Che materia stai cercando?

Azioni mutue tra elementi di macchine - Attrito, usura e resistenza

Materiale didattico per il corso di Dinamica di Sistemi Aerospaziali del Prof. Pierangelo Masarati, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: azioni mutue tra elementi di
macchine e attrito di strisciamento nei solidi a contatto; usura nel contatto tra solidi; resistenza al rotolamento.

Esame di Dinamica di Sistemi Aerospaziali docente Prof. P. Masarati

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

6-2 CAPITOLO 6. AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE — PARTE I

Figura 6.1: Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi.

tra i due corpi, mentre nel caso di superfici non conformi, è una conseguenza dell’elasticità dei corpi a

contatto e dell’azione che li preme uno contro l’altro.

Una delle teorie più accreditate è quella della fra le parti effettivamente a contatto,

micro-saldatura

la cui superficie complessiva è una piccolissima frazione di quella apparente di contatto, come illustrato

in figura 6.1. In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche ed elastiche, le

zone deformate, fra le quali può verificarsi una vera e propria saldatura, si estendono proporzionalmente

alla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro e indipendente dalla superficie apparente di contatto.

Consideriamo il caso in cui tra i due corpi a contatto non vi sia moto relativo. L’esperienza mostra

~

che se applichiamo a uno dei due corpi una forza F , anche non perpendicolare al piano, questo resta

~ ~

∗ ∗

fermo finché la componente F non supera in modulo un certo valore F , ovvero F < F . Possiamo

t t

t t

~ ~

perciò dire che il piano è in grado di esercitare una reazione R avente una componente R tangente al

t

~

∗ ∗

piano di valore massimo in modulo R = F , capace di opporsi all’azione di F che tenderebbe a muovere

t

t t

il corpo rispetto al piano di appoggio.

Dalle esperienze di Coulomb, risulta che

R = f R (6.1)

a n

t

ove • R è la componente normale della reazione, avendo assunto R > 0 quando si ha contatto;

n n

• f è il coefficiente di aderenza (o attrito statico) dipendente dalla natura e dallo stato delle superfici

a

a contatto, indipendente entro ampi limiti dall’estensione dell’area apparente di contatto.

Per cui, affinché non vi sia moto relativo tra le superfici, deve valere che

~ ∗

≤ R (6.2)

R t t

Perché lo strisciamento fra i due corpi possa avere inizio, la componente tangenziale della reazione deve

avere un valore in modulo pari al valore massimo R . Ciò significa, facendo riferimento alla teoria delle

t

micro-saldature, che esse si debbono rompere e, per conseguenza:

R = τ A (6.3)

max eff

t

dove si assume un comportamento perfettamente plastico del materiale, per il quale lo sforzo raggiunge

il valore massimo di plasticizzazione su tutta la sezione e lo mantiene indipendentemente dall’entità della

deformazione; ma

R n

A = (6.4)

eff σ max 6-3

6.1. ATTRITO DI STRISCIAMENTO NEI SOLIDI A CONTATTO

Figura 6.2: Attrito statico.

Figura 6.3: Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocità relativa.

quindi τ max

R = R = f R (6.5)

n a n

t σ max

che evidenzia la ricordata indipendenza dall’estensione della superficie apparente di contatto, e la dipen-

denza dalle sole caratteristiche del materiale.

Se la reazione tangente richiesta è maggiore di quella massima sviluppabile dal vincolo in base al

coefficiente di attrito, allora si ha l’innesco del moto relativo di strisciamento, abbandonando la condizione

di aderenza. Se infatti:

~ ∗

R > R = f R (6.6)

t a n

t

il corpo si mette in moto rispetto alla superficie d’appoggio, ovvero accelera, nella direzione della reazione

~

R , ma con verso opposto. Non appena in movimento, la componente tangenziale della reazione vale:

t ~v

~ −f |) (6.7)

R = (|~v R

t n |~v |

diretta in verso opposto a quello della velocità relativa ~v . Il coefficiente di attrito dinamico (o cinetico)

|)

f (|~v è anch’esso dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici a contatto, e sempre indipendente

dall’estensione dell’area apparente di contatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura la

sua dipendenza dalla velocità relativa e si assume f costante.

L’indipendenza di f dalla velocità relativa è ammissibile entro limiti non troppo ampi, come illustrato

in figura 6.3. Dopo una brusca diminuzione passando da velocità relativa nulla (attrito a velocità

statico)

6-4 CAPITOLO 6. AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE — PARTE I

relative piccolissime, dell’ordine di qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibile aumento al

crescere della velocità relativa fino a valori di circa 0.3 m/s. Per velocità relative maggiori, fino a circa

5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane praticamente costante. Oltre quella velocità relativa il coefficiente

di attrito tende nuovamente a decrescere, diminuzione che diventa notevole a forti velocità relative.

