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CAPITOLO IX: L’ATOMO DI IDROGENO

QUANTISTICO

1

L’impulso radiale p

r k

Impulso radiale classico: da L = r x p r = x i + y + z

j ⋅

r p

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

| |

r p r p r p

L = x L = r p sen ( , ) L = r p (1 - cos ( , )) = r p (1 – ( ) )

rp

e quindi ⋅

2 r p

L

2 2

p = +( )

2 r

r

⋅ 2

r p L

2 r2

ma = p p = + p

radiale 2

r r

Impulso radiale quantistico:

1 r r

( p + p ) (principio di simmetrizzazione)

p =

r 2 r r ∂

r = x i + y + z k p = (-i ) i +…

j h ∂

x ∂

∂ ∂ ∂

y

r x z r ∇

⋅ ⋅

p = -i ( + + ) = -i = -i

h h h ∂

∂ ∂ ∂

r r x r y r z r r

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

y

r x z 3 1 1 1 3 1

p ( ( ( )

= -i + ) = -i +x +y +z ) = -i - +

+

h h h

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r x r y r z r r x r y r z r r r r

1

= -i ( )

+

p h

r ∂

r r

∂ ∂ 1

1 2 2 2 -1/2 2 2 2 -3/2 2 2 2 2 -3/2

. (x (x + y + z ) = -x (x + y + z ) 2x = -x (x + y + z )

) = x

N.B ∂ ∂

x r x 2 + +

∂ ∂ 2 2 2

( x y z )

1 1 1

2 2 2 2 -3/2 2 2 2 2 -3/2

y (x + y + z ) ; z (x + y + z ) ; - = -

= -y = -z

∂ ∂ 3

y r z r r

+ +

2 2 2

( x y z ) 2

∂ ∂ ∂

r 3 1 1 2 r 2

⋅ ⋅ ∇

p ( +y +z )) = -i ( ) = -i ( )

= -i - + ( x + +

h h h

∂ ∂ ∂ ∂

r r r r x y z r r r r

1 r r 1

⋅ ⋅

= ( p + p ) = -i ( + )

p h

r ∂

2 r r r r

• p è un operatore hermitiano

r

∞ ∞

1 1

h h

∫ ∫

2 2

ϕ ψ ϕ ψ

( * ) r dr = - ( r dr

)*

I. i r i r

0 0 ∞ ∞

∞ ∂

h h h

∫ ∫

2 2 2

ϕ ϕ ψ ϕ ψ

ψ

II. ( * ) r dr = IPP = ( r * ) - ( r )* dr =

∂ ∂

i r i i r

0

0 0

∞ ∞

∂ 1

h h

∫ ∫

2 2

ψ ϕ ψ

ϕ

= r ( )* dr + 2 r ( )* dr

i r i r

0 0

∞ ∞ ∂

1 1

h h

∫ ∫

2 2

ϕ ψ ϕ ψ

* ( ) r dr = r dr ( [ ] )* dr

+ +

III.= I. + II. = ∂ ∂

i r r i r r

0 0

∞ ∞

∫ ∫

2 2

ϕ ψ ϕ ψ

r dr * p = r dr (p )*

Allora r r

0 0 2

+

ϕ ψ ϕ ψ

(A , ) = ( , A )

N.B.

∫ ∫

+

ϕ ψ Ω ϕ ψ Ω

(A )* d = * A d

∫ ∫

+ ϕ ψ Ω ϕ ψ Ω

se A = A (A )* d = * A d

r2

• p ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ 2

2

1 1 1 1 1 2

2 2 2

- ( + )( + ) = - ( + + ( )+ ) = - ( + ) =

h h h

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

2 2

2

r r r r r r r r r r

r r r

∂ ∂

1

2 2

(r )

= h ∂ ∂

2 r r

r L’atomo di idrogeno quantistico

del problema rimandando ad un tempo successivo

(Ci limitiamo alla sola trattazione analitica

la trattazione algebrica.)

• Hamiltoniana classica dell’atomo di idrogeno 2

2 2

2 2

p

p L

e e

r

= - = +

H - = E

cl 2

2 m r 2 m r

2 m r ridotta

ridotta ridotta

m m

e N

del sistema elettrone-nucleo =

dove m

ridotta +

m m

e N

m m

e e

=

m m ; 1+ = 1.0005446

ridotta e

m m

+ e

(

1 ) N

m N 2

2 2

p

L e

r

H = + - = E (m = m da adesso in poi)

cl e

2 2 m r

2 m r e

e

• Applichiamo il all’hamiltoniana classica H .

principio di corrispondenza cl

∂ 2

2 2

2 L

2 e

h ψ θ ϕ ψ

- ] (r, , ) = E (1)

( ) +

+

[- ∂

∂ 2 2

2 m r r r

r 2 mr

2 2

: [H, L ] = 0 [L , L ] = 0 [H, L ] = 0

N.B. z z

da cui lm

ψ θ ϕ θ, ϕ

(r, , ) = R (r) Y ( )

Elm El

che inserita nella (1) dà +

∂ 2

2 2

2 ( 1

)

l l

2 e

h

h

[- ( + ) + - ] R (r) = E R (r) (2)

El El

∂ 2 2

2 m r r r

2

r mr

1 1 potenziale attrattivo

potenziale centrifugo; -

N.B. 2 r

r 3

Ricerca degli autovalori

Sostituiamo nella (2) ( )

g r

R(r) = (3)

r

∂ ( ) ' '

g r g g g g

2 2 [

] = -

Essendo: i) [ ] = 2 -2

∂ 2 2 3

r r r r r r r r

∂ 2 ( ) ' ' ' '

g r g g g g

= -

e ii) - +2

∂ 2 2 3

2 r r

r r r r

2 2

2 ' '

g

2

h h

ovvero - ( che inserita nella (2) dà

+ )g = -

∂ 2

2 2

m r r m r

r

+ 2

2 2 2

' ' ( ) ( ) ( )

g g r g r g r

( 1

)

l l e

h

h h

- + - = E e quindi

2

2 2

m r m r r r r

2 mr + 2 2

( 1

)

l l

2 m e

h

g′′(r) - [ - -E] g(r) = 0 (4)

2 2 r

2 mr

h

• Cambio variabili nella (4)

E = -w con w 0

h

r = x (5)

2 m 2

e

k = 2 m h

e quindi

2 2 2

d g 2 2 2 1

m m m e

1

h ] g = 0

+ [-w - ( +1) + 2

l l m

2 2 2

2 2

2 m x

dx x h

h h h +

2

d g l (

l 1

)

k

+ [ - -w] g = 0 (6)

2 2

x

dx x

• ∞ ∞

Comportamento della (6) all’ (x = )

2

d g ∞

g : = w g

∞ ∞

2

dx

− + −

w x w x w x

g = A + B g = A e B = 0 (dalla richiesta di a quadrato

e e e

∞ ∞

integrabilità della soluzione)

• Comportamento della (6) nell’origine (x = 0)

2 +

d g l (

l 1

)

0

g : - g = 0

0 0

2 2

dx x

l+1 --l l+1

= C x + D x g = C x e D = 0 (dalla richiesta di a quadrato integrabilità della

g

0 0

soluzione) 4


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Meccanica quantistica I del Prof. Mauro Anselmino, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: l'atomo di idrogeno quantistico; l'impulso radiale classico e l'impulso radiale quantistico; ricerca degli autovalori; ricerca delle autofunzioni; significato delle degenerazioni.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in fisica
SSD:
Università: Torino - Unito
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica quantistica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Torino - Unito o del prof Giovannini Alberto.

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