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18 1.I. CALCOLO COMBINATORIO

Esempio 1.9 (Estrazione da un’urna) Nei seguenti esempi supponiamo di ave-

M n.

re un’ urna che contenga palline distinguibili, e di estrarne

1. estrazioni con reinserimento.

Questo è l’esperimento nel quale dopo ogni estrazione la pallina viene

rimessa nell’urna; in questo caso è possibile estrarre più volte la stessa

pallina. n

Un risultato dell’estrazione si può rappresentare con un vettore di ele-

menti del tipo (a · · · )

, , a

1 n

a M

dove ogni rappresenta una pallina e può avere valori diversi. I ri-

i

sultati che contengono gli stessi elementi ma con ordine diverso, come nel

(1, 3, 2, 3) (3, 1, 2, 3),

caso di e si possono o no considerare equivalenti; se

si considerano equivalenti si parlerà di [1, 3, 2, 3]

estrazioni non ordinate di campioni e si scriverà

altrimenti si parlerà di (1, 3, 2, 3).

estrazioni ordinate di campioni e si scriverà n+M +n−1!

−1 M

n

Ω =

M

Nel secondo caso la cardinalità di è , nel primo è .

n n!M −1!

2. estrazioni senza reinserimento.

Questo è l’esperimento nel quale dopo ogni estrazione la pallina non viene

n M);

rimessa nell’urna (e quindi in questo caso non è possibile estrarre

più volte la stessa pallina; se non siamo interessati all’ordine col quale le

palline vengono estratte, un risultato dell’estrazione si può rappresentare

{a · · · }

n , , a a

con un insieme di elementi del tipo dove ogni rappresenta

1 n i

M !

M

Ω =

una pallina. In questo caso la cardinalità di è .

n n!M −n!

Se vogliamo di nuovo distinguere le estrazioni a seconda dell’ordine nel

(a · · · )

, , a

quale le palline vengono estratte, possiamo usare un vettore 1 n

!

M =

per rappresentare un estrazione; in questo caso la cardinalità di è M −n!

− 1)(M − 2) (M − + 2)(M − + 1).

M(M . . . n n

Esercizio 1.10 Verificare la cardinalità di nei quattro casi della proposizione

precedente, usando le formule combinatorie date. M

Esempio 1.11 (Distribuzione di oggetti in celle) Supponiamo di avere celle

n

distinte e di avere oggetti da inserire in queste celle;

1. se gli oggetti sono distinguibili, allora la configurazione è rappresentabi-

(a )

, . . . , a a

le con un vettore dove denota la cella nella quale l’ogget-

1 n i

i-esimo

to è stato collocato; questo problema si può quindi riportare al

problema dell’estrazione ordinata di campioni.

Estratto dal libro

“Probabilità e Informazione”,

di A. Mennucci e S. K. Mitter,

2a versione, anno 2008,

edizioni Scuola Normale Superiore

(tutti i diritti riservati)


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AUTORE

Jacko

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di Matematica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Jacko di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elementi di Probabilità e Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Normale di Pisa - Sns o del prof Mennucci Andrea.

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