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∞ +

∑ l

2 1

µ = µ

f ( z , E , ) f ( z , E ) P ( ) (10.5)

l l

2

=

l 0 ∞ +

∑ l

2 1

Σ → Ω → Ω = → µ

( E ' E , ' ) s ( z , E ' E ) P ( ) (10.6)

l l

s o

2

=

l 1

µ θ Ω Ω

dove è il coseno dell'angolo tra le direzioni ' e e dove

o o

+ 1

= µ µ µ

f f ( z , E , ) P ( ) d (10.7)

l l

1 +

1

→ = Σ → Ω → Ω µ µ

s ( z , E ' E ) ( E ' E , ' ) P ( ) d (10.8)

l l

s o o

1

Possiamo dare una interpretazione fisica molto significativa dei primi due termini

dell'espansione (10.5). Ricordando la (10.3) e che la corrente j(z,E) ed il flusso

ψ(z,E)

integrale sono dati rispettivamente dalle equazioni

= φ θ θ Ω

j

( z , E ) ( z , E , ) cos d

π

4 (10.9)

+

1

= µ µ µ =

f ( z , E , ) d f ( z , E )

1

1

ψ = φ θ Ω

( z , E ) ( z , E , )

d

π

4 (10.10)

+

1

= µ µ =

f ( z , E , )

d f ( z , E )

o

1 φ(z,E,θ)

Il flusso neutronico si potrà così esprimere:

[ ]

1

φ θ = ψ + θ +

( z , E , ) ( z , E ) 3 cos j

( z , E ) ... (10.11)

π

4

I termini superiori non hanno una interpretazione altrettanto semplice.

Sostituendo ora la (10.5) e (10.6) nella (10.4), si ottiene

3

∞ ∞

+ +

∑ ∑

l l

f ( z , E )

2 1 2 1

− µ µ − µ Σ

l P ( ) f ( z , E ) P ( ) ( E )

l l l t

2 z 2

= =

l l

o 0

∞ ∞

+ +

∑ ∫ ∫

l

( 2 1

)( 2 n 1

)

+ → µ µ

d ' s ( z , E ' E ) f ( z , E ' ) P ( ' ) P ( ) dE '

l l

n n o

4 π

4 o

=

l , n o ∞ + ∞

χ +

∑ 1

∫ ∫

l

( E ) 2 1

+ µ ν Σ µ =

z

d ' ( z , E ' ) f ( , E ' ) P ( ' ) dE ' 0 (

12

.

12

)

l l

f

2 2 −

1 o

=

l o

Ricordando ora due importanti proprietà delle funzioni di Legendre, espresse dalle

relazioni

+ 2

1

∫ µ µ µ = δ

P ( )

P ( ) d

n m nm

+

− 2 n 1

1 π

∫ 4 µ δ

µ µ Ω =

P ( ' )

P ( ) d ' P ( )

n m o n nm

+

2 n 1

π

4

δ

dove è il simbolo di Kronecker ( eguale a zero per n≠m e eguale a 1 per n=m), il

nm

terzo e quarto termine al primo membro della (10.12) diventano, rispettivamente,

∞ ∞

∑ ∫

π + µ →

l

( 2 1

) P ( ) s ( z , E ' E ) f ( z , E ' ) dE '

l l l

o

=

l o ∞

χ + + ∞

l

( E ) 2 1 1

∫ ∫

δ µ ν Σ

d ' ( z , E ' ) f ( z , E ' ) dE '

l

o

1 f

2 2 1 o

=

l o

χ ∞

( E ) ∫

= ν Σ ( z , E ' ) f ( z , E ' ) dE '

f o

2 o

Sostituendo questi termini nella (10.12), ed utilizzando la formula di ricorrenza

+ µ µ = + µ + µ

l l l

( 2 1

) P ( ) ( 1

) P ( ) P ( )

+ −

l l l

1 1

µ µ

per trasformare i termini , moltiplicando entrambi i membri per P (µ) ed

P ( )

l j

µ

integrando su tra -1 e +1, si ottiene 4

∂ ∂ 

 ∞

f f ∫

1 + −

j 1 j 1 − Σ + π →

− + + 

 ( j 1

) j f 2 f ( z , E ' )

s ( z , E ' E ) dE '

j t j j

+ ∂ ∂ 

2 j 1 z z o

+ χ δ ν Σ =

( E ) ( z , E ' ) f ( z , E ' ) dE ' 0

jo f o

o

(10.13)

Si ha così un sistema di infinite equazioni incognite f (j=1,2,...). Se si assume che

j

f + =

N 1 0 ,

z

esso si riduce ad un sistema autoconsistente di (N+1) equazioni nelle (N+1) funzioni

incognite f , f , ..., f , il quale corrisponde a quella che viene chiamata

o 1 N

approssimazione P . Il grado di approssimazione N di solito è scelto dispari, poichè

N

in questo caso, contrariamente a quanto succede con N pari, si dimostra assicurata la

continuità dei flussi angolari tra regioni diverse.

