

universale dei corpi’.

70 La qui menzionata distinzione tra Cassirer e Kant risale soprattutto alla diversa con-

cezione di entrambi su ciò che essi ritengono si debba prendere in considerazione quando si

parla di ‘condizione della possibilità dell’esperienza’ ovvero di ‘condizione della possibilità

degli oggetti dell’esperienza’. Per Kant queste condizioni sono emerse come un canone

ben stabilito di concetti puri dell’intelletto ovvero categorie, che egli ha derivato tramite

la ‘deduzione metafisica’ dalla tavola delle funzioni del giudizio. In Cassirer al posto del-

la deduzione metafisica delle categorie subentra la derivazione delle universali invarianti

27

la necessità e l’universalità, che spetta alle proposizioni matematiche, è ogni

volta vincolata a certi presupposti. Per esempio, la proposizione, che la som-

ma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180 gradi, vale ancora in modo

necessario ed universale, solo se essa viene riferita al sistema assiomatico della

geometria euclidea. Per le geometrie non euclidee, che vengono descritte con

altri sistemi assiomatici, essa invece non vale più. È chiaro che la possibilità

di una tale distinzione si basa sull’esistenza di sistemi geometrici differenti,

che Kant non poté neppure inserire nelle sue riflessioni. Allo stesso modo

Cassirer concorda con Kant nel considerare la matematica come una scienza

sintetica, ma egli si differenzia da lui, perché non accetta l’intuizione pura

71

come fonte della conoscenza.

Oltre a ciò ci sono per Cassirer ancora due punti di connessione con Kant.

Il primo consiste nel fatto che la tesi kantiana, secondo cui la matematica

conosce in un certo senso l’universale nel particolare o nel singolare, viene da

lui assunta ed ulteriormente generalizza. Secondo Kant una dimostrazione

matematica può essere condotta sulla scorta di una singola (empirica) figura

geometrica, solo perché quest’ultima viene presa in considerazione non co-

me figura singolare, bensı̀ piuttosto come rappresentante o come simbolo per

un sistema di principı̂ costruttivi astratti. In questo caso si ha a che fare

con una relazione tra segno e designato, corrispondente al rapporto di rap-

presentazione menzionato all’inizio, che Cassirer caratterizza come ‘funzione

significativa’ e che secondo la sua concezione è tipica per l’uso dei segni nella

matematica in generale.

Il secondo punto di connessione sta nel fatto che la strategia di Cassirer

per la soluzione del problema dell’applicazione segue una direzione analoga

a quella di Kant. Tuttavia anche qui la funzione fondativa dello spazio e

dell’esperienza tramite un’analisi dei fondamenti metodologici e concettuali delle scienze,

dove la matematica e la scienza matematica della natura stanno in primo piano. Tali

invarianti si delineano con nettezza solo nel corso dello sviluppo delle scienze. Esse pos-

sono essere individuate in un determinato (contingente) momento temporale nel migliore

dei casi come punti di convergenza, ma la loro validità rimane ipotetica, poiché non si

può mai escludere che nel corso del tempo esse vengano sostituite da invarianti ancora

più universali. Esse sono dunque per un verso relative, in quanto dipendono dall’ulteriore

sviluppo delle scienze; per altro verso però esse sono a priori, in quanto, trattandosi di fon-

damenti concettuali universali delle scienze, esse non hanno la loro origine nell’esperienza,

bensı̀ valgono indipendentemente dall’esperienza. Cfr. su questo punto Cassirers

Ihmig,

Invariantentheorie, cit., pp. 244-249; 313 s.

71 I neokantiani della scuola di Marburgo hanno reinterpretato la dottrina dello spazio

e del tempo, da Kant visti come pure forme dell’intuizione, in un senso concettuale, al-

lo scopo di superare il dualismo di intuizione e concetto presente in Kant. Secondo la

concezione di Cohen e di Natorp lo spazio e il tempo rappresentano categorie concettuali

ovvero pure relazioni, le quali in qualità di costrutti del pensiero stanno alla base di tutte

