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Analisi Matematica - Concetti fondamentali Appunti scolastici Premium

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Concetti fondamentali di analisi matematica. Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi... Vedi di più

Esame di Analisi Matematica 1 docente Prof. K. Engel

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ESTRATTO DOCUMENTO

6 0. CONCETTI FONDAMENTALI

• × {(a, ∈ ∈

A B := b) : x A e x B} il prodotto cartesiano tra A e B, gli elementi

(a, b) si chiamano coppie ordinate.

Se A e B sono insiemi, allora

Osservazione.

• ∪ ∪ ∩ ∩

vale sempre A B = B A e A B = B A;

• \ 6 \ × 6 ×

in generale A B = B A e A B = B A;

• × ·

se A ha n elementi e B ha m elementi, allora A B ha n m elementi;

2

• ×

definiamo A := A A.

Consideriamo un {1, {2, ∪ {1, ∩ {2},

Se A := 2, 3}, B := 7, 8}, allora A B = 2, 3, 7, 8}, A B =

Esempio.

\ {1, × {(1, ·

A B = 3} =: C, A C = 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} con 3 2 = 6

elementi.

Insiemi Numerici. Definiamo i seguenti insiemi numerici

{n {0, }

: = : n è un numero naturale} = 1, 2, 3, 4, 5, . . . = insieme dei numeri naturali ,

N {n {. −2, −1, }

: = : n è un numero intero} = . . , 0, 1, 2, . . . = insieme dei numeri interi ,

Z n o

pq

{r ∈ 6

: = : r è un numero razionale} = : p, q q = 0 = insieme dei numeri razionali ,

Q Z,

{x

: = : x è un numero reale}

R ∈ ∈ {0, ∀ ∈

= p, α α α α . . . : p α 1, 2, . . . , 9} k = insieme dei numeri reali .

Z, N

0 1 2 3 k √

√ ∈ \

• 2 (→ corso di Algebra e Geometria), 2 = 1, 414213 . . ., cioè

Esempi. R Q

qui abbiamo p = 1, α = 4, α = 1, α = 4, α = 2, α = 1, α = 3.

0 1 2 3 4 5

• ∈ \

Oppure per π vale

R Q

π = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 ...

|{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z}

=p =α =α =α =α =α =α =α

0 1 2 3 4 5 6

Proprietà dei Numeri Reali R.

(1) In valgono per le operazioni somma “+” e prodotto “·” tutte le regole dell’algebra,

R ∀ ∈

per esempio x, y, z vale

R · · · · · · ·

x + y = y + x, x (y z) = (x y) z, x (y + z) = x y + x z.

· →

Più precisamente si dice che (R, +, ) è un campo corso di Algebra e Geometria.

(2) In esiste un’ordinamento totale “<”, cioè per x, y vale una ed una sola delle

R R

relazioni x = y, x < y oppure y < x.

(3) è completo, cioè “la retta reale non ha buchi”.

R

Prima di spiegare meglio la Proprietà (3) di facciamo alcune

R

• ≤

anzichè y < x scriviamo anche x > y, x y significa x < y oppure

Osservazioni.

x = y.

• ∈

Usando l’ordinamento in definiamo per a, b i seguenti insiemi detti intervalli :

R R

{x ∈ ≤ ≤

[a, b] : = : a x b} = intervallo chiuso,

R

{x ∈

(a, b) : = : a < x < b} = intervallo aperto,

R

{x ∈ ≤

[a, b) : = : a x < b},

R

{x ∈ ≤

(a, b] : = : a < x b},

R

{x ∈ ≤

(−∞, b] : = : x b} = intervallo chiuso,

R

{x ∈ ≤

[a, +∞) : = : a x} = intervallo chiuso,

R

{x ∈

(−∞, b) : = : x < b} = intervallo aperto,

R

{x ∈

(a, +∞) : = : a < x} = intervallo aperto.

R

(−∞, +∞) : = R. INSIEMI 7

• Valgono le seguenti regole:

≤ ≤ ≤

– Se a b e x y allora a + x b + y.

≤ · ≤ ·

– Se a b e x > 0 allora a x b x.

≤ · ≥ ·

– Attenzione: Se a b e x < 0 allora a x b x.

1 1

≤ ≤

– Se 0 < a b allora 0 < .

b a

• Le Proprietà (1) e (2) valgono anche in cioè anche è un campo ordinato.

Q, Q

Per continuare servono i concetti di ∅ 6 ⊆

Maggioranti ed Estremo Superiore. Sia = A R.

∈ ≤ ∈

(a) Se s tale che a s per ogni a A, allora s si chiama maggiorante di A.

R

∈ ≤

(b) Se s è un maggiorante di A tale che s s per ogni maggiorante s di A,

R

0 0

allora s si chiama estremo superiore di A. Notazione: sup A := s = maggiorante

0 0

più piccolo di A.

(c) se s = sup A A allora s si chiama anche massimo di A. Notazione: max A := s =

0 0 0

elemento più grande di A.

Valgono le seguenti caratterizzazioni:

Osservazioni. (

• ≤ ∀ ∈

a s a A (cioè s è un maggiorante)

0 0

⇐⇒

s = sup A

0 • ∀ ∃ ∈ − −

ε > 0 a A tale che s ε < a (cioè s ε non è più un maggiorante),

0 0

(

• ≤ ∀ ∈

a s a A

0

⇐⇒

s = max A

0 • ∈

s A.

0

• Se A = (0, 1], allora sup A = max A = 1.

Esempi.

• ∈

Se A = (0, 1), allora sup A = 1 / A e quindi max A non esiste.

• Non tutti gli insiemi hanno maggioranti, per esempio A = non

Osservazione. N

∈ ≤ ∈

ha maggiorante poiché non esiste s tale che n s per ogni n In tal caso

R N.

si scrive sup A = +∞.

• ∅ 6 ⊆

Nell’ipotesi che = A abbia un maggiorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora

R

si dice che A è superiormente limitato. Per esempio A = (0, 1) è superiormente

limitato poiché s = 2 è un maggiorante di A.

Dopo questo intermezzo torniamo alla Proprietà 3, cioè alla completezza di R.

∅ 6 ⊆

L’Assioma della Completezza. è completo, cioè ogni insieme = A supe-

R R

riormente limitato ammette estremo superiore.

In altre termini, se A ha maggioranti, allora esiste sempre il maggiorante più piccolo.

2

• {x ∈

A := : x < 2} è superiormente limitato. Per esempio, s = 1, 5 è

Esempi. R

un maggiorante poiché se x é tale che

2 2

x > 1, 5 x > (1, 5) = 2, 25

6

cioè x = A. Quindi la completezza di implica che esiste s = sup A. Ora si può

R

√ 0

2 2.

verificare che s = 2, cioè s =

0

0

1 n

• ∈ ≥ ⊂

Sia A = 1 + ) : n n 1 Usando la formula del binomio di Newton

N, Q.

n

(cfr. pagina 10) si può verificare che s = 3 è un maggiorante di A. Quindi esiste

s = sup A =: e.

0 • ∈

e = 2, 7182818 . . . / viene chiamato numero di Nepero.

Osservazioni. Q

• Il secondo esempio dimostra che in la proprietà (3) non vale, cioè non è

Q Q

completo. In parole povere questo significa che la retta razionale ha buchi, per

esempio in 2 oppure in e.

Analogamente ai concetti di maggiorante ed estremo speriore possiamo introdurre i

concetti di

8 0. CONCETTI FONDAMENTALI

∅ 6 ⊆

Minoranti ed Estremo Inferiore. Sia = A R.

∈ ≤ ∈

(a) Se r tale che r a per ogni a A, allora r si chiama minorante di A.

R

∈ ≥

(b) Se r è un minorante di A tale che r r per ogni minorante r di A, allora r

R

0 0 0

si chiama estremo inferiore di A. Notazione: inf A := r = minorante più grande di

0

A. ∈

(c) se r = inf A A allora r si chiama anche minimo di A. Notazione: min A := r =

0 0 0

elemento più piccolo di A.

Valgono le seguenti caratterizzazioni:

Osservazioni. (

• ≤ ∀ ∈

r a a A (cioè r è un minorante)

0 0

⇐⇒

r = inf A

0 • ∀ ∃ ∈

ε > 0 a A tale che r + ε > a (cioè r + ε non è più un minorante),

0 0

(

• ≤ ∀ ∈

r a a A

0

⇐⇒

r = min A

0 • ∈

r A.

0

• Se A = [0, 1], allora inf A = min A = 0.

Esempi.

• ∈

Se A = (0, 1], allora inf A = 0 / A quindi min A non esiste.

• Non tutti gli insiemi hanno minoranti, per esempio A = non ha

Osservazione. Z

∈ ≤ ∈

minoranti poiché non esiste r tale che r n per ogni n In tal caso si

R Z.

−∞.

scrive inf A =

• ∅ 6 ⊆

Nell’ipotesi che = A abbia un minorante (e in tal caso ne ha infiniti), allora

R

si dice che A è inferiormente limitato. Per esempio A = (0, +∞) è inferiormente

−1

limitato poiché s = è un minorante di A.

• Se A è superiormente e anche inferiormente limitato, allora si chiama limitato. Per

esempio A = (0, 1] [3, 5) è limitato mentre non lo è.

N

Funzioni

6 ∅

0.1. Se A, B = sono insiemi, allora una funzione da A a B è una legge

Definizione ∈ ∈

(spesso in forma di una formula) che ad ogni a A associa un unico b B. In breve si

scrive →

f : A B, f (a) = b.

Inoltre si chiama

• A il dominio di f ,

• B il codominio di f ,

• {f ∈

f (A) := (a) : a A} l’immagine di f ,

• ∈ ⊂ ×

G(f ) := a, f (a) : a A A B il grafico di f .

Il modulo: Per x definiamo il suo modulo (oppure valore assoluto) come

Esempio. R ( ≥

x se x 0,

|x| := −x se x < 0.

|3| | − −(−4) |x|, ∈

Per esempio = 3, 4| = = 4. Quindi f (x) := x definisce una

R 2

→ ⊂

funzione f : con immagine f (R) = [0, +∞). Il grafico G(f ) è riportato

R R R

nella seguente figura. ∈

Per il modulo valgono le seguente relazioni importanti: Se x, y, l

Osservazioni. R,

allora

• |x| ≥ |x| ⇐⇒

0 e = 0 x = 0.

• |x| ⇐⇒ −l

< l < x < l.

• | − |x| |x| |x|.

x| = e = |x|

xy

• |x · |x| · |y| .

y| = e = |y|

• |x ≤ |x| |y|

+ y| + (disuguaglianza triangolare).

FATTORIALE E COEFFICIENTI BINOMIALI 9

|x|

3

2

1 x

0

–3 –2 –1 0 1 2 3

Il grafico del modulo.

Figura 1.

≤ |x −

|x| − |y|

• y|.

L’importanza del modulo si basa in particolare sulla seguente

Per ogni x, y

Osservazione. R,

|x − y| = distanza tra x e y sulla retta reale

Quindi il modulo ci permette di misurare distanze.

Fattoriale e Coefficienti Binomiali

0.2. Per n definiamo il suo fattoriale

Definizione N (

1 se n = 0,

n! := · · ·

1 2 . . . n se n > 0.

· · ·

Per esempio 4! = 1 2 3 4 = 24.

• n! = numero di permutazioni di n oggetti distinti. Per esempio per

Osservazioni.

tre oggetti a, b, c esistono 3! = 6 permutazioni: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

• ≥ · −

Se n 1 allora vale n! = n (n 1)!.

∈ ≤ ≤

0.3. Per n, k con 0 k n definiamo il coefficiente binomiale

Definizione N

n n!

:= · −

k k! (n k)!

42 4! 24

Per esempio = = 6.

= 2·2

2!·(4−2)!

∈ ≤ ≤

Per n, k con 0 k n vale

Osservazioni. N

nk

• ∈ cioè i coefficienti binomiali sono sempre numeri naturali.

N,

nk

• {1,

= numero di sottoinsiemi di 2, 3, . . . , n} di k elementi. Per esempi l’insie-

90

{1,

me 2, 3, . . . , 89, 90} ha = 622.614.630 sottoinsiemi con 6 elementi. Quin-

6 1

di la probabilita di fare 6 al Superennalotto giocando una scheda è =

622.614.630

0.0000000016061 . . .

n·(n−1)·(n−2)·...·(n−k+1)

nk 4 4·3 12

• = , per esempio = = = 6.

· · · · · 2 1·2 2

1 2 3 ... (k−1) k

Per i coefficienti binomiali valgono le seguenti proprietà.

Osservazioni.

n nn

• ∈

= = 1 per ogni n N.

0

nk n−1 n−1

• = + .

k−1 k

nk n

• = .

n−k

Le prime due regole si possono utilizzare per calcolare coefficienti binomiali con il trian-

golo di Tartaglia. La terza regola stabilisce la simmetria di questo triangolo.

10 0. CONCETTI FONDAMENTALI

n

k=0 =1 =2 =3 =4

k

n=0 1

1 1

=1 3

2

2

.

=

+

per esempio

=2 1 2 + 1 2

2

1

=

=3 1 3 3 1

=4 1 4 6 4 1

Formula del Binomio di Newton

∈ ≤ ∈

Introduciamo dapprima il concetto di sommatoria: Se m, n con m n e a , a , . . . , a

N m m+1 n

allora poniamo per la loro somma

R n

X a := a + a + . . . + a .

m m+1 n

k

k=m

n

P k = 1 + 2 + 3 + . . . + n.

Per esempio k=1

Per le sommatorie valgono le seguente regole

n n n

X X X

• a = a = . . . a .

i

k l

i=m

k=m l=m

n+1

n X

X

• a .

a = k−1

k k=m+1

k=m n n

X X

• · · ∈

r a = r a per ogni r R.

k k

k=m k=m

n l n

X X X

• ≤

a = a + a per ogni m l < n.

k k k

k=m k=m k=l+1

n

n

n X

X

X

• (a + b ).

b =

a + k k

k

k k=m

k=m

k=m 0 ∈

Se inoltre definiamo a := 1 per ogni a allora vale la

R ∈ ∈

0.4 (Formula del Binomio di Newton). Se a, b e n allora

Proposizione R N,

n

n

X

n k n−k

(a + b) = a b .

k

k=0

Per esempio per n = 4 troviamo i coefficienti binomiali necessari nella 4. riga del triangolo

di Tartaglia e quindi risulta:

4 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

· · · · ·

(a + b) = 1 a b + 4 a b + 6 a b + 4 a b + 1 a b

4 3 2 2 3 4

· · ·

= b + 4 ab + 6 a b + 4 a b + a .

Principio di Induzione ∈

Passiamo a un principio che è collegato ai numeri naturali. Dato un numero fisso n N

0

∈ ≥

supponiamo che per ogni n con n n sia data un’affermazione A(n).

N 0 ≥

Verificare che A(n) sia vera per ogni n n , cioè verificare un numero

Problema. 0

infinito di affermazioni.

Per n 1 =: n sia A(n) l’affermazione che vale la formula

Esempio. 0 ·

n (n + 1)

1 + 2 + 3 + ... + n = .

2

PRINCIPIO DI INDUZIONE 11

3·(3+1)

Per esempio A(3): 1 + 2 + 3 = = 6 che è vera. Abbiamo quindi dato un numero

2

infinito di formule da verificare e ovviamente non si può procedere verificandole una per

una.

Per risolvere questo problema useremo il seguente

0.5 (Principio di Induzione). Se

Teorema

• (base dell’induzione) A(n ) è vera, e

0

• (passo induttivo) l’ipotesi A(n) vera implica che anche A(n + 1) è vera,

| {z }

ipotesi dell’induzione

allora A(n) è vera per ogni n n .

0 n·(n+1) ≥

Verifichiamo per induzione che 1 + 2 + 3 + . . . + n = per ogni n 1.

Esempio. 2

1·(1+1)

• Base: Dobbiamo verificare A(1), cioè che vale 1 = che è vero.

2

• Passo induttivo: ≥

Sotto l’ipotesi che A(n) sia vera per un certo n n (non per tutti, quello infatti è da

0

verificare!) dobbiamo verificare che anche A(n + 1) vale. Allora per ipotesi vale

·

n (n + 1)

1 + 2 + 3 + ... + n = 2

quindi risulta ·

n (n + 1)

(1 + 2 + 3 + . . . + n) + (n + 1) = + (n + 1)

2 ·

(n + 1) (n + 2)

= 2

che è esattamente A(n + 1), cioè la formula che si ottiene sostituendo in A(n) il numero

n con (n + 1).

In un certo senso il principio di induzione formalizza l’effetto domino: La base fa cadere

il primo pezzo mentre il passo induttivo afferma che con un pezzo cade anche sempre

quello successivo. Quindi se facciamo cadere il primo pezzo alla fine cadranno tutti i

pezzi.

Consideriamo altre due esempi. ≥ −1,

(Disuguaglianza di Bernoulli). Se x allora

Esempio n ≥ · ∈

(1 + x) 1 + n x per ogni n N.

Per induzione.

Dimostrazione. 0

• ·

Base: Per n = 0 l’affermazione diventa (1 + x) = 1 + 0 x che è vera.

• ∈

Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n vale

N

n ≥ · ∈

(∗) (1 + x) 1 + n x per ogni n N.

Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la disuguaglianza che si ottiene sostituendo

n con n + 1. Perciò moltiplichiamo (∗) con 1 + x 0

n+1 n

· ≥ · ·

(1 + x) = (1 + x) (1 + x) (1 + x) (1 + n x) 2

· ·

= 1 + (n + 1) x + n x

| {z }

≥0

≥ ·

1 + (n + 1) x

che era da verificare.

12 0. CONCETTI FONDAMENTALI

6 ∈

(Progressione Geometrica). Sia 1 = q allora

Esempio R,

n n+1

1 q

X k ∈

q = per ogni n N.

1 q

k=0

Per induzione.

Dimostrazione. 0 0+1

1 q

X k 0

• Base: Per n = 0 l’affermazione diventa che è vera.

q = q = −

1 q

k=0

• ∈

Passo induttivo: Supponiamo che per un certo n vale

N

n n+1

1 q

X k

(#) q = .

