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Capitolo 7

Azioni mutue tra elementi di

macchine — Parte II

7.1 Azioni aerodinamiche

Nelle macchine si devono spesso considerare azioni tra solidi e fluidi; questi ultimi possono essere ritenuti

veri e propri membri non rigidi della macchina, accoppiati con i membri solidi, dei quali bagnano tutta

o parte della superficie.

Le azioni possono avere carattere di forze interne, come ad esempio in una turbina in cui il fluido si

muove entro condotti facenti parte della macchina e reagisce su di essi, oppure di forze esterne, come

l’azione dell’aria su di una aeroplano o la resistenza offerta dal mezzo all’avanzamento di una nave o di

una vettura, quando tutta la massa del fluido è considerata esterna al sistema che si studia. Esse inoltre

possono essere costituite da semplici pressioni statiche come quelle che sostengono un corpo immerso in

un fluido o che vengono esercitate da un fluido in pressione sulle pareti di un recipiente chiuso, oppure

possono essere pressioni dinamiche, cioè esercitate dal fluido in conseguenza del suo moto o del moto del

solido.

Spesso l’azione del fluido costituisce una resistenza al moto di un corpo in esso totalmente o parzial-

mente immerso; in tal caso essa prende il nome di resistenza del mezzo ed è una resistenza passiva, che,

di regola, si deve cercare di ridurre il più possibile. Nasce cosı̀ il problema di ottimizzare la forma al fine

di aumentarne la penetrazione (carene di navi, forme di autovetture, ...). In generale però tale azione tra

corpo e fluido ha una componente utile che si cerca di massimizzare (forza propulsiva di un’elica, forza

portante di un’ala).

Le forze esercitate da fluidi in quiete sono determinate dalla fluidostatica, mentre assai più complessa

è la ricerca delle azioni esercitate dai fluidi in moto, la quale più particolarmente interessa le macchine e

forma oggetto della fluidodinamica, comprendente come casi particolari l’idrodinamica e l’aerodinamica.

Supponiamo che il corpo sia fermo rispetto al fluido; in tal caso l’unica azione agente sul corpo è la

spinta fluidostatica. Tale spinta è proporzionale, come noto, alla densità del fluido e al volume del corpo.

Se invece il corpo si muove con una certa velocità in un fluido, oppure se il corpo è investito da un fluido

in moto con una certa velocità, nascono su ogni elemento infinitesimo di area della superficie del corpo

stesso delle forze infinitesime normali e tangenziali.

Si supponga che la corrente sia laminare e il fluido incomprimibile (numero di Mach, definito come

il rapporto tra la velocità del fluido e la velocità di propagazione del suono nel fluido stesso, minore di

0.1÷0.2).

In tali condizioni, sul contorno del corpo il fluido aderisce e ciò significa che la velocità del fluido a

1

contatto con il corpo si annulla : la velocità del fluido passa pertanto da zero al valore v allontanandosi

dal corpo.

Per esprimere la generica forza F e il generico momento aerodinamico M in modo semplice si ricorre

1 Si veda la nota 2 del Capitolo 4. 7-1

7-2 CAPITOLO 7. AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE — PARTE II

Figura 7.1: Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente di resistenza

del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b).

alle espressioni:

1 2

F = ρv SC f

2 (7.1)

1 2

ρv SlC

M = m

2

2 2

ove 1/2ρv è la pressione dinamica, spesso indicata con q in aeroelasticità .

Si suppone quindi che essi siano proporzionali alla pressione dinamica della corrente indisturbata e

a una superficie di riferimento S (nell’espressione del momento compare anche una lunghezza l) tramite

un coefficiente adimensionale da determinare sperimentalmente.