le apparenze esterne. 28

del tempo intesi come pure forme a priori dell’intuizione passa piuttosto in

secondo piano. Ciononostante Cassirer riconduce allo stesso modo la pos-

sibilità di applicazione della matematica al fatto che nella facoltà umana

di pensare sono ancorate certe strutture universali, secondo cui si orientano

le nostre formazioni tanto dei concetti matematici quanto dei concetti delle

scienze della natura. Con ciò però non si intendono affatto delle proposizioni

fondamentali statiche, bensı̀ piuttosto viene chiamata in causa una specifica

forma dell’attività spirituale, la quale si può manifestare presso i contenuti

più disparati e che Cassirer contraddistingue come una “funzione originaria

72

della rappresentazione” [Urfunktion der Repräsentation]. Con ciò si inten-

de che un singolo, quanto ai diversi modi di connessione (come, per esempio,

le connessioni spaziali o temporali, le connessioni causali, le relazioni cosa-

proprietà, ecc.), può essere colto solo come parte di un tutto, dove esso come

singolo in virtù di questa funzione nello stesso tempo rappresenta o simboleg-

gia il tutto. Questa teoria della funzione simbolica dello spirito ha secondo

Cassirer una stretta relazione con il modo di pensare matematico. Quando

egli tuttavia sostiene la tesi secondo cui nella matematica una determinata

forma del pensiero si esprimerebbe in maniera pregnante, ciò presuppone na-

turalmente una concezione su ciò che costituisce l’autentico oggetto del modo

matematico di considerare ovvero su ciò che caratterizza il modo di pensare

matematico in generale.

Chi frequenta un corso universitario sulla teoria dei gruppi, non avrà dif-

ficoltà alcuna nel dichiarare quale sia l’oggetto di cui le lezioni si occupano:

appunto dei gruppi. Quanto alla domanda su cosa sia un gruppo, si riman-

derà alla definizione appropriata che sarà stata data all’inizio delle lezioni.

In modo analogo si potranno determinare gli oggetti dell’analisi, della teo-

ria delle funzioni, della topologia e di altre discipline matematiche. Quando

però la domanda riguarda l’oggetto della matematica in generale, allora non

è affatto chiaro a cosa ci si riferisca. Esiste un oggetto della matematica in

generale?

Proposte in risposta a questa domanda nella storia della matematica non

sono certo mancate. Alcuni hanno ravvisato come oggetto della matemati-

ca un calcolo guidato da regole, altri l’hanno vista occupata con relazioni

e strutture, per taluni essa ha a che fare con insiemi, altri ancora hanno

riconosciuto nell’infinito l’oggetto specificamente matematico. Le diverse ri-

sposte indicano che questo oggetto è soggetto a mutamenti storici. Ai tempi

di Kant era dominante una idea della matematica, che si è mantenuta ancora

nel corso del XIX secolo, cioè, che essa si occupi in primo luogo di grandezze

[Größen], che sia dunque una scienza delle grandezze. Questa definizione,

72 ECW 11, 32. 29

secondo Cassirer, che giudica sulla base delle sue analisi della matematica

del XIX secolo, all’inizio del XX secolo non può più onestamente essere man-

tenuta. Riassunto in una sola battuta, con una “parola d’ordine”, il risultato

delle riflessioni di Cassirer è il seguente: l’oggetto autentico della matemati-

ca sono le relazioni universali o le strutture, e l’essenza del modo di pensare

matematico si manifesta nel principio della formazione delle serie [Reihenbil-

73

dung]. In questa definizione generale sono inclusi i seguenti quattro punti

di vista.

1. In primo luogo questa parola d’ordine contiene un modo di considerare

gli oggetti matematici, che potrebbe essere detto di tipo strutturale (o

“strutturalista”), si tratta cioè del principio della priorità delle relazioni

rispetto ai relata. Con ciò si intende che gli oggetti matematici, conside-

rati come oggetti singoli, individuali, devono la loro sussistenza ad una

universale connessione relazionale, che è ad essi logicamente preordina-

ta. Al di fuori di questo complesso di relazioni universalmente valide

non spetta ad essi né individualità e neppure un essere o un’‘esistenza’.

Per esempio dell’esistenza di determinati numeri (come ad es. il π o

74

il numero e ) non si può parlare, né nel senso di una esistenza fisi-

ca esterna, né nel senso di un isolato contenuto rappresentativo della

psiche umana; perché:

L’esistenza del numero e non significa null’altro che questo:

attraverso la serie, che noi impieghiamo per la sua definizione,

noi stabiliamo in modo oggettivamente necessario ed univoco una

75

posizione e solo una nel sistema ideale dei numeri.

