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Calcolo differenziale

Dispense del Prof. Pierangelo Ciurlia di Matematica Generale. Gli argomenti sono citati di seguito:

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata... Vedi di più

Esame di Matematica Generale docente Prof. P. Ciurlia

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ESTRATTO DOCUMENTO

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 130

E Esempio 5.14 p x

f

Si calcoli la derivata della funzione (x) = 1+x

Soluzione

Si ha: p

p p

x x](1 x) xD[(1 x)]

D[ + − +

D[ ] =

= 2

x x)

1 (1

+ +

p

1 1+x−2x

x) x

(1 + −

p p x

1 −

x x

2 2 .

= = p

E 2 2 2

x) x)

(1 (1

+ + x(1 x)

2 +

Esempio 5.15 f x

Si calcoli la derivata della funzione (x) tan

=

Soluzione

Si ha: x D[sin x] x xD[cos x]

sin cos sin

D[tan x] D[ ]

= = =

2

x x

cos cos

2 2

x x x(− x) x x

cos cos sin sin cos sin 1

· − + .

= =

2 2 2

x x x

cos cos cos

5.1.7 Derivate di ordine superiore al primo

f b) b)

Se (x) è derivabile in un certo intervallo (a, risulta definita, in (a, la funzione

0

f b)

derivata prima, (x). Se tale funzione è a sua volta derivabile in (a, esisterà la

derivata seconda

derivata della derivata prima, nota come ed indicata con il sim-

00

2 f

bolo (x). Chiaramente se anche la funzione derivata seconda risulterà deriva-

000

derivata terza, f

bile si può parlare di indicata con il simbolo (x). Più in generale,

f n derivata

se la funzione (x) è derivabile volte, si potrà introdurre la nozione di

E (n)

n−esima, f

indicata con il simbolo (x).

Esempio 5.16 1

f e

Si calcoli la derivata seconda di (x) .

= x

Soluzione

Si ha: 1

e

1 x

1 1

0

f D[e e

(x) ] (− )

= = =−

x x 2 2

x x

e, quindi, 1

e x

00 0

f D[ f D[−

(x) (x)] ]

= = =

2

x

2 (2)

D f

Secondo la notazione di Cauchy si userebbe il simbolo (x), secondo quella di Leibniz il

2

d f (x) ¨

f

simbolo e, infine, secondo la notazione di Newton, il simbolo (x).

2

d x

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 131

1 1

1 1 1

2

e x e 2x

+

x x e 1 2x

2xe +

+

x x 1

2

x e .

= =

R x

4 4 4

x x x

n

C

(Classe )

Definizione

R

f X f n x X

Sia : e si supponga che (x) sia derivabile volte per ogni . Se la

→ ∈

(n)

f x X f

funzione (x) è continua per ogni si dirà che la funzione (x) appartiene

n n

C f C

alla classe (X ) o che (x) è di classe (X ).

5.1.8 Teoremi sulle derivate

Per calcolare la derivata di una funzione ad una legge è rilevante il seguente

w (Derivata della funzione composta)

Teorema R

f X Y g Y f x X

Siano : e : due funzioni, con (x) derivabile in e

→ → ∈

Ipotesi) 0

g y f Y

(x) derivabile in (x ) .

= ∈

0 0 0

h(x) g f x X h

La funzione composta ( (x)) è derivabile in e risulta (x )

= ∈ =

Tesi) 0 0

0 0

g f f

( (x )) (x ).

0 0

Dimostrazione h g f x X

Per studiare la derivabilità della funzione composta in occorre

= ◦ ∈

0

studiare il limite h(x) h(x g f g f

) ( (x)) ( (x ))

− −

0 0

lim lim

=

x x x x

x→x x→x

− −

0 0

0 0

che può essere riscritto come

g f g f f f

( (x)) ( (x )) (x) (x )

− −

0 0

lim . (5.1)

·

f f x x

(x) (x )

x→x − −

0 0 0 g f f

( (x))−g ( (x ))

0

y f y f

Posto (x) e (x ), il rapporto incrementale può essere

= =

0 0 f f

(x)− (x )

0

riscritto come g f g f g g

( (x)) ( (x )) (y) (y )

− −

0 0 .

=

f f y y

(x) (x )

− −

0 0

x x f f f

Per si ha, essendo (x) derivabile e, quindi, continua, (x) (x ) cioè

→ →

0 0

y y . Pertanto la relazione (5.1) diviene:

→ 0

g f g f f f g f g f f f

( (x)) ( (x )) (x) (x ) ( (x)) ( (x )) (x) (x )

− − − −

0 0 0 0

lim lim lim

· = · =

f f x x f f x x

(x) (x ) (x) (x )

x→x x→x

x→x − − − −

0 0 0

0 0 0 0

g g f f

(y) (y ) (x) (x )

− − 0 0

0 0 g f

lim lim (y ) (x ),

· = 0 0

y y x x

y→y x→x

− −

0 0

0 0

y f

da cui, tenendo conto che (x ), si ottiene la tesi.

=

0 0 ■

La tabella seguente riassume la regola della derivata di una funzione composta nei

casi incontrati più frequentemente.

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 132

0

y y 0

α α−1

α[

f f f

[ (x)] (x)] (x)

0

f f

(x) (x)

a a f a

(x) ln

0

f f

(x) (x)

e e f (x)

0

f (x)

f e

log [ (x)] log

a a

f (x) 0

f (x)

f

ln[ (x)] f (x) 0

f f f

sin[ (x)] cos[ (x)] (x)

0

f f f

cos[ (x)] sin[ (x)] (x)

" Osservazione

Dalla regola della derivata composta 0

α α−1

α[

D[ f f f

(x)] (x)] (x)

=

f x,

scegliendo (x) si ottiene

= α α−1

αx R.

D x ,

= ∀α ∈

In particolare si avrà: n n−1 N

D x nx ,

= ∀n ∈

e p 1 1

1 1

x D x x

D .

= = = p

2 2

E 2 x

2

Esempio 5.17 q 2

x

f

Si calcoli la derivata della funzione (x) = x+1

Soluzione

Utilizzando la realzione α α−1

α[

D[ f f D[ f

(x) ] (x)] (x)]

=

si ottiene: s 2 2 2

2 x x

x x

1

1 1

D[( D[

D[ ] ) ] ( ) ].

