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C 2 – A M

APITOLO ZIONAMENTI CON OTORE A CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE

τ

ove = K / K .

Ria Pia Iia

La funzione di trasferimento ad anello aperto GH(s) si ottiene ancora moltiplicando GH (s) per

R

R (s) data dalla (2.2.10). In termini di risposta in frequenza ciò corrisponde a sommare le

ia

ampiezze (in dB) e le fasi della GH (jν) e della R (jν) come illustrato in Fig. 2.2.7

R i

dB GH

GH R PI ν

1/τ

1/τ 1/τ a

m m1

≅1/τ

Ria

rad

π/2 1/τ

ca ν

−π ν

Fig. 2.2.7 Diagrammi di Bode con Ria(j ) di tipo PI

τ

Solitamente (ma non obbligatoriamente) la costante di tempo del regolatore di corrente

Ria

τ

viene posta all’incirca pari alla costante di tempo elettromeccanica come nella Fig. 2.2.6 così

m1

da avere una cancellazione polo-zero nella catena diretta. ν=1/τ dei diagrammi di

Si osserva che i comportamenti alle alte frequenze, cioè al di sopra di Ria

Bode di Fig. 2.2.6 (regolatore di tipo P) e di quello di Fig. 2.2.7 (regolatore di tipo PI) non

differiscono. Ciò è conseguenza del fatto che alle alte frequenze il regolatore PI si comporta come

un semplice regolatore P, avendo la parte proporzionale un effetto dominante sul quella integrale.

Di conseguenza dal punto di vista degli indici di stabilità e della banda passante le due soluzioni

sono equivalenti e permangono gli stessi limiti di banda passante e di guadagno proporzionale

π

per avere una margine di fase di almeno /4 rad

dedotti della discussione del regolatore di tipo P:

ν τ

la frequenza di attraversamento non può superare 1/ e ciò comporta un limite superiore

Aia ca

per il valore che si può imporre a K e per la banda passante f che si può ottenere. Con

Pia BWia

buona approssimazione il guadagno proporzionale si può ancora stimare con la (2.2.6) oppure, più

precisamente dalla: 2 2

+ ν τ + ν τ

(

1 ( ) (

1 ( )

B Aia m Aia Ri

=

1 K (2.2.11)

Pia Φ 2 ν τ + ν τ + ν τ + ν τ

2 2 2

( K ) (

1 ( ) ) (

1 ( ) ) (

1 ( ) )

e Aia Ria Aia ca Aia a Aia m

1

ν τ

una volta definiti i valori di e di . Da questi dipende il margine di fase che è sempre

Aia Ria

espresso dalla (2.2.7). Nel caso in esame di regolatore di corrente di tipo PI questa diventa:

π

= ν τ − + ν τ − ν τ − ν τ − ν τ + π

m arctan( ) arctan( ) arctan( ) arctan( ) arctan( )

ϕ Aia Ria Aia m Aia ca Aia a Aia m

1

2 (2.2.12)

nella quale il primi due addendi a secondo membro sono i contributi del regolatore.

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τ

La (2.2.12) può essere utilizzata per progettare fissato il margine di fase. Naturalmente per

Ria

quest’ultimo si devono imporre valori fisicamente ottenibili secondo le indicazioni della Fig. 2.2.7.

Κ Κ τ

τ e , si ottiene facilmente dalla K = K / .

Infine, una volta calcolati Ria Pia Iia Iia Pia Ria

Il comportamento alle basse frequenze della fdt a catena aperta con regolatore PI e, in

particolare, quello a frequenza nulla, è invece significativamente diverso da quello che si ottiene

con regolatore P e merita di essere approfondito.

Si riconosce innanzitutto che se B≠0 la G(s) (come la GH(s)) tende all’infinito per s che tende a

zero. Di conseguenza per la (2.2.9), sempre applicabile, l’errore di corrente a regime è nullo. Ciò

pare ovvio avendo ottenuto, con l’introduzione dell’azione integrale nel regolatore, un sistema di

controllo di tipo 1.

