Calcolo integrale

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 133

6.1.2 Integrazione per sostituzione

Per calcolare l’integrale definito ˆ f d x

(x) g

a volte è comodo effettuare un cambio di variabili. Data una funzione (t ) inverti-

bile e derivabile, si ponga x g (t ).

= d x

Come sarà mostrato in seguito, il differenziale deve essere sostituito con il dif-

g

ferenziale di (t ) : 0

d x g t

(t )d ,

=

per cui l’integrale di partenza può essere calcolato dapprima risolvendo l’integrale

ˆ 0 R

f d t G(t c, c

(g (t ))g (t ) )

= + ∈

G(t x,

e poi calcolando la primitiva ) nella variabile tramite la sostituzione

−1

t g (x).

=

E

Esempio 6.27

Si calcoli l’integrale indefinito ˆ p x+1

e d x.

Soluzione

Ponendo p x t

1

+ =

si ottiene 2

x t

1

+ =

e, quindi, 2

x t 1.

= −

Di conseguenza si avrà d x d t

2t

=

e l’integrale di partenza potrà essere calcolato a partire dall’integrale

ˆ ˆ

t t

e d t e t d t

2t 2 .

=

t

L’integrale in può essere calcolato applicando la formula di integrazione per parti:

ˆ t t t

e t d t e e c].

2 2[t

= − +

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 134

x,

Calcolando l’espressione precedente nella variabile di partenza si ottiene, infine,

ˆ p p

x+1 t t

e d x e e c] t x

2[t con 1

= − + = + =⇒

ˆ p p p

p

x+1 x+1 x+1

e d x x c

2 1e 2e

= + − +

La formula di integrazione per sosituzione può essere provata utilizzando la regola

F

di derivazione di una funzione composta. Si supponga, infatti, che (x) sia una

f g

primitiva di (x) e sia (t ) una funzione invertibile e derivabile. Si ha:

0 0 0

D[F F f

(g (t ))] (g (t ))g (t ) (g (t ))g (t )

= =

e, integrando membro a membro la precedente identità, si ottiene:

ˆ ˆ 0

D[F d t f d t

(g (t ))] (g (t ))g (t )

= =⇒

ˆ 0

F f d t G(t

(g (t )) (g (t ))g (t ) ).

= =

Dalla relazione ottenuta, F G(t

(g (t )) )

=

−1

F t g

si può ricavare (x) dalla relazione (x) :

=

−1 −1

G(g F F

(x)) (g (g (x))) (x),

= =

essendo −1

g x.

(g (x)) =

6.2 Integrale definito T f

Si supponga di dover calcolare l’area del trapezoide sotteso dalla curva (x) e

b]

avente per base il segmento [a, (si veda la figura 6.1)

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 135

f (x) T x

b

a Figura 6.1

T f

Il trapezoide individuato dalla curva (x).

T

E’ possibile approssimare l’area del trapezoide per eccesso e per difetto tramite la

b] n x i

costruzione seguente: si suddivida l’intervallo [a, in sottointervalli [x , ), =

i i

−1

n

1, ..., con a x x x x x b.

...

= < < < < < =

n−1 n

0 1 2

x

Per il generico sottointervallo [x , ) si ponga

i i

−1

e f x x

inf{ (x), [x , )}

= ∈

i i i

−1

e E f x x

sup{ (x), [x , )}.

= ∈

i i i

−1

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 136

f (x)

E

i

e

i x

x b

x

a i

i−1

Figura 6.2

f x

Estremo superiore ed inferiore di (x) nell’intervallo [x , ).

i i

−1

T f

Si consideri ora solo la porzione del trapezoide sotteso dalla curva (x) nell’in-

x T x x e

tervallo [x , ), e lo si indichi con . Il rettangolo di base e altezza

−

i i i i i i

−1 −1

(rettangolo inscritto) approssima per difetto l’area di tale porzione mentre il rettan-

x x E

golo di base e base (rettangolo circoscritto) la approssima per eccesso

−

i i i

−1

(si osservi la figura 6.3)

f (x) f (x)

E

i

e

i x x

x x

x x

i i

i−1 i−1

(a) (b)

Figura 6.3

Il rettangolo inscritto (a) e quello circoscritto (b).