= =

2 2

x x x x

1 1 2 1 1

+ + + +

Si ha: 2 2 2

x x) x x

2x(1 2x

+ − +

D[ ] ,

= =

2 2

x x) x)

1 (1 (1

+ + +

da cui s 2 2

2

x x x

1 2x

+

1

D[ ] ( )

= =

2 2

x x x)

1 2 1 (1

+ + +

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 133

2

r x x

1 1 2x

+ + .

=

E 2 2

x x)

2 (1 +

Esempio 5.18 x

f e

Si calcoli la derivata della funzione (x) = 1+x

Soluzione

Utilizzando la relazione f f

(x) (x)

D[e e D[ f

] (x)]

=

si ottiene: x x) x

(1 1

+ − x

x x

x e

D[e e

e D[ .

]

] =

=

=

1+x 1+x 1+x 1+x

2 2

x x) x)

1 (1 (1

+ + +

E Esempio 5.19 −x

f e

Si calcoli la derivata della funzione (x) =

Soluzione

Utilizzando la relazione f f

(x) (x)

D[e e D[ f

] (x)]

=

si ottiene: −x −x −x

D[e e D[−x]

] .

= = −e

E Esempio 5.20 2

f x

Si calcoli la derivata della funzione (x) ln(2x )

= −

Soluzione

Utilizzando la relazione 0

f (x)

D[ln f (x)] = f (x)

si ottiene: 2 2x

2

D[ln(2x x )] .

− = 2

x

2x −

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 134

E Esempio 5.21 x−2

f

Si calcoli la derivata della funzione (x) ln( )

= x

Soluzione

Utilizzando la relazione 0

f (x)

D[ln f (x)] = f (x)

si ottiene: x x x x

2 2

1 (x 2)

− − − −

D[ln( D[ .

)] ] =

= =

x−2 2

x x x x

2

x

x 2

2 .

=

E 2

x x x(x

2 2)

− −

Esempio 5.22 2

f x

Si calcoli la derivata della funzione (x) cos(2x )

= −

Soluzione

Utilizzando la relazione 0

D[cos f f f

(x)] sin[ (x)] (x)

= −

si ottiene: 2 2 2

D[cos(2x x x x

)] sin(2x )(2 2x) 2(x 1) sin(2x ).

− = − − − = − −

w (Derivata della funzione inversa)

Teorema R

f X X X

Sia : una funzione invertibile e derivabile e sia, ,

→ ∀x ∈ ∀x ∈

Ipotesi)

0

f (x) 0.

6= −1

f f

La funzione inversa (y) è derivabile (X ) e risulta

∀y ∈

Tesi) 1

−1 −1

D f x f

(y) , con (y).

= =

D f (x)

Dimostrazione −1 −1

y f x f y f x f

Sia (x) (y) e (x ) (y ). Si ha:

= ⇐⇒ = = ⇐⇒ =

0 0 0 0

−1 −1

f f x x

(y) (y )

− −

0 0

lim lim

= =

y y f f

(x) (x )

y→y x→x

− −

0 0

0 0

1 1 −1

x f

lim , con (y ).

= =

0 0

0

f f

(x)− (x )

x→x f (x )

0

0 0

x−x 0 X

Tenendo conto che il ragionamento adottato può essere riproposto , si

∀x ∈

0

ottiene la tesi.

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 135

" Osservazione

f x. f

Sia (x) cos Come visto nel capitolo 2, se il dominio di (x) è ristretto all’inter-

=

π]

vallo [0, essa può essere invertita: −1

y f x x f y.

(x) cos (y) arccos

= = ⇐⇒ = =

Utilizzando il teorema della funzione inversa è possibile calcolare la derivata della

x.

funzione arccos Si ha: 1

D y x y.

arccos , con arccos

= =

D x

cos

Visto che D x x

cos sin

= −

si ottiene 1 x y.

D y , con arccos (5.2)

arccos =

= − x

sin

Tenendo conto che p

2 2 2 x.

x x x 1 cos

cos sin 1 sin −

+ = =⇒ = ±

π]

x x

Essendo [0, la funzione sin è positiva e, pertanto, nella precedente relazione

deve essere presa la radice positiva: p 2

x x.

sin 1 cos

= −

Inserendo tale relazione nella (5.2) si ottiene

1

D y x y.

arccos , con arccos

= − =

p 2 x

1 cos

− y y

Tenendo conto del fatto che cos arccos si ottiene

= 1

D y

arccos .

= − p 2

y

1 −

Utililizzando la notazione standard per la variabile dipendente e quella indipen-

dente, si è ottenuto, infine 1

D x

arccos .

= − p 2

x

1 −

In modo analogo si prova che

1 1 1 x y,

D y , con arcsin

arcsin = = =

= p

D x x

sin cos 2 x

1 sin

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 136

da cui 1

D x

arcsin .

= p 2

x

1 −

Un ragionamento analogo può essere utilizzato per determinare la derivata della

y x.

funzione arctan Si ha:

= 1 1

D y x y.

arctan , con arctan

= = =

1

D x

tan 2 x

cos

2 x x,

Esprimendo la funzione 1/ cos in termini della funzione tan

2 2 2

x x x

1 cos sin sin

+ 2 x,

1 1 tan

= = + = +

2 2 2

x x x

cos cos cos

si ottiene 1 1

D y x y

arctan , con arctan

= = = =⇒

1 2 x

1 tan

+

2 x

cos 1

D y

arctan = 2

y

1 +

x

o, in termini della variabile 1

D x

arctan .

= 2

x

1 +

w (de l’Hospital)

Teorema f g I I f

Siano (x) e (x) continue in e derivabili in \{x } e tali che (x ) =

Ipotesi) x x 0 0

0 0

0

g g g I

(x ) 0. Siano inoltre (x), (x) 0 in \{x }.

= 6= x

0 0

0

Tesi) 0 f

f (x)

(x) ` `.

lim

lim = =⇒ =

0 g (x)

x→x

x→x g (x) 0

0

Dimostrazione 0 0

f g

La dimostrazione sarà data nel caso particolare in cui (x) e (x) risultano essere

0

I g

continue in e per (x ) 0.