In genere viene adottata l'approssimazione P -P per i casi meno complessi, mentre

1 3

per quelli caratterizzati da forti anisotropie si può arrivare alle approssimazioni P -P .

5 7

Qui ci limiteremo a considerare l'approssimazione P per il significativo confronto

1 ∂ ∂ = , dalla

che essa consente con la teoria della diffusione. Pertanto, ponendo f / z 0

2

(10.13) si ottengono le due equazioni:

∂ ∞ ∞

f ∫ ∫

− Σ + π → + χ ν Σ =

− 1 f 2 f ( z , E ' )

s ( z , E ' E ) dE ' ( E ) ( z , E ' ) f ( z , E ' ) dE ' 0

o t o o f o

z o o (10.14)

∂ ∞

f

1 ∫

− − Σ + π → =

o f 2 f ( z , E ' )

s ( z , E ' E ) dE ' 0 (10.15)

1 t 1 1

3 z o

Poichè la sezione d'urto di scattering per l'energia E' si può ottenere della (10.6)

integrando su tutti i possibili valori della direzione , si ha

'

π

0

Σ → = π Σ → Ω → Ω θ θ

( z , E ' E ) 2 ( z , E ' E , ' ) sen d

s s o o

o (10.16)

+

1

= π Σ → Ω → Ω µ = π →

2 ( z , E ' E , ' ) d 2 s ( z , E ' E )

s o o

1

Analogamente potremo definire la 5

π

1s

Σ → = π Σ → Ω → Ω θ θ θ

( z , E ' E ) 2 ( z , E ' E , ' ) sen cos d

s o o o

o (10.17)

+

1

= π Σ → Ω → Ω µ µ = π →

2 ( z , E ' E , ' ) d 2 s ( z , E ' E )

s o o 1

1

Introducendo la (10.16) e la (10.17) rispettivamente nella (10.14) e nella (10.15), e

ricordando le espressioni (10.9) e (10.10) per il flusso integrale e la corrente

neutronica, rispettivamente, otteniamo le due note equazioni caratteristiche

dell'approssimazione P

1

∂ ∞ ∞

j ∫ ∫

− − ψ Σ + ψ Σ → + χ ν Σ ψ =

o

( z , E ' ) ( z , E ' E ) dE ' ( E ) ( z , E ' ) ( z , E ' ) dE ' 0

t s f

z o o (10.18)

ψ ∞

1 ∫

− − Σ + Σ → =

1

j j ( z , E ' ) ( z , E ' E ) dE ' 0 (10.19)

t s

3 z o

Il significato fisico della (10.18) è semplice. Essa ricorda infatti la ben nota equazione

della diffusione, a parte l'espressione da dare alla corrente j. Il significato fisico della

(10.19) riguarda appunto questa definizione. Per rilevarlo meglio, mettiamo in

evidenza la corrente j. La (10.19) diventa quindi

ψ

1 1

= Σ → −

1s (10.20)

j j ( z , E ' ) ( z , E ' E ) dE '

Σ Σ ∂

3 z

o

t t

Il secondo termine al secondo membro equivale a quello della corrente nella teoria

della diffusione nel caso si tratti di un mezzo con scattering isotropo nel sistema del

_

µ =

laboratorio (per cui 0 ). Il primo termine corrisponde quindi al contributo di

o

corrente dovuto alla anisotropia della sorgente di scattering. Per comprendere meglio

questo termine, supponiamo che i neutroni siano monoenergetici. In questo caso le

(10.18) e (10.19) si ridurranno alle seguenti

j

− − ψ Σ + ψ Σ + ν Σ ψ =

o ( z ) 0 (10.21)

t s f

z

ψ

1

− − Σ + Σ =

1s

j j 0 (10.22)

t

3 z

La corrente j sarà quindi data dalla espressione

6

ψ

1

= − (10.23)

j ∂

Σ − Σ 1s z

3

( )

t _

µ

Introduciamo ora il coseno medio di scattering . Esso è definito dall'equazione

o

(tralasciando le variabili energetiche)

∫ Σ Ω → Ω µ Ω

( ' ) d ' 1s

Σ

s o

_ π

4

µ = =

o o

Σ

Σ Ω → Ω Ω

( ' ) d ' s

s

π

4

La (10.23) pertanto diventa

ψ

= −

j D (10.24)

z

dove 1 1

= ≡ (10.25)

D Σ _

3 Σ − µ Σ

tr 3

( )

t s

o

Questa è l'espressione della corrente già incontrata nella teoria della diffusione.

