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Minicorso da 3 crediti

Introduzione

Ricordiamo le principali nozioni che utilizzeremo in seguito. Una

: (a, −→

funzione f b) si dice

R ∈ C(a, ∈ (a,

continua, e si scrive f b), se per ogni x b) si ha

(x ) = (x);

lim f f

x ′ →x

∈ (a,

derivabile se per ogni x b) si ha

(x + ∆x) − (x)

f f = (x) ∈

lim Df R.

∆x

∆x→0

Se f è derivabile n volte ed ogni derivata risulta continua si scrive che

n

∈ C (a,

f b). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Corso da 3 crediti – Lezione 1 2 / 13

Minicorso da 3 crediti

Introduzione

Passiamo ai risultati che utilizzeremo.

Teorema (sulla derivata e la monotonia)

1

∈ C (a,

La funzione f b) è (x) ≥ ∈ (a,

nondecrescente se e solo se Df 0 per ogni x b),

(x) ≤ ∈ (a,

noncrescente se e solo se Df 0 per ogni x b).

Teorema (sulla derivata seconda e la convessità)

2

∈ C (a,

La funzione f b) è 2 (x) ≥ ∈ (a,

convessa se e solo se D f 0 per ogni x b),

2 (x) ≤ ∈ (a,

concava se e solo se D f 0 per ogni x b). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Corso da 3 crediti – Lezione 1 3 / 13

Minicorso da 3 crediti

Introduzione

Infine concludiamo con il seguente risultato di Taylor.

Teorema (polinomio di Taylor con resto di Lagrange)

n+1

∈ C (a, ∈ (a, ∈ (a,

Siano f b) e x b). Allora per ogni x b) esiste z

compreso tra x e x per cui 2 (x)

D f 2

(x) = (x ) + (x)(x − + (x − + . . .

f f Df x) x)

2!

n n+1

(x) (z)

D f D f

n n+1

... + (x − + (x −

x) x)

(n +

n! 1)!

1

∈ C (a,

Nel caso particolare in cui f b) il precedente risultato diventa il

Teorema della media di Lagrange (x) − (x )

f f

(z) = .

Df −

x x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Corso da 3 crediti – Lezione 1 4 / 13

Minicorso da 3 crediti

Introduzione

Scopo del minicorso è individuare metodi numerici che permettono di

determinare le eventuali soluzioni dell’equazione

(x) =

f 0

: (a, −→

dove f b) è una funzione nonlineare. Iniziamo fornendo

R

condizioni sufficienti che assicurano la risolubilità dell’equazione.

Teorema (degli zeri)

∈ C(a,

Sia f b) tale che

(x) = (x) =

lim f A e lim f B.

+

x→a x→b −

· < ∈ (a, (x) =

Se A B 0 allora esiste x b) per cui f 0. Inoltre, se f è

strettamente monotona (cioè strettamente crescente o strettamente

decrescente) allora la soluzione x è unica. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Corso da 3 crediti – Lezione 1 5 / 13

Minicorso da 3 crediti

Introduzione

Esercizio 3 + − =

Determinare il numero di soluzioni dell’equazione x 4x 2 0.

3

(x) = + − (f ) =

Posto f x 4x 2 si ha CE ed inoltre

R

(x) = −∞ (x) = +∞.

lim f e lim f

x→−∞ x→+∞

1

∈ C (R),

Quindi, essendo f per il Teorema degli zeri l’equazione ha

almeno una soluzione. Inoltre 2

(x) = + > ∀x ∈

Df 3x 4 0, R

e, essendo f strettamente crescente, la soluzione è unica. Infine

determiniamo un intervallo contenente la soluzione x. Poiché

(0) = −2 (1) = ∈ [0,

f e f 3 segue che x 1]. dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Ricerca Operativa Corso da 3 crediti – Lezione 1 6 / 13


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Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni continue e funzioni derivabili; teorema di monotonia per una funzione; teorema di convessità per una funzione; Polinomio di Taylor con resto di Lagrange; Teorema di esistenza degli zeri per una funzione derivabile; metodo di bisezione per la ricerca degli zeri di una funzione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Ricerca Operativa e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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