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Modulo IV – Algebra delle matrici

 λ  − λ

     

2 1 0 2 1

 

− =

(B -λI)= =

     

det  

λ − λ

    

 

1 2 0 1 2

λ

= (2-λ) – 1 = - 4λ + 3 = 0

2 2

L’equazione caratteristica è un’equazione di secondo grado e le sue

radici, cioè gli autovalori di , possono essere trovati con la nota

B

formula ± −

4 16 12

λ λ = λ λ

; = 3, = 1

, 1 2

1 2 2

Per trovare gli autovettori sostituiamo gli autovalori nel sistema e lo

risolviamo rispetto a . Sostituendo il primo otteniamo

x

  −

         

2 1 3 0 x 1 1 x

 

− = =

(B -λI) x = 1 1

          0

  −

         

 

1 2 0 3 x 1 1 x

2 2

Applicando il procedimento di soluzione dell’equazione omogenea

delineato nella (1.6.8) troviamo che le coordinate del primo autovettore

sono legate dalla relazione x = x , dove può assumere un valore

x

1 2 2

arbitrario. In altre parole, il primo autovettore è un qualsiasi vettore del

tipo x = [ a, a ]' con a∈R. Per dare un valore definito agli elementi di un

autovettore normalmente si usa imporre la condizione che l’autovettore

abbia lunghezza unitaria. In questo caso, ponendo la lunghezza

a = 1

dell’autovettore è pari a (si veda la (1.1.5)) e quindi il primo

2 −

autovettore normalizzato sarà pari a = (1, 1)'.

1 2

x 2

1

Il lettore può trovare il secondo autovettore normalizzato per esercizio.

Proprietà degli autovalori e autovettori

Questo esempio presenta due caratteristiche che si estendono al caso generale di

matrici di ordine . Definendo traccia della matrice quadrata , in simboli ), la

n A tr(A

somma degli elementi diagonali della matrice, cioè

∑ (1.7.4)

n

tr(A) = a ii

=

i 1

abbiamo che

1) la traccia di una matrice è uguale alla somma dei suoi autovalori

∑ (1.7.5)

λ

n

tr(A) = i

=

i 1

2) il determinante di una matrice è uguale al prodotto dei suoi autovalori

1-21


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta gli autovalori e autovettori, come sviluppati nel corso di lezioni di Algebra delle Matrici tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico i temi trattati sono: Equazione caratteristica di una matrice, Proprietà degli autovalori e autovettori, insieme ortonormale di vettori, determinante di una matrice.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra delle matrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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