6=

x 0

0

f g

Visto che (x ) (x ) 0, si ha:

= =

0 0 f f

(x)− (x )

0

f f f

(x) (x) (x )

− x−x

0 0

lim lim lim

= = =

g (x)−g (x )

g g g

(x) (x) (x )

x→x x→x x→x

− 0

0 0 0

0 x−x 0

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 137

0 0

f f

(x ) (x)

0 lim .

=

0 0

x→x

g g

(x ) (x)

0

0 ■

" Osservazione

• Il teorema di de l’Hospital può essere utilizzato per risolvere le forme inde-

0 .

terminate 0

• Il teorema di de l’Hospital può essere applicato ripetutamente, nel senso che

se il limite 0

f (x)

lim 0

x→x g (x)

0 0

dà ancora luogo ad una forma indeterminata si può calcolare il limite

0

00

f (x)

lim 00

x→x g (x)

0

che, se esiste, sarà pari al limite di partenza

f (x)

lim .

g (x)

x→x 0

Se anche il limite del rapporto delle derivate seconde dà luogo ancora ad una

00

forma indeterminata si può calcolare il limite del rapporto delle derivate

terze, e così via. `

x

• Il teorema di de l’Hospital vale anche se e/o sono infiniti.

0

f g

• Il teorema di de l’Hospital vale anche se (x ) e (x ) ovvero

= ±∞ = ±∞,

0 0

anche per risolvere le forme indeterminate .

• Il teorema di de l’Hospital può essere usato per rimuovere la forme indeter-

minata 0 : se, ad esempio

· ∞ f

lim (x) 0

=

x→x 0

e g

lim (x) = ±∞,

x→x 0

la forma indeterminata 0 che origina dal limite

· ∞ f

lim (x)g (x)

x→x 0

0 calcolando il limite equivalente

può essere ricondotta alla forma 0 f (x)

lim 1

x→x 0 g (x)

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 138

oppure alla forma calcolando il limite equivalente

∞ g (x) .

lim 1

x→x 0 f (x)

• Il teorema di de l’Hospital può essere usato per rimuovere la forme indeter-

minata Se ad esempio

+∞ − ∞. f

lim (x) = +∞

x→x 0

e g

lim (x) = +∞,

x→x 0

la forma indeterminata che origina dal limite

+∞ − ∞ f g

lim [ (x) (x)]

+

x→x 0 0 ∞

o

può essere ricondotta alla forma 0 (e quindi in seguito nella forma

· ∞ 0 ∞

come visto nel punto precedente) usando la relazione

1 1

f g f

(x) (x) (x)g (x)[ ]:

+ = +

f g

(x) (x) 1

1

f g f ].

lim [ (x) (x)] lim (x)g (x)[ +

+ = f g

(x) (x)

x→x x→x

0 0

• Il teorema di de l’Hospital non si può invertire: dall’esistenza del limite

f (x)

lim g (x)

x→x 0

non segue l’esistenza del limite 0

f (x)

lim ,

0

x→x g (x)

0

come evidenziato nel seguente

E Esempio 5.23

1

2

f x g x.

Sia (x) cos e (x) Si ha:

= =

x 1

2

x cos 1

x x

lim lim cos 0

= =

x x

x→0 x→0

mentre, essendo 1 1 1 1 1

0 2

f x

(x) 2x cos (− sin )(− ) 2x cos sin

= + = +

2

x x x x x

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 139

0

g (x) 1

=

risulta 0

f 1

(x) 1 1

lim [2x cos

lim sin ] lim sin

= + =

0 x x x

g (x) x→0

x→0 x→0

E

che non esiste.

Esempio 5.24

Calcolare il limite x .

lim x

ln

x→+∞

Soluzione ∞

Applicando il teorema di de l’Hospital alla forma indeterminata che origina dal

limite che si deve calcolare, si ottiene:

x 1

lim lim = +∞

= 1

x

ln

x→+∞ x→+∞

E x

Esempio 5.25

Calcolare il limite 2x

e 1

lim .

x

x→0

Soluzione 0

Applicando il teorema di de l’Hospital alla forma indeterminata che origina dal

0

limite che si deve calcolare, si ottiene: 2x

2x

e 2e

1

− lim 2.

lim = =

x 1

x→0

x→0

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 140

E Esempio 5.26

Calcolare il limite α

x)

(1 1

+ −

lim .

x

x→0

Soluzione 0 che origina dal

Applicando il teorema di de l’Hospital alla forma indeterminata 0

limite che si deve calcolare, si ottiene:

α α−1

α(1

x) x)

(1 1

+ − + α.

lim lim

= =

x 1

E x→0 x→0

Esempio 5.27

Calcolare il limite 2 x x

sin − .

lim 2

x

+

x→0

Soluzione 0

Applicando il teorema di de l’Hospital alla forma indeterminata che origina dal

0

limite che si deve calcolare, si ottiene:

2 x x

x x 2 sin cos 1

sin −

− lim

lim = = −∞.

2

x 2x

+

+

E x→0

x→0

Esempio 5.28

Calcolare il limite x x.

lim ln

+

x→0

Soluzione

Nel calcolo di tale limite si incontra la forma indeterminata 0 che può essere

· ∞

messa nella forma :

∞ x

ln

lim ,

1

+

x→0 x

alla quale si può applicare il teorema di de l’Hospital:

1

x

ln x

lim lim lim 0.

= = −x =

1 1

+ + +

x→0 x→0 x→0

2

x x

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 141

E Esempio 5.29

Calcolare il limite 1

xe

lim .

x

x→+∞

Soluzione

Nel calcolo di tale limite si incontra la forma indeterminata 0 che può essere

· ∞

00 :

messa nella forma 1

e x ,

lim 1

x→+∞ x

alla quale si può applicare il teorema di de l’Hospital:

1 1

1 −

e

− )

(

x

e x 1

2

x −

e

lim lim lim 0.