I coefficienti che compaiono nelle (7.1) sono funzione, oltre che della forma del corpo e della sua

posizione relativa alla direzione della corrente, del numero di Reynolds

ρvl

Re = (7.2)

µ

ove ρ e µ sono rispettivamente la densità e la del fluido (la è

viscosità dinamica viscosità cinematica

ν = µ/ρ). La dipendenza dei coefficienti aerodinamici dal numero di Reynolds non è grande se il valore

di quest’ultimo è sufficientemente elevato, come si verifica per tipiche applicazioni aeronautiche, con

3

lunghezze dell’ordine del metro, velocità dell’ordine del centinaio di m/s, densità dell’ordine di 1 kg/m

−5

·

e viscosità dell’ordine di 1.6 10 kg/(ms). I coefficienti aerodinamici ricavati sperimentalmente sono

da ritenersi indipendenti dalla velocità se il numero di Reynolds è superiore ad alcuni milioni.

La superficie S e la lunghezza l di riferimento possono essere qualsiasi: esse esprimono solamente la

dipendenza delle forze e dei momenti rispettivamente dal quadrato e dal cubo delle dimensioni lineari

del corpo. È però evidente che il valore dei coefficienti aerodinamici dipende dalla scelta della superficie

e della lunghezza di riferimento.

In campo automobilistico, nel quale la portanza è spesso da ritenersi un effetto indesiderato della

presenza dell’aria, mentre la resistenza è una rilevante fonte di dissipazione, si usa scegliere quale su-

perficie di riferimento l’area della superficie trasversale del veicolo, anche se una certa confusione può

essere ingenerata dal fatto che taluni usano l’area della proiezione frontale (a) e altri l’area della massima

sezione trasversale (b) indicate in figura 7.1.

In campo aeronautico, viceversa, come superficie di riferimento per un velivolo si considera in genere

la sezione in pianta dell’ala, in quanto si è primariamente interessati alla forza portante, mentre quella

resistente, altrettanto importante, viene comunque in seconda battuta, essendo tipicamente, in normali

condizioni di volo, di almeno un ordine di grandezza inferiore.

2 Da non confondere con la generica coordinata libera; di solito la confusione non è possibile dal momento che la pressione

dinamica q è uno scalare, mentre le coordinate libere sono raccolte in un vettore {q}. 7-3

7.2. TEORIA ELEMENTARE DELLA LUBRIFICAZIONE

Figura 7.2: Schematizzazione del moto laminare di un fluido.

7.2 Teoria elementare della lubrificazione

Gli strisciamenti tra corpi asciutti si verificano nelle macchine solo in casi eccezionali, quando sia utile

avere un forte attrito, come ad esempio nei freni e negli innesti a frizione; negli altri casi le superfici a

contatto sono sempre bagnate da un liquido detto ovvero lubrificate. Per lubrificazione si

lubrificante,

intende la riduzione dell’attrito tra superfici a contatto in moto relativo mediante l’interposizione tra esse

di un apposito mezzo detto appunto lubrificante. Tale liquido, interposto tra le due superfici, impedisce

il fenomeno della microsaldatura che si è riconosciuto nel Capitolo 6 essere la causa dell’attrito cinetico

(o dinamico).

Da un lato, possono essere usati come lubrificanti gli olii e i grassi, che hanno la proprietà di formare

veli superficiali (epilamini) di spessore molecolare (qualche micron) aderenti alle superfici striscianti. I

lubrificanti possono essere anche solidi (grafite) per condizioni operative a temperature molto basse.

D’altra parte, un’azione più decisiva viene esercitata dal lubrificante nella lubrificazione idrostatica

e in quella idrodinamica, le quali consistono nella interposizione tra le superfici striscianti di un velo

continuo di lubrificante che, per quanto sottile, ha però spessore sufficiente per impedire il contatto

diretto tra le due parti. Lo strisciamento non avviene più fra solido e solido (attrito cinetico) o fra

strati molecolari aderenti alle superfici (attrito untuoso), ma fra gli strati del lubrificante interposto tra

queste (attrito mediato o fluido) che può assumere valori pari anche a 1/100 (dipendente solo dal tipo di

lubrificante) di quello che si ha nell’attrito radente (dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici).