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 137

Risulta, quindi e x E x

(x ) area{T } (x ) (6.8)

− ≤ ≤ −

i i i i i i i

−1 −1

E

essendo (x ) (e (x )) l’area del rettangolo circosritto (inscritto). Sicco-

−x −x

i i i i i i

−1 −1 T

me è ragionevole supporre che l’area di tutto il trapezoide possa essere ottenuta

T

come somma delle aree di ciascuna porzione ,

i

n

X area{T },

area{T } = i

i =1

dalla relazione (6.8) si ottiene n

n X

X E x

e x (x ),

(x ) area{T } −

− ≤ ≤ i i i

i i i −1

−1 i

i =1

=1

dove n

X e x

(x )

−

i i i −1

i =1

individua l’area del plurirettangolo inscritto mentre

n

X E x

(x )

−

i i i −1

i =1

R

individua l’area del plurirettangolo circoscritto.

(Somma integrale inferiore)

Definizione b]

Si dice somma integrale inferiore associata alla decomposizione dell’intervallo [a,

x i n a x x x x b

nei sottointervalli [x , ), 1, ..., con ... il numero

= = < < < < =

n

i i 0 1 2

−1 n

X

s e x

(x ).

= −

i i i −1

R i =1

(Somma integrale superiore)

Definizione

Si dice somma integrale superiore associata alla decomposizione dell’intervallo

b] x i n a x x x x b

[a, nei sottointervalli [x , ), 1, ..., con ... il

= = < < < < =

n

i i 0 1 2

−1

numero n

X

S E x

(x ).

= −

i i i −1

i =1

" Osservazione 0 0

b] x i n a

Se l’intervallo [a, è decomposto nei sottointervalli [x , ), 1, ..., con

= =

i i

−1

0 0 0 0 0

x x x

x x b x è chiaro che, in generale, i valori delle som-

... con

< 6=

< < < = i

n

0 1 2 i

me integrale superiore ed inferiore cambieranno. Al variare di tutte le possibili de-

b],

composizioni dell’intervallo [a, si otterrà quindi un insieme di valori {s} per le

somme integrali inferiori e {S} per le somme integrali superiori.

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 138

" Osservazione

Si supponga che l’estremo superiore delle somme integrali inferiori{s} coincida con

l’estremo inferiore delle somme integrali superiori {S},

A

sup{s} inf{S} .

= =

Visto che dalla relazione s S

area{T }

≤ ≤

segue che sup{s} area{T } inf{S}

≤ ≤

si avrà A A A

area{T } area{T } .

≤ ≤ =⇒ =

A T

In tal caso si assegnerà, quindi, il valore all’area del trapezoide e la funzione

f integrabile b].

(x) si dirà (secondo Riemann) in [a,

" Osservazione

La costruzione appena effettuata si può estendere anche al caso in cui la funzione

f (x) assume valori negativi. In tal caso è ancora possibile parlare di area del trape-

f area algebrica,

zoide associato a (x) pur di introdurre la nozione di dotata cioè di

segno (si confronti la figura 6.4)

f (x) Area algebrica > 0

a x

b

Area algebrica < 0

Figura 6.4

L’area algebrica.

E’ possibile ora dare la seguente

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 139

R (Funzione integrabile secondo Riemann)

Definizione

f b]. f b]

Sia (x) definita in [a, Si dice che (x) è integrabile secondo Riemann in [a, se

A

inf{S} sup{s}

= =

R (Integrale definito)

Definizione A

f b].

Sia (x) definita e integrabile secondo Riemann in [a, Il valore dell’estre-

mo superiore delle somme integrali inferiori e dell’estremo inferiore delle somme

f a b

integrali superiori si dice integrale definito di (x) da a e si indica con il simbolo

ˆ b

A f d x.