1 q

k=0

Sotto questo ipotesi dobbiamo verificare la formula che si ottiene sostituendo n con

n+1

n + 1. Perciò sommiamo su entrabi i lati di (#) la quantità q

n+1 n n+1

1 q

X X n+1

k k n+1 + q

q = q + q = −

1 q

k=0 k=0 n+1 n+1 n+2

− −

1 q + q q

= −

1 q

n+2

1 q

= −

1 q

che era da verificare.

Concludiamo con la seguente domanda.

Dov’è l’errore? Tutti i cavalli sono bianchi.

Sia A(n) l’affermazione “tutti i cavalli in un insieme di n cavalli hanno lo stesso colore”.

• Base: Per n = 1 l’affermazione è ovviamente vera.

• Passo induttivo: Supponendo che in un insieme di n cavalli tutti hanno sempre

lo stesso colore dobbiamo verificare che anche in un insieme di n + 1 cavalli tutti

hanno lo stesso colore. Allora togliendo dall’insieme di n + 1 cavalli un cavallo

rimangono n cavalli che per ipotesi hanno lo stesso colore. Rimettiamo il cavallo

tolto dall’insieme e togliamo un’altro. Di nuovo rimane un insieme con n cavalli

che per ipotesi hanno lo stesso colore. Quindi per transitività tutti i n + 1 cavalli

hanno lo stesso colore.

Inoltre l’altro ieri ho visto un cavallo bianco in televisione e quindi tutti cavalli sono

bianchi. CAPITOLO 1

Successioni Numeriche

Lo scopo di questo capitolo è di studiare il comportamento di un’espressione dipendente

da un parametro naturale n per n sempre più grande, cioe “per n tendente a +∞”.

Iniziamo con la definizione rigorosa di una successione. →

1.1. Una successione numerica è una funzione a : cioè una regola

Definizione N R,

∈ ∈

che fa corrispondere ad ogni n un’unico a(n)

N R.

Generalmente si usa la notazione a := a(n). Inoltre si rappresenta una successione

n

elencando tutti i valori assunti in ordine crescente oppure attraverso una formula che

definisce gli elementi a .

n 1

→ definisce una successione che si può rappresentare

a : a(n) :=

Esempio. N R, n+1

come

1

1 1

1

, , , . . . oppure (a ) =

(a ) = 1, n

n n∈N

n∈N 2 3 4 n + 1 n∈N

Può accadere che una formula che definisce gli elementi a di una successione non ha

n {0,

senso per alcuni valori di n, cioè il dominio di a non è tutto = 1, 2, 3, 4, . . .} ma

N

{n

soltanto un sottoinsieme della forma , n + 1, n + 2, n + 3, . . .}. Comunque anche

0 0 0 0

in questo caso si parla di successioni.

1 {4, →

La formula a := definisce una successione a : 5, 6, 7, . . .} (il

Esempio. R

n n·(n−3)

problema è che qui il denominatore si annulla per n = 0 e n = 3 e quindi non sono

definiti gli elementi a e a ). In questo caso si scrive

0 3

1

(a ) =

n n≥4 · −

n (n 3) n≥4

Altri esempi di successioni sono

• (2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .) (successione dei numeri primi),

n

1

• 1 + ,

n n≥1

n 0 1 2 3

• ∈

(q ) = (q , q , q , q , . . .) per un q fisso (successione geometrica).

R

n∈N

Convergenza, Divergenza e Irregolarità per Successioni

Come già accennato sopra vogliamo studiare il seguente

Studiare il comportamento degli elementi a di una successione (a )

Problema. n n n∈N

per n sempre più grande.

Consideriamo alcuni 1 12 13 14 1

• = 1, , , , , . . . gli elementi

Per la successione (a ) =

Esempi. n n∈N n 5

n≥1 n≥1

tendono a l = 0 se n diventa sempre più grande.

• Per la successione (a ) = (n) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .) gli elementi superano

n n∈N n∈N n∈N

qualsiasi valore fissato se n diventa sempre più grande.

n

• −1, −1, −1,

Per la successione (a ) = ((−1) ) = (+1, +1, +1, . . .) gli

n n∈N n∈N n∈N

−1

elementi oscillano tra i valori e 1.

Nelle seguenti definizioni formalizziamo questi tre tipi di comportamenti per le succes-

sioni. 13

14 1. SUCCESSIONI NUMERICHE

1.2 (Successione convergente). (i) Si dice che la successione (a ) è

Definizione n n∈N

∈ ∈

convergente al limite l se per ogni ε > 0 esiste n tale che

R N

0

|l − | ≥

a < ε per ogni n n .

n 0

In questo caso si scrive → →

lim a = l oppure a l per n +∞

n n

n→+∞

(ii) Se lim a = 0, allora (a ) si chiama successione infinitesima.

n n n∈N

n→+∞

Vogliamo verificare che

Esempio. 1

lim = 0.

n

n→+∞

Perciò è da verificare che per ε > 0 esiste n tale che

0 1

1 1

− ⇐⇒

0 = < ε n > .

n n ε

1

∈ allora

Quindi, se scegliamo n tale che n >

N

0 0 ε

1

− ≥

0 < ε per ogni n n ,

0

n

1

1

= 0, in altre parole è infinitesima.

cioè lim n n n≥1

n→+∞ 1.3 (Unicità del limite). Il limite di una successione (a ) , se esiste,

Proposizione n n∈N

è unico. 1

Per assurdo supponiamo che esiste una successione (a ) tale che

Dimostrazione. n n∈N

lim a = l e lim a = l

n 1 n 2

n→+∞ n→+∞

|l −l |

1 2

∈ 6 ∈

con l , l e l = l . Allora ε := > 0 e quindi esistono n , n tale che

R N

1 2 1 2 1 2

4

|l − | ≥ |l − | ≥

a < ε per ogni n n e a < ε per ogni n n

1 n 1 2 n 2

}

Usando la disuguaglianza triangolare risulta per N := max{n , n

1 2

|l − | |(l − − ≤ |l − | |a − |

l = a ) + (a l )| a + l

1 2 1 2 1 2

N N N N

|l −l |

1 2

< ε + ε = 2ε = .

2

1 E.

|l − |

Dividendo per l > 0 segue 1 < Quindi il limite è unico.

1 2 2 n 12

Utilizzando la definizione di convergenza verificare che lim = .

Esercizio. 2n+5

n→+∞

1.4 (Successione divergente). Si dice che la successione (a )

Definizione n n∈N

• ∈ ≥

diverge a +∞, se per ogni M > 0 esiste n tale che a > M per ogni n n

N

0 n 0

e in questo caso si scrive → →

lim a = +∞ oppure a +∞ per n +∞;

n n

n→+∞

• −∞, ∈ ≥

diverge a se per ogni M < 0 esiste n tale che a < M per ogni n n

N

0 n 0

e in questo caso si scrive

−∞ → −∞ →

lim a = oppure a per n +∞.

n n

n→+∞

• −∞.

diverge se diverge a +∞ oppure

Per esempio lim n = +∞. Se (a ) ammette limite finito (cioè se converge) oppure

n n∈N

n→+∞

infinito (cioè se diverge), allora si dice regolare. Rimane quindi la classe delle successioni

che non ammettono limite.

1

Per i tre principali modi di dimostrazioni cfr. pagina 151.

REGOLE PER IL CALCOLO DEI LIMITI 15

1.5 (Successione irregolare). Se la successione (a ) non è convergente

Definizione n n∈N

né divergente allora si dice irregolare (oppure oscillante).

n

Per esempio la successione ((−1) ) è irregolare. Più in generale consideriamo il

n∈N

seguente n

(Successione geometrica). Per q fisso definiamo a := q . Allora la

Esempio R n

successione geometrica (a )

n n∈N

(i) diverge a +∞ se q > 1, ∈

(ii) è costante (cioè a = a per ogni n se q = 1 e quindi lim a = a = 1,

N)

n 0 n 0

n→+∞

|q|

(iii) è infinitesima se < 1,

≤ −1.

(iv) è irregolare se q −

Verifichiamo soltanto (i). Per ipotesi q > 1 e quindi q 1 > 0. Per la

Dimostrazione.

disuguaglianza di Bernoulli segue n

n

− ≥ · − ∈

q = 1 + (q 1) 1 + n (q 1) per ogni n N.

−1

M

∈ . Allora risulta che

Ora per M > 0 scegliamo n con n >

N

0 0 q−1 −

M 1

n · − ≥

≥ · − ≥ · − (q 1) = M per ogni n n .

q 1 + n (q 1) 1 + n (q 1) > 1 + 0

0 −

q 1

n

Quindi lim q = +∞ per ogni q > 1.

n→+∞

Consideriamo un’altra successione importante. α

(Successione armonica). Per α fisso definiamo a := n . Allora la

Esempio R n

successione armonica (a )

n n≥1

(i) diverge a +∞ se α > 0, ∈

(ii) è costante (cioè a = a per ogni n se α = 0 e quindi lim a = a = 1,

N)

n 0 n 1

n→+∞

(iii) è infinitesima se α < 0,

Il prossimo risultato dà una condizione necessaria per la convergenza di una successione. ∈

1.6. Una successione convergente (a ) è limitata, cioè esistono m, M

Proposizione n n∈N

tale che

R ≤ ≤ ∈

m a M per ogni n N.

n ∈ |l − |

Se l := lim a allora per ε = 1 esiste n tale che a < 1 ,

Dimostrazione. N

n 0 n

n→+∞

− ≥

cioè l 1 < a < l + 1, per ogni n n . Quindi per

n 0

− } }

m := min{l 1, a , a , . . . , a e M := max{l + 1, a , a , . . . , a

−1 −1

0 1 n 0 1 n

0 0

≤ ≤ ∈

segue m a M per ogni n cioè (a ) è limitata.

N,

n n n∈N

Il contrario della proposizione precedente non vale, cioè una successione limitata non

n

deve essere convergente, basta considerare la successione ((−1) ) che è limitata ma

n∈N

non converge.

Cerchiamo ora modi per semplificare lo studio della convergenza di una successione senza

dover verificare direttamente la definizione.

Regole per il Calcolo dei Limiti

Data una successione “complicata” (a ) , studiare la sua convergenza.

Problema. n n∈N

Una soluzione parziale per questo problema fornisce il seguente risultato

1.7 (Regole per il calcolo dei limiti ). Siano (a ) , (b ) due succes-

Proposizione n n

n∈N n∈N

→ → → →

sioni convergenti con a l e b l per n +∞. Allora per n +∞

n 1 n 2

± → ±

(i) a b l l ;

n n 1 2

· → ·

(ii) a b l l ;

n n 1 2

16 1. SUCCESSIONI NUMERICHE

l

a → 6

(iii) se l = 0;

n 1 2

b l

n 2 l

b → se l > 0;

(iv) (a ) l 2

n 1

n 1

|a | → |l |.

(v) n 1 · → · →

Verifichiamo solo (ii) cioè che a b l l per n +∞:

Dimostrazione. n n 1 2 |a | ≤

Visto che (a ) converge, per la proposizione precedente esiste M > 0 tale che

n n

n∈N

∈ → → ∈

M per ogni n Inoltre poiché a l e b l , per ogni ε > 0 esiste n tale

N. N

n 1 n 2 0

che ε/2 ε/2

|l − | |l − | ∀ ≥

a < e b < n n .

1 n 2 n 0

|l | |l |

M + M +

2 2

Quindi con la disuguaglianza triangolare segue =0

}| {

z

|l · − · | · −a · · −a ·

l a b = (l l l ) + (a l b )

1 2 n n 1 2 n 2 n 2 n n

≤ | · − · | | · − · |

l l a l + a l a b

1 2 n 2 n 2 n n

|l − | · |l | |a | · |l − |

= a + b

1 n 2 n 2 n

ε/2 ε/2

≤ · |l | ·

+ M

2

|l | |l |

M + M +

2 2

|l | M

2

· ·

= ε/2 + ε/2

|l | |l |

M + M +

2 2

| {z } | {z }

≤1 ≤1

≤ ∀ ≥

ε/2 + ε/2 = ε n n ,

0

· → · →

cioè a b l l per n +∞.

n n 1 2

• Calcolare, se esiste, il seguente limite

Esempi. 2 −

7n 2n + 3

lim .

2

−3n −

+ n 1

n→+∞

L’espressione rappresenta il rapporto da due successioni ma scritto cosı̀ non si

a

può ancora utilizzare la regola per poiché sia il numeratore sia il denumeratore

n

b

n

divergono. Comunque basta mettere in evidenza nel numeratore e nel denumeratore

2

la quantità che cresce più rapidamente, in questo caso n . Utilizzando le regole per

somma, differenza, prodotto e rapporto otteniamo

2

→7−2·0+3·0 =7

z }| {

2 3

2 · −

n (7 + )

2 −

7n 2n + 3 7

2

n n →−

= 1 1

2

−3n −

+ n 1 3

2 −

·

n (−3 + )

2

n n

| {z }

2

→−3+0−0 =−3

• Calcolare, se esiste, il limite √ √

lim n +3 n.

n→+∞

Non si può applicare direttamente la regola per le differenze poiché i due termini

2 2

− · −

divergono entrambi. Per procedere si sfrutta la formula (a b) (a + b) = a b :

√ √

√ √

√ √ n +3+ n

− − · √

n +3 n = n +3 n n +3+ n

n +3 n 3 3

√ √ →

√ √

= = =0

+∞

n +3+ n n +3+ n

Qui l’ultimo passaggio viene giustificato dalla seguente

REGOLE PER IL CALCOLO DEI LIMITI 17

Le regole per il calcolo dei limiti si possono estendere alle successioni

Osservazione. ∈

divergenti se al limite si ottiene una delle seguenti forme determinate: Per ogni a R

definiamo (

±∞ se a > 0 a

± ∞ ±∞ ± ∞ ·

+ a := a := := 0

±∞

∓∞ se a < 0

±∞ · · −∞

(±∞) + (±∞) := (±∞) (±∞) := +∞ (±∞) (∓∞) :=

( (

+∞ se q > 1 0 se q > 1

−∞

+∞ 0

q := q := q := 1 se q > 0

0 se 0 < q < 1 +∞ se 0 < q < 1

→ −3 → · → −3 · −∞

Per esempio, se a e b +∞ allora a b (+∞) = oppure

n n n n

−3

a → = 0.

n

b +∞

n a

La forma determinata = 0 si può generalizzare: Sia (a ) limi-

Osservazione. n n∈N

±∞ a →

∈ ≤ ≤ ∈ 0

tata, cioè esistono m, M tale che m a M per ogni n Allora n

R N.

n b n

· →

per ogni successione divergente (b ) e a c 0 per ogni successione infinitesima

n n n

n∈N

(c ) . Quindi possiamo definire altre 2 forme determinate

n n∈N “limitata” ·

=0 e “limitata” 0 = 0.

±∞

Esempi concreti sono dati da n

sin(n) 2 1

→ · →

0 e cos(n ) 0.

√ 3

n √ n

1

→ → →

−1 ≤ ≤ ∈ n +∞ e 0 per n +∞.

in quanto sin(x), cos(x) 1 per ogni x R, 3

Con le forme determinate abbiamo esteso le operazioni algebriche in

Osservazione.

alcuni casi per gli elementi dei numeri reali estesi

∪ {−∞,

:= +∞}.

R R

Non si possono però definire tutte le operazioni tra elementi in per esempio le seguenti

R,

operazioni rappresentano forme indeterminate: 0

− ·

(±∞) (±∞) 0 (±∞) 0

±∞ a ±∞

per ogni a 1

R

±∞ 0

0 0

(±∞) 0

Quindi se per la composizione di due successioni (a ) e (b ) al limite ottenia-

n n

n∈N n∈N

mo una forma indeterminata, allora non si può dire nulla sul comportamento della

composizione avendo soltanto informazioni sulla convergenza o divergenza di (a ) e

n n∈N

(b ) .

n n∈N −

Verifichiamo che (+∞) (+∞) è indeterminata, cioè sapendo soltanto che

Esempio.

→ → − →

a +∞ e b +∞ non si può dire nulla sul comportamento di a b per n +∞.

n n n n

Basta considerare b := n e

n

• ⇒ − →

a := n a b = 0 0, cioè la differenza converge;

n n n 1

2 2 2

• ⇒ − − − → ·

a := n a b = n n = n (1 ) +∞ 1 = +∞, cioè la differenza

n n n n

diverge; n n

• ⇒ −

a := n + (−1) a b = (−1) , cioè la differenza è irregolare.

n n n

Le regole per il calcolo dei limiti manifestano che il concetto di limite è compatibile con

le operazioni algebriche.

18 1. SUCCESSIONI NUMERICHE

Calcolare il limite

Esercizio. √ q

2

· − −

lim n 5 5 .

n

n→+∞

√ 5

(Risultato l = ).

5

Continuiamo studiando il comportamento tra

Limiti e Ordinamento

≤ ∈

→ → → ∈ e a b per ogni n allora

Se a l e b l per n +∞ con l , l R N,

n n

n 1 2 1 2

• ≤

l l (Teorema del Confronto);

1 2

• ≤ ≤ ∈ → →

se inoltre a c b per ogni n e l = l , allora anche c l per n +∞

N

n n n 1 2 n 1

(Teorema dei Carabinieri).