= = =

x

1 1

x→+∞ x→+∞ x→+∞

− 2

x x

5.1.9 Individuazione dei punti di non derivabilità

x f

Per studiare la derivabilità in di una funzione (x) non è sempre necessario cal-

0

colare esplicitamente il limite del rapporto incrementale. Un punto di non deriva-

3

x f

bilità può essere individuato richiedendo che in la funzione (x) sia continua e

0

che sia tale che 0

f x

1. la funzione (x) abbia in un punto di discontinuità di prima specie,

0 0 `

f

lim (x) = 1

+

x→x 0

e 0 `

f (x)

lim = 2

x→x 0

` ` f x

con . In tal caso la funzione (x) non sarà derivabile in e quest’ulti-

6=

1 2 0

mo sarà un punto angoloso;

2. se, invece, 0

f

lim (x) = ±∞

x→x 0

x

il punto sarà un flesso a tangente orizzontale;

0

3. se, infine, 0

f

lim (x) = ±∞

+

x→x 0

e 0

f

lim (x) = ∓∞

x→x 0

x

il punto sarà una cuspide.

0

3 x

Si ricorda che se una funzione non è continua in non può essere derivabile in tal punto.

0

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 142

Se non ci si trova in uno dei casi 1)-3) occorrerà, invece, calcolare esplicitamente il

E

limite del rapporto incrementale.

Esempio 5.30

Si determinino gli eventuali punti di non derivabilità di

2

½ x x

1 se 0

− ≥

f (x) .

= −x

e x

se 0

<

Soluzione R R.

f f

Il dominio di (x) è ed essa risulta continua La derivata di (x) è

∀x ∈

½ x

se 0

−2x >

0

f .

(x) = −x x

se 0

−e <

x

Nel punto 0, in cui cambia la definizione della legge, si ha:

=

0 0

f 0

(x) lim

lim −2x =

= +

+ x→0

x→0

e 0 −x

f

lim (x) lim :

= −e = −1

− −

x→0 x→0

0

f x

la funzione (x) ammette in 0 una discontinuità di prima specie e, pertanto,

=

0

E

x f

0 è un punto angoloso per (x).

=

0 Esempio 5.31

Si determinino gli eventuali punti di non derivabilità di

p

3 2

f x

(x) 1

= −

Soluzione R

f D f D

Il dominio di (x) è e (x) risulta continua . La funzione derivata è

= ∀x ∈

f f

2x

2

0 2 −

f x

(x) (1 ) (−2x) .

= − = −

3 p

3 2 2

x

(1 )

0

f x

La derivata (x) non è regolare in essendo

= ±1

0 0

f

lim (x) = −∞

x→1

e 0

f

lim (x) :

= +∞

x→−1

x f

i punti sono quindi flessi a tangente verticale per (x).

= ±1

0

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 143

5.1.10 Differenziale

R (Differenziale)

Definizione

f x f x

Sia (x) derivabile in . Si dice differenziale di (x) nel punto , relativamente

0 0

∆x,

all’incremento la grandezza 0

d f f

(x ) (x )∆x.

=

0 0

" Osservazione f x

Si consideri l’equazione della retta tangente il grafico di (x) nel punto :

0

0

y f x f

(x) (x )(x ) (x ).

= − +

t 0 0 0

L’incremento che subisce tale retta tangente quando la variabile indipendente pas-

x x y y

sa dal valore al valore è (x (x ). Utilizzando l’equazione della

+∆x +∆x)−

t t

0 0 0 0

retta tangente si ottiene: 0 0

∆x) ∆x

y f x f f f

(x (x )(x ) (x ) (x )∆x (x )

+ = + − + = +

t 0 0 0 0 0 0 0

0

y f x f f

(x ) (x )(x ) (x ) (x )

= − + =

t 0 0 0 0 0 0

e, quindi, si ha: 0

∆x)

y y f

(x (x ) (x )∆x,

+ − =

t t

0 0 0 f x

espressione che coincide con il differenziale della funzione (x) nel punto re-

0

∆x. significato geometrico

lativamente all’incremento Si è ottenuto, pertanto, il del

differenziale: esso rappresenta l’incremento che subisce la retta tangente (si osser-

x

vi anche la figura 5.7) quando la variabile indipendente passa dal valore al valore

0

∆x.

x +

0

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 144

f (x)

y (x + ∆x)

t 0 df

f (x + ∆x)

0

y (x ) = f (x )

t 0 0 x

x x + ∆x

0 0

Figura 5.7

d f f x

Rappresentazione grafica del differenziale di una funzione (x) nel punto relativo

0

∆x.

all’incremento

E Esempio 5.32 0

f x f f x x

Se (x) si ha (x) 1 e, quindi, il differenziale di (x) nel punto relativo

= = =

∆x

all’incremento vale ∆x ∆x.

d x 1

= · = x

Si osservi che il valore di tale differenziale non dipende dal punto in cui si calcola

∆x.

d x

e risulta sempre =

" Osservazione

Siccome 0

d f f

(x) (x)∆x

=

∆x,

d x

e, come visto in precedenza si ha:

= d f (x)

0 0

d f f x f

(x) (x)d (x) .

= =⇒ = dx

0

f f

Si è così ottenuta un’espressione della derivata (x) di una funzione (x) come

f x.

rapporto tra il differenziale di (x) e quello di Si osservi che tale espressione

coincide con la notazione di Leibniz della derivata. d f f

Osservando la figura 5.7 si evince che il differenziale (x) di una funzione (x)

∆ f

non coincide con l’incremento (x) che la funzione subisce quando la variabile

∆x.

x x

indipendente passa dal valore al valore Si ha, però, il seguente

+

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 145

w (Resto del primo ordine)

Teorema 4

f x R

Sia (x) una funzione derivabile in e sia (x) la differenza tra l’incre-

Ipotesi) 0 1

∆ f f x

mento della funzione, (x ), e il differenziale di (x) in :

0 0

R f d f

(x) (x ) (x ).

= −

1 0 0

∆x ∆x.

R

Il resto (x) è un infinitesimo, per 0, di ordine superiore a

Tesi) 1

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema è sufficiente provare che

R (x)

1

lim 0.