Tutti i fluidi reali sono viscosi e oppongono una resistenza allo scorrimento delle particelle che li

compongono. Se noi facciamo scorrere degli strati di fluido gli uni sugli altri, fra gli stati stessi si esercita

un’azione che si oppone al moto relativo, come illustrato in figura 7.2. Tale azione è proporzionale

alla velocità con la quale avviene lo scorrimento, secondo un coefficiente caratteristico del fluido, detto

coefficiente di viscosità, ovvero il coefficiente µ illustrato nella definizione del numero di Reynolds.

7.2.1 Descrizione del problema

Nel seguito, per semplicità espositiva, viene considerato un problema piano, in cui due corpi sono in

movimento relativo di traslazione in direzione parallela alle superfici, ritenute piane, tra le quali avviene

la lubrificazione. Si assume inoltre che non ci siano perdite laterali, per cui il meato di fluido può essere a

tutti gli effetti considerato in movimento in un condotto per cui quindi vale il principio di conservazione

della massa.

Per semplicità, si consideri il corpo inferiore vincolato al telaio, mentre il corpo superiore viene fatto

scorrere con velocità v; il caso in cui entrambe le superfici si muovono verrà brevemente discusso nel

seguito.

La velocità del fluido nel meato sia u, diretta essenzialmente lungo il condotto. Questa velocità potrà

variare in funzione della posizione nel condotto, sia trasversale che longitudinale.

Sul corpo superiore, per effetto della presenza del fluido in moto relativo, si generano una forza

normale ed una tangenziale.

7-4 CAPITOLO 7. AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE — PARTE II

La forza normale, data dall’integrale della pressione relativa nel fluido lungo la lunghezza del meato,

è Z l p dx (7.3)

N = b 0

dove con b si è indicata la dimensione del condotto nella terza direzione, perpendicolare al piano in cui

avviene il moto; si è considerata direttamente la pressione relativa p in quanto sul resto del corpo agisce

comunque la pressione di riferimento.

La forza tangenziale, data dall’integrale degli sforzi di taglio alla parete, è

Z l τ dx (7.4)

T = b 0

L’effetto globale dell’interazione con il fluido viscoso può essere descritto mediante un coefficiente di

attrito equivalente, detto di attrito mediato

|T | (7.5)

f =

m N

che esprime il rapporto tra la forza tangenziale che si oppone al movimento e quella normale che occorre

per separare i corpi.

La determinazione del coefficiente di attrito mediato, e la valutazione delle caratteristiche geometriche

e meccaniche necessarie perché la lubrificazione, e quindi l’attrito mediato, abbiano luogo, richiede lo

studio della fluidodinamica del lubrificante per poter determinare la pressione p e gli sforzi di taglio τ

agenti sul corpo sostentato.

7.2.2 Fluidodinamica del lubrificante

Nel moto laminare, considerando due strati di ordinate z e z +∆z, caratterizzati dalle velocità u e u+∆u,

la velocità relativa sarà ∆u. Il gradiente di velocità per ∆z tendente a 0 è pari a du/dz, da cui la legge

3

di Petroff : du

τ = µ (7.7)

dz

Si analizzi il problema del moto del fluido interposto tra due superfici in moto, supponendo che:

• il moto del fluido sia laminare permanente per strati paralleli all’asse z;

• le forze di volume (peso e inerzia) siano trascurabili rispetto a quelle dovute alla viscosità;

• il fluido sia incomprimibile e abbia µ costante (ovvero, in sostanza, la temperatura si mantenga

costante all’interno del condotto);

• il moto avvenga in una sola direzione (lungo x).

Si assume dunque il problema piano e quindi che non vi sia fuoriuscita laterale in direzione y

(perpedicolare al piano x z), secondo lo schema illustrato in figura 7.3.

Imponendo l’equilibrio alla traslazione secondo x per un prisma elementare di fluido di dimensioni

(dx, 1, dz), si ottiene

− −

pdz (p + dp) dz τ dx + (τ + dτ ) dx = 0 (7.8)

3 La legge di Petroff in realtà rappresenta una semplificazione della definizione più generale dello sforzo viscoso laminare

che, nel caso bidimensionale, è

∂w

∂u + (7.6)

τ = µ ∂z ∂x

avendo chiamato w la componente della velocità in direzione z, nulla per ipotesi nel caso in esame.


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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