Le leggi utilizzate per considerare i fenomeni di attrito sono di origine empirica; sono state individuate

da Amonton (1699) e successivamente perfezionate da Coulomb (1785). Possono essere sintetizzate come

segue:

• l’attrito è indipendente dall’estensione dell’area apparente di contatto;

• la forza limite di attrito statico, e la forza di attrito in condizioni di strisciamento, sono proporzionali

alla forza normale che tiene i corpi a contatto;

• l’attrito dinamico è indipendente dalla velocità di strisciamento, con le limitazioni sopra chiarite.

Le (6.6, 6.7) valgono solamente se le superfici a contatto sono piane; la (6.7) richiede inoltre che la velocità

sia costante in modulo, direzione e verso. Se tali ipotesi non sono verificate, allora le relazioni (6.6, 6.7)

valgono per le sole componenti di forza infinitesime:

~ ≤ f dR (6.8)

d R a n

t v

~

dA

~ −f (6.9)

d R = dR

t n | |

v

~

dA

ove dA è l’area di contatto infinitesima, ~v è la sua velocità di strisciamento e dR è la reazione normale

dA n

a dA agente su di essa; le forze infinitesime sono

~ ×

dR = σd A ~n (6.10)

n

~ ~ −

d R = σd A ~n

dR (6.11)

t n

ovvero rappresentano il prodotto del tensore degli sforzi a cui è soggetto il materiale al contatto per

l’area di contatto infinitesima, nell’ipotesi di contatto continuo.

La potenza dissipata per attrito vale ~v

~ ~

× × −f × −f

W = R ~v = R ~v = R ~v = R v (6.12)

t n n

r(attrito) |~v |

da annoverare nell’espressione della somma delle potenze nel Teorema dell’energia cinetica

dT

Π= (6.13)

dt

come richiamato nel Capitolo 2.

Al fine di chiarire come la (6.7) valga solamente nel caso di strisciamento a velocità relativa costante

tra due superfici piane, si consideri il perno spingente di figura 6.4, ruotante con velocità angolare ω

~

costante attorno al proprio asse e premuto su una superficie piana, immobile, da una forza assiale N .

Ogni punto della superficie d’appoggio del perno è dotato di velocità assoluta in modulo proporzionale

alla distanza ~r dall’asse di rotazione e di direzione tangente alla rispettiva traiettoria circolare:

~v (r) = ω

~ ~r (6.14)

il cui modulo è v (r) = ωr.

Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale si ottiene

Z Z 6

N = R = dR = p dA = 0 (6.15)

n n

A A

dove p è la pressione di contatto, funzione del solo raggio r per l’ovvia simmetria assiale del problema,

ma Z

~ ~ 6

R = d R = 0 = f R (6.16)

t t n

A 6-5

6.2. USURA NEL CONTATTO TRA SOLIDI

Figura 6.4: Perno rotante.

6.2 Usura nel contatto tra solidi

Richiamando le tre cause che possono portare alla messa fuori servizio di una macchina (rottura,

obsolescenza ed usura), si può osservare che:

• la rottura di elementi di macchine è un evento non frequente, che può essere dovuto a difetti del

materiale o al fatto che il sistema sia assoggettato a carichi maggiori rispetto a quelli di progetto;

• l’obsolescenza, ossia l’invecchiamento dovuto alla comparsa sul mercato di macchine in grado

di effettuare la medesima funzione in modo più conveniente (sia dal punto di vista della velo-

cità di esecuzione, sia del risparmio dell’energia impiegata), interviene, in genere, dopo anni di

funzionamento;

• l’usura è connaturata all’esercizio stesso della macchina, provocandone un decadimento della funzio-

nalità, e non sempre in misura proporzionale al trascorrere del tempo. Di solito, infatti, i fenomeni

di usura mostrano un tasso di crescita più elevato man mano che il livello globale di usura cresce.

L’usura si manifesta attraverso:

• aumento dei giochi negli accoppiamenti con conseguenti imprecisioni nel movimento e aumento

della rumorosità;

• possibile comparsa di fenomeni di urti microscopici e conseguenti vibrazioni e sovraccarichi dina-

mici;

• possibile aumento del tasso di usura stesso, sopra citato, a causa dell’incremento delle azioni

scambiate tra i corpi a contatto, oltre che a causa dell’abrasione delle superfici di contatto.