In particolare il Teorema dei Carabinieri è molto utile per studiare successioni complicate

(c ) incastrandole tra 2 successioni (a ) , (b ) più semplici (cioè tra i due

n n n

n∈N n∈N n∈N

carabinieri). • Vogliamo studiare la convergenza della successione (c ) con

Esempi. n n∈N

n

1

c := .

n 2

3 + cos(n )

2 2

−1 ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤

Allora, cos(n ) 1 2 = 3 1 3 + cos(n ) 3 + 1 = 4

⇒ n n n

1 1

1 ≤ ≤ →

per n +∞

2

4 3 + cos(n ) 2

| {z } | {z }

→0 →0

=:a =:b

n n

e di conseguenza lim c = 0.

n

n→+∞

• Verifichiamo che √

n

lim a =1 per ogni a > 0.

n→+∞ √ √

n n

Consideriamo prima il caso a > 1 e poniamo d := a 1 > 0 cioè a = 1 + d

n n

per ogni n Per la disuguaglianza di Bernoulli segue

N. −

a 1

n ≥ · ⇒ ≥ ≥ →

(1 + d ) 1 + n d d 0 per n +∞.

n n

n n |{z}

| {z } →0

=a | {z }

→0

→ → →

n

Di conseguenza d 0 e quindi a = 1 + d 1 + 0 = 1 per n +∞. Se

n n

1

0 < a < 1 poniamo ã := > 1. Da sopra segue quindi

a

√ √ 1

1

n √

n

→ ⇒ → →

ã 1 a = =1 per n +∞.

n 1

Il concetto di limite per una successione (a ) è collegato al compor-

Osservazione. n n∈N

tamento degli elementi a per n sempre più grande. Quindi i primi elementi non influi-

n

scono sulla esistenza oppure sul valore del limite. Nel seguito diremo che una proprietà

per una successione vale definitivamente, se esiste un n tale che tale proprietà vale per

0

n > n . Per esempio la successione (a ) = (n 1000) è positiva definitivamente

0 n n∈N n∈N

poiché a > 0 per ogni n > 1000 =: n .

n 0

• Dal teorema del confronto segue che per una successione (a )

Osservazioni. n n∈N

∈ ∈

convergente al limite l e con a [α, β] definitivamente vale l [α, β]. In particolare

n

segue il Teorema della permanenza del segno: Se (a ) è positiva definitivamente

n n∈N

e lim a = l allora l 0.

n

n→+∞ LIMITI E ORDINAMENTO 19

• Non vale l’osservazione precedente per intervalli aperti oppure disuguaglianze stret-

te. Per esempio, se a > 0 per ogni n e lim a = l allora NON segue l > 0!!

N

n n

n→+∞

Come controesempio basta considerare

1 → →

a := 0 = l per n +∞.

n n + 1 |{z}

6 > 0

| {z }

>0 n∈N

a

• 6

Abbiamo detto che anche per a = 0 è una forma indeterminata. Tuttavia si

0 ∞.

potrebbe pensare che sia invece determinata con il valore Il problema è che non

si può decidere il segno dell’infinito. Si possono seguire 2 strade:

a

∞ ∞ 6

– Si introduce un terzo infinito senza segno e si pone := per ogni a = 0,

0

oppure −∞

– si considerano soltanto gli infiniti e +∞ (come faremo nel seguito) e di

a diventa una forma indeterminata come si vede dal seguente

conseguenza 0 n

(−1) 1 n ·

→ = (−1) n è oscillante.

esempio: a := 0 ma

n n a

n

Il problema posto nell’ultima osservazione si può risolvere parzialmente introducen-

doinfinitesimi con segno. → →

1.8. Sia (a ) una successione infinitesima, cioè a 0 per n +∞.

Definizione n n

n∈N

Se + +

• ≥ →

a 0 definitivamente, allora scriviamo a 0 (oppure lim a = 0 ),

n n n

n→+∞

− −

• ≤ →

a 0 definitivamente, allora scriviamo a 0 (oppure lim a = 0 ).

n n n

n→+∞

Cosı̀ otteniamo altre due forme determinate

a a

±∞ ∓∞

: = se a > 0, : = se a < 0.

± ±

0 0

Inoltre abbiamo

a a

± ∓

: = 0 se a > 0, : = 0 se a < 0.

±∞ ±∞

Con queste definizioni le regole per il calcolo dei limiti restano validi. Per esempio

− a 2

• → → ⇒ −∞,

a 2, b 0 =

n

n n −

b 0

n −1 −

a

• → −1, → ⇒ →

a b +∞ = 0 .

n

n n b +∞

n

Per studiare la convergenza di una successione abbiamo finora avuto biso-

Problema.

gno di avere almeno un candidato per il suo limite. 1 n

Per esempio, come vedremo tra poco la successione (a ) = (1 + ) converge

n n∈N n n∈N

ma ciò non si può dimostrare usando la definizione oppure le regole per il calcolo dei

limiti.

Per risolvere questo problema cerchiamo quindi criteri che implicano la convergenza

senza fare riferimento al limite. Prima ci serve una

1.9. Una successione (a ) si dice

Definizione n n∈N

• ≥ ∈

crescente, se a a per ogni n N,

n+1 n

• ≤ ∈

decrescente, se a a per ogni n N,

n+1 n

• monotona, se è crescente oppure decrescente.

Il seguente risultato è molto importante. Se (a ) è monotona, al-

1.10 (Convergenza delle successione monotone).

Teorema n n∈N

lora ammette limite. Questo limite è finito, cioè (a ) converge, se (a ) è limitata.

n n

n∈N n∈N

Inoltre vale ( ∈

sup{a : n se (a ) è crescente,

N}

n n n∈N

lim a =

n ∈

inf{a : n se (a ) è decrescente.

n→+∞ N}

n n n∈N

20 1. SUCCESSIONI NUMERICHE

Verifichiamo soltanto che una successione crescente e limitata conver-

Dimostrazione. ∈ ∈

ge. Per la completezza di esiste l := sup{a : n Sia ε > 0. Allora usando la

R N} R.

n

caratterizzazione dell’estremo superiore segue che

≤ ⇐⇒ ≤ − ∀ ∈

a l 0 l a n e

N

n n ⇐⇒ −

∃ < ε.

l a

tale che l ε < a

a n

n

n 0

0

0

Usando inoltre la crescenza di (a ) otteniamo

n n∈N ≥

≤ − ≤ − < ε per ogni n n

0 l a l a 0

n n

0

|l − | ≥

e quindi a < ε per ogni n n , cioè lim a = l.

n 0 n

n→+∞

Per dimostrare l’importanza di questo risultato consideriamo due applicazioni. Inoltre

sarà utilizzato per dimostrare il “Teorema degli Zeri”, cfr. pagina 46.

∈ ≥

Il Metodo di Erone. Per a > 0, k con k 1 definiamo la successione (x )

N n n∈N

come x : = 1

0 1 a

· −

x : = (k 1)x +

n+1 n k−1

k x n ∈

In questo caso non è data una formula per calcolare direttamente x per un valore n N,

n

ma una regola per calcolare il termine successivo x della successione conoscendo

n+1

quello precedente x . Questo modo di definire una successione si dice per ricorrenza ed

n

è legata al principio di induzione. Nel seguente grafico è riportato come viene costruito

x da x :

n+1 n --

k

x a x

x x

n+1 n

-- a Il metodo di Erone.

Figura 2. k −

si traccia in x = x la retta tangente al grafico della funzione f (x) = x a che poi

n

interseca l’asse-x in x (come verificheremo a pagina 55). In particolare si vede che

n+1

(x ) è

n n∈N

• ≥

definitivamente decrescente (per n 1), e

• ≥ ∈

limitata (x 0 per ogni n N).

n ∈

Quindi per il teorema precedente esiste r [0, +∞) tale che

lim x =: r

n

n→+∞

converge. Per calcolare r notiamo che anche lim x = r e poi usiamo le regole per

n+1

n→+∞

il calcolo dei limiti: Per n +∞ vale

1 a 1 a

← · − → · −

r x = (k 1) x + (k 1)r + ,

n+1 n k−1 k−1

k k r

x n

|{z}

→r | {z }

k−1

→r

quindi a

1 k

· − ⇒

r = (k 1)r + r = a

k−1

k r

CONFRONTO TRA SUCCESSIONI 21

cioè abbiamo “costruito” √

k

r =: a = radice k-esima di a. e

Interesse Composte e il Numero “e” di Nepero. Se un capitale di 1 viene

e

investito a 100% di interesse annuale, allora dopo un anno il capitale è di

1 n

,

a := 1 +

n n

se l’interesse viene pagato ogni n-esimo dell’anno. Quindi ci si può chiedere che cosa

succede se gli interessi vengono pagati dopo periodi sempre più brevi: per esempio dopo

• ⇒

ogni mese: n = 12 a = 2, 61303529 . . .,

12

• ⇒

ogni giorno: n = 365 a = 2, 71456748 . . .,

365

• ⇒

orni ora: n = 8760 a = 2, 71812669 . . .,

8760

• ⇒

ogni secondo: n = 31536000 a = 2, 71828178 . . .

31536000

etc. Visto che per n crescente si accumulano sempre più interessi composti, la successione

1 n

(a ) = (1 + ) è crescente. Quindi (a ) è

n n

n∈N n∈N

n n∈N

• crescente, e

• ∈ ∈

limitata in quanto a [2, 3] per ogni n (usare la formula del binomio di

N

n

Newton).

Quindi per il teorema precedente sulla convergenza delle successioni monotone (a )

n n∈N

converge e si pone 1 n

= Numero di Nepero.

e := lim 1 + n

n→+∞ ∈ ∈

Per il teorema del confronto vale e [2, 3]. Si può verificare che e / e

Q

e = 2, 718281828459045 . . .

Confronto tra Successioni

a

1.11. Se per due successioni si ha lim = 1, allora si dice che (a )

n

Definizione n n∈N

b n

n→+∞

∼ →

e (b ) sono asintotiche e si scrive a b per n +∞.

n n n

n∈N • ∼ →

Se a b per n +∞, allora (a ) e (b ) hanno lo stesso

Osservazioni. n n n n

n∈N n∈N

comportamento asintotico, cioè

⇐⇒

– (a ) converge (b ) converge e in tal caso lim a = lim b ;

n n n n

n∈N n∈N n→+∞ n→+∞

⇐⇒

– (a ) diverge (b ) diverge e in tal caso lim a = lim b ;

n n n n

n∈N n∈N n→+∞ n→+∞

⇐⇒

– (a ) è irregolare (b ) è irregolare.

n n

n∈N n∈N

• “∼” è una relazione di equivalenza sull’insieme delle successioni, cioè

∼ →

– a a per n +∞ (reflessività),

n n

∼ ⇒ ∼ →

– a b b a per n +∞ (simmetria),

n n n n

∼ ∼ ⇒ ∼ →

– a b e b c a c per n +∞ (transitività).

n n n n n n

Il seguente principio è spesso utile per semplificare il calcolo dei limiti.

0 0 0

∼ ∼ ∼ →

1.12 (Principio di Sostituzione). Se a a , b b e c c per n +∞,

Teorema n n n

n n n

allora 0 0

· ·

a b a b

n n n n

∼ →

per n +∞.

0

c c

n n

0

a

0 0 a

· ∼ · ∼ →

In particolare a b a b e per n +∞.

n n

n n 0

n n b b

n n

Quindi in prodotti e rapporti si possono sostituire successioni con altre successioni asin-

totiche senza cambiare il comportamento asintotico, in particolare senza cambiare il

limite se esiste.

22 1. SUCCESSIONI NUMERICHE

3 2 3

• − − ∼ →

2n 5n 3n + 11 2n per n +∞ poiché

Esempi.

3 2

− −

2n 5n 3n + 11 5 3 11

− − → − − →

=1 + 1 0 0+0=1 per n +∞.

3 2 3

2n 2n 2n 2n

n+5 5

• ∼ → →

n + 5 n poiché = 1 + 1 per n +∞. Quindi per il principio di

n n

3 3

sostituzione segue (n + 5) n e

3 2 3 3 2

− − − −

2n 5n 3n + 11 2n 2n 5n 3n + 11

∼ →

= 2 2 = lim .

3 3 3

(n + 5) n (n + 5)

n→+∞

È doveroso fare la seguente vale per somme, differenze o

Il principio di sostituzione !!! NON !!!

Osservazione. 0 0

∼ ∼

potenze, cioè se a a e b b allora

n n

n n

0 0

• 6⇒ ∼ →

a + b a + b per n +∞,

n n n n

0 0

• 6⇒ − ∼ − →

a b a b per n +∞,

n n n n

0

0

b b

• 6⇒ ∼ →

(a ) (a ) per n +∞,

n n

n n 0 0

• ∼ −n ∼ −n

(per la somma) a := n + 1 n =: a e b := =: b

Controesempi. n n

n n

0 0

− −

ma a + b = (n + 1) n = 1 e a + b = n n = 0 non sono asintotiche in quanto

n n n n

ammettono limiti diversi. 0 0

1 1

b n

• ∼ ∼

(per la potenza) a := 1 + 1 =: a e b := n n =: b ma (a ) = (1 + )

n

n n n

n n

n n

0

0 b n

e (a ) = 1 = 1 non sono asintotiche sempre poiché ammettono limiti diversi.

n

n

Concludiamo questo capitolo con un criterio che è utile per studiare limiti che coinvol-

gono radici n-esime.

1.13. Se (a ) è una successione tale che a > 0 definitivamente e

Proposizione n n

n∈N

a

n+1

lim =: q esiste, allora segue che anche

a

n

n→+∞ √

lim a = q.

n n

n→+∞

a 1

n+1

n+1 →

= 1 + 1 e quindi

Sia a = n. Allora =

Esempio. n a n n

n √

n

lim n = 1.

n→+∞

√ √

n n! n n

Calcolare, se esiste, lim . (Suggerimento: n = n )

Esercizio. n

n→+∞

CAPITOLO 2

Serie numeriche

Consideriamo il seguente

Sommare tutti gli elementi di una successione (a ) , cioè dare senso alla

Problema. n n∈N

somma infinita +∞

X

a + a + a + a + . . . = a .

0 1 2 3 k

k=0

L’idea per risolvere questo problema è di considerare prima le somme parziali (oppure

ridotte) n-esime n

X ∈

s := a + a + a + . . . + a = a , n N

n 0 1 2 n k

k=0

e poi mandare n +∞. Convergenza e prime Proprietà

+∞

P a

2.1. Diremo che la serie numerica

Definizione k

k=0 +∞

P

• ∈ a = s;

converge alla somma s se lim s = s e in questo caso scriveremo

R, n k

n→+∞ k=0

+∞

P

• ±∞, ±∞ ±∞;

diverge a se lim s = e in questo caso scriveremo a =

n k

n→+∞ k=0

• è irregolare (oppure oscillante), se (s ) è irregolare.

n n∈N

+∞

P

Quindi studiare una serie a significa studiare la successione delle somme parziali

k

k=0

(s ) .

n n∈N • ∈

Serie geometrica. Se q allora

Esempi. R  1 |q|

se < 1,

+∞ 1−q

X k 2 3 4

q = 1 + q + q + q + q + . . . = ≥

+∞ se q 1,

k=0 ≤ −1.

è irregolare se q

◦ k ∈

1 caso q = 1: Se q = 1 allora q = 1 per ogni k e quindi

Dimostrazione. N

0 1 2 n → ∞.

s = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 = n + 1

n

◦ 6

2 caso q = 1: In questo caso le somme parziali valgono (cfr. pagina 12)

n+1

− 1 q

1 q

0 1 2 n n

− ·

s = q + q + q + . . . + q = = q .

n − − −

1 q 1 q 1 q

La tesi ora segue dal comportamento della successione geometrica, cfr. pagina 15

23

24 2. SERIE NUMERICHE

• Serie armonica. +∞ 1 1 1 1 1

X = 1 + + + + + . . . = +∞.

k 2 3 4 5

k=1

Idea della dimostrazione.

+∞

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X =1+ + + + + + + + + + ... + + ...

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16

k=1 | {z } | {z } | {z }

14 18 1

1 12 12

≥2· ≥4· ≥8·

= = =

2 16

1 1 1 1

≥ 1+ + + + + . . . = +∞.

2 2 2 2

Useremo la divergenza della serie armonica per dimostrare che

Osservazione.

(teoricamente) si può costruire una scala autoportante che superare qualsiasi di-

stanza. Perciò consideriamo gradini della lunghezza l = 2 e del peso 1 che sistemia-

mo uno sul altro (senza usare colle o fissaggi) in maniera di superare una distanza

massima. Usando solo 2 gradini è molto semplice: dobbiamo sistemare il gradino

sotto tale che lo spigolo capita esattamente sotto il (bari)centro del gradino sopra:

1

Continuiamo e sistemiamo un terzo gradino sotto i primi due: Se x indica lo sbalzo

l=2

s = baricentro

Scala autoportante: 2 gradini.

Figura 3.

del secondo al terzo gradino, dalla legge della leva (cfr. grafico) segue

±

baricentro 2 gradino: peso 1

1 ± gradino: peso 1

baricentro 1

s ±

= spigolo 2 gradino

s

s

s

s x

1--x

x

1--x ±

spigolo 3 gradino

Scala autoportante: 3 gradini.

Figura 4. 12

· − · ⇒

1 (1 x) = 1 x x = .

Continuando in questa maniera arriviamo al punto in cui dobbiamo sistemare il

(n + 1)-esimo gradino sotto quelli n precedenti. Come prima dobbiamo piazzare il

gradino sottostante in maniera che lo spigolo capita esattamente sotto il baricentro

del corpo fatto dai n = (n 1) + 1 gradini sovrastanti. Visto che

– lo spigolo del n-esimo gradino capita esattamente sotto il baricentro del corpo

− −

fatto dai primi (n 1) gradini (e quindi dal peso n 1) e

– la distanza tra lo spigolo del n-esimo gradino e il suo baricentro è 1

CONVERGENZA E PRIME PROPRIETÀ 25

±

baricentro n gradino: peso 1

baricentro primi (n-1) gradini: peso n-1

± gradino

= spigolo n

s

s x

1--x ± gradino

spigolo (n+1) Scala autoportante: n + 1 gradini.

Figura 5.

sempre per la legge della leva segue (cfr. grafico) 1

· − − · ⇒

1 (1 x) = (n 1) x x = .

n

Cosı̀ con n + 1 gradini abbiamo costruita una scala autoportante che supera la

±

1 gradino

± gradino

2 1

± gradino

3 1/2

±

4 gradino 1/3

± gradino

5 1/4

± gradino

6 1/5

.

.

.

±

(n-1) grad.

±

n gradino 1/(n-1)

± grad.

(n+1) 1/n

½

s n

Scala autoportante che supera (teoricamente) qualsiasi distanza.

Figura 6.

distanza 1 13 1 → →

s := 1 + + + . . . + +∞ per n +∞.

n 2 n

Comunque, con 10.000 gradini di lunghezza l = 2m in questa maniera si superano

appena 9, 21m e per superare 10m servono addirittura 22028!

• Serie di Mengoli. +∞

1 1 1 1 1

X

+ + + ... = = 1.

· · · · ·

1 2 2 3 3 4 4 5 k (k + 1)

k=1 2

Per induzione si può dimostrare (Esercizio!) che

Dimostrazione.

n 1 1

X − → →

s = =1 1 per n +∞.

n ·

k (k + 1) n +1

k=1

1

sopra non si può aggiungere niente senza che crollasse tutto!

