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Taylor …………. 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

+ Δ = + Δ + Δ + Δ +

f x x f x x f ' x x f ' ' x x f ' ' ' x ..........

...

0 0 0 0 0

2

! 3

!

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

− Δ = − Δ + Δ − Δ +

f x x f x x f ' x x f ' ' x x f ' ' ' x ..........

..

0 0 0 0 0

2

! 3

!

Sottraendo ……………….. f(x):

Dallo sviluppo in serie di Taylor della

PRECISIONE O(∆x )

2

Derivazione – DF centrate

Esempi derivazione:

( ) ( ) ( )

n n n ( )

∂ + − −

F i , j , k F i 1 / 2

, j , k F i 1 / 2

, j , k 2

+ Δ

= O x

∂ Δ

x x

( ) ( ) ( )

+ −

1 / 2 1 / 2

n n n ( )

∂ −

F i , j , k F i , j , k F i , j , k 2

+ Δ

= O t

∂ Δ

t t

FDTD: forma discretizzata: H x

⎛ ⎞

E

∂ ∂

H E

1 y ⎟

⎜ −

=

x z ⎟

⎜ H

μ ∂

∂ x

t z y

⎝ ⎠ E z

z H

y E

y y

(i,j,k)

x H

E z

x

+ −

n n

1 / 2 1 / 2

+ + − + +

H i j k H i j k

( , 1 / 2

, 1 / 2 ) ( , 1 / 2

, 1 / 2 )

x x =

Δ

t ⎤

⎡ n n

+ + − + n n

E i j k E i j k

( , 1 / 2

, 1

) ( , 1 / 2

, ) + + − +

E i j k E i j k

( , 1

, 1 / 2 ) ( , , 1 / 2 )

1 y y

= z z

⎢ ⎥

μ Δ Δ

z y

⎢ ⎥

0

Equazione FDTD per H

x

+ −

n n

1 / 2 1 / 2

+ + = + + +

H (

i , j 1 / 2

, k 1 / 2 ) H (

i , j 1 / 2

, k 1 / 2 )

x x [ ]

Δ t n n

+ + + − + +

E (

i , j 1 / 2

, k 1

) E (

i , j 1 / 2

, k )

y y

μ Δ z

0 [ ]

Δ

t n n

+ + − + +

E (

i , j , k 1 / 2 ) E (

i , j 1

, k 1 / 2 )

z z

μ Δ y

0

Nel computer………….

+ −

1 / 2 1 / 2

n n

= +

H (

i , j , k ) H (

i , j , k )

x x

[ ] [ ]

Δ Δ

t t

n n n n

+ + − + − +

E (

i , j , k 1

) E (

i , j , k ) E (

i , j , k ) E (

i , j 1

, k )

y y z z

μ μ

Δ Δ

z y

0 0

Stabilità ed accuratezza

• Esiste una soluzione?

– stabilità: la soluzione non ‘cresce’ con il tempo

Le equazioni dell’algoritmo di Yee 1 1

Δ ≤

t

convergono ad una soluzione stabile se: c 1 1 1

+ +

2 2 2

Δ Δ Δ

x y z

• E’ quella che si sta cercando?

– accuratezza: quanto la soluzione trovata si avvicina a quella vera

1. errori del modello (equazioni Maxwell); Diminuiscono con la

2. errori di troncamento; dimensione della

cella

approssimazione serie infinite;

approssimazione della griglia

3. errori di round-off. Aumentano con la

precisione finita del computer dimensione della

cella

Deve essere: Δ = max (Δx, Δy, Δz) << λ

Dispersione

La discretizzazione dello spazio rende il mezzo dispersivo

Analisi del rapporto

= vel. fase onda nel modello / vel. fase reale (nel vuoto)

v /c

f

Tanto più

v /c → 1

f

per ogni direzione,

tanto migliore

è il modello

Condizioni di assorbimento H x

E z

z H

y E

y y

(i,j,k)

x H

E z

x

Il dominio di studio deve essere chiuso con delle

Condizioni di Assorbimento

• 1966, Yee: dominio ‘aperto’;

• 1975, Taflove: mezzo assorbente;

• 1981, Mur: one-way equation;

• 1994, Berenger: perfectly matched layer (PML)

PML - Berenger 1994

Viene definito uno strato di materiale anisotropo (non fisico) assorbente

tutto intorno al dominio FDTD

(a sua volta chiuso con un conduttore perfetto)

Le caratteristiche del PML sono date da: σ

PML (σ ,σ ; ,σ ; 0,0)

*x *y

x y

• il numero di celle che costituiscono lo

strato; σ

PML (0,0; ,σ ; 0,0)

*y

y

• la dipendenza spaziale della PML PML

conducibilità (lineare, parabolica…); (σ (σ

• il coefficiente di riflessione teorico x x

VUOTO

,σ ,σ

per incidenza normale (teoricamente il *x *x

; ;

PML da’ sempre riflessione nulla 0,0; 0,0;

all’interfaccia, invece numericamente si 0,0) 0,0)

hanno riflessioni spurie dovute ai cambi σ ,σ ; 0,0)

PML (0,0; *y

y

di conducibilità)

Studio dell’errore legato alle ABC

sorgente campo

( )

2

∑ s L

= −

Errore

( n ) E ( i , j ) E ( i , j )

z z

i , j V

ABC S

- n = passo temporale; y V

conduttore perfetto L

- comp. in ;

E (i,j) E V

zs z s x

comp. in

-E (i,j) E V

zL z L

La somma è fatta su tutte le celle appartenenti a V

s

Studio dell’errore: PML

Berenger (4,L,1)

0,01 Berenger (6,P,0.001)

Errore -4

10

-6

10

-8

10

-10

10

-12

10 0 100 200 300 400 500

passi

Eccitazione nell’ FDTD

Tipo:

• Onda piana;

• Sorgenti di campo;

• Onde in strutture guidanti.