2. In secondo luogo l’origine e il motivo della formazione seriale risiedono

nell’attività creatrice dello spirito umano e non sono limitati da datità

empiriche. Ciò non esclude affatto che esperienze empiriche possano

73 Qui occorre far notare che il concetto di serie viene da Cassirer inteso come un con-

cetto epistemologico, il quale in quanto tale ha un significato più vasto del concetto di

serie strettamente matematico, che è definito come una specie particolare di successione,

ossia della successione delle somme parziali. Generalmente per serie Cassirer intende un

qualsivoglia insieme di oggetti (che possono anche essere di natura astratta, per es., con-

cetti, simboli, sistemi di segni, ecc.), i quali in virtù di un determinato principio, di una

legalità o altro possono essere tradotti in un ordinamento seriale. Come viene illustrato

ancora nel seguito, è anche possibile che ordinamenti seriali differenti si congiungano o si

sovrappongano.

74 A tale numero, compreso tra 2 e 3, corrisponde un valore approssimato per difetto

pari a 2,718281828459. . . . Il numero e è un numero irrazionale, cioè decimale non finito

e non periodico, e trascendente, cioè non è radice di un’equazione algebrica a coefficienti

razionali.

75 ECW 6, 134 [170-171]. 30

offrire l’occasione [Anlaß, pretesto] per certe forme di ordinamento se-

riale. Per esempio l’operazione del contare oggetti concreti può essere

l’occasione per la formazione di un concetto numerale. Tuttavia il con-

cetto numerale in quanto tale trova la sua giustificazione non in questa

occasione, bensı̀ mediante un sistema di connessioni e di relazioni, che

deve essere sviluppato in modo indipendente dall’occasione e che viene

definito da assiomi appropriati al sistema stesso.

3. In terzo luogo la caratterizzazione del modo di pensare matematico

come formazione di serie consente il passaggio in modo naturale da

insiemi finiti ad insiemi infiniti. Poiché ogni numero è determinato da

un complesso generale di relazioni e poiché tale complesso è logicamente

preordinato ai singoli numeri, è possibile generare in virtù di questo

complesso ogni qualsivoglia numero. Dato che Cassirer considera il

passaggio dal finito all’infinito come un tratto essenziale del pensiero

matematico, la sua definizione include anche le definizioni fornite da

Hermann Weyl e da Henri Poincaré, i quali considerano la matematica

come la “scienza dell’infinito”.

4. In quarto luogo infine — e questo è per Cassirer un punto del tutto

decisivo — un allargamento verso l’infinito non è possibile solo su un

unico piano. Si può, cioè, non soltanto mediante la ripetuta applicazio-

ne della medesima relazione fondamentale (come, per es., nel passaggio

da n a n + 1) produrre continuamente nuovi elementi della medesima

serie, bensı̀ mediante l’applicazione di una operazione di ordine supe-

riore sul principio di una serie si può mettere in relazione questa serie

con altre serie ad alto livello. Questo stato di cose si fonda sulla consta-

tazione che elementi delle serie e principı̂ delle serie appartengono ogni

volta a livelli differenti. Sulla base di questo presupposto, sussiste la

possibilità di estrapolare la legge funzionale stessa e di farla diventare

oggetto specifico e separato di considerazione. Accanto all’allargamen-

to ‘orizzontale’ mediante la reiterata applicazione di un solo e medesimo

principio seriale, è dunque possibile ancora il passaggio dal principio se-

riale stesso a principı̂ seriali d’ordine superiore, quindi a ‘serie di serie’

e a ‘serie di serie di serie’ ecc. Questi passaggi in ‘direzione verticale’

sono secondo la concezione di Cassirer i passaggi più decisivi per il pen-

siero matematico, perché essi aprono la possibilità della costruzione di

76

sistemi sempre più complessi e nello stesso tempo sempre più astratti.

76 Attestati in proposito sarebbero per esempio il passaggio dalla derivazione di una

funzione alla derivazione successiva di ordine superiore, il passaggio dal sistema dei numeri

agli spazi vettoriali pluridimensionali, il passaggio dai vettori ai tensori, il passaggio dalle

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Questa dispensa si riferisce alle lezioni di Storia della filosofia moderna, tenute dal Prof. Giuseppe Saponaro nell'anno accademico 2011 in cui sono trattati i temi del pensiero critico ed esponenti della filosofia trascendentale, in particolare questa dispensa è dedicata alla scienza come forma simbolica secondo il pensiero di Cassirer.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in filosofia
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Storia della filosofia moderna e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saponaro Giuseppe.

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