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10-5

10.2. MOTORE ELETTRICO IN CORRENTE CONTINUA

Figura 10.4: Il modello del motore in corrente continua

10.2.6 Potenza elettromeccanica

La potenza meccanica associata al motore è data dal prodotto tra la coppia fornita dal motore e la

velocità angolare che si sviluppano tra rotore e statore

2

Π = C ω = N LRBiω (10.17)

m m π

ed è positiva, in quanto è generata dal motore.

La potenza elettrica associata al motore è data dal prodotto tra la forza elettromotrice indotta dal

movimento del rotore all’interno del campo magnetico dello statore, e la corrente che percorre le spire

2

−e −N

Π = i = LRBωi (10.18)

e b π

ed è negativa in quanto è assorbita dal motore.

Le due potenze sono uguali ed opposte; questo significa che in un bilancio di potenza non partecipano,

in quanto dal punto di vista elettromeccanico, ovvero, per quanto concerne il solo fenomeno dell’induzione

elettromagnetica, il motore potenza, ma non ne genera e neppure ne dissipa.

trasforma

Ne consegue che la coppia fornita dal motore può essere espressa come

C = Ki (10.19)

m

mentre la forza elettromotrice esercitata dal rotore sul circuito di alimentazione può essere espressa come

−Kω

e = (10.20)

b

mediante la stessa caratteristica K, che nei motori a magneti permanenti è costante, mentre in quelli av-

volti è proporzionale al flusso magnetico generato dagli avvolgimenti sullo statore, il quale è proporzionale

a sua volta alla corrente di eccitazione.

10.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c.

La prima caratteristica da considerare in un motore è la sua impedenza elettrica. La miglior via di

determinazione è sperimentale, mediante una sua identificazione: fissato il rotore e applicando al motore

una tensione armonica a frequenza variabile, è possibile misurare la corrente risultante e determinare la

caratteristica tra corrente e tensione. Il circuito elettrico equivalente risulta formato da una resistenza

in serie ad un sistema di resistenza e induttanza in parallelo tra loro, secondo lo schema riportato in

figura 10.4.

In tale sistema, R e L rappresentano rispettivamente la resistenza e l’induttanza dell’armatura,

a a

mentre e ed i sono la tensione e la corrente di armatura. La resistenza R dell’armatura esprime

a a a

la resistenza elettrica che l’insieme delle spire esercita sulla corrente di armatura i . L’induttanza L

a a

dell’armatura esprime l’effetto di autoinduzione elettromagnetica che le spire esercitano su se stesse. La

10-6 CAPITOLO 10. AZIONAMENTO ELETTROMECCANICO IN CORRENTE CONTINUA

Figura 10.5: Il modello essenziale del motore in corrente continua 2

presenza della resistenza R viene spiegata attraverso le perdite nel circuito magnetico : tale valore R si

L L

presenta molto maggiore del corrispondente R (5-10 volte), ritenendo pertanto il suo effetto trascurabile,

a

in quanto, a bassa frequenza, la corrente che passa per la resistenza R è minima.

L

Il circuito elettrico equivalente diventa pertanto come in figura 10.5 ed è pertanto possibile scrivere

l’equazione di chiusura della maglia (annullamento delle tensioni sulla maglia) per l’avvolgimento rotorico

di a + R i + e = e (10.23)

L a a b a

a dt

dove la forza controelettromotrice e risulta proporzionale alla velocità angolare del rotore stesso, come

b

indicato nella (10.20).

Nei motori a magneti permanenti il controllo in genere si ottiene variando la tensione di alimentazione

e . Nei motori ad avvolgimento, come ulteriore parametro di controllo si dispone anche della tensione di

a

alimentazione degli avvolgimenti, la quale fa variare K.

10.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c.