(x)

= a

" Osservazione f

Dalla definzione di integrale definito come area (algebrica) sottesa dalla curva (x),

b]

si può agevolmente provare che una funzione continua in [a, è integrabile in

b]. f

[a, La continuità di (x) non è tuttavia necessaria. Si consideri in effetti la figura

6.5: f (x)

3 T

2

1 T

1 x

1 1

0 2

Figura 6.5

Un esempio di funzione non continua integrabile.

f T T

l’area sottesa dalla curva (x) è chiaramente data dalla somma dell’area di e :

1 2

ˆ 1 1 1

A f d x

(x) area{T } area{T } 1 3 2.

= = + = · + · =

1 2 2 2

0

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 140

6.2.1 Proprietà dell’integrale definito

Dalla definizione di integrale definito (o, più intuitivamente, dal suo significato di

area algebrica) si possono dedurre le seguenti proprietà:

´ ´ ´

b b b

α

f d x f d x g d x

1. [α (x)+βg (x) (x) (x) (linearità dell’integrale de-

= +β

a a a

finito)

´ ´ ´

b c b

f d x f d x f d x c b]

2. (x) (x) (x) per ogni [a, (additività dell’inte-

= + ∈

a a c

grale definito). Tale relazione è ovvia se si pensa al fatto che l’area sottesa da

f a b a c c b

(x) tra e è pari all’area sottesa tra e più l’area sottesa tra e

´ ´

b b

f g b] f d x g d x

3. Se (x) (x) [a, si ha (x) (x) (monotonia dell’inte-

≤ ∀x ∈ ≤

a a f g

grale definito). Tale proprietà segue dal fatto che se (x) (x) l’area sottesa

≤

f g

dalla curva (x) sarà minore dell’area sottesa dalla curva (x).

´

´ a

b f d x.

f d x (x)

(x)

4. = − b

a

L’ultima proprietà segue dal fatto che

ˆ a f d x

(x) 0,

=

a

essendo nulla l’area di un trapezoide di base nulla, e dall’additività dell’integrale

definito:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

a b a b a

f d x f d x f d x f d x f d x.

0 (x) (x) (x) (x) (x)

= = + =⇒ = −

a a b a b

6.2.2 Teoremi sugli integrali definiti

w (Media integrale)

Teorema

f b].

Sia (x) continua in [a,

Ipotesi) ´ b

c b) f d x f a).

(a, tale che (x) (c)(b

∃ ∈ = −

Tesi) a

Dimostrazione

f b]

Siccome (x) è continua in [a, ammetterà, per il teorema di Weierstrass, massi-

mo assoluto (M ) e minimo assoluto (m). Si avrà, quindi,

m f M

(x) .

≤ ≤

Per la monotonia dell’integrale definito, si avrà

ˆ ˆ ˆ

b b b

m dx f d x M d x.

(x)

≤ ≤

a a a

L’integrale definito di una costante può essere calcolato agevolmente come area di

un rettangolo (si veda la figura 6.6):

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 141

f (x)

k x

b

a Figura 6.6 ´ b k d x k(b a).

L’integrale definito di una funzione costante: = −

a

ˆ b m d x m(b a)

= −

a

ˆ b M d x M a),

(b

= −

a

da cui ˆ b

m(b a) f d x M a)

(x) (b

− ≤ ≤ − =⇒

a

´ b f d x

(x)

a

m M .

≤ ≤

b a

−

´ b f d x

(x)

λ a f

è compreso tra il massimo e il minimo assoluto di (x) : per

Il numero = b−a c b)

il teorema di Darboux esisterà un punto (a, tale che

∈

´ b f d x

(x)

a

f (c) ,

= b a

−

da cui ˆ b f d x f a)

(x) (c)(b

= −

a

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 142

e, quindi, la tesi.

R ■

(Funzione integrale)

Definizione

f b].

Sia (x) continua in [a, La funzione

ˆ x

I f d t x b]

(x) (t ) , [a,

= ∈

a a

funzione integrale f T

si dice di (x). Essa rappresenta l’area del trapezoide rappre-

x

sentato in figura 6.7. f (x) T

x x

x b

a Figura 6.7 I

Significato geometrico della funzione integrale (x).

a

w (Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale)

Teorema

f b].

Sia (x) continua in [a,

Ipotesi) 0

I I f

b) (x) (x).

