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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle tangenti (di Newton)

Metodo delle tangenti

Abbiamo visto che se

(x) 6 =

Df 0 in un opportuno intorno di x,

2

∈ C

f

allora la successione generata da (1) e relativa alla funzione

(x)

f

= −

g(x) x (x)

Df

converge a x in maniera

2 (x ) 6 =

quadratica se D f 0,

2 (x) =

più che quadratica se D f 0. dsm

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Metodo delle tangenti (di Newton)

(x) =

Cosa succede se Df 0?

Definizione

∈ C (x) =

Sia f ; una soluzione x dell’equazione f 0 si dice di

molteplicità k se

N k −1

(x) = (x) = · · · = (x) =

f Df D f 0

k (x ) 6 =

e D f 0.

La definizione è coerente con quella per equazioni polinomiali.

Teorema ∞

∈ C (x) =

Siano f e x una soluzione dell’equazione f 0 di molteplicità

∈ ≥

k con k 2; allora il metodo della tangente ha convergenza

N k −1

γ =

lineare con fattore di convergenza k dsm

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Metodo delle tangenti (di Newton)

Osservazione

Poiché −

k 1 = 1

lim k

k →+∞

più alta è la molteplicità di x più lento è il metodo della tangente.

k x = ∈ ≥ =

Prendiamo l’equazione x e 0 con k e k 1: allora x 0 è

N

l’unica soluzione con molteplicità k. La derivata di f è

k k x

−1

(x) = (x + )e

Df kx

ed il metodo della tangente induce la seguente funzione

k x 2 + (k −

x e x x 1)x

= − = − =

g(x) x x

k k x + +

(x + )e x k k x

−1

kx dsm

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Metodo delle tangenti (di Newton)

Se utilizziamo Excel otteniamo le seguenti tabelle al variare di k

= = = =

n k 1 k 2 k 5 k 10

0 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000

1 0, 5000 0, 6667 0, 8333 0, 9091

2 0, 1667 0, 4167 0, 6905 0, 8258

3 0, 0238 0, 2443 0, 5691 0, 7495

4 0, 0006 0, 1354 0, 4669 0, 6798

5 0, 0000 0, 0720 0, 3815 0, 6161

6 0, 0373 0, 3106 0, 5581

7 0, 0190 0, 2521 0, 5052

8 0, 0096 0, 2041 0, 4571

−4

ε = =

Scegliendo come precisione 10 il caso k 2 si arresta al passo

= =

16, il caso k 5 al passo 46 mentre il caso k 10 al passo 96. dsm

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Metodo delle tangenti (di Newton)

1 1

0.8 0.8 x

1

0.6 0.6

x

1 x

2

0.4 0.4 x

3

x

2

0.2 0.2

x

3 x x

0 0

0 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x

1 1 1

x x

1 2

x

3

0.8 0.8

x

2

x

3

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

x x

0 0

0 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

= = = =

Figura: Casi k 1, k 2, k 5 e k 10 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle tangenti (di Newton) |Dg(x)| <

La verifica della condizione 1 non è sempre facile. Una

condizione sufficiente per l’applicazione del metodo delle tangenti è

fornita dal seguente risultato.

Teorema (Metodo di Newton)

2

∈ C ([a, ∈ (a, (x) =

Siano f b]) e x b) una soluzione dell’equazione f 0.

(x) 6 = ∈ [a, \ {x }

Se Df 0 per ogni x b] e

2

(x) · (x) > ∈ (x,

Df D f 0 per ogni x b] allora la successione

=

generata dal metodo delle tangenti con punto iniziale x b

0

converge decrescendo a x;

2

(x) · (x) < ∈ [a,

Df D f 0 per ogni x x) allora la successione

=

generata dal metodo delle tangenti con punto iniziale x a

0

converge crescendo a x. dsm

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Metodo delle tangenti (di Newton)

Esercizio √

3

Calcolare i valori approssimati del numero di Nepero e e di 2.

Per determinare una valore approssimato del numero di Nepero,

− =

calcoliamo la soluzione dell’equazione ln x 1 0 (che è e!). Poiché

1

1 2 (x) = −

(x) = f

Df e D 2

x x

si ha 1

2 (x) = − < ∀x >

(x) · f 0, 0

Df D 3

x

e quindi possiamo applicare il metodo delle tangenti partendo da

= <

x 2 e. La funzione generata da f è

0 −

ln x 1

= − = −

g(x) x 2x x ln x.

1 dsm

x

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Metodo delle tangenti (di Newton)

Se utilizziamo Excel e ci accontentiamo delle prime 10 cifre decimali,

otteniamo la seguente tabella

n x

n

0 2, 0000000000

1 2, 6137056388

2 2, 7162439263

3 2, 7182810643

4 2, 7182818284

5 2, 7182818284 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle tangenti (di Newton)

3 3 − =

Per calcolare 2 determiniamo la soluzione di x 2 0. Poiché

2 2

(x) = (x) =

Df 3x e D f 6x

si ha 2 3

(x) · (x) = > ∀x >

Df D f 18x 0, 0 √

3

= >

ed applichiamo il metodo delle tangenti partendo da x 2 2. La

0

funzione generata da f è 3 3

− +

x 2 2x 2

= − = .

g(x) x 2 2

3x 3x

Questa volta la tabella è dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle tangenti (di Newton)

n x

n

0 2, 0000000000

1 1, 5000000000

2 1, 2962962962

3 1, 2609322247

4 1, 2599218605

5 1, 2599210498

6 1, 2599210498

√ α

n

In generale, per calcolare si risolve con il metodo delle tangenti

n − α =

l’equazione x 0 ottenendo la funzione

n + α

(n − 1)x

=

g(x) n

nx dsm

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Minicorso da 3 crediti

Calcolo del tasso di interesse

Qual è il tasso di una rendita annua, temporanea, posticipata, sapendo

l’ammontare delle rate,

la durata,

il valore attuale (oppure il montante) della rendita?

Ricordiamo le formule relative a tale rendita:

il valore attuale della rendita è n −n

− − (1 +

1 v 1 i)

(0) = = = ,

V Ra R R

n i i i

il montante della rendita è n n

− (1 + −

u 1 i) 1

= = = .

M(n) Rs R R

n i i i dsm

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AUTORE

Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Metodi iterativi: metodo delle tangenti (di Newton), interpretazione geometrica, applicazioni ed esempi, ordine di convergenza.
Calcolo del tasso di interesse attraverso il metodo di Newton: calcolo del tasso di interesse noto il valore attuale; calcolo del tasso di interesse noto il montante; applicazioni ed esempi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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