Un modello elementare di usura (Ipotesi di Reye) definisce il rateo di asportazione di materiale per

come

logoramento proporzionale al lavoro dissipato per attrito nell’unità di tempo.

Su un elemento dA della superficie di contatto, su cui agisce la pressione p, si ha una forza normale

pdA e perciò, durante il moto, una componente tangenziale f pdA, con f supposto noto e indipendente

dalla velocità.

Se v è la velocità di strisciamento, il lavoro perduto nell’unità di tempo vale:

dL = f pvdA (6.17)

1

Se h è lo spessore asportato sull’elemento per logoramento nell’unità di tempo , il volume asportato

nell’unità di tempo risulta hdA; per la proporzionalità affermata dal Reye, detto k un coefficiente di

usura dipendente dai materiali di cui sono costituite le due parti e dalle condizioni di lavoro, risulta:

hdA = kf pvdA (6.18)

1 Ovvero la velocità di asportazione del materiale. L’ipotesi di Reye può essere espressa in forma differenziale: la portata

di materiale asportato è proporzionale alla potenza dissipata dalle forze d’attrito; oppure in forma integrale: il volume di

materiale asportato è proporzionale al lavoro (negativo) compiuto dalle forze d’attrito.

6-6 CAPITOLO 6. AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE — PARTE I

Figura 6.5: Innesto a frizione.

Nel caso sopra analizzato del perno spingente, risulta quindi:

h = kf pv = kf pωr (6.19)

e poiché lo spessore di materiale asportato nell’unità di tempo risulta costante e indipendente dalla

posizione sulla superficie, in quanto si assume che solamente il perno si usuri e quindi la superficie a

contatto con il piano si mantenga piana, si ha:

0

k

→ (6.20)

kf pωr = costante p (r) = r

6.2.1 Esempio: innesto a frizione

Come applicazione di quanto detto, si consideri un innesto a frizione, illustrato in figura 6.5, tipicamente

utilizzato in veicoli spinti da motori a combustione interna, in quanto:

• i motori a combustione interna non possono avviarsi sotto carico e devono essere mantenuti, durante

l’avviamento del veicolo, a un regime di velocità angolare superiore a un dato valore minimo; inoltre

occorre poter fermare il veicolo stesso senza dover necessariamente fermare il motore;

• qualora sia presente un cambio di velocità, il passaggio da una marcia all’altra va fatto mentre

la trasmissione non trasmette coppia, in quanto occorre accoppiare alberi inizialmente rotanti a

velocità diverse.

Tali esigenze sono soddisfatte dagli innesti a frizione, che permettono di trasmettere una data coppia

motrice tra due alberi coassiali rotanti a velocità angolari differenti.

Al fine di realizzare un innesto a frizione, vengono utilizzate le forze d’attrito che nascono tra due

superfici rotanti (a−a e b) rispettivamente solidali con l’albero motore e con quello comandato, premute

1

l’una contro l’altra dallo spingidisco a .

1

Tale pressione è generalmente data da molle opportunamente precaricate ed è necessario che la

pressione sia tale da poter trasmettere una coppia superiore a quella massima erogata dal motore.

È necessario, d’altronde, che:

• l’innesto possa funzionare come giunto di sicurezza evitando che, in caso di frenatura d’urgenza

con motore innestato, si possano trasmettere all’albero motore decelerazioni troppo grandi;

• la differenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motrice non sia troppo

grande per evitare grandi rallentamenti nel motore durante la fase di avviamento del veicolo. 6-7

6.2. USURA NEL CONTATTO TRA SOLIDI

Al fine di determinare la coppia trasmessa per attrito, indicato con A il precarico dato dalle molle,

2

avremo che la pressione p agente su una faccia del disco b solidale con l’albero di trasmissione risulta

essere pari a:

Z Z r e

A = 2πpr dr (6.21)

p dA =

2 A r i

Ricordando, tuttavia, che la distribuzione di pressione varia in modo inversamente proporzionale al raggio

secondo la (6.20):

Z r 0

k

e 0 −

r dr = 2πk (r r ) (6.22)

A = 2π e i

2 r

r i

da cui, noto A e le dimensioni del disco:

2

A 2

0 (6.23)

k = −

2π (r r )

e i

Nel moto relativo tra i dischi, a causa dell’attrito definito dal coefficiente f supposto costante, si genera

quindi un momento M opposto alla velocità angolare del motore

r

Z r 0

k

e

2 0 2 2

f 2π

M = (6.24)

r dr = f πk r r

r e i

r

r i

che può essere interpretato come conseguenza di una forza tangenziale fittizia, di modulo pari a f A e

2

quindi proporzionale alla forza normale esercitata tra il disco e la campana, avente un braccio equivalente

R eq

0 2 2

f πk r r −

M (r r ) (r + r ) r + r

r e i e i e i

e i

R = = = = (6.25)

eq −

f A f A 2 (r r ) 2

2 2 e i

pari al raggio medio del disco.