L'espressione della corrente (10.24), con D data dalla (10.25), viene comunemente

assunta anche nel caso la corrente sia funzione dell'energia. Dalla (10.21) si ottiene

quindi l'equazione della diffusione, per il caso della geometria piana:

∂ ψ

2 ∞ ∞

∫ ∫

− ψ Σ + ψ Σ → + χ ν Σ ψ =

o

D ( z , E ' ) ( z , E ' E ) dE ' ( E ) ( z , E ' ) ( z , E ' ) dE ' 0

t s f

∂ 2 o o

z (10.26)

Si ricorda che in certe zone dello spettro energetico l'uso della teoria della diffusione

può comportare differenze significative dei risultati rispetto a calcoli precisi mediante

tecniche di trasporto. Ciò vale, in particolare, nella zona epitermica delle risonanze,

dove i processi di cattura e di fissione possono superare in entità quelli di scattering.

Malgrado la notevole semplificazione dei calcoli che essa comporta, la teoria della

diffusione viene comunque usata per calcoli di larga massima di massa critica, di

andamenti dei flussi in mezzi omogenei, ecc., in cui eventuali discontinuità delle

costanti nucleari, sia per quanto riguarda le variabili energetiche che quelle spaziali,

possono essere trascurate. Per studi di dettaglio, o di effetti localizzati, come per

esempio nella valutazione delle barre di controllo e degli effetti di eterogeneità del

7

combustibile, in cui la presenza di risonanze rappresenta l'aspetto principale di cui

tenere conto, l'uso di approssimazioni più accurate in teoria del trasporto è necessario,

se si vogliono ottenere risultati attendibili.

Approssimazione multigruppo

Consideriamo ora una suddivisione dell'energia da zero a 10 Mev (limite superiore

dei neutroni di fissione) in N intervalli, ciascuno caratterizzato da un limite inferiore

E . Consideriamo dapprima le equazioni (10.21) e (10.22), relative

i,L

all'approssimazione P . Integriamo queste equazioni tra i valori E ed E

1 i,L i-1,L

dell'energia. Se definiamo le quantità

E

∫ −

i 1

, L

ψ = ψ ( E ) dE

i E i , L

E

∫ −

i 1

, L

=

j j

( E ) dE

i E i , L

1 E

∫ −

i 1

, L

Σ = Σ ψ ( E ) dE

t , i t

ψ E i , L

i

1 E

∫ −

i 1

, L

ν Σ = ν Σ ψ ( E ) dE

f , i f

ψ E i , L

i

E

∫ −

i 1

, L

χ = χ ( E ) dE

i E i , L ∫ ∫

E E

− −

1 i 1

, L j 1

, L

Σ = Σ → ψ

o o

dE ( E ' E ) ( E ' ) dE '

j i s

ψ E E

i i , L j

, L

∫ ∫

E E

− −

1 i 1

, L j 1

, L

Σ = Σ →

1 1s

dE ( E ' E ) j

( E ' ) dE '

j i j E E

i i , L j

, L *

e supponendo per semplicità solo effetti di downscattering , si possono scrivere le

equazione multigruppo

* Per downscattering si intendono le collisioni di scatterimg con perdita di energie neutronica. Ciò avviene negli

intervalli energetici al di sopra delle zone cosiddette "termiche", in cui i neutroni sono in (quasi) equilibrio termico con

il mezzo, ed in cui gli urti di scattering possono quindi risultare in un quadagno energetico.

8

i N

∂ ∑ ∑

j

− − ψ Σ + ψ Σ + χ ψ ν Σ =

o

i 0 (10.27)

i t , i j s , j i i j f , j

z = =

j 1 j 1

ψ i

1

− − Σ + Σ =

1

i j j 0 (10.28)

i t , i j j i

3 z =

j 1

Integrando invece entro gli stessi limiti energetici la (10.26) si ottiene analogamente

la ben nota equazione della diffusione multigruppo

i N

∑ ∑

∇ ψ − ψ Σ + ψ Σ + χ ψ ν Σ =

2 o

D 0 (10.29)

i i i t , i j s , j i i j f , j

= =

j 1 j 1

dove 1 E

∫ −

i 1

, L

= ψ

D D ( E ) ( E ) dE .

i ψ E i , L

i

Nel fare queste medie si è supposto che , date le grandi dimensioni assunte per i

sistemi che si considerano, l'andamento spaziale del flusso possa considerarsi

∇ ψ ψ

2

separabile da quello energetico (e che quindi il rapporto / sia indipendente

dall'energia).

Si noti come l'equazione della diffusione possa essere derivata immediatamente dalle

(10.27) e (10.28), supponendo che l'anisotropia si riduca al gruppo in esame, cioè

Σ =

1 per j≠i e definendo il coefficiente di diffusione

ponendo 0

j i 1

=

D _

Σ − µ Σ

3

( )

t , i s , i i

i

dove Σ 1

_ →

µ = i i

i Σ o

i i

Questa derivazione limita gli effetti dell'anisotropia entro lo stesso gruppo energetico,

quindi introduce una ulteriore approssimazione. Può essere giustificata per

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AUTORE

Atreyu

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria energetica
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ingegneria del nocciolo e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Gandini Augusto.

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