2

In alternativa si può usare il seguente trucco:

=1

z }| { n+1

n n n

(k + 1) k 1 1 1 1 1

X X X X

− − −

s = = = =1

n ·

k (k + 1) k k +1 k k n +1

k=1 k=1 k=1 k=2

| {z }

=somma telescopica

26 2. SERIE NUMERICHE

Solo in casi rari è possibile trovare una formula esplicita semplice per le somme parziali

di una serie. Di conseguenza si pone il seguente +∞

P

Come si può studiare la convergenza di una serie a senza conoscere

Problema. k

k=0

una formula semplice per le somme parziali s ?

n

Evidenziamo che cosı̀ non chiediamo più di calcolare la somma della serie ma soltanto

di verificare che la somma esiste e sia finita. Iniziamo con la seguente

+∞

P a converge, allora lim a = 0.

2.2 (Condizione necessaria). Se

Proposizione k k

k→+∞

k=0

+∞

P a , cioè s = lim s . Allora anche lim s = s e

Sia s :=

Dimostrazione. n n−1

k n→+∞ n→+∞

k=0

− −

quindi lim (s s ) = s s = 0. Cosı̀ risulta

n n−1

n→+∞

− −

s s = (a + a + a + . . . + a + a ) (a + a + a + . . . + a )

n n−1 0 1 2 n−1 n 0 1 2 n−1

→ →

= a 0 per n +∞.

n

Evidentemente questa condizione è soltanto necessaria ma non sufficiente per la conver-

genza come si vede dalla serie armonica. Come vedremo nel seguente paragrafo l’ordine

in ci aiuta a risolvere il problema posto sopra.

R Serie a Termini Positivi

≥ ∈ ≥

Se a 0 per ogni k allora s = s + a s e quindi (s ) è crescente.

N, n+1 n n+1 n n n∈N

k

Quindi possiamo usare il teorema sulla convergenza delle successioni monotone (cfr.

+∞

P

pagina 19) per studiare il comportamento della serie a . In questa maniera otteniamo

k

k=0

≥ ∈ ≥

2.3. Se a 0 per ogni k (basta anche a 0 definitivamente), allora

Teorema N

k k

+∞ (

converge se e solo se (s ) è limitata,

n n∈N

X

la serie a

k diverge a +∞ se e solo se (s ) non è limitata.

n n∈N

k=0

Quindi per una serie a termini positivi basta verificare la limitatezza della successione

delle somme parziali per ottenere convergenza. Inoltre risulta che una serie a termini

positivi non può essere irregolare.

Consideriamo la serie a termini positivi

Esempio. +∞ 1

X = serie esponenziale

k!

k=0 ≥

Per verificare la convergenza osserviamo che per k 2 vale k

k−1 1 1 1

· · · · ≥ ⇒ ≤ ·

k! = 1 2 3 . . . k 2 =2 .

k−1

k! 2

2

| {z }

k−1

≥2·2·...·2=2

Questa relazione vale però anche per k = 0 e k = 1 e quindi risulta che

n n +∞ 2

k k

X X X

1 1 1

≤ · ≤ · ∈

s = 2 2 = =4 per ogni n N.

n k! 2 2 1

1 2

k=0 k=0 k=0 +∞ 1

P

Quindi (s ) è limitata e di conseguenza s := converge. Inoltre dal teorema del

n n∈N k!

k=0

confronto segue che s 4. SERIE A TERMINI POSITIVI 27

In seguito dimostreremo che s = e, cioè

Osservazione. +∞ 1

X = e.

k!

k=0

Nell’esempio precedente per dimostrare la convergenza della serie esponenziale l’abbiamo

12

confrontata con la serie geometrica con q = . Nel seguente risultato generalizziamo

questa idea e consideriamo 2 serie qualsiasi. ≤ ≤

2.4 (Criterio del confronto). Sia 0 a b definitivamente. Allora

Proposizione k k

+∞

+∞ X

X ⇒

converge converge

a

b k

k k=0

k=0

{z } {z }

|

|

Maggiorante Minorante

oppure +∞ +∞

X X

a diverge diverge

b

k k

k=0 k=0

| {z } {z }

|

Minorante Maggiorante

+∞

X 1 1 1

≥ ≥

Consideriamo la serie . Visto che per ogni k 1 segue dalla

√ √

Esempio. k

k k

k=1

+∞ +∞

X X

1 1

divergenza della serie armonica la divergenza di .

k k

k=1 k=1

Del criterio precedente esiste anche una versione asintotica. ≥

2.5 (Criterio del confronto, versione asintotica). Sia a 0 e b > 0

Proposizione k k

definitivamente tali che esista b

k ∈

lim =: l R.

a

k→+∞ k

Allora +∞

+∞

X X

⇒ a converge

b converge k

k k=0

k=0

oppure +∞ +∞

X X

a diverge b diverge

k k

k=0 k=0

6 ∼ →

Se inoltre l = 0 (in particolare se a b per k +∞), allora valgono anche le

k k

implicazioni opposte, cioè

+∞ +∞

X X

⇐⇒

a converge b converge

k k

k=0 k=0

oppure +∞ +∞

X X

⇐⇒

a diverge b diverge

k k

k=0 k=0

28 2. SERIE NUMERICHE

+∞

X 1

Consideriamo la serie . Per studiare la convergenza confrontiamola con

Esempio. 2

k

k=1

+∞

X 1

la serie di Mengoli . Allora

k·(k+1)

k=1 1 ·

k (k + 1) 1

2

k → 6

= = 1 + 1 = l = 0.

1 2

k k

k·(k+1) +∞

X 1

Quindi, visto che la serie di Mengoli converge, converge anche la serie .

2

k

k=1

Usando metodi più sofisticati si può dimostrare che

Osservazione. +∞ 2

1 π

X =

2

k 6

k=1

Data una serie, trovare una serie minorante divergente oppure una serie

Problema.

maggiorante convergente per applicare il Criterio del Confronto.

Una possibilità per affrontare questo problema è di usare come seconda serie la serie

+∞ k

P

geometrica q per q > 0. Sfruttando questa idea si possono dimostrare i seguenti due

k=0

criteri. ≥

2.6 (Criterio del Radice). Sia a 0 definitivamente. Se esiste q :=

Proposizione k

+∞

√ P

a , allora la serie a

lim k k k

k→+∞ k=0

• converge se q < 1,

• diverge se q > 1,

• non si può concludere nulla sul comportamento della serie se q = 1.

k

a

Sia a := per a > 0 fisso. Allora

Esempio. k k

k √ a →

a = 0 = q < 1

k k k

+∞

P

e quindi la serie a converge.

k

k=0

2.7 (Criterio della Rapporto). Sia a > 0 definitivamente. Se esiste

Proposizione k

+∞

a P

k+1 , allora la serie a

q := lim k

a

k

k→+∞ k=0

• converge se q < 1,

• diverge se q > 1,

• non si può concludere nulla sul comportamento della serie se q = 1.

k

a

(Serie Esponenziale). Sia a := per a > 0 fisso. Allora

Esempio k k!

k+1

a k+1 ·

a a k! a

(k+1)!

k+1 →

= = = 0= q< 1

k k

·a

a

a k +1

(k + 1)!

k k! | {z }

=k!·(k+1)

+∞ k

a

P

e quindi la serie converge.

k!

k=0

Concludiamo questa sezione con un importante

SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILI 29

1 ∈

(Serie Armonica Generalizzata). Sia a := per α fisso. Allora sappiamo

Esempio R

k α

k

+∞

P a

per il criterio del confronto che la serie k

k=0

• ⇒ ≤

diverge per α = 1 diverge per ogni α 1,

• ⇒ ≥

converge per α = 2 converge per ogni α 2

dove le implicazioni seguono dal criterio del confronto:

+∞

X

1 1 1

≤ ⇒ ≤

α 1 cioè è un minorante divergente,

α

k k k

k=1

+∞

X

1

1 1

≥ ⇒ è un maggiorante convergente

α 2 cioè

α

2 2

k

k k

k=1

della serie armonica generalizzata.

Mancano però i parametri α (1, 2). Quindi si pone la domanda come si comporta

la serie armonica generalizzata per questi parametri. Come vedremo in seguito (cfr.

pagina 118) vale la seguente.

2.8.

Proposizione +∞ 1

X ⇐⇒

converge α> 1

α

k

k=1

Serie a Termini di Segno Variabili

Abbiamo visto che la serie armonica diverge:

+∞ 1 1 1 1 1

X = 1 + + + + + . . . = +∞.

k 2 3 4 5

k=1 1

Cioè facendo un numero sufficientemente grande di passi di lunghezza in avanti si

k

supera qualsiasi limite.

1 12

+ 13

+ 1

+ 15

+ 16

4 + ! +1

0 1 2 3

Divergenza della serie armonica

Figura 7.

Che cosa succede se dopo ogni passo cambiamo direzione o, in termini

Problema.

matematici, se i termini cambiamo segno? Cioè come si comporta la Serie di Leibniz

+∞ 1 1 1 1 1 ?

X k · −1 − − ±

(−1) = + + . . .

k 2 3 4 5

k=1

Per ottenere una idea tracciamo un grafico simile a quello precedente:

Dalla figura precedente si può avere l’impressione che la serie converge. Ciò è infatti vero

per la 2.9 (Criterio di Leibniz ). Se la successione (a ) è

Proposizione k k∈N

• decrescente, e

30 2. SERIE NUMERICHE

1

+ 2 1

+ 4 1 0

-1+ 2

:::

-1 1

- 3 -1

Convergenza della serie di Leibniz.

Figura 8.

• infinitesima

+∞ k

P ∈

(−1) a =: s converge. Inoltre vale

allora la serie R

k

k=0 |s − | ≤ ∈

s a per ogni n N.

n n+1

Si può verificare che

Osservazione. +∞ 1

X k · −

(−1) = ln(2)

k

k=1

1

Sia a := per α > 0. Allora (a ) è decrescente e infinitesima e quindi

Esempio. k k k∈N

α

k +∞ 1

X k

(−1) converge per ogni α > 0.

α

k

k=1

Confrontando la serie armonica con la serie di Leibniz ricaviamo un’importante

Se

Osservazione. +∞

+∞ X

X |a |

6⇒ converge

a converge k

k k=0

k=0 |

{z } {z }

| convergenza assoluta

convergenza (semplice)

+∞

1

k P

Infatti per a = (−1) la serie a converge mentre

k k

k k=1

+∞ +∞ +∞

1 1

X X X

k

|a | = (−1) = diverge.

k k k

k=1

k=1 k=1

Invece vale il contrario: +∞ +∞

P

P |a | converge, allora converge anche a , cioè la conver-

2.10. Se

Proposizione k k

k=0 k=0

genza assoluta implica la convergenza semplice. +∞

P |a |

Questa proposizione è molto utile in quanto la serie è sempre a termini positivi e

k

k=0

quindi può essere studiata con i criteri per tale serie. Per esempio, applicando il criterio

+∞

P |a |

del rapporto e della radice a otteniamo la seguente

k

k=0

2.11. Se

Proposizione a k+1 p

k |a |

q := lim < 1 oppure q := lim < 1

k

a

k→+∞ k→+∞

k

+∞

P

allora a converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

k

k=0 SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILI 31

k

a ∈

(Serie Esponenziale). Sia a := per a fisso. Allora

Esempio R

k k!

k+1

|a| |a|

a (k+1)!

k+1 →

= 0= q< 1

= k

|a|

a k +1

k k!

+∞

P

e quindi la serie a converge.

k

k=0

Più tardi (vedi pagina 84) dimostreremo che

Osservazione. +∞ k

a

X a ∈

= e per ogni a R.

k!

k=0

Concludiamo con un’osservazione abbastanza sorprendente.

Mentre per una somma finita l’ordine degli addenti non influisce al

Osservazione.

risultato, p.e. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4 + 1 + 3 + 2 = 3 + 1 + 2 + 4 = . . .

ciò in generale non vale per le serie, cioè per somme infinite.

∈ esiste un “riordinamento” della

Per esempio si può verificare che per qualsiasi s R

+∞ 1

k

P

serie di Leibniz , cioè un’ordine per sommare gli elementi della successione

(−1) k

k=1

1

k

(−1) , che converge esattamente alla somma s. In altre parole, sommando gli

k k≥1 1

k

elementi (−1) , k = 1, 2, 3, 4, . . . nell’ordine giusto si può avere qualsiasi somma. In

k

questo senso una somma infinita non è più commutativa, cioè indipendente dall’ordine

degli addendi.

Questo fenomeno, però, si verifica solo per le serie che convergono ma non conver-

gono assolutamente come per esempio la serie di Leibniz. Per una serie che converge

assolutamente invece ogni riordinamento converge alla stessa somma.

CAPITOLO 3

Limiti per Funzioni Reali di una Variabile Reale

⊆ → ⊆

3.1. Una funzione f : X Y si dice funzione reale di una

Definizione R R

variabile reale. In questo caso il grafico

n o 2

∈ ⊂

G(f ) = x, f (x) : x X ,

R

cioè si può disegnare nel piano xy. ≥

Definiamo A(r) := area di un cerchio di raggio r 0. Questa regola definisce

Esempio. 2

und funzione A : [0, +∞) con immagine A(R) = [0, +∞). Inoltre A(r) = πr e

R

2

quindi il grafico G(A) è dato da (parte di) una parabola:

R A(r)

25

20

15

10

5 r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Grafico di A(r).

Figura 9.

Operazioni e Composizione tra Funzioni

Somma, Differenza, Prodotto e Frazioni di Funzioni. Le operazioni algebriche si

possono facilmente estendere dai numeri alle funzioni.

⊆ → ⊆ →

Se f : X e g : X sono due funzioni allora definiamo per

R R R R

1 2

X := X X

1 2

• → ∈

la somma f + g : X (f + g)(x) := f (x) + g(x) per x X;

R,

• − → − − ∈

la differenza f g : X (f g)(x) := f (x) g(x) per x X;

R,

• · → · · ∈

la prodotto f g : X (f g)(x) := f (x) g(x) per x X;

R, f (x)

fg

fg

• → ∈ {z ∈ 6

la frazione : X (x) := per x X := X : g(z) = 0};

R,

0 0

g(x)

Un altro modo per costruire una nuova funzione da due funzioni date è la

→ →

Composizione di funzioni. Se f : X Y e g : Y Z allora la funzione

◦ → ◦ ∈

g f : X Z, (g f )(x) := g f (x) , x X

si dice funzione composta di f e g.

|x| ◦ |x|.

Se f (x) = e g(x) = sin(x) allora (g f )(x) = sin In questo esempio

Esempio. ◦ ◦

possiamo anche considerare f g per il quale si ottiene (g f )(x) = sin(x) . Quindi in

◦ 6 ◦

generale f g = g f . 32

PROPRIETÀ DI FUNZIONI REALI 33

Proprietà di Funzioni Reali

Elenchiamo in seguito alcune proprietà importanti di funzioni reali.

Funzioni Invertibili. →

3.2. Una funzione f : X Y si dice

Definizione

• ∈ 6 6

iniettiva, se per ogni x , x X, x = x si ha f (x ) = f (x ), cioè se per ogni

1 2 1 2 1 2

∈ ∈

y Y esiste al più un x X con f (x) = y;

• ∈ ∈

suriettiva se per ogni y Y esiste almeno un x X con f (x) = y;

• ∈ ∈

biettiva se f è iniettiva e suriettiva, cioè se per ogni y Y esiste un unico x X

con f (x) = y. 2

Consideriamo la funzione f : X Y , f (x) := x per diverse scelte di

Esempio. k k k k

X , Y (k = 1, 2):

R

k k

(a) X = Y = In questo caso

R, R.

1 1 √ √

• ∈ ∈ − 6

per 0 < y Y esistono due x , x X , x = y = x = + y con

1 1 2 1 1 2

2 2

(x ) = (x ) = y e quindi f non è iniettiva;

1 2 1 2

• ∈

per y < 0 non esiste x X tale che f (x) = x = y e quindi f non è suriettiva.

1 1 1

Riassumendo f non è né iniettiva né suriettiva.

1

(b) X = Y = [0, +∞). In questo caso

R,

2 2 √

√ 6

• ∈ ∈ − y = x = + y con

per 0 < y Y esistono due x , x X , x = 2

2 1 2 2 1

2 2

(x ) = (x ) e quindi f non è iniettiva;

1 2 2 √ 2

• ∈ ∈

per y Y definiamo x := + y X che implica f (x) = x = y e quindi f è

2 2 2 1

suriettiva.

Riassumendo f non è iniettiva ma è suriettiva.

2 √

≤ ∈ ∈

(c) X = [0, +∞), Y = In questo caso per 0 y Y x := + y è l’unico x X

R.

3 3 3 3

2 2

∈ ∈

con x = y mentre per 0 > y Y non esiste x X tale che f (x) = x = y. Quindi

3 3 3

• f è iniettiva;

3

• f non è suriettiva.

3

Riassumendo f è iniettiva ma non è suriettiva.

3 √

∈ y è l’unico

(d) X = [0, +∞), Y = [0, +∞). In questo caso per ogni y Y x := +

4 4 4

2

x X con x = y. Quindi

4

• f è iniettiva;

4

• f è suriettiva.

4

Riassumendo f è biettiva.

4

• →

Al livello del grafico G(f ) per una funzione reale f : X Y vale:

Osservazioni. ⇐⇒ ∈

– f è iniettiva ogni retta orizzontale attraverso un punto y Y interseca

G(f ) al più una volta;

⇐⇒ ∈

– f è suriettiva ogni retta orizzontale attraverso un punto y Y interseca

G(f ) almeno una volta;

⇐⇒ ∈

– f è biettiva ogni retta orizzontale attraverso un punto y Y interseca

G(f ) un’unica volta;

cfr. Figura 10

• → →

Una funzione f : X Y è biettiva se e solo se esiste una funzione g : Y X tale

che

◦ ∈

– (g f )(x) = g f (x) = x per ogni x X, e

◦ ∈

– (f g)(y) = f g(y) = y per ogni y Y . −1

In questo caso g è unica, si chiama funzione inversa di f e si scrive f := g.

−1 −1

• ⇐⇒

Dal fatto che f (x) = y x = f (y) segue che i grafici G(f ) di f e G(f ) di

−1

f sono simmetrici rispetto alla bisettrice y = x, cfr. Figura 11. →

Abbiamo visto nell’esempio precedente che la funzione f : [0, +∞) [0, +∞),

Esempio. −1

2 →

f (x) := x è invertibile. In questo caso la funzione inversa f : [0, +∞) [0, +∞) è

−1 −1 1 1

6

data da f (x) = x. In particolare, f (x) = = !!!