=

∆x

∆x→0

In effetti si ha: ∆ ∆

f d f f d f

R (x ) (x ) (x ) (x )

(x) −

0 0 0 0

1 lim lim lim . (5.3)

lim = = −

∆x ∆x ∆x ∆x

∆x→0 ∆x→0 ∆x→0

∆x→0

Si ha: ∆ ∆x)

f f f

(x ) (x (x )

+ − 0

0 0 0 f

lim lim (x ) (5.4)

= = 0

∆x ∆x

∆x→0 ∆x→0

e 0

f

d f (x )∆x

(x ) 0

0

0 f

lim (x ). (5.5)

lim = = 0

∆x ∆x

∆x→0

∆x→0

Inserendo le relazioni (5.4) e (5.5) nella realzione (5.3) si ottiene la tesi. ■

" Osservazione

Il teorema sul resto del primo ordine fornisce un metodo per valutare in modo ap-

∆x,

f x f

prossimato la funzione (x) nel punto purché siano noti i valori (x ) e

+

0 0

0

f (x ). In effetti, si ha:

0 0

∆x)

f f f R

(x (x ) (x )∆x (x)

+ − = +

0 0 0 1

∆x R

e, se è molto piccolo si ottiene, trascurando il termine (x),

1

0

∆x)

f f f

(x (x ) (x )∆x

+ − ' =⇒

0 0 0

0

∆x)

f f f

(x (x ) (x )∆x.

+ ' +

E 0 0 0

Esempio 5.33 1

x ∆x

f e x

Sia (x) , 0 e . Si ha:

= = =

0 100

4 Tale grandezza è detta resto del primo ordine. L’origine di tale nome sarà più chiara nel seguito,

quando si studierà il polinomio di Taylor.

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 146

1

x

∆x) +∆x

f e e

• (x 0

+ = = 100

0 x 0

f e e

• (x ) 1

0

= = =

0

0 x 0

f e e

• (x ) 1

0

= = =

0

da cui 1 101

1

e 1 1 1.011.

' + · = =

100 100 100

Tale valore può essere confrontato con il valore esatto

1

e 1.01005017...

=

100

5.1.11 Polinomio di Taylor

f x d f

Sia (x) derivabile in . Si ricorda che, in tal caso, esiste il differenziale (x ) e il

0 0

R

resto (x), dato da

1 ∆

R f d f

(x) (x ) (x )

= −

1 0 0

è, in base al teorema sul resto del primo ordine, un infinitesimo di ordine superiore

∆x,

x x

al primo. Ponendo la relazione precedente può essere riscritta come

= +

0 0

R f f f x

(x) (x) (x ) (x )(x )

= − − − =⇒

1 0 0 0

0

f f f x R

(x) (x ) (x )(x ) (x).

= + − +

0 0 0 1

Posto 0

T f f x

(x) (x ) (x )(x ),

= + −

1 0 0 0

detto polinomio di Taylor di ordine 1, si ottiene

f T R

(x) (x) (x).

= +

1 1

R x x

Siccome il resto (x) è un infinitesimo di ordine superiore al primo per , si

1 0

potrà porre f T x x

(x) (x) per .

' '

1 0 f

Tale relazione può essere interpretata nel seguente modo: se (x) è derivabile in

x T f x x

esiste un polinomio, (x), che approssima (x) per vicino a . La qualità

0 1 0

f T

dell’approssimazione è espressa dal fatto che la differenza tra (x) e (x), pari a

1

R x x

(x), è un infinitesimo di ordine superiore al primo per .

1 0

T

Si osservi che il polinomio (x) gode delle seguenti proprietà:

1 T f

(x ) (x )

=

1 0 0

e 0 0

T f

(x ) (x )

=

0 0

1

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 147

f x

cioè ha lo stesso valore e la stessa derivata di (x) in .

0

2

f C I x

Si supponga ora che (x) sia di classe in un intorno di , e si supponga di

x 0

0

f x T

voler approssimare la funzione (x) in tramite un polinomio (x) : si vuole cioè

0 2

trovare un polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine 2, tale che

f T x x

(x) (x) per .

' '

2 0

f T x

Se si richiede che la funzione (x) ed il polinomio (x) abbiano in stesso valore,

2 0

stessa derivata prima e stessa derivata seconda, si ottiene la nozione di polinomio

5 T

(approssimante) di Taylor di ordine due . Sia (x) il polinomio

2 2

T a a x a x

(x) (x ) (x ) .

= + − + −

2 0 1 0 2 0

Si ha: T a

(x ) ,

=

2 0 0

0

T a

(x ) =

0 1

2

e 00

T (x ) 2a .

=

0 2

2

f T

Richiedere che (x) e (x) abbiano stesso valore e stesse derivate prima e seconda

2

x T

in , fissa in modo univoco il polinomio (x). In effetti si ha:

0 2

f T a a f

(x ) (x ) (x )

= = =⇒ =

0 2 0 0 0 0

0 0 0

f T a a f

(x ) (x ) (x )

= = =⇒ =

0 0 1 1 0

2

e 1

00 00 00

f T a f

(x ) (x ) 2a (x ).

= = =⇒ =

0 0 2 2 0

2 2

T

Per il polinomio (x) si ottiene dunque l’espressione

2 1 00

0 2

T f f x f x

(x) (x ) (x )(x ) (x )(x ) .

= + − + −

2 0 0 0 0 0

2

R f T

Definendo (x) come lo scarto tra la funzione (x) e il polinomio (x),

2 2

R f T

(x) (x) (x)

= −

2 2

si è ottenuto f T R

(x) (x) (x).

= +

2 2

5 T f

Se si richiede, invece, che il polinomio (x) assuma gli stessi valori che assume la (x) nei punti

x x polinomio interpolante

{x , , ..., } si otterrà il cosiddetto diverso, in generale, dal polinomio di Taylor.

n

1 2

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 148

T f x x

Il polinomio (x) è “vicino” a (x) per “sufficientemente vicino” a nel senso

2 0

che, R (x)

2

lim 0.

=

2

x

(x )

x→x −

0 0

In effetti si ha: 0 00

12 2

f f f x f x

(x) (x ) (x )(x ) (x )(x )

− − − − −

R (x) 0 0 0 0 0

2

lim lim ,

=

2 2

x x

(x ) (x )

x→x

x→x − −

0 0

0 0

0 f

che risulta essere una forma indeterminata . Nelle ipotesi fatte per (x), è possi-

0

bile applicare due volte il teorema di de l’Hospital a tale forma indeterminata. Si

ottiene 00

0 0 0 00

1 2

f x

f f f x (x )(x )

(x) (x ) (x )(x ) −

− − − − f f f x

(x) (x ) (x )(x )

− − −

0 0

0 0 0 0 0 0

2 lim

lim = =

2

x x

(x ) 2(x )

x→x

x→x − −

0

0 0 0

00 00

f f 1 1 1

(x) (x ) 1

− 00 00 00

00

0 f f f

f

lim lim (x ) (x ) (x ) 0.

