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Modulo…

4.2 Test di autocorrelazione dei residui

Dovendo stimare un’equazione, è allora necessario dapprima accertarsi

dell'esistenza dell’autocorrelazione dei residui e poi procedere alla stima, tenendo

in considerazione tale autocorrelazione nel caso che i test di esistenza abbiano dato

responso positivo. Illustriamo in questo paragrafo alcuni dei test di

autocorrelazione più comunemente utilizzati.

Negli anni cinquanta e sessanta i modelli econometrici avevano una struttura

dinamica semplice e l'autocorrelazione che veniva ritenuta più rilevante era quella

di ritardo uno, tra un residuo ed il suo precedente oppure il suo seguente. Più tardi,

con il dettagliarsi della dinamica delle equazioni, è aumentato il numero delle

autocorrelazioni dei residui da considerare e da rilevare come eventualmente

differenti da zero mediante test.

Illustriamo, allora, dapprima i più usuali test che verificano l'esistenza di

autocorrelazione di ritardo uno, detta anche del primo ordine, per poi passare ai

test per l'autocorrelazione di ritardi superiori.

J. Durbin e G.S. Watson (1950 e 1951) costruirono un test per verificare l'ipotesi

di esistenza di autocorrelazione del primo ordine

~ ~ = ρ = (4.2.1)

H : Corr (

u , u ) (

1

) 0

0 1

t t

contro l'alternativa ~ ~ = ρ ≠

H : Corr (

u , u ) (

1

) 0

1 1

t t

ma si accorsero subito di un problema comune a tutti test di autocorrelazione.

~

{ }

L'ipotesi nulla (4.2.1) riguarda il processo ma a disposizione dell'econometrico

u t

{ }

non c'è tale processo bensì la serie storica dei residui stimati. La relazione tra

û t

processo e serie storica è data dalla (4.1.3) che evidenzia come tale relazione sia

delle variabili esplicative.

funzione del campione X

Il test di Durbin e Watson

Così occorrerebbe costruire un test di autocorrelazione specifico per ogni campione

, cosa possibile ma chiaramente inaccettabile. Vediamo come Durbin e Watson

X

abbiano sviluppato un test, basato sulle ma che supera questo problema. Essi

û t

costruiscono la statistica

n n n n n n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

− + − −

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

u u u u u u u u u

( ) 2 2 2

− − − −

1

t t t t 1 t t 1 t t t 1

= = = = = =

= = ≈ = − ρ

t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 ˆ

2

[

1 (

1

)]

d (4.2.2)

n n n

∑ ∑ ∑

2 2 2

ˆ ˆ ˆ

u u u

t t t

= = =

t 2 t 2 t 2 Pagina X-4

Modulo…

dove il simbolo indica l'uguaglianza approssimata e

n

1 ∑ ˆ ˆ

u u −

t t 1

n 1 =

ρ =

ˆ t 2 (4.2.3)

n

1 ∑ 2

ˆ

u t

n 1 =

t 2

è la stima campionaria del coefficiente di autocorrelazione del primo ordine. n

∑ 2

ˆ e

L'approssimazione nella (4.2.2) deriva dal fatto che le due sommatorie u t

=

t 2

n

∑ 2

ˆ non sono perfettamente uguali ma differiscono per il primo e l'ultimo

u −

t 1

=

t 2 = ∀

ˆ

è sufficientemente grande e poiché , ,

termine. Se però n E (

u ) 0 t

t

l'approssimazione è generalmente buona. Si ha allora che

ρ = =

se ˆ (

1

) 0 d 2

ρ < + < ≤ +

se ˆ (

1

) 0 2 d 4

ρ > ≤ < +

se ˆ (

1

) 0 0 d 2

e l'ipotesi nulla (4.2.1) è accettata se la statistica è vicina a . Per sviluppare il

d 2 ~

test, Durbin e Watson determinarono numericamente la distribuzione di , che

d

non è standard, e ne tabularono i valori al variare di e di . Se non esistesse il

n k

problema della dipendenza di dalle variabili esplicative, esposto sopra, dalle

d

tavole di Durbin e Watson sarebbe possibile trarre gli estremi e dell'intervallo

d d

1 2

che conterrebbe il valore con una data probabilità. Così si accetterebbe l'ipotesi