2

f (x) x

34 3. LIMITI PER FUNZIONI REALI

(a) (c) (d)

(b)

f f

(x) (x) (x)

f

f (x) 3 4

2

1 y>0 y>0 y>0

y>0

x x x

x x

x x

x

x x

2 2

2

1 1

y<0 y<0

Funzione (a) non iniettiva, non suriettiva; (b) non iniettiva

Figura 10.

ma suriettiva; (c) iniettiva ma non suriettiva; (d) iniettiva e suriettiva

cioè biettiva. 2

f (x) = x √

−1 x

f (x) =

1 x

1 √

−1

2

Grafico di f (x) = x e f (x) = x.

Figura 11. ⊆ →

Funzioni Limitate. Una funzione f : X si dice

R R

• ∈ ≤ ∈

limitata superiormente se esiste M tale che f (x) M per ogni x X;

R

• ∈ ≤ ∈

limitata inferiormente se esiste m tale che m f (x) per ogni x X;

R

• ∈

limitata se è superiormente e inferiormente limitata, cioè se esistono m, M tale

R

≤ ≤ ∈

che m f (x) M per ogni x X.

2

• ∈

f (x) = x , x è inferiormente ma non superiormente limitata;

Esempi. R

3

• ∈

f (x) = x , x non è inferiormente né superiormente limitata;

R

• ∈

f (x) = sin(x), x è limitata, cfr. pagina 38.

R ⊆ ∈ ⇒ −x ∈

Funzioni Simmetriche. Sia X simmetrico rispetto a x = 0 (cioè x X

R

X). Allora f : X si dice

R

• ∈

pari, se f (−x) = f (x) per ogni x X;

• −f ∈

dispari, se f (−x) = (x) per ogni x X.

• ⇐⇒

f è pari il grafico di f è simmetrico rispetto all’asse y;

Osservazioni.

• ⇐⇒

f è dispari il grafico di f è simmetrico rispetto all’origine, cfr. Figura 12

• ∈

Se f è dispari e 0 X (= dominio di f ) allora f (0) = 0.

• Valgono le seguente regole per prodotto e rapporto tra funzioni pari (=p) e dispari

(=d): f

· 1

f f opp. f =p =d

1 2 1

f 2

f =p p d

2 =d d p

Esempi. 2 3

∈ ∈

f (x) = x , x è pari, f (x) = x , x è dispari.

R R

FUNZIONI ELEMENTARI 35

f dispari

f pari x

x

Funzione pari e dispari.

Figura 12.

n ∈

Più in generale si ha: f (x) = x con n è

N

• ⇐⇒

pari n è pari,

• ⇐⇒

dispari n è dispari. ⊆ ∈ →

Funzioni Monotone. Sia X x , x X con x < x . Allora f : X si dice

R, R

1 2 1 2

• ≤

crescente, se f (x ) f (x );

1 2

• strettamente crescente, se f (x ) < f (x );

1 2

• ≥

decrescente, se f (x ) f (x );

1 2

• strettamente decrescente, se f (x ) > f (x ).

1 2

• (strettamente) monotona, se è (strettamente) crescente oppure (strettamente) de-

crescente. 3

• ∈

f (x) = x , x è strettamente crescente;

Esempi. R

2

• ∈

f (x) = x , x non è monotona;

R

2

• ∈

f (x) = x , x (−∞, 0] è decrescente.

⊆ ∈ ∈

Funzioni Periodiche. Sia X e T > 0 tale che x + T X per ogni x X. Allora

R

f : X si dice periodica di periodo T , se T è il più piccolo numero > 0 tale che

R ∈

f (x + T ) = f (x) per ogni x X.

f (x) = sin(x) è periodica di periodo T = 2π.

Esempio. Funzioni Elementari

Nel seguito iniziamo una lista di funzioni elementari che utilizzeremo nello svolgimento

del corso. ∈

Polinomi. Se a , a , . . . , a allora l’espressione

R

0 1 n

n n−1 ∈

p(x) := a x + a x + . . . + a x + a con x R

n n−1 1 0

6

si dice polinomio. Se a = 0 allora n si dice grado di p. Un polinomio della forma

n

n

p(x) = ax si dice anche monomio.

3 2

− −

p(x) = 2x 5x 6x + 1 è un polinomio di grado n = 3.

Esempio.

Funzioni Razionali. Se p e q sono due polinomi di grado n ed m rispettivamente,

l’espressione p(x)

r(x) = q(x)

si chiama funzione razionale con grado n m. Il dominio X della funzione razionale r

{x ∈ 6

è data da : q(x) = 0}.

R 2 −1

2x − −3

è una funzione razionale di grado 2 5 = e con

r(x) =

Esempio. 5 3

−10x

2x +8x

\ {−2, −1,

dominio X = 0, 1, 2}.

R

36 3. LIMITI PER FUNZIONI REALI

Potenze ed Esponenziali. r ∈

Come si può definire a per a > 0 e r per esempio quanto vale

Problema. R,

π

2 = ? r

Per risolvere questo problema, cioè per dare una definizione rigorosa di a , useremo

alcuni risultati del Capitolo 1 procedendo in 2 passi:

pq

◦ ∈ ∈ 6 ∈

1 Caso: r = Se p e 0 = q allora usando le radici (introdotte con il

Q. Z N,

metodo di Erone a pagina 20) definiamo √ √

p 1 p

r p q

p q

a = a

a = a := (a ) =

q q

Per esempio √

√ 3

3 1000

4

− 3,141

1

−3 3141

a a = , 2 := 2 .

:= √

4 4 a

q a, per q pari, deve essere a > 0.

Si osservi che per definire

◦ ∈

2 Caso: r Per semplificare la presentazione consideriamo solo il caso a > 1 e

R.

r > 0, gli altri casi si possono trattare similmente.

Se r ha la rappresentazione r = p, α α α α α . . . α α . . . allora definiamo

R 0 1 2 3 4 n n+1

pα α α α α . . . α

0 1 2 3 4 n ∈

r := p, α α α α α . . . α 000 . . . = Q.

n 0 1 2 3 4 n n+1

10

3141

Per esempio per r = π vale r = 3, 141 = . Cosı̀ abbiamo definito una

2 1000

successione (r ) con le proprietà

n n∈N

∈ ∈

– r per ogni n

Q N,

n ∈ ∈

– r [p, p + 1] per ogni n N,

n −n

≤ − ≤ →

– lim r = r poiché 0 r r = 0, 0 . . . 0α α . . . 10 0 per

n n n+1 n+2

n→+∞

n +∞,

– (r ) è crescente.

n n∈N ∈

Visto che r possiamo definire

Q

n r n

a := a

n x ∈

come nel primo passo. Siccome la funzione a con x per a > 1 è crescente, la

Q

successione (a ) è

n n∈N

– crescente poiché (r ) è crescente, e

n n∈N

p p+1

– limitata poiché a [a , a ].

n

Quindi per il teorema sulle successioni monotone limitate (cfr. pagina 19) il limite

r r

n

a := lim a = lim a

n

n→+∞ n→+∞

r

converge e definisce la potenza a di base a ed esponente r.

3.3. Per le potenze valgono le regole

Proposizione

r s r+s

• · ∈

a a = a per ogni a > 0, r, s R;

r s r·s

• ∈

(a ) = a per ogni a > 0, r, s R;

r r r

• · · ∈

a b = (a b) per ogni a, b > 0, r R.

Fissando la base e facendo variare l’esponente come argomento, oppure il viceversa,

possiamo definire altre 2 funzioni elementari. r

• → ∈

3.4. f : (0, +∞) f (x) := x per r fisso si dice funzione

Definizione R, R

potenza di esponente r.

x

• →

g : g(x) := a per a > 0 fisso si dice funzione esponenziale di base a.

R R, r

Per r 0 si può estendere la funzione potenza x su [0, +∞) definendo

Osservazione.

r r

0 := 0. Inoltre per certi valori di r si può definire x anche per x < 0, per esempio

R

1

2 3 −8 −2.

· = =

x = x x oppure (−8) 3 FUNZIONI ELEMENTARI 37

r

x r>1 r=1

0<r<1

1 r=0

r<0 x

1 La funzione potenza.

Figura 13.

x x

a e

0<a<1 a>1 4

3

2

1

1 a=1 x

x −1,5 −0,5

−1 0,5 1,5

0 1

Funzione esponenziale di base a e funzione esponenziale.

Figura 14.

L’esponenziale più importante è quello in base a = e che si chiama funzione esponenziale

e che fornisce una delle funzioni più importanti della matematica.

Funzioni Iperboliche. Con la funzione esponenziale definiamo le seguenti tre funzioni:

−x

x

e +e ∈

• , x

Coseno Iperbolico cosh(x) := R.

2

−x

x −e

e

• ∈

Seno Iperbolico sinh(x) := , x R.

2 10

sinh(x)

• ∈

Tangente Iperbolico tanh(x) := , x R.

cosh(x) cosh(x) 5

1 x

tanh(x) –2 2

0.5 x –

0

2 1 1 2 5

sinh(x)

– 0.5 –

– 10

1 Le funzioni iperboliche.

Figura 15.

• ≥

cosh è pari e inferiormente limitata. Infatti cosh(x) 1, in parti-

Osservazioni. 6 ∈

colare cosh(x) = 0, per ogni x Il grafico di cosh si chiama anche “catenaria”

R.

in quanto l’andamento è quello caratteristico di una catena che si lascia pendere

(cfr. Figura 16). La catenaria.

Figura 16.

• sinh è dispari e strettamente crescente.

38 3. LIMITI PER FUNZIONI REALI

• −1 ≤ ≤ ∈

tanh è dispari, strettamente crescente e limitata: tanh(x) 1 per ogni x R.

2 2

• − ∈

Vale la relazione cosh (x) sinh (x) = 1 per ogni x R.

Funzioni Circolari. Per definire le funzioni circolari dobbiamo dapprima misurare

angoli in radianti (cfr. Figura 17). 1 Q

x

# P

– 1 1

– 1

Misura di angoli in radianti.

Figura 17. ∈

Quindi l’angolo ϑ = x (radianti), dove x = lunghezza dell’arco P Q [0, 2π) orientato

in senso antiorario. Per x < 0 oppure x 2π si può identificare x con x mod 2π. Per

◦ ◦ ◦

◦ 3π

π −5π

, 180 = π, 270 = , 360 = 2π e 3π mod 2π = π, mod 2π = π

esempio 90 = 2 2

etc.

Introduciamo ora con ϑ = x radianti graficamente le funzioni

1

tan(x)

sin(x) x

– 1 1

cos(x)

– 1

Definizione delle funzioni circolari.

Figura 18.

• ∈

Seno: sin(x), x R,

• ∈

Coseno: cos(x), x R,

sin(x) 2k+1

• ∈ \ { · ∈

Tangente: tan(x) = , x π : k

R Z}.

2

cos(x)

• ≤ ≤ ∀ ∈

cos è pari, limitata (−1 cos(x) 1 x e periodica di

Osservazioni. R)

periodo T = 2π.

• ≤ ≤ ∀ ∈

sin è dispari, limitata (−1 sin(x) 1 x e periodica di periodo T = 2π.

R)

2k+1

• 6 · ∈

tan è definita per x = π, k dispari, né inferiormente né superiormente

Z,

2

limitata ma periodica di periodo T = π.

• Per le funzioni circolari valgono numerose relazioni, per esempio

2

2 ∈

cos (x) + sin (x) = 1 per ogni x (ciò segue dal Teorema di Pitagora, cfr.

R

Figura 18); x−y x+y

− · · ∈

sin(x) sin(y) = 2 sin cos per ogni x, y

R;

2 2

x−y x+y

− −2 · · ∈

cos(x) cos(y) = sin sin per ogni x, y

R.

2 2

Le ultime due relazioni si chiamano formule di prostaferesi.

LIMITI DELLE FUNZIONI REALI 39

sin(x) 1

¼ 3¼

--- ----

– 0

– 2 2

¼

2¼ x

– ¼ 2¼

¼

3¼ ---

----

– 2

2 – 1 tan(x)

¼ 3¼

--- ----

– 2 2

¼ x

– ¼ ¼

3¼ ---

----

– 2

2

cos(x) 1 ¼

¼ ---

---

– 0

– ¼ ¼

2

2 x

– 3¼

2¼ 2¼

----

----

– 2

2 – 1 Grafici di sin, cos e tan.

Figura 19.

Limiti delle Funzioni Reali

⊆ → ∈ consideriamo il seguente

Data una funzione f : X e c R

R R

Studiare il comportamento di f (x) per x vicino (ma differente!) a c.

Problema. →

Se X = e c = +∞, f : diventa una successione (a ) dove

Esempio. N N R n n∈N

a = f (n) e il problema si trasforma nello studio di a per n “vicino a” +∞, cioè ci ha

n n

portato al concetto di limite per le successioni.

Per analizzare questo problema per una funzione qualsiasi ci serve dapprima una

∈ si dice punto di accumulazione dell’ insieme X se esiste

3.5. c

Definizione R R

una successione (x ) con

n n∈N

• ∈ ∈

x X per ogni n N,

n

• 6 ∈

x = c per ogni n N,

n

• lim x = c.

n

n→+∞ ⊂ \ {c}.

I primi 2 punti si possono brevemente scrivere come (x ) X Quindi c è un

n n∈N

\ {c}

punto di accumulazione di X se in X si può avvicinare al punto c.

• c = 3 non è un punto di accumulazione di in quanto non esiste una

Esempi. N

⊂ \ {3}

successione (x ) con lim x = 3.

N

n n

n∈N n→+∞

• c = +∞ è infatti l’unico punto di accumulazione di N.

• −1

c = non è un punto di accumulazione di [0, +∞).

• ⊂

Se I è un qualsiasi intervallo con gli estremi a e b, allora c è un punto di

R ⇐⇒ ∈

accumulazione di I c [a, b].

Ora siamo in grado di generalizzare il concetto di limite dalle successioni alle funzioni

reali arbitrarie. ⊆ →

3.6 (Limiti per le Funzioni ). Sia f : X una funzione reale e sia

Definizione R R

c un punto di accumulazione di X. Allora diremo che

R ∈

f tende a l per x tendente a c

R ⊂ \ {c}

se per ogni successione (x ) X con lim x = c segue che lim f (x ) = l.

n n n

n∈N n→+∞ n→+∞

In questo caso scriviamo → →

lim f (x) = l oppure f (x) l per x c .

x→c

• Il limite, se esiste, è unico.

Osservazioni.

40 3. LIMITI PER FUNZIONI REALI

• Se nel seguito scriviamo “lim f (x)” supponiamo sempre che c sia un punto di

x→c √

accumulazione del dominio X di f . Per esempio lim x non è ammesso poiché

x→−1

−1

c = non è un punto di accumulazione del dominio X = [0, +∞) della radice.

• Il fatto che nella definizione di limite consideriamo soltanto successioni (x )

n n∈N

6 ∈

convergenti a c con x = c per ogni n riflette il fatto che studiamo f (x) per x

N

n

vicino ma differente a c.

• Il concetto di limite per le funzioni come definito sopra si basa su quello del limite

per le successioni. Esiste anche un’altra possibilià di introdurre limiti per le funzioni

che non fa riferimento alle successioni. Questa alternativa dipende però dal fatto

se c ed l sono finiti oppure infiniti e quindi servono molti casi per coprire tutte le

possibilita, cfr. pagina 153 nell’Appendice.

• ≤ | ≤ |x|

lim sin(x) = 0. Dal grafico su pagina 38 si vede che 0 sin(x)| per

Esempi. x→0

∈ ⊂ \ {0}

ogni x Quindi per (x ) con lim x = 0 risulta

R. R

n n

n∈N n→+∞

| ≤ |x | per n +∞

0 < sin(x )|

n n

|{z} |{z}

→0 →0 → →

e per il teorema dei Carabinieri segue sin(x ) 0 per n +∞. Allora lim sin(x) =

n x→0

0 per definizione.

• lim cos(x) = 1. Per la formula di prostaferesi (cfr. pagina 38) segue

x→0 2 x

− −

1 cos(x) = cos(0) cos(x) = 2 sin .

2

⊂ \ {0}

Allora per ogni successione (x ) con lim x = 0 risulta

R

n n

n∈N n→+∞

2 2

x

− → ·

1 cos(x ) = 2 sin 2 0 .

n

n 2

Quindi lim 1 cos(x) = 0 cioè lim cos(x) = 1.

x→0 x→0 |x|

|x| 6

• non esiste. Definiamo f (x) := per x = 0. Allora

lim x x

x→0 f (x)

1

(

1 se x > 0,

f (x) = x

−1 se x < 0. −1

Funzione segno.

Figura 20.

n

(−1) n

→ →

Quindi per x := 0 per n +∞ segue f (x ) = (−1) che non ammette

n n

n

limite per n +∞. Ciò dimostra che lim f (x) non esiste.

x→0 |x| →

Nonostante l’ultimo limite di f (x) = per x 0 non esista, si ha che

Osservazione. x

• f (x) tende a +1 se ci avviciniamo a c = 0 da destra,

• −1

f (x) tende a se ci avviciniamo a c = 0 da sinistra.

Per precisare ciò ci serve una ⊆ →

3.7 (Limite Destro e Sinistro). Sia f : X Diremo che

Definizione R R.

• → → → ≥

x c da destra per n +∞, se x c e x c definitivamente. In questo caso

n n n

+ +

→ →

usiamo la notazione: x c per n +∞ oppure lim x = c .

n n

n→+∞

• → → → ≤

x c da sinistra per n +∞, se x c e x c definitivamente. In questo

n n n

− −

→ →

caso usiamo la notazione: x c per n +∞ oppure lim x = c .

n n

n→+∞

LIMITI DELLE FUNZIONI REALI 41

• → ∈ ⊂ \{c}

f (x) l per x tendente a c da destra, se per ogni successione (x ) X

R n n∈N

+

→ →

con x c segue f (x ) = l per n +∞. In questo caso usiamo la notazione:

n n

+

→ →

f (x) l per x c oppure lim f (x) = l.