(x)

= = − =

− 0 0 0

2 2 2 2 2

x→x x→x

0 0 3

f C I x

Se si suppone, invece, che la funzione (x) sia di classe in un intorno di ,

x 0

0

T

allora esiste un unico polinomio, (x), detto polinomio di Taylor di ordine 3, tale

3

T x

che (x) assume in stesso valore e stesse derivate prima, seconda e terza di

3 0

f (x). Posto 2 3

T a a x a x a x

(x) (x ) (x ) (x )

= + − + − + −

3 0 1 0 2 0 3 0

si ha: f T a a f

(x ) (x ) (x )

= = =⇒ =

0 3 0 0 0 0

0 0 0

f T a a f

(x ) (x ) (x )

= = =⇒ =

0 0 1 1 0

3 1

00 00 00

f T a f

(x ) (x ) 2a (x )

= = =⇒ =

0 0 2 2 0

3 2 1

000 000 000

f T a a f

(x ) (x ) 3 2 (x )

= = · · =⇒ =

0 0 3 3 0

3 3!

e, quindi, 1 1

0 00 000

2 3

T f f x f x f x

(x) (x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) .

= + − + − + −

3 0 0 0 0 0 0 0

2 3!

R f T

Posto (x) (x) (x) si ha

= −

3 3 f T R

(x) (x) (x),

= +

3 3

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 149

T f x x R

e risulta che (x) approssima (x) per visto che il resto (x) è un infinite-

'

3 0 3

x x

simo di ordine superiore al terzo per . In effetti risulta

→ 0

R (x)

3

lim 0,

=

3

x

(x )

x→x −

0 0

risultato che si ottiene facilmente, in modo analogo a quanto visto nel caso di re-

sto del secondo ordine, applicando tre volte il teorema di de l’Hospital alla for-

00

ma indeterminata che origina dal limite precedente. Più in generale sussiste il

seguente

w (Taylor)

Teorema n

f C

Sia (x) di classe (I ).

Ipotesi) x 0

T n,

Esiste un polinomio, (x), detto polinomio di Taylor di ordine tale che:

Tesi) n 00 000

0 1 1

1 2 3 (4)

f f f

T f f (x )(x−x ) (x )(x−x ) (x )(x−

1. (x) (x )+ (x )(x−x )+ + +

=

n 0 0 0 0 0

0 0 0 2 3! 4!

1 n

4 (n)

x f x

) ... (x )(x )

+ + −

0 0 0

n! 0 0 00 00 (n)

(n)

f T f T f T f T

2. (x ) (x ), (x ) (x ), (x ) (x ),..., (x ) (x )

= = = =

n

0 0 0 0 0 0 0 0

n

n n

R f T n x x

3. (x) (x) (x)è un infinitesimo di ordine superiore a per :

= − →

n n 0

R (x)

n

lim 0.

=

n

x

(x )

x→x −

0 0

Dimostrazione n n

La dimostrazione ricalca quella vista nei casi 2 e 3 ed è, pertanto, lasciata al

= =

lettore (suggerimento: per dimostrare il punto 3 si può applicare ripetutamente (n

volte) il teorema di de l’Hospital). ■

" Osservazione n+1

f C I x

Si può dimostrare che, se la funzione (x) è di classe in un intorno di ,

x 0

0

R

il resto (x) ammette un’espressione esplicita, detta forma di Lagrange del resto,

n

data da 1 n+1

(n+1)

R f x c x).

(x) (c)(x ) , (x ,

= − ∈

n 0 0

(n 1)!

+

" Osservazione

x x

Se il punto è scelto in modo che 0, il polinomio di Taylor è detto polinomio

=

0 0

di Maclaurin.

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 150

E Esempio 5.34 x

f e

Calcolare il polinomio di Maclaurin del quinto ordine di (x) .

=

Soluzione x x N

+

e e n

Siccome la derivata di è , ne segue che, per ogni si ha:

x

(n)

f e

(x) =

e, quindi, (n)

f (0) 1,

=

da cui segue che il polinomio di Maclaurin del quinto ordine è

1 1 1 1

2 3 4 5

x x x x x

1 .

+ + + + +

2 3! 4! 5!

x x

Per sufficientemente vicino a 0 si avrà, quindi,

=

0 1 1 1 1

x 2 3 4 5

x x x x

e x .

1 + + +

' + + 2 3! 4! 5!

1

x si ottiene

Scegliendo, per esempio, = 100

1

e 1.010050167084167

'

100

valore da confrontare con quello esatto

1

E e 1.010050167084168...

=

100

Esempio 5.35 f x.

Calcolare il polinomio di Maclaurin del terzo ordine di (x) sin

=

Soluzione

Si ha: f x f

(x) sin (0) 0

= =⇒ =

0 0

f x f

(x) cos (0) 1

= =⇒ =

00 00

f x f

(x) sin (0) 0

= − =⇒ =

000 000

f x f

(x) cos (0)

= − =⇒ = −1,

x x

da cui si ottiene, per vicino a 0

=

0 1 3

x

x x .

sin ' − 6

1

x

Per esempio, posto si ha

= 10 1

sin 0, 0998333,

'

10

che si può confrontare con il valore esatto

1

sin 0, 0998334...

=

10

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 151

5.2 Massimi e minimi relativi

R (Massimo e minimo relativo (o locale))

Definizione

R

f X x X f f

Sia : e sia un punto interno al dominio di (x). Si dirà che (x)

→ 0

x

ammette nel punto un

0

minimo relativo I

• (o locale) se tale che

∃ x 0

f f I

(x) (x ) \{x }

> ∀x ∈ x

0 0

0

massimo relativo I

• (o locale) se tale che

∃ x 0

f f I

(x) (x ) \{x }.

< ∀x ∈ x

0 0

0

estremo relativo.