2

(4.2.1) se la statistica fosse compresa tra e ; la si rifiuterebbe nel caso

d d d

1 2

contrario. ~ dipende da e quindi e

Malauguratamente, però, la distribuzione di X d d

d 1 2

sono funzioni del campione delle variabili esplicative. Ma Durbin e Watson si

accorsero che, al variare di , si muoveva in un intervallo abbastanza ristretto,

X d

1

1

delimitato da due valori e , e che similmente , suo simmetrico rispetto al

d d d

L U 2

= − −

punto , si muoveva nell'intervallo delimitato da e . Costruirono,

d 2 4 d 4 d

U L

pertanto tavole statistiche in cui porre la coppia di valori e in funzione di , di

d d n

L U

e del livello o di probabilità del test. Questa viene eseguito facilmente

k 1% 5%

sulla base del grafico seguente:

= =

L U

lower; upper; in inglese.

1 Pagina X-5

Modulo… −

Se la statistica , indicata spesso con le iniziali , e compresa tra e il test

d DW d 4 d

U U

suggerisce di accettare l'ipotesi nulla (4.2.1) di assenza di autocorrelazione di primo

ordine.Se il test suggerisce di rifiutare tale nulla e di accettare l'alternativa

0 d<d

L − ≤

di autocorrelazione positiva. L’autocorrelazione diventa negativa se . Se

4 d d<4 d

L

− −

cade in uno dei due intervalli , , il risultato del test è

[d ,d ) [4 d ,4 d )

L U U L

indeterminato. ~ , e quindi le tavole,

Durbin e Watson determinarono la distribuzione della d

sotto le due condizioni:

- la (4.1.1) contiene l'intercetta,

non sono stocastiche.

- le variabili esplicative x

Osservazione 4.1 - Da questa seconda condizione segue che non si può

effettuare il test di Durbin e Watson quando tra le variabili esplicative

sono presenti endogene ritardate. compreso tra 15

Durbin e Watson costruirono tavole per la regressione di con n

e 100, e con inferiore o uguale a 5. N.E. Lavin e K.J. White estesero le tavole in

k

modo da far variare tra 6 e 200, e fino a 10 compreso. Le tavole che sono

n k

generalmente esposte nei testi di Econometria concernono il contributo di questi

due autori, con livelli di significatività dell' e del .

1 5%

:

Riassumiamo i passi per l'esecuzione del test DW

{ }

;

1) si stima l'equazione (4.1.1) e si determina la serie û t

2) si calcola il valore mediante la (4.2.2);

, , ed il livello di significatività del test, ad esempio il , si

3) in funzione di n k 5%

estraggono dalle tavole statistiche i due valori e ;

d d

L U

∈ − si accetta l'ipotesi nulla (4.2.1)

4) se d [d ,4 d )

U U

∈ ρ

si accetta l'alternativa con

se d [0,d ) (1)>0

L

∈ − ρ

si accetta l'alternativa con

se d [4 d ,4) (1)<0

L

∈ ∈ − −

oppure il risultato del test è indeterminato.

se d [d ,d ) d [4 d ,4 d )

L U U L

Osservazione 4.2 - R.W. Farehother (1980) ha tabulato i valori per il test

per il caso in cui l'intercetta non è presente nella (4.1.1).

DW

Il test di Wallis per l'autocorrelazione del quarto ordine

Quando la nella (4.1.1) presenta una struttura stagionale che non viene

y t { }

perfettamente spiegata dalla parte sistematica dell'equazione anche la u

t

presenta stagionalità. K.F. Wallis studiò questa situazione per serie trimestrali,

Pagina X-6


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto tratta l'Autocorrelazione dei residui, come sviluppata nel corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci. Nello specifico vengono trattati i temi: conseguenze dell'autocorrelazione, Test di autocorrelazione dei residui, teoria della stima con il criterio OLS, modelli econometrici.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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