Tempo:

• Sinusoidale;

• Gaussiana.

FDTD: Vantaggi - Svantaggi

• Occupazione memoria nel PC (lineare con numero celle);

☺ • Possibilità studio elementi scatteranti complessi;

• Possibilità studi di campo vicino e lontano

• Studio del fenomeno nel tempo

• Difficoltà modello contorni curvilinei

– (griglie conformi, variabili….);

• Approssimazione ABC

– (PML…);

• Difficoltà modello sorgenti

– (metodi ibridi MoM, RT…)

• Studio nel tempo

FDTD: esempio di risultati W/kg 1

10

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

Potenza irradiata = 1 W

frequenza = 900 MHz

Ottica geometrica • Nell’ottica geometrica il campo

elettromagnetico è rappresentato con

un raggio che individua la direzione di

propagazione dell’energia; ray optics

Per questo si chiama anche “ ”.

• La propagazione è data dalla distanza

percorsa dal raggio, con effetti di

riflessione e rifrazione;

• Per poter prevedere anche il campo in

‘zone d’ombra’, correzioni con

diffrazione

GO: introduzione

• L’ottica geometrica è stata sviluppata per lo studio della

propagazione della luce nei mezzi;

• Le sue leggi possono essere derivate rigorosamente dalle equazioni

di Maxwell nella condizione: 0;

λ →

• negli anni ’50 Keller (e altri..) estendono l’ottica geometrica con la

teoria geometrica della diffrazione (GTD) in cui si estende il

metodo con il calcolo di meccanismi di diffrazione

GO: introduzione

Vantaggi:

• è una tecnica molto semplice da applicare;

• permette di comprendere i fenomeni fisici che governano

radiazione e scattering dalle diverse parti di una struttura;

• ottiene risultati in buon accordo con misure sperimentali;

• può essere combinata con altre tecniche (e.g. MoM)

GO: introduzione

L’ottica geometrica è un metodo approssimato, valido in alta

frequenza, per determinare la propagazione di un’onda em

mediante il concetto di campi incidenti, riflessi, rifratti

E’ derivata dallo studio delle proprietà di propagazione della luce

Un po’ di storia.....

Tutto cominciò in una fredda mattina.... =

• 330-275 ac – Euclide: legge della riflessione ( );

θ θ

i r

• tra 200ac e 300 dc – Erone: la luce segue il cammino più breve;

la velocità della luce è finita;

• ca 140 dc – Tolomeo: elabora una prima legge della rifrazione (non

c’è il sen...);

• medioevo – Alhazen: dimostra che la legge ricavata da Tolomeo per

la rifrazione è valida solo per piccoli angoli;

• 1621 – Snell: ricava quantitativamente la legge della rifrazione;

• 1654 – Fermat: formula il principio per cui la luce si propaga

seguendo il cammino il cui tempo di

percorrenza è minimo;

• 1824 – 1844 - Hamilton: dimostra il principio di Fermat su basi

matematiche

Sono le basi dell’ottica geometrica classica,

tutt’ora utilizzate negli studi di ottica (lenti....)

...e la storia continua....

• Già dal 1864 con la formulazione delle equazioni di Maxwell diviene

evidente che la luce è un’onda.

• Nell’ottica geometrica classica mancano le informazioni di base

dell’onda: fase, polarizzazione, diffrazione

L’ottica geometrica moderna si basa sulla teoria

classica unendola però con le proprietà dell’onda

elettromagnetica

• ottica geometrica: Luneberg – Kline coprono il ‘gap’ tra concetti

geometrici e equazioni di Maxwell;

• teoria geometrica della diffrazione: Keller introduce i raggi

diffratti, con cui si completa l’ottica geometrica nella previsione del

campo in zone d’ombra;

• teoria uniforme della diffrazione: Kouyoumjian estende la TGD ai

confini delle zone d’ombra

OG: introduzione intuitiva

ottica geometrica

L’ è un metodo approssimato che

semplice ed intuitivo

permette di studiare in modo ‘ ’ la

propagazione di un campo elettromagnetico

Se un’onda elettromagnetica ha:

• superfici equifase con raggio di curvatura r>>λ,

• su queste le variazioni del campo sono significative

solo per distanze >> λ,

Allora, la superficie equifase si può considerare

D>> λ divisa in tanti elementi piani, di dimensione D >> λ,

d in ognuno dei quali il campo è costante e di tipo

onda piana uniforme !!

raggi

La propagazione avviene lungo i che coincidono

con le linee di flusso del vettore di Poynting


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Impatto ambientale dei campi elettromagnetici della Prof. Marta Cavagnaro, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: calcolo del campo elettromagnetico; equazioni di Maxwell; metodo dei momenti per la risoluzione delle equazioni di Maxwell; soluzione FDTD; introduzione all'ottica geometrica; onda localmente piana; la propagazione del campo; le superfici iconali; il fattore di divergenza.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria delle comunicazioni
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Impatto ambientale dei campi elettromagnetici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Cavagnaro Marta.

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