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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle tangenti (di Newton)

3 3 − =

Per calcolare 2 determiniamo la soluzione di x 2 0. Poiché

2 2

(x) = (x) =

Df 3x e D f 6x

si ha 2 3

(x) · (x) = > ∀x >

Df D f 18x 0, 0 √

3

= >

ed applichiamo il metodo delle tangenti partendo da x 2 2. La

0

funzione generata da f è 3 3

− +

x 2 2x 2

= − = .

g(x) x 2 2

3x 3x

Questa volta la tabella è dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Minicorso da 3 crediti 10 / 25

Minicorso da 3 crediti

Metodo delle tangenti (di Newton)

n x

n

0 2, 0000000000

1 1, 5000000000

2 1, 2962962962

3 1, 2609322247

4 1, 2599218605

5 1, 2599210498

6 1, 2599210498

√ α

n

In generale, per calcolare si risolve con il metodo delle tangenti

n − α =

l’equazione x 0 ottenendo la funzione

n + α

(n − 1)x

=

g(x) n

nx dsm

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Minicorso da 3 crediti

Calcolo del tasso di interesse

Qual è il tasso di una rendita annua, temporanea, posticipata, sapendo

l’ammontare delle rate,

la durata,

il valore attuale (oppure il montante) della rendita?

Ricordiamo le formule relative a tale rendita:

il valore attuale della rendita è n −n

− − (1 +

1 v 1 i)

(0) = = = ,

V Ra R R

n i i i

il montante della rendita è n n

− (1 + −

u 1 i) 1

= = = .

M(n) Rs R R

n i i i dsm

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Minicorso da 3 crediti (0)

Calcolo del tasso di interesse noto V (0)

Supponiamo noto il valore attuale V +

Dobbiamo risolvere l’equazione polinomiale di grado n 1

(0)

V n n

(1 + − (1 + + =

i) i i) 1 0.

R

Per far questo studiamo il comportamento della funzione

n n

(i) = + − (1 + +

F a(1 i) i i) 1 (0)

V

(−1, +∞), =

definita sulla semiretta avendo posto a .

R dsm

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Minicorso da 3 crediti (0)

Calcolo del tasso di interesse noto V

∈ C (−1, +∞) (0) =

La funzione F si annulla nell’origine F 0 ed i

valori agli estremi del dominio sono

(−1) = (i) = +∞.

F 1 e lim F

i→+∞

La derivata prima risulta n−1

(i) = (1 + (a(n + − +

DF i) 1)i n a).

<

Essendo a n (perché?), la derivata prima si annulla in

n a

= >

i 0

min +

a(n 1)

che risulta punto di minimo in quanto

< ∈ (−1, )

0 se i i

min

(i)

DF > ∈ (i , +∞).

0 se i min dsm

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Minicorso da 3 crediti (0)

Calcolo del tasso di interesse noto V

La derivata seconda

2 n−2

(i) = + (a(1 + − + +

D F n(1 i) n)i n 1 2a)

si annulla nell’unico punto di flesso

− −

n 2a 1

= .

i

flesso +

a(n 1)

Per quanto riguarda il punto non sappiamo se è positivo oppure

−1 < <

negativo ma semplicemente i i ; inoltre

min

flesso

)

< ∈ (−1,

0 se i i

flesso

2 (i)

D F > ∈ (i , +∞).

0 se i flesso dsm

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Minicorso da 3 crediti (0)

Calcolo del tasso di interesse noto V

Dallo studio del segno della derivata prima e seconda deduciamo il

seguente comportamento della funzione F :

−1

Proprietà di F i i

min

flesso

ց ց ր

Monotonia di F ⌢ ⌣ ⌣

Convessità di F

Dal grafico di F si deduce che l’equazione ha una sola soluzione

strettamente positiva i .

0 dsm

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Minicorso da 3 crediti (0)

Calcolo del tasso di interesse noto V 1 i

min i R/V(0)

0

n n

(i) = + − (1 + +

Figura: Grafico di F a(1 i) i i) 1 dsm

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Minicorso da 3 crediti (0)

Calcolo del tasso di interesse noto V

Determiniamo un intervallo contenente la soluzione i . Conosciamo

0

<

già la stima inferiore: i i ; per quanto riguarda la stima superiore

min 0

osserviamo che

1 =

F 1

a

e quindi 1 R

< < = .

i i

min 0 (0)

a V

Poiché la funzione F risulta crescente e convessa sull’intervallo

h i

R

,

i , il Teorema sul metodo di Newton ci assicura che partendo

0 (0)

V R

dal punto iniziale l’algoritmo convergerà a soluzione e la

(0)

V

convergenza sarà quadratica. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Minicorso da 3 crediti 18 / 25

Minicorso da 3 crediti

Calcolo del tasso di interesse noto M(n)

Supponiamo noto il montante M(n).

Dobbiamo risolvere l’equazione polinomiale di grado n

M(n)

n

(1 + − − =

i) i 1 0.

R

Per far questo studiamo il comportamento della funzione

n

= (1 + − −

G(i) i) si 1. M(n)

(−1, +∞), =

definita sulla semiretta avendo posto s R dsm

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Minicorso da 3 crediti

Calcolo del tasso di interesse noto M(n)

∈ C (−1, +∞) =

La funzione G si annulla nell’origine G(0) 0 ed i

valori agli estremi del dominio sono

= − = +∞.

G(−1) s 1 e lim G(i)

i→+∞

La derivata prima risulta n−1

= + −

DG(i) n(1 i) s.

<

Essendo s n (perché?), la derivata prima si annulla in

r s

n−1

= − >

i 1 0

min n

che risulta punto di minimo in quanto

< ∈ (−1, )

0 se i i

min

DG(i) > ∈ (i , +∞)

0 se i min dsm

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Metodi iterativi: metodo delle tangenti (di Newton), interpretazione geometrica, applicazioni ed esempi, ordine di convergenza.
Calcolo del tasso di interesse attraverso il metodo di Newton: calcolo del tasso di interesse noto il valore attuale; calcolo del tasso di interesse noto il montante; applicazioni ed esempi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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