Tuttavia se B=0, la Y (s) contiene uno zero nell’origine al numeratore che cancella il polo

a

nell’origine a denominatore della R (s) e l’errore di corrente nullo a regime non è più garantito, a

ia

meno che il riferimento di corrente non sia zero (come la coppia di disturbo: sistema a riposo).

Questo risultato sembra paradossale, ma si può spiegare nel seguente modo. Si immagini, come ipotesi di

lavoro da confermare, che il riferimento di corrente e l’errore di corrente siano costanti. Allora costante è

anche il segnale di reazione della corrente e pertanto anche la corrente di armatura e, conseguentemente, la

coppia. Con coppia costante la velocità è linearmente crescente (ipotesi di carico solo inerziale) e quindi

anche la fem e la tensione del motore. Ciò è congruente con l’errore di corrente costante che produce,

attraverso l’azione integrale del regolatore, un riferimento di tensione al convertitore linearmente crescente

assieme alla tensione (che è anche la tensione di armatura) di uscita dello stesso convertitore. Eventuali limiti

(fisici o imposti dal controllo) nella tensione di uscita del convertitore o nel suo riferimento impediscono che

la crescita lineare di queste grandezze avvenga indefinitamente, lasciando comunque un errore non nullo di

corrente.

2.2.1.3 – Regolatore di corrente di tipo PID. – Il regolatore di corrente di tipo PID è definito

dalla relazione + + + τ + τ

2

K sK K s K (

1 s )(

1 s )

= + + = =

Iia Pia Iia Dia Ria Dia (2.2.13)

R (

s ) K sK K

ia Pia Dia Iia

s s s

ove -1/τ e -1/τ sono le radici (supposte reali) del polinomio a numeratore che compare nella

Ria Dia

seconda formulazione in (2.2.13). Dalla ultima scrittura in (2.2.13) si evince che il regolatore PID è

assimilabile ad un regolatore PI seguito da un fattore proporzionale-derivativo. Quest’ultimo

presenta una risposta in frequenza con ampiezza crescente con la frequenza stessa al di sopra del

. Tale comportamento si ripercuote anche sul regolatore PID e non è in

punto di spezzamento 1/τ

Di

pratica accettabile per l’esaltazione dei rumori ad alta frequenza sempre presenti sui vari segnali di

controllo di un azionamento (come di ogni altro sistema). All’atto pratico il regolatore PID della

(2.2.13) viene quindi sostituito da quello definito dall’espressione

+ τ + τ

1 s 1 s

= ⋅

Ria Dia (2.2.14)

R (

s ) K

ia Iia + τ

s 1 s Dia

1

τ >τ >τ . Esso è interpretabile come un PI seguito da una rete anticipatrice la cui

con Ria Dia Dia1

risposta in frequenza al crescere della frequenza rimane limitata (v. Fig. 2.2.8).

Si riconosce che il comportamento del regolatore PID alla basse frequenze è identico a quello

del regolatore PI e pertanto quanto detto in merito nel paragrafo precedente rimane valido.

Si modifica invece il comportamento alle alte frequenze. Il controllore di corrente PID

rappresentato in Fig. 2.2.8 è stato progettato con gli stessi criteri già visti per la soluzione PI per

τ

τ mentre la costante di tempo è stata scelta

quanto riguarda la scelta della costante di tempo Ria Dia

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coincidente con quella che rappresenta il ritardo del convertitore di potenza così da avere una

cancellazione polo-zero nella catena diretta dell’anello di controllo e lo spostamento del punto di

spezzamento della GH(jν) che prima era in 1/τ al valore più elevato pari a 1/τ . Si ottiene così

ca Dia1

il vantaggio di poter alzare la frequenza di attraversamento (ovvero la banda passante) oltre il

limite 1/τ caratteristico dei regolatori di tipo P o PI, fino, a parità di margine di fase al valore

ca

1/τ .