Un massimo (minimo) relativo è anche detto

f (x) x x

x x b

x

a 3

0 2

1

Figura 5.8

f x

Esempio di grafico di una funzione (x) che presenta massimi relativi nei punti interni e

0

x x x

e minimi realtivi nei punti interni e .

2 1 3

" Osservazione

La definizione di minimo e massimo relativo potrebbe essere estesa anche al caso

x d I

rappresentato in figura 5.9. In tali casi, tutti i punti dell’intervallo [c, ], in cui ∃ x

f f minimi locali in senso largo.

tale che (x) (x) potrebbero essere denominati

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 152

f (x) x x

x x

c b

a d 2

0 1

Figura 5.9

f

Esempio di grafico di una funzione (x) che presenta minimi relativi in senso largo in tutti i

d

punti appartenenti all’intervallo [c, ].

" Osservazione f

La nozione di estremo relativo si riferisce a proprietà locali della funzione (x), cioè

I

a proprietà relative ad un opportuno intervallo . Tale nozione è contrapposta a

quella di massimo o minimo assoluto che riguarda il comportamento globale (cioè

riferito a tutto il dominio) della funzione stessa. f

Per la ricerca degli estremi relativi di una funzione (x) è rilevante il seguente teore-

ma, che fornisce una condizione necessaria per l’esistenza di un estremo relativo:

w (Fermat o condizione necessaria del primo ordine)

Teorema

x f f

Sia un estremo relativo della funzione (x). Sia, inoltre, (x) derivabile in

Ipotesi) 0

x .

0 0 6

f (x ) 0.

=

Tesi) 0

Dimostrazione

f x

Poiché (x) è, per ipotesi, derivabile in esiste finito il limite

0

f f

(x) (x )

− 0

0 f

lim (x ).

= 0

x x

x→x −

0 0

Si osservi che, dall’esistenza di tale limite, dovrà risultare anche

f f f f

(x) (x ) (x) (x )

− − 0

0 0 f

lim lim (x ).

= = 0

x x x x

− −

x→x

+

x→x 0 0

0

0

0

6 f f

I punti in cui (x) 0 sono detti punti stazionari di (x).

=

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 153

x f

Per fissare le idee, si supponga che in la funzione (x) ammetta un massimo

0 I

relativo. Si avrà, pertanto, l’esistenza di un intorno tale che

x 0

f f I f f I

(x) (x ) \{x } (x) (x ) 0 \{x }.

< ∀x ∈ =⇒ − < ∀x ∈

x x

0 0 0 0

0 0

x I

Per si avrà quindi

∈ x 0 f f

(x) (x )

− 0 x x

0 se .

< > 0

x x

− 0

In base al teorema della permanenza del segno in forma inversa si avrà, quindi,

f f

(x) (x )

0 0

f (x ) lim 0. (5.6)

= ≤

0 x x

+

x→x 0

0

Con un ragionamento analogo si otterrà

f f

(x) (x )

− 0 x x

0 se

> < 0

x x

− 0

e, quindi, f f

(x) (x )

0 0

f 0. (5.7)

(x ) lim ≥

=

0 − x x

x→x 0

0

0 0

f f

Confrontando la relazione (5.6), (x ) 0 e la relazione (5.7), (x ) 0, si ottiene

≤ ≥

0 0

0

f

la tesi, (x ) 0.

=

0 ■

" Osservazione

0

f

La condizione (x ) 0 è necessaria per l’esistenza di un minimo relativo per una

=

0

f f

funzione (x) derivabile ma non è sufficiente. Si consideri infatti la funzione (x) =

0

3 2

x f x

la cui derivata prima (x) 3x si annulla per 0 che, però, non è un estremo

= =

0

relativo.

" Osservazione f x

Si consideri la funzione (x) che presenta, in 0, un minimo locale. Non

= |x| =

0 0

x f

essendo tale funzione derivabile in 0, non potrà risultare, chiaramente, (x )

= =

0 0

0.

" Osservazione f

Dal teorema di Fermat segue che se (x) è derivabile, in un punto di massimo o di

minimo locale la retta tangente è parallela all’asse delle ascisse.

Una conseguenza del teorema di Fermat è il seguente

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 154

w (Rolle)

Teorema

f b]

Sia (x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, e derivabile nell’in-

Ipotesi) b). f f

tervallo aperto (a, Sia inoltre (a) (b).

=

0

c b) f

(a, tale che (c) 0.

∃ ∈ =

Tesi)

Dimostrazione

Nella dimostrazione è opportuno distinguere due casi. 0

f f

1) Sia (x) una funzione costante. In tal caso la tesi è banale in quanto (x) 0

=

b).

(a,

∀x ∈ f f b],

2) Sia (x) non costante. La funzione (x), essendo continua nell’intervallo [a,

ammetterà, per il teorema di Weierstrass, massimo e minimo assoluto. Se il massi-

a b

mo assoluto cadesse in e il minimo assoluto in (o viceversa) essendo per ipotesi

f f

(a) (b) la funzione avrebbe massimo assoluto pari al minimo assoluto e sareb-

=

be, quindi, costante, contrariamente all’assunzione fatta. Ne segue che o il massi-

c

mo assoluto o il minimo assoluto (o entrambi) cadono in un punto appartenen-

b)(si c

te all’intervallo (a, osservi la figura 5.10) Il punto sarà pertanto un estremo

0

f

relativo e, per il teorema di Fermat, dovrà risultare (c) 0.

= ■

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 155

f (x)

f (c)

f (a) = f (b) x

c b

a

f (x) f (x)

f (c )

1

f (a) = f (b) f (a) = f (b)

f (c) f (c )

2

x x

c c c

b b

a a 1 2

Figura 5.10

Si ha inoltre il seguente

w (Lagrange)

Teorema

f b]

Sia (x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, e derivabile nell’in-

Ipotesi) b).

tervallo aperto (a, f f

0 (b)− (a)

c b) f

(a, tale che (c) .

∃ ∈ =

Tesi) b−a

Dimostrazione

g f f f

Sia (x) l’equazione della retta secante il grafico di (x) nei punti (a, (a)), (b, (b)) :

f f

(b) (a)

g a) f

(x) (x (a)

= − +

b a

F

e sia (x) la funzione ausiliaria F f g

(x) (x) (x).