Si consideri la manovra di innesto, all’inizio della quale il motore è in movimento con velocità angolare

ω e l’utilizzatore è fermo, per arrivare ad una condizione in cui essi ruotano entrambi alla stessa velocità

0

angolare e quindi non c’è più strisciamento. Quindi, inizialmente il sistema ha due gradi di libertà

mentre, al termine della manovra, il sistema ha un solo grado di libertà, in quanto la condizione di non

strisciamento tra disco e campana della frizione introduce il vincolo cinematico di uguaglianza tra le

velocità angolari del motore e dell’utilizzatore.

Al fine di semplificare la trattazione del problema, si assume che il motore eroghi una coppia M m

costante, indipendentemente dal valore della valocità angolare ω , e che ogni accoppiamento tra parti

m

della frizione in moto relativo trasmetta una coppia M costante, ovvero che la forza normale A scam-

r 2

biata si mantenga costante. Nell’esempio illustrato in figura 6.5, la coppia scambiata tra i due alberi è

0

in realtà M = 2M , dal momento che ci sono due facce di accoppiamento tra il disco e la campana della

r

r

frizione.

Dinamica dell’utilizzatore prima dell’innesto

Si consideri innanzitutto il sistema composto dall’utilizzatore, dall’albero di trasmissione e dal disco della

frizione; dall’applicazione del teorema dell’enegia cinetica si ricava

0 −

M ω M ω = J ω̇ ω (6.26)

u u u u u u

r

avendo indicato con M e J , rispettivamente, la coppia e il momento d’inerzia del veicolo ridotti

u u

all’albero sul quale è calettato il disco della frizione che ruota con velocità angolare ω , ovvero

u

X

M ω = (F v + M ω ) (6.27)

u u i i i i

i

X

= (F R + M τ ) ω (6.28)

i i i i u

i

6-8 CAPITOLO 6. AZIONI MUTUE TRA ELEMENTI DI MACCHINE — PARTE I

Figura 6.6: Velocità dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione.

e !

dT 1

d X

u 2 2

m v + J ω (6.29)

= i i

i i

dt dt 2 i !

d 1 X

2 2 2

= m R + J τ ω (6.30)

i i

i i u

dt 2 i

X

2 2 ω ω̇ (6.31)

m R + J τ

= u u

i i

i i

i

= J ω ω̇ (6.32)

u u u

ove si sono indicati con m e J rispettivamente le masse e le inerzie delle parti in movimento, con F

i i i

e M rispettivamente le forze e le coppie attive, mentre R e τ rispettivamente indicano i rapporti di

i i i

trasmissione tra la velocità dell’utilizzatore ω e le rispettive velocità di traslazione v e di rotazione ω

u i i

delle varie parti. Il momento d’inerzia ridotto J tiene conto solo della massa del veicolo e del momento

u

d’inerzia delle ruote e degli organi di trasmissione.

L’accelerazione del disco della frizione è quindi

0 −

M M u

r

ω̇ = (6.33)

u J u

e la conseguente legge del moto del veicolo, supposto inizialmente fermo e considerando M costante, è

u

0 −

M M u

r

ω (t) = t (6.34)

u J u

Ne risulta un andamento lineare a partire da velocità ω nulla, come illustrato in figura 6.6, la cui

u

0

pendenza è direttamente proprozionale alla coppia M trasmessa dalla frizione, che per l’utilizzatore

r

funge da coppia motrice; tale coppia deve essere superiore ala coppia resistente M affinché la velocità

u

cresca.

Dinamica del motore prima dell’innesto

Applicando quindi il teorema dell’energia cinetica al sistema composto dal motore e dalla campana della

frizione si ottiene 0

− ω = J ω̇ ω (6.35)

M ω M

m m m m m m

r

Poiché si vuole portare il disco (figura 6.7) e la campana (figura 6.8) alla stessa velocità di rotazione,

è opportuno che la velocità angolare del motore non aumenti; in tale caso, occorre far sı̀ che il momento


PAGINE

16

PESO

331.79 KB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Dinamica di sistemi aerospaziali

Sistemi vibranti a più gradi di libertà
Dispensa
Sistemi vibranti ad un grado di libertà
Dispensa
Macchina a un grado di libertà - Dinamica
Dispensa
Dinamica del corpo rigido
Dispensa