Dia1 dB GH

GH R ν 1/τ

PID Dia1

Aia

1/τ 1/τ

1/τ ν

m a

m1

≅1/τ

Ria

rad 1/τ

Dia

π/2 ≅1/τ

ca ν

−π ν

Fig. 2.2.8 Diagrammi di Bode con Ria(j ) di tipo PID

Alternativamente, a parità di frequenza di attraversamento, l’utilizzo di un regolatore di tipo

PID incrementa il margine di fase riducendo, se presente, la sovraelongazione nella risposta

all’ingresso a gradino. Nella Fig. 2.2.8, la frequenza di attraversamento è stata scelta in modo che

il suo valore e anche quello del margine di fase siano maggiori di quelli ottenuti con il regolatore di

corrente di tipo PI di Fig. 2.2.7.

2.2.1.4 Espressione della fdt a catena chiusa

– – La funzione di trasferimento ad anello chiuso

W (s) del controllo di corrente di armatura è, come noto, legata alla fdt GH(s) ad anello aperto

ia

dalla relazione ( )

( ) G s

=

W s (2.2.15)

( )

ia +

1 G s H

ove si è assunto per comodità che H non dipenda da s (guadagno statico in reazione). Nota la

risposta in frequenza della GH(jν), una approssimazione che spesso viene utilizzata per ottenere la

risposta in frequenza W (jν) è la seguente

ia ( )

( ) ν > ν ν

ν 1 / H se G j H 1 cioè <

( ) G j Aia

ν = ≈

W j (2.2.16)

( ) ( )

( )

ia ν ν > ν ν

+ ν G j se G j H 1 cioè >

1 G j H Aia

ν

dove è la pulsazione di attraversamento dell'asse delle ascisse nel diagramma di Bode di

Aia

GH(jν). Applicando questa approssimazione al caso in esame dell’anello di corrente con

retroazione unitaria si può approssimare la W (jν) con la curva a tratto continuo nella Fig. 2.2.9,

ia (s) espressa dalla

che corrisponde alla risposta in frequenza della funzione di trasferimento W ia

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( ) 1

= (2.2.17)

W s

ia   ( )

s

+ + τ

 

1 1 s

  ca

ν

 

Aia dB GH ν 1/τ

W Aia ca

ia ν

1/τ

1/τ a

m rad

π/2 W ia ν

GH

−π ν ν

Fig. 2.2.9 - Diagrammi di Bode della W i(j ) con Ria(j ) di tipo PI

Nel caso in cui il regolatore sia di tipo PID valgono ancora le approssimazioni sopra descritte,

τ τ

sostituendo con .

ca Dia1

2.3 – Controllo di velocità

Si può passare ora al progetto dell'anello per la regolazione della velocità. Lo schema a blocchi

a cui far riferimento è riportato in Fig.2.3.1 con riferimento ad un carico meccanico inerziale.

m L

ω∗ ω

i *

ε i

a

ω a

∨ 1

Φ

R (s)

ω W (s) K

∧ ia e sJ

+ +

− L

i

ω Fig. 2.3.1: Schema di controllo della velocità

Anche in questo caso una scelta largamente condivisa per il regolatore di velocità è un PI,

τ

caratterizzato da un guadagno K e da una costante di tempo :

ω ω

P R

+ τ

( ) 1 s ω

= R (2.3.1)

R s K

ω ω

P τ

s ω

R

La funzione GH(s) ad anello aperto vale in questo caso:

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( )

φ + τ

( ) K K 1 s

ω ω

= P e R (2.3.2)

GH s τ  

J ( )

ω s

R + + τ

2  

s 1 1 s

  ca

ν

 

Aia

dB PI

ν ω ν

A 1/τ

Aia ca

1/τ ν

Rω W ia

1/sJ

rad ν

−π ν

ω

Fig. 2.3.2 Diagrammi di Bode dell’anello di velocità con R (j ) di tipo PI

Dall’esame della risposta in frequenza della (2.3.2) si riconosce che per avere un intervallo nella

ν

scala delle frequenze ove collocare il punto di attraversamento con sufficiente margine di fase

ν ν

occorre scegliere 1/τ minore di , si veda la Fig. 2.3.2. Una regola pratica è scegliere in

Rω Aia Aω

ν

modo che sia la media geometrica fra 1/τ e e posizionare questi due alla distanza di circa

Rω Aia

metodo dell’ottimo simmetrico

una decade ( ).