La funzione integrale (x) è derivabile in (a, e risulta =

Tesi) a a

Dimostrazione I

Si consideri il rapporto incrementale della funzione integrale (x) :

a

´ ´

x+∆x x

∆I I ∆x) I f d t f d t

(t ) (t )

−

(x) (x (x)

+ −

a a a a a .

= =

∆x ∆x ∆x

Ponendo ˆ ˆ ˆ

x+∆x x x+∆x

f d t f d t f d t

(t ) (t ) (t )

= +

a a x

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 143

la relazione precedente diviene

´ ´ ´ ´ ´

x+∆x x x x+∆x x

∆I f d t f d t f d t f d t f d t

(t ) (t ) (t ) (t ) (t )

− + −

(x)

a a a a x a

= = =⇒

∆x ∆x ∆x

´ x+∆x

∆I f d t

(t )

(x)

a x . (6.9)

=

∆x ∆x

Dal teorema della media integrale segue che

´ x+∆x ∆x

f d t

(t ) f x) f

(c)(x (c)∆x

+ −

x ∆x)

f c x

(c), (x,

= = = ∈ +

∆x ∆x ∆x

e, quindi, la relazione (6.9) diviene

∆I (x)

a ∆x).

f c x

(c), (x,

= ∈ +

∆x

∆x

Il limite per 0 del rapporto incrementale della funzione integrale vale, per-

→

tanto, ∆I (x)

a f

lim lim (c).

=

∆x

∆x→0 ∆x→0

∆x), ∆x

c x c x

Siccome (x, per 0 si ha e, quindi,

∈ + → →

∆I (x)

a f f

lim lim (c) (x),

= =

∆x

∆x→0 c→x

f

essendo (x) una funzione continua. Ne segue che

0

I f

(x) (x)

=

a

e, quindi, la tesi. ■

" Osservazione I

Una conseguenza del teorema di Torricelli-Barrow è che la funzione integrale (x)

a

0

I

f f

è una primitiva di (x), essendo (x) (x).

=

a

Il teorema di Torricelli-Barrow ammette il seguente

Corollario f b].

Sia (x) continua in [a,

Ipotesi)

´ b f d x F F F f

(x) (b) (a), dove (x) è una qualsiasi primitiva di (x).

= −

Tesi) a

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 144

Dimostrazione I f

Siccome la funzione integrale (x) è una primitiva della funzione (x) risulta, dal-

a F f

le proprietà delle primitive, che una generica primitiva (x) di (x) potrà essere

espressa come I R

F c, c

(x) (x)

= + ∈

a

cioè ˆ x R.

F f d t c, c

(x) (t ) (6.10)

= + ∈

a

ˆ

Si ha: a R

F f d t c, c

(a) (t )

= + ∈ =⇒

a F c,

(a) =

ˆ

visto che a f d t

(t ) 0.

=

a

Inserendo tale relazione nella (6.10) si ottiene

ˆ x

F f d t F

(x) (t ) (a)

= +

a

e, pertanto, ˆ b

F f d t F

(b) (t ) (a)

= + =⇒

a

ˆ b f d t F F

(t ) (b) (a).

= −

a ■

" Osservazione

Il corollario al teorema di Torricelli-Barrow fornisce lo strumento che consente di

calcolare gli integrali definiti: per calcolare l’integrale

ˆ b f d x

(x)

a F f

si calcola dapprima una primitiva qualsiasi (x) di (x). Il valore dell’integrale de-

b

finito sarà dato dalla differenza tra il valore che tale primitiva assume nel punto e

a

il valore che essa assume nel punto :

ˆ b f d x F F

(x) (b) (a).

= −

a

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 145

E

Esempio 6.28

Calcolare l’integrale definito ˆ 4 x

1 − d x.

p x

1

Soluzione

Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di

1−x

f (x) . Si ha:

= p x ˆ ˆ p p

x

1 1 2

− p 3

dx x) d x x x c F

( 2 (x).

= − = − + ≡

p p 3

x x

Si ha ˆ 4 p

p

x

1 2 2 8

− p p

3 3

c] c]

d x F F 4 4 [2 1 1

(4) (1) [2 .