+

x→c

• → ∈ ⊂

f (x) l per x tendente a c da sinistra, se per ogni successione (x )

R n n∈N

\ {c} → →

X con x c segue f (x ) = l per n +∞. In questo caso usiamo la

n n

→ →

notazione: f (x) l per x c oppure lim f (x) = l.

x→c

lim f (x) = l e lim f (x) = l si dicono limite destro e limite sinistro rispettivamente.

+

x→c x→c |x|

|x| −1.

• = +1, lim =

lim

Esempi. x x

+ x→0

x→0

1 1

1 1

• −∞.

lim = +∞, lim =

= = −

+

x x

0 0

+

x→0 x→0

• ⇐⇒

lim f (x) = l lim f (x) = l = lim f (x).

Osservazioni. x→c −

+

x→c x→c

• Il concetto di limite destro e sinistro si possono definire anche senza l’utilizzo delle

successioni. Però facendo cosı̀ si devono considerare vari casi secondo le possibilità

∈ ±∞,

c, l c, l = cfr. pagina 153 nell’Appendice.

R,

Limiti ed Asintoti.

• ±∞ ∈

Se lim f (x) = con c allora si dice che f ha un’asintoto verticale x = c.

R,

(±)

x→c

• ∈

Se lim f (x) = l con l allora si dice che f ha un’asintoto orizzontale y = l.

R,

x→±∞ 2k+1 · ∈

• π per k

La funzione tan(x) ha asintoti verticali nei punti x =

Esempi. Z,

k 2

cfr. il grafico a pagina 39.

• −1,

La funzione tanh(x) ha asintoti orizzontali nei punti y = +1, cfr. il grafico su

pagina 37.

Come nel caso delle successioni esistono anche per i limiti delle funzioni. ∈

Regole per il Calcolo dei Limiti. Se lim f (x) = l e lim g(x) = l con c e

R

1 2

x→c x→c

l , l allora

R,

1 2

• ± ±

lim f (x) g(x) = l l ;

1 2

x→c

• · ·

lim f (x) g(x) = l l ;

1 2

x→c f (x) l

1 6

• = se l = 0;

lim 2

g(x) l

x→c 2

g(x) l

• lim f (x) = (l ) se l > 0;

2

1 1

x→c

• |f |l |.

lim (x)| = 1

x→c

Queste regole seguono direttamente dalle regole corrispondenti per le successioni. Inoltre

valgono anche per il limite destro e sinistro e anche per l , l se al limite si ottiene

R

1 2

una forma determinata.

In sostanza il risultato precedente manifesta il fatto che le operazioni algebriche sono

compatibili con il concetto di limite. Cioè non ha importanza se si fa prima l’operazione

e poi il limite oppure viceversa, se tutte le forme ottenute sono determinate.

Anche i risultati riguardanti limiti e ordinamento per le successioni si generalizzano

facilmente alle funzioni. ⊆ → ≤ ∈

Limiti e Ordinamento. Se f, g : X tale che f (x) g(x) per ogni x X e

R R

→ → →

f (x) l , g(x) l per x c, allora

1 2

• ≤

l l (Teorema del Confronto);

1 2

• → ≤ ≤ ∈

se inoltre per h : X vale f (x) h(x) g(x) per x X e l = l , allora anche

R 1 2

→ →

h(x) l per x c (Teorema dei Carabinieri).

1

42 3. LIMITI PER FUNZIONI REALI

Come già per le successioni anche per calcolare limiti di funzioni il Teorema dei Cara-

binieri è spesso molto utile. L’idea per la sua applicazione è di incastrare l’espressione

che si vuole studiare (= h(x)) tra due carabinieri (= f (x) e g(x)) che sono piú semplici

da studiare e ammettono lo stesso limite. Consideriamo alcuni esempi.

Tre Limiti Notevoli.

sin(x)

(1) lim =1

x

x→0 π

∈ ) vale

Graficamente si vede che per ogni x (0,

Dimostrazione. 2

1 sin(x)

≤ ≤

sin(x) tan(x) 0 < sin(x) x tan(x) =

x cos(x)

1

Relazione tra x, sin(x) e tan(x).

Figura 21.

dividendo per sin(x) > 0 segue

x 1

≤ ≤

1 sin(x) cos(x)

quindi per gli inversi otteniamo

sin(x) +

≥ ≥ →

1 cos(x) per x 0 .

x

|{z} | {z }

→1 →1

sin(x) sin(x)

Inoltre è pari e quindi dal Teorema dei Carabinieri segue che lim =

x x

x→0

1.

1 cos(x) 1

(2) lim =

2

x 2

x→0 ∈

Per x (−π, π) vale

Dimostrazione. 2

=sin (x)

z }| {

2

− − −

1 cos(x) 1 cos(x) 1 + cos(x) 1 cos (x)

·

= =

2 2 2 ·

x x 1 + cos(x) x 1 + cos(x)

2

1 1 1

sin(x) · → · =

= 1

x 1 + cos(x) 2 2

| {z } | {z }

→1 →1

| {z } | {z }

2

→1 =1 12

1

→ =

1+1

per x 0.

x −

e 1

(3) lim =1

x

x→0 LIMITI DELLE FUNZIONI REALI 43

x

x n

Partiamo dalla relazione e = lim (1 + ) . Dalla disugua-

Dimostrazione. n

n→+∞

glianza di Bernoulli segue

n

x x x

≥ · ≥ −1 ≥ −x

1 + 1 + n =1+ x se cioè n

n n n

x n ≥

Allora (1 + ) 1 + x definitivamente e quindi per il teorema del confronto risulta

n n x

x ≥ ∈

lim 1 + = e 1 + x per ogni x R.

n

n→+∞ −x

Sostituendo in questa relazione x con otteniamo inoltre

−x 1 ≥ −

1 x

e = x

e | {z }

>0 per x<1

e quindi per gli inversi vale 1

x ≤

e se x < 1.

1 x

Riassumendo abbiamo verificato che per ogni x < 1 vale

1

x

≤ ≤ ⇒

1 + x e (sottraendo 1)

1 x 1 x

x

≤ − ≤ − 6 ⇒

x e 1 1= (dividendo per x = 0)

− −

1 x 1 x

x −

e 1 1

≤ ≤

1

se 1 > x > 0: −

x 1 x

|{z}

→1 per x→0 | {z }

→1 per x→0

x −

e 1 1

≥ ≥

se x < 0: 1 −

x 1 x

|{z}

→1 per x→0 | {z }

→1 per x→0

L’affermazione ora segue dal Teorema dei Carabinieri.

Anche il teorema sulla convergenza delle successioni monotone (cfr. pagina 19) si gene-

ralizza facilmente alle funzioni.

⊆ →

3.8. Se f : X è monotona allora

Teorema R R

− +

∈ ∈

lim f (x) =: l e lim f (x) =: l

R R

− +

x→c x→c

esistono. Inoltre vale

− +

∈ ∈

l = sup{f (x) : x X, x < c}, l = inf{f (x) : x X, x > c} se f è crescente,

− +

∈ ∈

l = inf{f (x) : x X, x < c}, l = sup{f (x) : x X, x > c} se f è decrescente.

Passiamo ora ai ⊆ → ⊆ →

Limiti per le Funzioni Composte. Se per f : X Y e g : Y e

R R R

c, l, y vale

R

0

• lim f (x) = y ,

0

x→c

• lim g(y) = l,

y→y 0

• 6 ∈ |x −

esiste δ > 0 tale che f (x) = y per ogni x X con 0 < c| < δ

0

allora

lim g f (x) = l.

x→c

Questo risultato non vale senza la terza condizione che riflette il fatto che per l’esistenza

e il valore del limite il valore della funzione nel punto limite è indifferente.

Sappiamo che

Esempio.

• lim sin(x) = 0 (qui f = sin, c = 0 e y = 0),

0

x→0

44 3. LIMITI PER FUNZIONI REALI

• lim cos(y) = 1 (qui g = cos, l = 1),

y→0

• 6 ∈ |x|

sin(x) = 0 per ogni x con 0 < < π (quindi possiamo scegliere δ := π)

R

Con il risultato precedente risulta che

lim cos sin(x) = 1

x→0

CAPITOLO 4

Funzioni Continue di una Variabile Reale

Funzioni Continue

⊆ →

Sia f : X Per l’esistenza e il valore del limite lim f (x) = l

Osservazione. R R. x→c

• ∈

non è importante che c X, e

• ∈

che, nel caso c X, f (c) = l.

Queste due condizioni invece in un certo senso caratterizzano funzioni continue.

⊆ →

4.1 (Continuità). f : X si dice

Definizione R R

• ∈ ⊂ →

continua in x X se per ogni successione (x ) X con x x segue

0 n n 0

n∈N

→ →

f (x ) f (x ) per n +∞.

n 0

• ∈

continua, se è continua in ogni x X.

• La continuità si può anche definire senza fare riferimento alle suc-

Osservazioni. ⇐⇒

cessioni: f è continua in x

0 |f − ≤ ∈

per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che (x) f (x )| ε per ogni x X con

0

|x − |

x < δ.

0

• ∈ ⇐⇒

Se x X è un punto di accumulazione di X, allora f è continua in x

0 0

lim f (x) = f (x ).

x→x 0

0

• ∈

Se x X non è un punto di accumulazione di X (in questo caso si dice anche che

0

x è un punto isolato), allora f è sempre continua in x .

0 0

Dalla definizione di continuità e dalle regole per il calcolo dei limiti segue facilmente la

seguente ⊆ → ∈

4.2. Se f, g : X sono continue (in x X), allora anche

Proposizione R R 0

• ± →

f g : X sono continue,

R

• · →

f g : X è continua,

R

fg → {x ∈ 6

• : X è continua, dove X := X : g(x) = 0},

R

0 0

• |f | →

: X è continua.

R

Quindi somme, differenze, prodotti, rapporti e moduli di funzioni continue sono anche

continue. ⊆

Da questo risultato segue che per ogni X l’insieme

R

{f →

C(X) := : X : f è continua},

R

è uno spazio vettoriale (o addirittura un algebra).

Con il teorema sul limite delle funzioni composte si può dimostrare il seguente risultato.

⊆ → ⊆ →

4.3. Se f : X Y è continua in x e g : Y è continua

Proposizione R R R

0

◦ →

in y := f (x ), allora la funzione composta g f : X è continua in x . Quindi la

R

0 0 0

composizione di funzioni continue é sempre continua.

Con le due proposizioni precedenti e usando i limiti notevoli è facile verificare la conti-

nuità di vari funzioni elementari. k

• ∈ ⇒

Polinomi: f (x) = 1 e g(x) := x, x sono continue h(x) := x è

Esempi. R n

∈ ⇒

continua per ogni k p(x) = a + . . . + a x è continua per ogni scelta di

N 0 n

a , . . . , a cioè ogni polinomio é continuo.

R

0 n 45

46 4. FUNZIONI CONTINUE

• Funzioni razionali: Ogni funzione razionale è continua (nel suo dominio!), essendo

il rapporto di due polinomi che sono continui.

• |x| ∈

Modulo: f (x) = per x è continuo.

R

• ∈

Funzioni circolari : Per la formula di prostaferesi vale per ogni x, x R

0

→0

z }| {

x x x+x

0

− · → →

·

sin(x) sin(x ) = 2 sin 0 per x x ,

cos 0

0 0

2 2

| {z } | {z }

→0 limitata

quindi sin è continua. Similmente segue che anche cos è continua e quindi anche

sin

tan = è continua.

cos

• ∈ 6 − → ⇐⇒

Funzione esponenziale: Per ogni x, x x = x e h := x x vale x x

R,

0 0 0 0

h 0. Quindi x−x −

e 1

0

x x x

− − · ·

e e = (x x ) e

0 0

0 −

x x 0

h −

e 1

x x

· · → · · →

= h e 0 e 1 = 0 per h 0.

0 0

h

x x

→ →

Ciò dimostra e e per x x e di conseguenza la funzione esponenziale è

0 0

continua. −x

−x x

x −e e +e

e

• e cosh(x) = sono continue e quindi

Funzioni iperboliche: sinh(x) = 2 2

sinh(x)

anche tanh(x) = è continua.

cosh(x)

• ∈ →

Se per l definiamo f : come

R R R ( sin(x) 6

se x = 0

x

f (x) := l se x = 0

6 ⇐⇒

allora f è sempre continua in ogni x = 0. Inoltre f è continua in x = 0

0 0

sin(x)

lim f (x) = lim = 1 = f (0) = l

x

x→0 x→0 sin(x)

⇐⇒ ha una discontinuità rimovibile in

cioè l = 1. Si dice anche che f (x) = x

x = 0.

• ∈ →

Se per l definiamo f : come

R R R ( |x| 6

se x = 0

x

f (x) := l se x = 0

allora f per qualsiasi scelta di l è discontinua (cioè non continua) in x = 0.

R

• →

Funzione di Dirichlet: Se definiamo f : come

R R

( ∈

1 se x Q

f (x) := ∈ \

0 se x R Q

allora f è discontinua in ogni x R.

Funzioni Continue su Intervalli

⊆ →

Data una funzione f : X

Problema. R R,

• ∈

verificare che f ammette uno zero, cioè che esiste c X tale che f (c) = 0,

• calcolare (un valore approssimativo per) c.

Il seguente teorema, che è uno dei più importanti risultati del corso, fornisce una so-

luzione a questo problema sotto alcune ipotesi su f . Nel seguito, per intervalli [a, b],

supponiamo sempre che sia a < b. →

Sia f : [a, b] continua tale che f (a) e f (b)

4.4 (Teorema degli Zeri).

Teorema R

· ∈

abbiano segno opposto (cioè f (a) f (b) < 0), allora esiste c (a, b) tale che f (c) = 0.

FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI 47

Usiamo il metodo di bisezione: Esiste una successione (I ) di

Dimostrazione. n n∈N

intervalli I = [a , b ] tale che

n n n

⊃ ⊃ ⊃ ⊃

(i) [a, b] = I I I I . . .,

0 1 2 n b−a

(ii) la lunghezza di I è data da b a = ,

n n n n

2

· ≤

(iii) f (a ) f (b ) 0.

n n

f(x) +

a b

1 1 = b

b 2

3 2

+

+ + x

+b

a 0 0 b=b = b

a=a = a = a = a 1

0

0 1 3

2

2

Il metodo di bisezione.

Figura 22.

Allora, per la proprietà (i) abbiamo che

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

a = a a a . . . a . . . b . . . b b b = b

0 1 2 n n 2 1 0

da cui (a ) e (b ) sono monotone e limitate e quindi convergenti. Sia

n n

n∈N n∈N lim a =: c e lim b =: c .

n 1 n 2

n→+∞ n→+∞

Da (ii) segue −

b a →

b = a + per n +∞

n n n

2

|{z} |{z}

→c →c | {z }

2 1 b−a

→ =0

+∞

e quindi c = c =: c. Infine per (iii), il teorema del confronto e per la continuità di f

1 2

risulta che 2

· → →

≥ f (b ) f (c) per n +∞.

0 f (a ) n

n

| {z } | {z }

→f →f

(c) (c)

2 ≤

Quindi f (c) 0 che è possibile solo se f (c) = 0.

Il teorema degli zeri non soltanto stabilisce l’esistenza di uno zero c per

Osservazione.

f ma la dimostrazione dà anche un modo per trovare un valore approssimativo di c. In

casi come questo si dice anche che la dimostrazione è costruttiva.

Dal Teorema degli zeri segue facilmente la seguente generalizzazione.

4.5 (Teorema dei Valori intermedi ). Sia I un intervallo qualsiasi (non

Teorema R

necessariamente chiuso), f : I continua e siano

R

∈ ∈

m := inf f := inf f (x) : x I , M := sup f := sup f (x) : x I .

∈ ∈

Allora per ogni y (m, M ) esiste x I tale che f (x) = y. In altre parole, f assume

tutti i valori tra m = inf f e M = sup f . ˜ −

La dimostrazione si fa applicando il Teorema degli Zeri alla funzione f (x) := f (x) y.

Questo teorema ha delle applicazioni molto importanti. Come esempio dimostreremo

l’esistenza dei

48 4. FUNZIONI CONTINUE x

6 ∈

Logaritmi. Sia 0 < a = 1. Allora per ogni y > 0 esiste un unico x tale che a = y.

R

Questo valore x si chiama logaritmo di y in base a e si scrive

x =: log (y).

a

Per la base a = e useremo la notazione ln(y) := log (y).

e

Procediamo in 2 passi:

Dimostrazione.

◦ x ≥ ∈

1 Caso: a = e. Abbiamo visto (cfr. pagina 43) che e 1 + x per ogni x e quindi

R

x x

∈ ≥ ∈ ⇒ ∈

sup{e : x sup{1 + x : x = +∞ M := sup{e : x = +∞.

R} R} R}

Inoltre, 1 1

x x

→ → −∞ ⇒ ∈

0 < e = =0 per x m := inf{e : x = 0.

R}

−x +∞

e

|{z}

→+∞ x ∈

Visto che I := è un intervallo e e , x I è continua, per il teorema dei valori

R x

∈ ∈

intermedi per ogni y (m, M ) = (0, +∞) esiste x tale che e = y. Questo x è

R

x

unico poiché e è strettamente crescente.

◦ x

6 ∈

2 Caso: 0 < a = 1. Cerchiamo per y > 0 un x tale che a = y. Però

R

x

ln(y)

x·ln(a) ln(a) x ⇐⇒ ·

= e x ln(a) = ln(y)

e = e = a = y

e quindi ln(y)

x = log (y) = .

a ln(a)

6 ∈

Regole per i Logaritmi. Siano 0 < a, b = 1, x, y > 0 e r Allora

R.

• log (1) = 0, log (a) = 1,

a a

• ·

log (x y) = log (x) + log (y),

a a a

xy 1

• −

(x) log (y), in particolare log (y),

log = log = log

a a a a a

y

r

• ·

log (x ) = r log (x),

a a

· ·

• (x) = log (b) log (x) in particolare log (x) = log (e) ln(x).

log a a b a a 6

Con l’esistenza dei logaritmi abbiamo dimostrato che per 0 < a = 1 la

Osservazione. −1 −1

x

→ →

funzione f : (0, +∞), f (x) = a è invertibile con f : (0, +∞) f (x) =

R R,

x

log (x). In particolare i grafici di a e log (x) sono simmetrici rispetto alla bisettrice

a a

y = x.