Una differente procedura che si può adottare è la seguente. Si impone una pulsazione di

ν ν

attraversamento pari a circa la metà della pulsazione e 1/τ almeno una decade minore

Aω Aia Rω

della pulsazione di attraversamento citata. Nell'ipotesi di considerare abbastanza lontani gli altri

poli, si può dimostrare, con qualche approssimazione, che questo porta ad avere un margine di fase

ϕ

m di circa 64°. ν . L

Si può far riferimento alla figura 2.3.2 nell’intorno 'evoluzione della fase di GH in tale intorno

Aia

attorno vale:  

π π ν

1

ν = − + = − −

 

arg(

GH ( j )) arg arctan

 + ν ν ν

2 1 j / 2

 

ω ω

A A

ν

Per una pulsazione pari alla metà di il margine di fase sarebbe dunque:

Aia

π

 

 

1

= π + − − ≈ o

 

m a tan 64

 

ϕ  

 

2 2

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Durante l'analisi degli schemi di controllo della velocità si è sempre assimilata la coppia di

ad un disturbo, considerato nullo durante il progetto dei regolatori. A progetto ultimato, è

carico m

L

naturalmente possibile pensare di introdurre una coppia di carico, analizzandone l'influenza sulla

Ω(s)/M

velocità, in termini di trasformata di Laplace (s). Dallo schema di Fig.2.3.1, annullando il

L

riferimento di velocità, è immediato ricavare la funzione di trasferimento cercata:

1

( )

Ω s sJ

= − (2.3.3)

( ) ( ) ( )

1

M s + Φ

L 1 R s W s K

ω ia e

sJ

dalla quale, sostituendo le espressioni esplicite, ed in particolare quella semplificata per W (s),

ia

si giunge ad una funzione razionale con due zeri e tre poli, di difficile interpretazione intuitiva. Se

si fa invece l'ipotesi semplificativa che la dinamica dell'anello di corrente sia molto più rapida di

quella dell'anello di velocità (e questo è normale negli azionamenti con convertitori molto veloci,

(s) si riduca ad un semplice

come i chopper) si può pensare che la funzione di trasferimento W ia

guadagno unitario; in tal caso si ottiene:

( )

Ω s s J

= − (2.3.4)

( ) φ φ

K K K K

ω ω

M s + +

2 P e P e

L s s τ

J J ω

R

2.3.4

La ( ) è una funzione del secondo ordine; essa può essere paragonata alla funzione scritta in forma

Φ;

τ /K K dal confronto si ricavano facilmente le espressioni

canonica, premoltiplicandola per il fattore ω ω

R P e

ξ ω

per lo smorzamento e la pulsazione naturale :

o

τ Φ Φ

K K K K

1 ω ω ω

ξ = ω =

P R e P e

; o τ

2 J J ω

R

Rimane confermato come lo smorzamento sia tanto migliore quanto più alto è il guadagno del

ν ν

regolatore (si confronti con la Fig. 2.3.2 con e 1/ portati all’infinito); le espressioni ricavate

Aia Aia

permettono inoltre di caratterizzare, sia pure in modo approssimato, l'intera dinamica dell'azionamento nei

confronti dei transitori di coppia di carico.