Si consideri l’equazione (10.23) del motore elettrico in condizioni di regime; in questo caso, da essa è

possibile esplicitare la corrente elettrica

e Kω

a (10.24)

i =

a R a

2 A cavallo di due elementi in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale, mentre la corrente complessiva si ripartisce

tra i due componenti. Nel caso in esame, i due componenti hanno caratteristiche dinamiche differenti: il resistore è percorso

da una corrente

∆V

i = (10.21)

R R

mentre l’induttore è percorso da una corrente che, nel dominio delle frequenze, si esprime come

∆V

i = (10.22)

L jΩL

Ne consegue che, in condizioni stazionarie, ovvero per i costante e Ω = 0, la differenza di potenziale sarà nulla e quindi la

corrente passerà tutta per l’induttanza, mentre a frequenza Ω tendente ad infinito la corrente passerà tutta per la resistenza.

Per valori finiti di frequenza, la corrente si ripartisce tra i due rami, privilegiando la resistenza via via che la frequenza

cresce. In conclusione:

• considerare infinita la resistenza R significa privilegiare il comportamento “lento” del circuito, ovvero considerarne

L

un’approssimazione statica;

• la resistenza R non ha un significato fisico preciso; serve a descrivere l’evidenza sperimentale che ad alta frequenza,

L

quando nel modello sopra indicato una frazione via via più rilevante della corrente si trova a passare per la resistenza

anziché per l’induttanza, si manifesta una dissipazione di potenza via via maggiore nel circuito. 10-7

10.2. MOTORE ELETTRICO IN CORRENTE CONTINUA

Figura 10.6: Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di

alimentazione e (rette oblique); la curva C rappresenta la coppia resistente generata da un generico

a r

utilizzatore.

che, sostituita nella (10.19), consente di esprimere la dipendenza della coppia dalla velocità angolare del

motore 2

K K

C = e ω (10.25)

m a

R R

a a

detta anche Essa ha andamento rettilineo, con pendenza negativa; può essere

curva di funzionamento.

traslata verticalmente variando la tensione di alimentazione e , come illustrato in figura 10.6.

a

La potenza elettrica che occorre fornire al motore è

Π = e i (10.26)

entrante a a

che, in condizioni di regime, ovvero per corrente i costante, a partire dalla (10.23), diventa

a

2

Π = R i + Kωi (10.27)

entrante a a

a

La potenza uscente, sotto forma di potenza meccanica, è data da

−C

Π = ω (10.28)

uscente m

ovvero, mediante la (10.19)

−Ki

Π = ω (10.29)

uscente a

Ne risulta un rendimento

Π 1

uscente

− (10.30)

η = =

Π R i

entrante a a

1+ Kω

che dipende da corrente e velocità angolare. Si noti che il rendimento va a zero nel momento in cui la

coppia, e quindi la corrente, non è nulla ma si annulla la velocità angolare, e quindi il motore, fermo, deve

sostenere un carico. Inoltre, il rendimento è minore di 1 ogni qual volta ci sia corrente, e quindi coppia;

la riduzione del rendimento è di natura puramente elettrica, ed è legato alla differenza di potenziale che

esprime la dissipazione ohmica nel conduttore, descritta dal termine R i , e al suo rapporto con la forza

a a

elettromotrice indotta, Kω.

10-8 CAPITOLO 10. AZIONAMENTO ELETTROMECCANICO IN CORRENTE CONTINUA

Figura 10.7: Un carico inerziale

10.3 L’azionamento in corrente continua

Si consideri un sistema costituito da un motore in c.c. con un carico inerziale illustrato in figura 10.7. In

questa fase si vuole giungere alla scrittura delle equazioni di moto facendo alcuni cenni alla regolazione

di tale sistema.

Il sistema in esame è pertanto costituito da una massa m all’estremità di una trave priva di massa e

schematizzabile come un corpo rigido di lunghezza L.

L’altro estremo della trave è vincolato tramite una cerniera in modo tale essa possa compiere un

moto rotatorio nel piano orizzontale. Supponendo che gli attriti che si sviluppano nella cerniera siano

rappresentabili con uno smorzatore di tipo viscoso, nascerà una coppia resistente proporzionale alla

velocità di rotazione della trave tramite il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente r .

t

È possibile scrivere l’equazione di moto del sistema tenendo conto dell’inerzia del motore J e del

m

2

carico ridotto all’albero motore J = ml e di inevitabili dissipazioni introdotte nel modello attraverso il

r

termine proporzionale alla velocità:

(J + J ) θ̈ + r θ̇ = C. (10.31)

m r t

Ricordando l’espressione della coppia motrice (10.19) e le (10.23) e (10.20), si ottiene il sistema di

equazioni:

 −

J θ̈ + r θ̇ Ki = 0

 t (10.32)

di a

L + R i + K θ̇ = e

 a a a a

dt

dove con J si è indicata l’inerzia totale, comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del carico.

