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Minicorso da 3 crediti

Metodo di iterazione funzionale 1

∈ C (0,

Innanzitutto la funzione g 1); inoltre la sua derivata risulta

3 2

= − x

Dg(x) 4

e quindi 3

3 2

|Dg(x)| = < < ∀x ∈ (0,

x 1, 1).

4 4

Perciò possiamo applicare il Teorema sul punto fisso.

{x } (1) partendo da un qualsiasi

La successione generata da

n

∈ (0,

x 1) converge a x.

0 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo di iterazione funzionale

Questa volta l’implementazione con Excel risulta semplicissima!

A B

1 x 0

0 ∧

= (2 −

2 x B1 3)/4

1 ∧

= (2 −

3 x B2 3)/4

2 ∧

= (2 −

4 x B3 3)/4

3 ∧

= (2 −

5 x B4 3)/4

4 =

Scegliendo come punto iniziale x 0 otteniamo la seguente tabella

0

n 0 1 2 3 4 5 6

x 0, 000 0, 500 0, 468 0, 474 0, 473 0, 473 0, 473

n =

Cosa otterremmo se partissimo da x 1?

0 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo di iterazione funzionale

1

0.8

0.6 x

2

0.4

0.2 x

1 x

0

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

3

2−x

=

Figura: Punto fisso della funzione g(x) 4 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo di iterazione funzionale

Riscriviamo l’equazione nella seguente forma

2 4x =

= g(x);

x 2

x

1

∈ C (0,

ancora g 1) e la derivata risulta

4(x 1)

= .

Dg(x) 3

x

=

Partendo da x 1 otterremmo la seguente tabella

0

n 0 1 2 3 4 5 6

−2, −1, −0,

x 1, 000 000 2, 500 279 4, 345 814 7, 925

n

La successione non converge! Perché? Quale ipotesi non è verificata?

dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo di iterazione funzionale

5

4 x

4

3 x

2

2

1 x

0 5

x

−1 3

x

1

−2

−3

−4 x

0

−5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

2−4x

=

Figura: Punto fisso della funzione g(x) 2

x dsm

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Minicorso da 3 crediti

Criteri di arresto Criteri di arresto

{x } (1). Scelta la tolleranza

Sia una successione generata da

n ε >

prefissata 0, il criterio di arresto maggiormente utilizzato è

|x − | < ε.

x

n

n+1

Domanda: utilizzando tale criterio di arresto, come possiamo stimare

x?

la distanza di x dal punto fisso

n 1

∈ C

Supponiamo g ; per il Teorema della media di Lagrange esiste z

n

compreso tra x e x per cui

n ) − − x

g(x g(x) x

n n+1

) = = .

Dg(z

n − −

x x x x dsm

n n

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Minicorso da 3 crediti

Criteri di arresto

Poiché |x − | = |(x − + (x −

x x) x)|

n n

n+1 n+1

= |(x − ) − (x −

x)Dg(z x)|

n n n

= |Dg(z ) − · |x − x|

1|

n n

si ricava |x − | ε

x

n

n+1

|x − = < .

x|

n |Dg(z ) − |Dg(z ) −

1| 1|

n n

Osservazione )

L’errore risulta tanto più grande quanto più Dg(z è vicino a 1. Invece

n

<

se Dg(x) 0 allora, poiché z converge a x, per n abbastanza grande

n

) ≤ |x − < ε.

Dg(z 0 e quindi si ricava x|

n n dsm

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Ricerca dei punti fissi per funzioni di una variabile reale: metodo di iterazione funzionale; teorema del punto fisso e sua interpretazione geometrica; applicazioni del metodo ed esempi; criteri di arresto: valutazione dell'errore e stima dell'approssimazione nella ricerca del punto fisso; applicazioni ed esempi con il foglio Excel.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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