2.4– Limitatori e antiwind-up – La limitazione della corrente si ottiene semplicemente

introducendo all'uscita del regolatore di velocità un blocco limitatore L che forza il riferimento a

i

±I

stare nel campo ammesso ; la corrente verrà in tal modo limitata con una veloce dinamica

a,max

(dettata dalla banda passante dell'anello di corrente) e con sovraoscillazioni contenute e comunque

predicibili dallo studio dell’anello di corrente Allo stesso modo all’uscita dei regolatori di corrente

±

è posto il limitatore di tensione L che costringe il riferimento di tensione a stare entro i valori

u

U .

a,max

Per un corretto funzionamento dei controlli di velocità e corrente, la presenza dei limitatori

richiede anche di prevedere nell'implementazione dei regolatori PI delle opportune limitazioni della

parte integrale, oltre che dell'uscita, per evitare il fenomeno di persistenza dell'azione integratrice

wind-up

noto come . Prendendo ad esempio in esame il regolatore di velocità, nella pratica esso può

venir realizzato come illustrato in Fig.2.4.1.

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Fig.2.4.1 - PI con anti wind-up

La parte integrale contenuta in un’unica cornice con il suo limitatore sta a significare che trattasi

di un “integratore limitato”, cioè un blocco limitatore la cui azione integrale si attua solo finché il

risultato dell’integrale rimane entro i limiti fissato, mentre la stessa azione cessa appena l’integrale

raggiunge e cerca di fuoriuscire da tali limiti.

In assenza della limitazione sulla parte integrale succede che, in presenza di un errore di velocità

ampio e persistente (per esempio positivo), l’integratore raggiunge valori che eccedono

ampiamente il limite massimo posto in uscita al regolatore. Quando l’errore gradualmente diventa

nullo e si rovescia, l’uscita del regolatore rimane insistentemente al suo valore massimo così

forzata dal contributo dell’integrale. Solo dopo un certo tempo dopo il rovesciamento di segno

dell’errore di velocità (in definitiva dopo che la velocità avrà superato ampiamente il suo

riferimento) l’integratore si sarà “scaricato” e l’uscita potrà diminuire. Il fenomeno si potrà però

manifestare di nuovo con segno diverso della grandezza di uscita, innescando una pendolazione che

a volte si esaurisce con difficoltà.

Limitando il fenomeno del wind-up diminuisce l'overshoot nella risposta al gradino di riferimento; non è

opportuno esaltare troppo questa diminuzione, perché in condizioni di carico, a regime, tutto il riferimento di

corrente deve essere prodotto dalla parte integrale, (in quanto l'errore a regime è nullo). Ecco perché

solitamente si pongono uguali i due limiti.

Una possibile miglioria consiste nel limitare la parte integrale in modo dinamico, fissando cioè un limite

che dipende dall'attuale contributo della parte proporzionale. Se, per esempio, il limite d'uscita è stato fissato

pari a 20 V e, in un certo istante, il contributo della parte proporzionale del regolatore di velocità vale 15, si

limita la parte integrale a (20-15)=5V, perché sarebbe inutile (e deleterio) un contributo maggiore.

L'eccedenza ai 20V verrebbe infatti tagliata dal limitatore d'uscita.

2.5 - Azionamento con controllo di campo (controllo misto)

Come già osservato nei par. 1.4.4 e 1.4.5, una diversa possibilità per il controllo del motore

Φ

consiste nel variare il flusso prodotto dal circuito di eccitazione. Dato che tale flusso non può

essere aumentato al di sopra del valore nominale (perché, per un motore ben sfruttato dal punto di

vista magnetico, il flusso nominale non è molto lontano da quello che provoca la saturazione del

deflussaggio

circuito magnetico), l'unica possibilità rimane quella diminuire tale flusso ( ), per poter

raggiungere velocità superiori alla velocità base ; a tal scopo occorre introdurre un controllo

B

combinato di armatura e di campo.

Una prima soluzione, per motori c.c. ad eccitazione indipendente, è rappresentata in Fig.

2.5.1.

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Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria dell'automazione
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Azionamenti elettrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Bolognani Silverio.

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