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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle secanti 1

∈ C (x) 6 =

Se ipotizziamo f con Df 0, allora

x c

(x) · = −1

lim Df (c)

f

c→x

e quindi le due condizioni sono verificate in un opportuno intorno di x.

Il seguente risultato, analogo a quello del metodo di Newton, fornisce

una condizione sufficiente. per la convergenza.

Teorema (Metodo della secante)

2

∈ C ([a, ∈ (a, (x) =

Siano f b]) e x b) una soluzione dell’equazione f 0.

2

(x) 6 = (x) 6 = ∈ [a,

Supponiamo Df 0 e D f 0 per ogni x b]; allora per ogni

∈ [a,

c, x b] tali che

0 2 2

(c) · (c) ≥ (x ) · (x ) ≤

f D f 0 e f D f 0

0 0

la successione generata dal metodo delle secanti con punto iniziale x

0

dsm

converge in maniera monotona a x.

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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle secanti

Esercizio

Utilizzando il metodo delle secanti, determinare la soluzione

3 + −

dell’equazione x 4x 2 con una precisione fino alla quarta cifra

decimale.

Poiché ∈ [0,

0 se x x)

<

(x)

f ∈ (x,

0 se x 1]

>

2 2

(x) = + (x) = ≥ ∈ [0,

mentre Df 3x 4 0 e D f 6x 0 per ogni x 1], la

>

condizione sufficiente del Teorema della secante risulta verificata

= = (1) =

scegliendo c 1 e x 0. Poiché f 3, la funzione g diventa

0 3

(x) − + −

f 3x x x 2

= =

g(x) 3

(x) − + −

f 3 x 4x 5 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Metodo delle secanti

Iterando su Excel otteniamo la seguente tabella

n x

n

0 0, 00000

1 0, 40000

2 0, 46043

3 0, 47112

4 0, 47304

5 0, 47339

6 0, 47345

7 0, 47346

Se le ipotesi del Teorema della secante non sono verificate, può

capitare che la successione generata non converga. Di seguito

presentiamo alcune possibili varianti. dsm

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Minicorso da 3 crediti

Generalizzazioni del metodo delle secanti

Metodo di falsa posizione (regula falsi)

Consiste nel modificare ad ogni passo il punto c . Sotto ipotesi di

0

continuità di f è possibile dimostrare che il seguente metodo iterativo

converge. (x )f (c )

x e c sono scelti in maniera tale che f 0;

<

0 0 0 0

per ogni n si calcola (x ) − (c )

f x f

c

n n n n

=

x

n+1 (x ) − (c )

f f

n n

si aggiorna c con la seguente regola

n

(x )f (c ) =

se f 0 si pone c x ,

>

◮ n n

n+1 n+1

=

altrimenti si pone c c

◮ n

n+1 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Generalizzazioni del metodo delle secanti

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5 x

x =c 2

0 1 c

0 x =c 0

1 2

−0.5

−1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura: Interpretazione geometrica del metodo di falsa posizione dsm

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Minicorso da 3 crediti

Generalizzazioni del metodo delle secanti

Metodo di Traub (variante del metodo di Newton)

(x )

Consiste nel sostituire la derivata Df con il rapporto incrementale

n

(x ) − (x )

f f

n n−1

) =

h(x .

n −

x x

n n−1

Ovviamente necessitiamo di due punti iniziali x e x (da determinare

0 1

in maniera simile al metodo di Newton). In tal caso la successione

(x ) − (x )

x f x f

n n

n−1 n−1

=

x

n+1 (x ) − (x )

f f

n n−1

risulta localmente convergente con ordine di convergenza

1+ 5

superlineare pari alla sezione aurea .

2 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Ricapitolazione

Esercizio

Determinare le eventuali soluzioni dell’equazione

2 x

− =

x xe 3

utilizzando i metodi

della corda,

della tangente,

della secante (eventualmente utilizzando la regula falsi),

di Traub. 2 x ∞

(x) = − ∈ C (R) =

La funzione f x xe si annulla per x 0. Inoltre,

x ∈ (x)

essendo e x per ogni x abbiamo f 0 per ogni x 0.

R,

> < >

(−∞,

Quindi le eventuali soluzioni sono solamente nella semiretta 0).

dsm

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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Metodi iterativi: metodo delle secanti: costruzione del metodo, applicazione ed esempi; metodo delle secanti generalizzato: metodo della falsa posizione (regula falsi), metodo di Traub (generalizzazione del metodo di Newton); esercizi di ricapitolazione ed applicazioni sui metodi iterativi e comparazione di essi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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