0<a<1 a>1 x

a ln(x)

2

log (x)

a

x

a 1

log (x)

a 1 2 3 4 5 6 7

1 x

0

x

1 - 1

1 - 2

x

1 - 3

- 4

I Logaritmi.

Figura 23.

Visto che in questo capitolo stiamo studiando funzioni continue si pone il

log : (0, +∞) è una funzione continua?

Problema. R

a

La risposta è si per il seguente

ALTRE FUNZIONI INVERTIBILI 49

⊆ ∈ {f

4.6. Sia I un intervallo e sia f C(I). Allora anche J := f (I) = (x) :

Teorema R

x I} è un’intervallo e

• → ⇐⇒

f : I J è invertibile f è strettamente crescente oppure strettamente

decrescente; −1

• →

se f è invertibile, f : J I è continua.

Il teorema precedente non vale se il dominio di f non è un’intervallo.

∪ → |x|.

Consideriamo f : [−1, 0] (1, 2] [0, 2], f (x) = Allora f è continua e

Esempio. −1 → ∪

invertibile ma non è strettamente monotona e f : [0, 2] [−1, 0] (1, 2] è discontinua

in x = 1. f(x) -1

2 f (x)

2

1

1 x

0 1 2

x

0

–1 1 2 –1

Funzione continua con inversa discontinua.

Figura 24. Altre Funzioni Invertibili

Possiamo utilizzare lo stesso schema che abbiamo usato per invertire

Osservazione.

x

l’esponenziale a per invertire altre funzioni f . Più precisamente, usiamo

• il teorema dei valori intermedi per verificare la suriettività di f ,

• la stretta monotonia per ottenere l’iniettività di f , −1

• il teorema sulla continuità della funziona inversa per ottenere la continuità di f .

In questa maniera possiamo costruire altre funzioni elementari.

n

→ ≥

Radici. Consideriamo f : [0, +∞) [0, +∞), f (x) = x per n 1. Allora, f è conti-

nua, strettamente crescente, il dominio X = [0, +∞) è un intervallo, inf f = min f = 0

−1 →

e sup f = +∞. Quindi f è invertibile e la funzione inversa f : [0, +∞) [0, +∞) è

√ 1

−1 n x = x .

continua e data da f (x) = n n

x

n

x n

ex

1 x

n

ex 1

1 (n dispari)

(n pari) x

1 La radice n-esima.

Figura 25.

50 4. FUNZIONI CONTINUE

Se nel precedente n è dispari, allora possiamo considerare f anche come

Osservazione. →

funzione f : In questo caso f rimane continua, strettamente crescente con

R R. √ 1

−1 −1

−∞, → n

inf f = sup f = +∞ cioè è invertibile con f : f (x) = x = x .

n

R R,

n

In altre parole, per n dispari la radice x è anche definita per argomenti x < 0, per

√ √

3 −8 −2. n

esempio = Invece per n pari e x < 0 la radice x non ha senso nel campo dei

−1

numeri reali, per esempio non è più un numero reale ma complesso. Al livello della

n

→ →

funzione f : f (x) = x ciò si rispecchia nel fatto che f : per n pari non

R R, R R

è suriettiva (e neanche iniettiva, cfr. pagina 33). √

1 ≥

n

Potenze. Dal paragrafo precendente sappiamo che x = x, x 0 definisce una

n

funzione continua per ogni n = 1, 2, 3, 4, . . .. Più in generale vale che

r

r ln(x) r·ln(x)

x = e = e , x > 0

come composizione di funzioni continue è continua. →

Inverse delle Funzioni Circolari. Considerando il grafico della funzione sin : R R

si vede che non è invertibile non essendo né suriettiva né iniettiva. La suriettività, però

si ottiene considerando come codominio l’insieme [min sin, max sin] = [−1, 1] mentre

per ottenere l’iniettività basta considerare soltanto una parte del dominio in cui la

R

funzione sin è strettamente monotona. Perciò ci sono infinite scelte ma generalmente si

π

π , ]. Quindi consideriamo ora

ristringe il dominio all’intervallo [− 2 2

π π →

sin : [− , ] [−1, 1]

2 2

che cosı̀ diventa invertibile. Nella stessa maniera, considerando

cos : [0, π] [−1, 1] e

π π →

tan : (− , ) R

2 2

anche loro diventano invertibili e tutte le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente

−1 π π

arcsin := sin : [−1, 1] [− , ],

2 2

−1 →

arccos := cos : [−1, 1] [0, π],

−1 π π

arctan := tan : (− , )

R 2 2

sono nuovamente continue.

Inverse delle Funzioni Iperboliche. Ragionando come prima si vede che le funzioni

→ → →

iperboliche sinh : cosh : [0, +∞) [1, +∞) e tanh : (−1, 1) sono invertibili

R R, R

e le loro inverse arcosenoiperbolico, arcocosenoiperbolico e arcotangenteiperbolico

−1 →

arcsinh := sinh : R R,

−1 →

arccosh := cosh : [1, +∞) [0, +∞),

−1 →

arctanh := tanh : (−1, 1)

R

sono nuovamente continue. ⇐⇒

Visto che sinh(x) = y x = arcsinh(y), risolvendo l’equazione

Osservazione.

−x

x −e

e = y per x si ottiene la rappresentazione

sinh(x) = 2

p 2 ∈

arcsinh(y) = ln y + y + 1 , per ogni y R.

Similmente segue

p 2 − ≥

arccosh(y) = ln y + y 1 , per ogni y 1,

1 + x

arctanh(y) = ln , per ogni y (−1, 1).

1 x

FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI CHIUSI E LIMITATI 51

arcsin(x) arccos(x)

¼

--- ¼

1.5

2 3

sin(x)

1 2

0.5 x 1

–1 1

–1.5 –0.5 0.5 1.5

–0.5 x

0

–1 1 2 3

–1

–1.5 ¼

---

– cos(x)

–1

2 tan(x)

4

2

¼

--- arctan(x)

2 x

0

–4 –2 2 4

¼

---

– 2

–2

–4

Inverse delle funzioni circolari.

Figura 26.

sinh(x) cosh(x)

6 6

4 5

arcsinh(x)

2 4

x 3

0 arccosh(x)

–4 –2 2 4

–6 6 2

–2 1

–4 x

0

–6 1 2 3 4 5 6

arctanh(x)

3

2 tanh(x)

1 x

0

–3 –2 –1 1 2 3

–1

–2

–3

Inverse delle funzioni iperboliche.

Figura 27.

Funzioni Continue su Intervalli Chiusi e Limitati

Ci poniamo il seguente

52 4. FUNZIONI CONTINUE

⊆ →

Data una funzione f : X determinare, se esistono, il valore

Problema. R R,

minimo e quello massimo di f , cioè

∈ ∈

m := min f := min{f (x) : x X}, M := max f := max{f (x) : x X},

La soluzione del problema si svolge in 2 passi:

(1) Verificare che che minimo e massimo di f esistono,

(2) trovare x , x tale che min f = f (x ), max f = f (x ).

0 1 0 1

Il primo punto si risolve con il seguente teorema mentre affronteremo il secondo punto

nel prossimo capitolo usando il calcolo differenziale.

4.7 (Teorema di Weierstraß ). Se f C[a, b], allora esistono m := min f e

Teorema {f ∈

M := max f . Inoltre, l’immagine f ([a, b]) = (x) : x [a, b]} = [m, M ], in particolare

• f è limitata;

• ∈ ≤ ≤ ∈

esistono x , x [a, b] tale che f (x ) f (x) f (x ) per ogni x [a, b];

0 1 0 1

• ∈ ∈

per ogni y [m, M ] esiste x [a, b] tale che f (x) = y.

• Il Teorema di Weierstraß vale soltanto su intervalli chiusi e limitati

Osservazioni.

cioè del tipo [a, b].

• →

La funzione f : [0, 1] R,

v √ !

u − sin x+2

1 + e

u

3

f (x) := ln

t 12 2 π

|x − |

2 + cos + arctan(1 + x )

è una composizione di funzioni continue e quindi continua. Per Weierstraß ammette

minimo e massimo che, però, saranno quasi impossibili da determinare. Quindi

Weierestraß è un risultato di esistenza ma non aiuta per trovare x , x e min f =

0 1

f (x ) e max f = f (x ).

0 1 CAPITOLO 5

Calcolo Differenziale per Funzioni di una Variabile

→ ∈

Data una funzione f : (a, b) e un punto x (a, b),

Problemi. R 0

(i) Trovare la retta tangente t al grafico di f nel punto P = (x , f (x )) (problema

0 0 0

geometrico), e ∈

(ii) trovare un’approssimazione lineare g(x) (cioè della forma g(x) = α·x+β, α, β R)

per f (x) per x vicino a x (problema analitico).

0

Iniziamo a studiare il problema (i). Come vedremo nel seguito la sua soluzione risolve

anche il problema (ii). Per risolvere (i) consideriamo prima la retta secante s attraverso

h

i punti 6

P = x , f (x ) e P := x + h, f (x + h) per h = 0.

0 0 0 0 0

h

L’equazione della retta s è data da

h y t s h

ϕ f

f (x +h)

0 P h

f (x )

0 P 0 ψ x

x x +h

0 0

Retta secante e tangente.

Figura 28. −

f (x + h) f (x )

0 0 ·(x −

s (x) = f (x ) + x ).

0 0

h h

| {z }

= pendenza di s

h

=: rapporto incrementale

Quindi solo il rapporto incrementale dipende da h che, nel passo successivo, mandiamo

a 0. Derivata: Definizione e prime Proprietà

Considerando il limite del rapporto incrementale per h 0 arriviamo alla seguente

→ ∈

5.1. Se per f : (a, b) e x (a, b) converge

Definizione R 0

− −

f (x + h) f (x ) f (x) f (x )

0 0 0 0 ∈

lim = lim =: f (x ) R

0

h x x

x→x

h→0 0 0

|{z}

x=x +h

0 0 ∈

allora f si dice derivabile in x con derivata f (x ). Se f è derivabile in ogni x (a, b)

0 0 0

0 →

allora si dice derivabile e la funzione f : (a, b) è la derivata di f . Altre notazioni:

R

df

0

f = = Df .

dx 53

54 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

Se f è derivabile in x allora otteniamo l’equazione t(x) della retta tangente t sostituendo

0 0

il rapporto incrementale nell’equazione della retta secante s con la derivata f (x ), cioè

0

h

0 · −

t(x) = f (x ) + f (x ) (x x ).

0 0 0

Quindi (cfr. il grafico precedente)

0

f (x ) = tan(ϕ) = pendenza della retta tangente t,

0

f (x + h) f (x )

0 0 = tan(ψ) = pendenza della retta secante s h

h

0

In particolare f (x ) = 0 significa che la retta tangente ha pendenza 0, cioè è orizzontale.

0

Consideriamo alcuni

• ∈ ∈

Se f è costante cioè se esiste c tale che f (x) = c per ogni x (a, b)

Esempi. R

allora il rapporto incrementale è sempre uguale a 0. Quindi una funzione costante

é sempre derivabile con derivata nulla.

n

• ∈

Sia f (x) = x per n = 1, 2, 3, 4, . . . e x Allora, dalla formula del binomio di

R. n

n nn 0 0

= h = 1 e = n che

Newton segue usando che = = 1, x 0 n−1

0

n

− −

f (x + h) f (x ) (x + h) x

0 0 0 0

=

h h n

n−1 =x

·h

=n·x 0

0

}| { z }| {

z n n

n n n n−1 1 n 0

0 n 1 n−1 n−2 2 n

x x

x h + x h + . . . + x h + h + h x

0 0

0 0 0 0

n−1 n

0 1 n−2

= h

n n n

0 n−1 1 n−2 n−2 1 n−1

· ·

x h + x h + . . . + x h + n x h

0 0 0 0

0 1 n−2

= h

n n n

0 n−1 1 n−2 n−2 1 n−1

·

= x h + x h + . . . + x h + n x

0 0 0 0

0 1 n−2

0

n−1

→ · →

n x = f (x ) per h 0.

0 0

n ≥ ∈

Quindi f (x) = x è derivabile per ogni n 1, n con

N

0

n n−1

·

(x ) = n x

0

5 4

·

Per esempio, (x ) = 5 x .

x

• ∈

Sia f (x) = e , x Allora

R. x +h x h

− −

f (x + h) f (x ) e 1

e e

0 0

0 0 x x

· → →

= = e e per h 0.

0 0

h h h

| {z }

→1

x

Quindi f (x) = e è derivabile con 0

x x

(e ) = e

0

cioè f = f che é una proprietà molto particolare e che (a meno di una costante

moltiplicativa) caratterizza la funzione esponenziale.

• ∈

Sia f (x) = sin(x), x Allora usando la formula di prostaferesi, il limite notevole

R.

sin(x)

lim = 1 e la continuità della funzione cos risulta

x

x→0 h h

· ·

2 sin cos x +

− −

f (x + h) f (x ) sin(x + h) sin(x ) 0

0 0 0 0 2 2

= =

h h h

h

sin h 0

2

· → →

= cos x + cos(x ) = f (x ) per h 0.

0 0 0

h 2

2 | {z }

{z }

| →cos(x )

0

→1

DERIVATA: DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ 55

Quindi f (x) = sin(x) è derivabile con

0

sin (x) = cos(x)

Similmente segue che cos : è derivabile con

R R

0 −

cos (x) = sin(x) −

Ricordiamo che sin è una funzione dispari (come anche sin)

Osservazione. 0 0

mentre cos è pari. Nell’esempio precedente abbiamo visto che sin = cos e cos =

− sin e quindi la derivata ha trasformata una funzione dispari in un una pari e

viceversa. Ciò vale sempre, cioe se f è derivabile e

0

– f dispari f pari,

0

– f pari f dispari.

• |x|.

Sia f (x) := Allora f non è derivabile in x = 0, infatti abbiamo

0

(

− |h| +1 se h > 0,

f (h) f (0) = =

h h −1 se h < 0 →

e quindi non esiste il limite del rapporto incrementale in x = 0 per h 0.

0

Comunque in questo esempio esistono limite destro e limite sinistro del rapporto

incrementale. Questa osservazione dà luogo alla seguente

→ ∈

5.2. Se per f : (a, b) e x (a, b) converge

Definizione R 0

− f (x) f (x )

f (x + h) f (x ) 0

0 0 0

= lim =: f (x ) = derivata destra

lim 0

+

h x x

+

+

h→0 0

x→x 0

oppure − −

f (x + h) f (x ) f (x) f (x )

0 0 0 0

lim = lim =: f (x ) = derivata sinistra

0

h x x

− −

h→0 0

x→x 0

allora diremo che f è derivabile da destra oppure derivabile da sinistra in x .

0

0

|x| (0) = +1,

f (x) := è derivabile da destra e anche da sinistra in x = 0 con f

Esempio. 0 +

0 −1.

f (0) =

− → ∈ ⇐⇒

f : (a, b) è derivabile in x (a, b) f è derivabile da destra

Osservazione. R 0

0 0

e da sinistra in x con f (0) = f (0).

0 −

+

Studiamo ora il legame tra derivabilità e continuità.

→ ∈

5.3. Se f : (a, b) è derivabile in x (a, b) allora è anche continua

Proposizione R 0

in x

0

Dimostrazione. −

f (x) f (x )

0 0

· − → · →

− (x x ) f (x ) 0 = 0 per x x .

f (x) f (x ) =

0 0 0 0

x x 0 | {z }

→0

| {z }

0

→f (x )

0

Cioè lim f (x) = f (x ) e quindi f è continua in x .

0 0

x→x

0 6⇒

Non vale il contrario cioè f continua f derivabile, per esempio f (x) =

Osservazione.

|x| è continua ma non derivabile in x = 0.

0 k − ∈

(Metodo di Erone, cfr. pagina 20) Sia f (x) := x a per a > 0 e k

Esercizio. N,

k 2.

• Calcolare l’equazione della retta tangente t al grafico di f nel punto x > 0.

0

56 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

• Verificare che l’intersezione tra t e l’asse x è data da

1 a

· −

x := .

(k 1)x +

1 0 k−1

k x 0

Regole per la Derivazione

Cerchiamo ora modi per semplificare il calcolo delle derivate. →

Derivazione di Somme, Prodotti e Rapporti di Funzioni. Siano f, g : (a, b) R

derivabili in x , allora

0 ∈ · ·

(i) per ogni α, β anche α f + β g è derivabile in x con

R 0

0 0 0

· · · ·

(α f + β g) (x ) = α f (x ) + β g (x )

0 0 0

·

(ii) f g è derivabile in x con

0 0 0 0

· · ·

(f g) (x ) = f (x ) g(x ) + f (x ) g (x )

0 0 0 0

0

f

6

(iii) se g(x ) = 0 anche è derivabile in x con

0 0

g 0 0

0 g(x )·f (x )−g (x )·f (x )

f 0 0 0 0

(x ) =

0 2

g g (x )

0

In particolare 0

0 g (x )

1 0

(x ) =

0 2

g g (x )

0

Dimostriamo soltanto (ii). Perciò studiamo il rapporto incrementale

Dimostrazione.

del prodotto utilizzando che g è continua in x 0

· − · · − ·

f (x) g(x) f (x ) g(x) + f (x ) g(x) f (x ) g(x )

· − ·

(f g)(x) (f g)(x ) 0 0 0 0

0 =

− −

x x x x

0 0

− −

f (x) f (x ) g(x) g(x )

0 0

·

·

= +f (x )

g(x) 0

− −

x x x x

0 0

|{z}

→g(x )

{z } {z }

| |

0

0 0

→f →g

(x ) (x )

0 0

0 0

→ · · →

f (x ) g(x ) + f (x ) g (x ) per x x .

0 0 0 0 0

La regola (i) stabilisce che la derivazione è un’operazione lineare, cioè la derivata di

una combinazione lineare e la combinazione lineare delle derivate. Inoltre implica che

l’insieme f è derivabile e

1 →

C (a, b) := f : (a, b) R 0

f è continua

1

è uno spazio vettoriale. Se f C (a, b) si dice anche che f è derivabile con continuità

0

(qui la continuità si riferisce a f non a f che essendo derivabile è anche continua).