Il sistema di equazioni descrive pertanto la dinamica del sistema; si nota come la dinamica del-

le variabili di stato caratteristiche del motore sono mutuamente influenzate con le grandezze di stato

caratteristiche della meccanica.

In conclusione si vuole illustrare come spesso anche le discipline legate al controllo e all’automatica

diventino parte integrante della modellazione dinamica.

Si pensi infatti di voler portare il sistema in una posizione desiderata o di riferimento θ . L’azione

rif

della coppia C deve essere cosı̀ regolata in modo da minimizzare la differenza tra la posizione angolare

θ e quella di riferimento θ . Essendo il motore l’organo di attuazione, la regolazione avviene tramite la

rif

tensione e di alimentazione che potrà assumere, ad esempio, la forma:

a −

e = K (θ θ) (10.33)

a p rif

in caso di semplice controllo proporzionale.

Il sistema di equazioni da risolvere, a partire dalla (10.32), diventa

 −

J θ̈ + r θ̇ Ki = 0

 t (10.34)

di a −

+ R i + K θ̇ = K (θ θ)

L

 a a p rif

a dt 10-9

10.3. L’AZIONAMENTO IN CORRENTE CONTINUA

Figura 10.8: Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche

Quest’ultimo costituisce un sistema controllato in anello chiuso con una retroazione proporzionale al-

l’errore angolare. L’obiettivo del controllo è quello di fare in modo che la rotazione del braccio θ (t)

segua al meglio l’andamento desiderato θ (t) (controllo in posizione). In questo esempio la grandezza

rif

in ingresso è la posizione angolare di riferimento del braccio θ (t), mentre la grandezza in uscita è la

rif

posizione angolare effettivamente assunta dal braccio stesso, θ (t).

10.3.1 Azionamento in c.c. di un compressore

L’obiettivo in questo caso è regolare la velocità angolare di una compressore azionato da un motore in

corrente continua. Il motore in c.c. è costituito da un rotore di momento d’inerzia J .

m

Sul rotore agisce una coppia motrice proporzionale alla corrente di armatura i , secondo un coefficiente

a

di coppia K, come descritto nella (10.19).

La curva caratteristica del motore, ovvero la coppia motrice erogata a regime, quindi per θ̈ = 0 e

di/dt = 0, si presenta lineare, funzione parametrica della tensione di alimentazione e a

K −

C = e K θ̇ (10.35)

a

R

La curva caratteristica del compressore può essere in prima approssimazione schematizzata come una

funzione proporzionale al quadrato della velocità angolare:

2

C = rθ̇ (10.36)

r

L’equazione di moto dell’albero è:

J θ̈ = C C (10.37)

r

dove con J si è indicata l’inerzia totale comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del

compressore. Sostituendo l’equazione caratteristica del compressore e l’equazione motore si ottiene:

2

J θ̈ + rθ̇ = Ki (10.38)

a

Per ricavare ora la corrente i in funzione della grandezza di regolazione e , tensione di alimentazione

a a

del motore, si deve ricorrere al modello del motore introdotto nella (10.23). Le equazioni della dinamica

del sistema diventano pertanto

 2 −

J θ̈ + rθ̇ Ki = 0

 a (10.39)

di a

L + R i + K θ̇ = e

 a a a a

dt

e quindi possono essere viste nella forma:

 K

r

 2

 θ̇ + i

θ̈ =

 a

J J (10.40)

1

di R K

a a

 − − θ̇ +

= i e

 a a

 dt L L L

a a a


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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria aerospaziale
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Dinamica di Sistemi Aerospaziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Masarati Pierangelo.

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