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Minicorso da 3 crediti

Generalizzazioni del metodo delle secanti

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5 x

x =c 2

0 1 c

0 x =c 0

1 2

−0.5

−1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura: Interpretazione geometrica del metodo di falsa posizione dsm

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Minicorso da 3 crediti

Generalizzazioni del metodo delle secanti

Metodo di Traub (variante del metodo di Newton)

(x )

Consiste nel sostituire la derivata Df con il rapporto incrementale

n

(x ) − (x )

f f

n n−1

) =

h(x .

n −

x x

n n−1

Ovviamente necessitiamo di due punti iniziali x e x (da determinare

0 1

in maniera simile al metodo di Newton). In tal caso la successione

(x ) − (x )

x f x f

n n

n−1 n−1

=

x

n+1 (x ) − (x )

f f

n n−1

risulta localmente convergente con ordine di convergenza

1+ 5

superlineare pari alla sezione aurea .

2 dsm

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Minicorso da 3 crediti

Ricapitolazione

Esercizio

Determinare le eventuali soluzioni dell’equazione

2 x

− =

x xe 3

utilizzando i metodi

della corda,

della tangente,

della secante (eventualmente utilizzando la regula falsi),

di Traub. 2 x ∞

(x) = − ∈ C (R) =

La funzione f x xe si annulla per x 0. Inoltre,

x ∈ (x)

essendo e x per ogni x abbiamo f 0 per ogni x 0.

R,

> < >

(−∞,

Quindi le eventuali soluzioni sono solamente nella semiretta 0).

dsm

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Minicorso da 3 crediti

Ricapitolazione

Poiché 2 x x

(x − ) = − ) = +∞

lim xe lim x(x e

x→−∞ x→−∞

per il Teorema degli zeri (per la precisione il Teorema di Darboux),

(−∞,

l’equazione ha almeno una soluzione in 0). La derivata è

x

(x) = − (x +

Df 2x 1)e

∈ (−∞,

e, per ogni x 0) si ha

x x x x

(x) = − ) − − ) −

Df x(2 e e x(2 e e x 0.

< < <

Quindi la funzione è decrescente e la soluzione, che indichiamo con x,

−2 ∈ (−2,

(−2) = + , si ricava che x 0).

è unica. Infine, poiché f 4 2e dsm

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Minicorso da 3 crediti

Ricapitolazione 6

5

4 x

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

2 x

(x ) = −

Figura: Grafico della funzione f x xe dsm

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Minicorso da 3 crediti

Ricapitolazione

Determiniamo la soluzione applicando i vari criteri.

Metodo della corda. Innanzitutto

x x

(x) = − ) − ∀x ∈ [−2,

Df x(2 e e 0, 0]

<

e quindi le prime due ipotesi del metodo sono verificate

scegliendo m 0. La terza condizione diventa

< 1 x x

− (e − − ))

m max x(2 e

< 2 x∈[−2,0]

x x

= − − )

Posto e x(2 e si ha

ϕ(x) x 2 x

= (x + − = (x +

Dϕ(x) e 2) 2 e D e 3).

ϕ(x)

2 ∈ [−2,

Poiché D 0 per ogni x 0], segue che Dϕ è

ϕ(x) > dsm

[−2,

strettamente crescente su 0].

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Minicorso da 3 crediti

Ricapitolazione =

Essendo Dϕ(0) 0 segue

≤ ∀x ∈ [−2,

Dϕ(x) 0, 0] −2

da cui si ricava decrescente e quindi assume il massimo in

ϕ −2

= −

ed il massimo è 4 e . Quindi basta scegliere

ϕ(−2) 1 −2

− (4 − ) ∼ −1,

m e 93233.

< 2

= −2

Scegliendo m si ottiene la seguente funzione

1 2 x

= (x + − −

g(x) 2x xe 3)

2

di cui andremo a determinare il punto fisso. dsm

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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Metodi iterativi: metodo delle secanti: costruzione del metodo, applicazione ed esempi; metodo delle secanti generalizzato: metodo della falsa posizione (regula falsi), metodo di Traub (generalizzazione del metodo di Newton); esercizi di ricapitolazione ed applicazioni sui metodi iterativi e comparazione di essi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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