− + − − + = −

= − =

p 3 3 3

x

E 1

Esempio 6.29

Calcolare l’integrale definito ˆ 1 x d x.

2x 1

+

0

Soluzione

Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di

x

f (x) . Si ha:

= 2x+1 ˆ ˆ ˆ

x 1 2x 1 2x 1 1

+ −

dx dx dx

= = =

2x 1 2 2x 1 2 2x 1

+ + +

ˆ ˆ ˆ

1 1 1 1 1

dx dx

dx

]

[1 1

= =

− −

2 2x 1 2 2 2x 1

+ +

ˆ

1 1 2 1 1

x d x x c F

ln 1| (x).

− = − |2x + + ≡

2 4 2x 1 2 4

+

Il calcolo dell’integrale definito dà, quindi, il risultato,

ˆ 1 x 1 1 1 1

d x F F c] c]

(1) (0) [ ln 1 1| [ 0 ln 0 1|

= − = − |2 · + + − · − |2 · + + =

2x 1 2 4 2 4

+

0 1 1 ln 3.

= −

2 4

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 146

E

Esempio 6.30

Calcolare l’integrale definito ˆ 1 2

1−x

e x d x.

0

Soluzione

Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di

2

1−x

f e x.

(x) Si ha:

= ˆ ˆ

1 1

2 2 2

1−x 1−x 1−x

x d x

e d x c F

e e

(−2x) (x)

= − = − + ≡

2 2

e, quindi, ˆ 1 2

1−x

e x d x F F

(1) (0)

= − =

0

1 1 1 1

2 2

1−1 1−0

e c] e c] e

[− [−

+ − + = − +

E 2 2 2 2

Esempio 6.31

Calcolare l’integrale definito ˆ e 2

x x d x.

ln

1

Soluzione

Per il calcolo di tale integrale definito occorre dapprima calcolare una primitiva di

2

f x x.

(x) ln Si ha:

= ˆ 1 1

2 3 3

x x d x x x x c F

ln ln (x)

= − + ≡

3 9

ˆ

risulta e 1 1 1

2 3 3

x x d x F F e e c] c]

ln (e) (1) [ [−

= − = − + − + =

3 9 9

1 3

2e 1

+ .

= 9

" Osservazione

Il teorema di Torricelli-Barrow può essere utilizzato anche per

CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 147

1. calcolare dei limiti in cui compare una funzione integrale

2. determinare gli estremi relativi e/o i punti di flesso di una funzione integrale.

E

Esempio 6.32

Calcolare il limite ´ p

x t

3 te d t

0

lim .

3

x

+

x→0

Soluzione ˆ

Essendo x p t

3 t e d t

lim 0,

=

+

x→0 0 00

il limite da calcolare dà luiogo ad una forma indeterminata . Applicando il teore-

ma di de l’Hospital a tale forma indeterminata, posto

ˆ x p t

3

I t e d t

(x) =⇒

=

0 0 p

0 x

I 3 xe

(x) ,

=

0

si ha ´ p p

x t

3 x

te d t 3 xe

0

lim lim

= = +∞.

3 2

x

E 3x

+ +

x→0 x→0

Esempio 6.33

Studiare l’esistenza di estremi relativi della funzione

ˆ x t 5

−

F dt

(x) = 2 t

ln

2

nell’intervallo [2, +∞).

Soluzione t −5

La funzione è continua in [2, : si può pertanto utilizzare il teorema di

+∞)

2 t

ln F

Torricelli-Barrowper calcolare la derivata di (x). Si ottiene:

x 5

−

0

F x

(x) , [2,

= ∈ +∞).

2 x

ln

0

F x x x

La funzione (x) è positiva per (5, e negativa per [2, 5) : il punto 5 è

∈ +∞) ∈ =

F

quindi un minimo relativo per (x).

Materiale contenente le dispense del Prof.Pierangelo Ciurlia di Matematica Generale. Ecco di seguito gli argomenti trattati:

Calcolo integrale
Funzioni primitive. Integrale indefinito. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive. Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media (c.d.). Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollari al teorema di Torricelli-Barrow: relazione fra l'integrale definito e l'integrale indefinito (c.d.). Integrazione definita.