= −

Si ha:

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 156

F b] b]

• (x) è continua in [a, essendo somma di funzioni continue in [a,

F b) b)

• (x) è derivabile in (a, essendo somma di funzioni derivabile in (a,

F f g F f g F F

• (a) (a) (a) 0 e (b) (b) (b) 0 e, quindi, (a) (b).

= − = = − = =

F

La funzione (x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle: esisterà quindi almeno un

0

c b) F

punto (a, tale che (c) 0. Si ha:

∈ = f f

(b) (a)

0 0 0 0

F f g f

(x) (x) (x) (x) ,

= − = − b a

da cui f f

(b) (a)

0 0

F f

0 (c) (c)

= = − =⇒

b a

f f

(b) (a)

0

f (c) .

= b a

− ■

" Osservazione interpretazione geometrica

Il teorema di Lagrange ammette la seguente (si confron-

0

f

ti la figura 5.11). Siccome (x) rappresenta la pendenza della tangente nel punto

f f

(b)− (a) f f

x la pendenza della secante i punti (a, (a)) e (b, (b)), il teorema di La-

e b−a

grange afferma che esiste almeno un punto in cui la retta tangente il grafico ha la

stessa pendenza della secante.

f (x) x

c b

a c

1 2

Figura 5.11

f c c

La retta tangente il grafico di (x) è, nei punti e , parallela alla retta secante i punti

1 2

f f

(a, (a)) e (b, (b)).

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 157

Il teorema di Lagrange ammette i seguenti importanti corollari:

f

Si supponga che (x) soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange. Si ha

w Corollario I

0

f b) f k b)

Se (x) 0 (a, allora (x) (a,

= ∀x ∈ = ∀x ∈

Dimostrazione

x b) x].

Sia (a, e si appichi il teorema di Lagrange al sottointervallo [a, Esisterà un

∈ c x)

punto (a, tale che

∈ f f f f

(x) (a) (x) (a)

− −

0

f f f

(c) 0 (x) (a) 0

= =⇒ = =⇒ − =

x a x a

− −

f f x b) f f

da cui (x) (a). Data l’arbitraretà di segue che (a, risulta (x) (a)

= ∀x ∈ = =

k. ■

w Corollario II g

Si supponga che anche la funzione (x) soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange

0 0

f g b). f g k b).

e che risulti (x) (x) (a, Ne segue che (x) (x) (a,

= ∀x ∈ = + ∀x ∈

Dimostrazione

f f

La funzione (x)−g (x) soddisfa le ipotesi del corollario I. Ne segue che (x)−g (x) =

k b),

(a, da cui la tesi.

∀x ∈ ■

w Corollario III

0

f b) f b].

Se (x) 0 (a, allora la funzione (x) è strettamente crescente in [a,

> ∀x ∈

0

f b) f

Se, invece, (x) 0 (a, allora la funzione (x) è strettamente decrescente

< ∀x ∈

b].

in [a,

Dimostrazione 0

f b). x x b) x x

Si consideri il caso (x) 0 (a, Siano , (a, con e si applichi

> ∀x ∈ ∈ <

1 2 1 2

x c x

il teorema di Lagrange al sottointervallo [x , ]. Esisterà allora un punto (x , )

1 2 1 2

tale che f f f f

(x ) (x ) (x ) (x )

− −

0 2 1

2 1

f 0.

(c) =⇒ >

= x x x x

− −

2 1 2 1

x x x b)

Data l’arbitrarietà di e si può concludere che , (a, si ha

∀x ∈

1 2 1 2

f f

(x ) (x )

2 1 0

>

x x

2 1 0

f b)

e, quindi, la tesi. In modo analogo si prova che se (x) 0 (a, allora la

< ∀x ∈

f b].

funzione (x) è strettamente decrescente in [a,

CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 158

" Osservazione condizione sufficiente

Il terzo corollario al teorema di Lagrange fornisce una per sta-

f

bilire la monotonia di una funzione (x). Tale condizione non è però necessaria. Si

3

f x

consideri infatti la funzione (x) che risulta essere strettamente crescente. La

=

0 0

2

f f

sua derivata, (x) 3x , non è comunque maggiore di zero: si ha (x) 0, essen-

= ≥

x f

do pari a zero in 0. In generale, dal fatto che (x) è crescente (decrescente) in

=

0 0 0

I f f x I

un certo intervallo , si può solo concludere che (x) 0 ( (x) 0) per ogni .

≥ ≤ ∈

5.2.1 Individuazione dei massimi e minimi relativi

0

f

Come osservato in precedenza, la condizione (x ) 0 è necessaria ma non suffi-

=

0 f

ciente per l’esistenza di un massimo o di un minimo relativo per la funzione (x). Il

terzo corollario al teorema di Lagrange fornisce, invece, una condizione sufficien-

te per determinare la crescenza/decrescenza di una funzione derivabile. Si osservi

f

che (si confrontino le figure 5.12 e 5.13) se una funzione (x) ammette un massimo

x

(minimo) locale in , essa risulterà crescente (decrescente) in un intorno sinistro

0

x x

di e decrescente (crescente) in un intorno destro di .

0 0

f (x) x

x

x x 2

1 0 x

x

x x 2

1 0

Figura 5.12

f x x x

Se la funzione (x) ammette un massimo locale in la funzione sarà crescente da a e

0 1 0

x x

decrescente da a .

0 2


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Dispense del Prof. Pierangelo Ciurlia di Matematica Generale. Gli argomenti sono citati di seguito:

Calcolo differenziale: Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivabilità e continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata di funzioni composte. Derivata della funzione inversa. Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto (c.d.). Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Condizioni necessarie del prim'ordine per l'esistenza di massimi e minimi locali o teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange: Funzioni a derivata nulla (c.d.). Relazioni tra la monotonia e la derivata (c.d.). Concavità e convessità in un punto. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second'ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi (c.d.). Condizioni sufficienti di ordine n per l'esistenza di massimi e minimi relativi o flessi (c.d). Teorema di De L'Hopital.
Grafico della funzione: Rappresentazione del grafico di una funzione sul piano cartesiano. Asintoti obliqui.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Ciurlia Pierangelo.

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