Con queste regole diventa semplice verificare la derivabilità di varie funzioni elementari.

k

• Visto che ogni monomio x per k = 1, 2, 3, . . . è derivabile, per le prime

Esempi.

due regole ogni polinomio è derivabile con

0 0

n n−1 n−1 n−2

p (x) = (a x +a x +. . .+a x+a ) = na x +(n−1)a x +. . .+2a x+a .

n n−1 1 0 n n−1 2 1

0

4 3 2 3 2

− − −

Per esempio, (3x 7x + 2x 11) = 12x 21x + 4x.

• Per l’esempio precedente e la terza regola, ogni funzione razionale è derivabile. Per

esempio per ogni n = 1, 2, 3, . . . vale

0 0 n−1 −n−1

−n 1 nx n

− − −n ·

= = = x

x = n 2n n+1

x x x

Quindi, per ogni n vale

Z 0

n n−1

·

(x ) = n x

REGOLE PER LA DERIVAZIONE 57

Infatti questa regola abbiamo visto precedentemente per n = 1, 2, 3, . . . (cfr. pagi-

na 54), per n = 0 vale poiché la derivata di una funzione costante = 0, mentre per

−1, −2, −3,

n = . . . è stata appena dimostrata. sin

• Visto che sin e cos sono derivabili anche la funzione tan = è derivabile con

cos

0 0 2

2

· − ·

cos(x) sin (x) cos (x) sin(x) cos (x) + sin (x)

0

tan (x) = =

2 2

cos (x) cos (x)

( 1

2

cos (x)

= 2

1 + tan (x) → ∈

Derivazione delle Funzioni composte. Sia f : (a, b) (c, d) derivabile in x (a, b)

0

→ →

e sia g : (c, d) derivabile in y := f (x ). Allora la funzione composta g◦f : (a, b)

R R

0 0

è derivabile in x con

0 0 0 0

◦ ·

(g f ) (x ) = g f (x ) f (x )

0 0 0

Questa formula si chiama Regola della Catena.

• →

Se g : è derivabile, allora anche h(x) := g(−x) è derivabile poiché

Esempi. R R 0

0 0 0

◦ −x. ·

h(x) = (g f )(x) per f (x) = Inoltre h (x) = g(−x) = g (−x) (−x) =

0

−g (−x). −x

x −e

e

• e cosh(x) =

Dal esempio precedente segue che le funzioni iperboliche sinh(x) = 2

0 −x 0

x

−x −x

−(e

x x

(e ) )

0

e +e e +e

sono derivabili con sinh (x) = = = cosh(x). Similmente

2 2 2

0

segue che cosh (x) = sinh(x). Infine, utilizzando la regola di derivazione per un

sinh

rapporto segue che anche tanh = è derivabile con

cosh ( 1

2 2

cosh (x) sinh (x) 2

0 cosh (x)

tanh (x) = =

2 2

cosh (x) −

1 tanh (x)

Quindi abbiamo dimostrato che per ogni x vale

R ( 1

2

0 0 0 cosh (x)

sinh (x) = cosh(x) cosh (x) = sinh(x) tanh (x) = 2

1 tanh (x)

x x·ln(a)

• ∈

Sia a > 0, allora a = e , x è derivabile (visto che è la composizione

R, 0 0

y x x·ln(a) x·ln(a)

◦ · ·

(g f )(x) per f (x) = x ln(a) e g(y) = e ) con (a ) = (e ) = ln(a) e =

x

·

ln(a) a cioè 0

x x

·

a = ln(a) a

• Per funzioni più complesse (cioè composizioni di più di due funzioni) si può iterare

2 −2x+1)

cos(3x

la regole della catena iniziando all’esterno. Per esempio, e è derivabile

con 0

0

2 2

−2x+1) −2x+1)

cos(3x cos(3x 2

· −

e = e cos(3x 2x + 1)

2 −2x+1)

cos(3x 2

−e · − · −

= sin(3x 2x + 1) (6x 2).

L’ultima regola per la derivazione tratta la

1

Derivazione delle Funzioni Inverse. 0

→ ∈ 6

Sia f : (a, b) (c, d) continua, biettiva e derivabile in x (a, b). Se f (x ) = 0 allora

0 0

−1 →

f : (c, d) (a, b) è derivabile in y := f (x ) con

0 0

0

−1 1

f (y ) =

0 0

f (x )

0

1 −1

Quanto si considerano sia f e f conviene, per non confondersi, usare sempre x come variabile per f

−1

e y come variabile per f .

58 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

• È importante osservare che mentre f viene derivata in x la deri-

Osservazioni. 0

−1

vata di f si riferisce al punto y = f (x )! Questo fatto e anche la formula per

0 0

1 si spiega dal seguente grafico

0

f (x )

0

y −1

f t = retta tangente al grafico di f in x 0

−1

r = retta tangente al grafico di f in y = f (x )

t 0 0

r f

0

f (x )

0

1 0

f (x ) 0

0

pendenza di t = = f (x )

−1 0

f (y ) 0 1

f (x )

0 0 −1 0

1

f (x ) pendenza di r = = (f ) (y )

0 0

0

f (x )

1 0

x

y x

0 0 Derivata della funzione inversa.

Figura 29. 0

• Si nota che una retta tangente orizzontale al grafico di f in x (cioè se f (x ) = 0)

0 0

−1

corrisponde a una retta verticale al grafico di f in y = f (x ) che significa che

0 0

−1

f non è derivabile in y .

0 0

−1

• Non come dimostrazione, ma come modo per ricordare la formula per f , si può

−1 ∈

utilizzare la regola della catena: Per definizione, x = f (f (x)) per ogni x (a, b).

Derivando entrambi i lati di questa equazione otteniamo con y = f (x)

0

i

h

0 −1

1 = (x) = f f (x)

0

−1 0

·

= f f (x) f (x) 1

0 0

−1 0 −1

· ⇒

= f (y) f (x) f (y) = 0

f (x)

0

x x

• ∈ 6 6

Sia f (x) = a , x per 0 < a = 1 che è derivabile con f (x) = ln(a)·a =

Esempi. R

0 per ogni x Inoltre abbiamo visto (cfr. pagina 48) che f è invertibile con

R.

−1 x

f (y) = log (y), y > 0. Quindi log è derivabile e per y := f (x) = a vale

a a 1 1

1

0

log (y) = = =

a 0 x

· ·

x ln(a) a ln(a) y

(a ) |{z}

=y

Sostituendo y con x otteniamo cosı̀ per ogni x > 0

0 0

1 1

log (x) = in particolare per a = e ln (x) =

a x

ln(a)·x r r·ln(x)

• ∈

Per ogni r e x > 0 la potenza x = e è derivabile con (usare la regola

R

della catena) 0 r

0

r r·ln(x) r·ln(x) r−1

· ·

(x ) = e = e = r x .

x

| {z }

r

=x

n ∈

Quindi la regola per la derivazione di x per n (cfr. pagina 56) vale anche per

Z

esponenti reali r cioè per ogni x > 0 si ha

R, 0

r r−1

·

(x ) = r x

ESTREMI LOCALI E IL TEOREMA DI FERMAT 59

• Se f e g sono due funzioni con lo stesso dominio e f (x) > 0 per ogni x allora

possiamo definire g(x)

ln f (x) g(x)·ln f (x)

g(x)

h(x) := f (x) = e = e .

Quindi, se f e g sono derivabili anche h è derivabile con 0

0 f (x)

g(x)·ln f (x) 0

0 g(x)

· · ·

g (x) ln f (x) + g(x)

h (x) = f (x) = e f (x)

0

f (x)

0

g(x)

· · ·

= f (x) g (x) ln f (x) + g(x) f (x)

π π

• →

Abbiamo visto (cfr. pagina 50) che f := sin : [− , ] [−1, 1] è invertibile.

2 2

0

0

Inoltre f = sin è derivabile con f (x) = sin (x) = cos(x). Però, cos(x) si annulla

π π

π ±

, ] negli estremi x = e quindi per ottenere una funzione

nell’intervallo [− 2 2 2

inversa derivabile dobbiamo togliere questi punti dal dominio di f = sin. Allora

consideriamo π π →

f = sin : (− , ) (−1, 1)

2 2

0 π

π

6 ∈ , ). Quindi

che è invertibile e derivabile con f (x) = cos(x) = 0 per ogni x (− 2 2

−1 π π

f = arcsin : (−1, 1) (− , ) è derivabile in y = f (x) = sin(x) con

2 2 1

1

0 =

arcsin (y) = .

0 (x)

sin cos(x)

0 (y) nella variabile y dobbiamo espri-

Per ottenere una rappresentazione di arcsin 2

mere ora cos(x) in funzione di y = sin(x). Perciò utilizziamo la relazione sin (x) +

p p

2

2 2

± ±

− −

cos (x) = 1, cioè cos(x) = x =

1 sin 1 y . Per decidere il segno “+”

π π

oppure “−” basta osservare che x (− , ) e quindi cos(x) > 0. Quindi dobbiamo

2 2

scegliere il segno “+” e sostituendo y con x otteniamo finalmente

0 1 ∀ ∈

x (−1, 1)

arcsin (x) = √ 2

1−x

• Raggiornando come nel esempio precedente si possono derivare anche le seguenti

funzioni inverse: −1

0 ∀ ∈

arccos (x) = x (−1, 1)

√ 2

1−x

0 1 ∀ ∈

arctan (x) = x R

2

1+x

0 1 ∀ ∈

arcsinh (x) = x

√ R

2

1+x

0 1 ∀

arccosh (x) = x> 1

√ 2 −1

x

0 1 ∀ ∈

arctanh (x) = x (−1, 1)

2

1−x

Estremi Locali e il Teorema di Fermat

Torniamo al problema che abbiamo posto a pagina 52 sull’esistenza e il calcolo del

minimo e del massimo di una funzione. Per il Teorema di Weierstraß sappiamo almeno

che ogni f C[a, b] ammette massimo e minimo, ma rimane il seguente

Come si può determinare minimo e massimo di una funzione.

Problema.

60 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

Prima di affrontare questo problema generalizziamo il concetto di minimo e massimo

per una funzione. ⊆ →

5.4. Sia f : X una funzione reale, allora

Definizione R R

• ∈ ≤

x X si dice punto di minimo locale, se esiste δ > 0 tale che f (x ) f (x) per

0 0

∈ |x − |

ogni x X con x < δ; se x è un punto di minimo locale, f (x ) si dice

0 0 0

minimo locale;

• ∈ ≥

x X si dice punto di massimo locale, se esiste δ > 0 tale che f (x ) f (x) per

0 0

∈ |x − |

ogni x X con x < δ; se x è un punto di massimo locale, f (x ) si dice

0 0 0

massimo locale;

• se x è un punto di minimo o di massimo locale, allora si dice punto di estremo

0

locale mentre f (x ) si chiama estremo locale.

0

Consideriamo il seguente grafico. In questo caso abbiamo:

Esempio. f

M x

x

a x b

x x x

1

0 2 3 4

Esempi di estremi locali.

Figura 30.

• a, x e x e b sono punti di massimo locale di f ,

2 3

• x e x sono punti di minimo locale di f ,

0 4

• x non è un punto di estremo locale di f ,

1

• x è un punto di massimo assoluto di f ,

2

• M = f (x ) è il massimo assoluto di f , il minimo assoluto non esiste (soltanto

2

l’estremo inferiore).

Per trovare i punti di estremo locale si usa il ∈

5.5 (Teorema di Fermat). Sia x (a, b) un punto di estremo locale di f :

Teorema 0

0

[a, b] Se f è derivabile in x allora f (x ) = 0.

R. 0 0

Supponiamo che x sia un punto di minimo locale. Allora

Dimostrazione. 0 ≥0

z }| {

f (x + h) f (x )

0 0

0

 ≥

f (x ) = lim 0

0

+ h

 +

h→0

 |{z}

 >0

0

f (x ) =

0 ≥0

 z }| {

 −

f (x + h) f (x )

 0 0

0

 ≤ 0

f (x ) = lim

 0

 h

h→0 |{z}

<0

0 0

≤ ≤

Quindi 0 f (x ) 0 che implica f (x ) = 0.

0 0

ESTREMI LOCALI E IL TEOREMA DI FERMAT 61

f x

x

a x b

x x x

1

0 2 3 4

Estremi locali e tangenti orizzontali.

Figura 31.

Consideriamo di nuovo il grafico

Esempio. 0

Allora la derivata f (x) si annulla negli estremi locali x = x e x = x che graficamente

0 2

corrisponde ad una retta tangente orizzontale.

• Come si vede nel grafico sopra il teorema di Fermat non vale negli

Osservazioni.

estremi dell’intervallo [a, b]. Cioè se x = a oppure x = b è un punto di estremo

0 0 0

locale ciò non implica (come si vede nel grafico) che f (x ) = 0.

0

0

• Se f (x ) = 0 allora x si dice punto critico oppure punto stazionario di f .

0 0

• Il Teorema di Fermat fornisce soltanto una condizione necessaria ma non sufficiente

per estremi locali, cioè non ogni punto critico è un punto di estremo locale. Basta

0

3 2

considerare f (x) = x per x Allora f (x) = 3x e quindi x = 0 è un punto

R. 0

critico ma non è un punto di estremo locale. ⊆ →

Tornando al problema di trovare gli estremi locali di una funzione f : X R R

possiamo affermare che i candidati per punti di estremo locale sono

• i punti in cui f non è derivabile,

• i punti sul “bordo” del dominio X di f ,

• i punti critici all’ “interno” del dominio.

I punti delle prime due classi sono quelli per i quali non si può applicare Fermat, la

terza classe invece sono quelli che vengono da Fermat.

Consideriamo un altro →

Definiamo f : [0, 1]

Esempio. R, (

1 se x = 0,

f (x) := x ∈

x se x (0, 1].

Per studiare f si rappresenta usando logaritmo ed esponenziale, cioè si scrive

x

x ln(x) x·ln(x)

x = e = e per ogni x > 0.

Per procedere calcoliamo il limite x·ln(x)

lim f (x) = lim e .

+ +

x→0 x→0

Usando la sostituzione +

− → →

ln(x) = t +∞ per x 0

2 3 2

t t t

t ≥

e visto che e = 1 + t + + + ... per ogni t > 0 segue

2 3! 2

−t t

≤ |x · ≤ ⇒ ·

0 lim ln(x)| = lim lim =0 lim x ln(x) = 0.

t 2

e t

t→+∞ t→+∞

+ +

x→0 x→0

62 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

2

Quindi dalla continuità dell’esponenziale risulta

x·ln(x) 0

lim e = e = 1 = f (0)

+

x→0

implicando che f è continua in x = 0. Siccome f , come composizione di funzioni continue,

∈ ∈

è anche continua in ogni x (0, 1] risulta che f C[0, 1] e quindi ammette minimo e

massimo per il teorema di Weierstraß. Per calcolarli useremo il teorema di Fermat. Allora

per x (0, 1) la funzione f e derivabile con

0

0 x·ln(x) x·ln(x) x

1 1

· · · · ⇐⇒

f (x) = e = x + 1 ln(x) e = 1 + ln(x) x = 0 x = ,

x e

1 ∈

cioè x := [0, 1] è l’unico punto critico di f . Quindi sappiamo:

0 e

• i candidati per i punti di estremo locale sono gli estremi dell’intervallo 0, 1 e il

1 ,

punto critico x =

0 e

• f ammette m := min f e M := max f nell’intervallo [0, 1],

1

1 −

)

(

1

• f (0) = f (1) = 1, f (x ) = ( = e < 1.

) e e

0 e 1

1

Ciò implica M = max f = f (0) = f (1) = 1 e m = min f = f ( .

) = e e

e

x

x

1

0.8

0.6

0.4

0.2 x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1/e x

Grafico di f (x) = x .

Figura 32.

I Teoremi di Rolle e Lagrange

Il seguente risultato stabilisce l’esistenza di punti critici sotto certi ipotesi.

5.6 (Teorema di Rolle). Sia f C[a, b] derivabile in (a, b). Se f (a) = f (b)

Teorema 0

allora esiste c (a, b) tale che f (c) = 0.

f(x)

f(a)=f(b) x

c

a b

c

c 3

2

1 0 0

Teorema di Rolle: Tre punti con f (c ) = 0 = f (c ) =

Figura 33. 1 2

0 ⇐⇒

f (c ) retta tangente orizzontale

3 Per Weierstraß f ammette minimo m := min f = f (x ) e massimo

Dimostrazione. 0

M := max f = f (x ) in x , x [a, b]. Ora ci sono 2 possibilità:

1 0 1

2

Vedremo in seguito metodi più semplici per calcolare questo limite

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE 63

◦ 0 ∈

1 Caso: m = M , allora f è costante e quindi f (x) = 0 per ogni x (a, b).

2 Caso: m < M . Poiché f (a) = f (b) almeno uno dei punti x , x è diverso da a e da

0 1

0

b e in questo punto f si annulla per il teorema di Fermat.

Il Teorema di Rolle si può generalizzare togliendo la condizione f (a) = f (b). Cosı̀ segue

il prossimo risultato che è uno dei più importanti di questo corso.

5.7 (Teorema di Lagrange (o del valor medio)). Sia f C[a, b] derivabile in

Teorema ∈

(a, b). Allora esiste c (a, b) (detto punto di Lagrange) tale che

f (b) f (a)

0 =

f (c) −

b a

{z }

|

=pendenza della retta {z }

|

=pendenza della retta

tangente t in (c, f (c)) secante s attraverso

(a, f (a)) e (b, f (b))

t 1

f(x) s

t 2 x

c

a b

c

1 2

Teorema di Lagrange: Due punti di Lagrange c e c .

Figura 34. 1 2

Quindi il teorema stabilisce che esiste un punto c tale che la retta tangente t al grafico

di f in (c, f (c)) e la retta secante attraverso (a, f (a)) e (b, f (b)) sono parallele.

˜ →

Basta applicare il Teorema di Rolle alla funzione f : [a, b]

Dimostrazione. R,

f (b) f (a)

˜ − · −

f (x) := f (x) (x a).

b a

Conseguenze del Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange ha molte applicazioni per le quali, però, viene usato nel seguente

∈ ∈

modo: Se f C[a, b] è derivabile in (a, b) allora per ogni x , x [a, b] esiste c tra x e

1 2 1

x tale che

2 0 · −

f (x ) = f (x ) + f (c) (x x ).

2 1 2 1

Per ottenere questa versione del teorema basta sostituire a, b con x , x e poi risolvere

1 2

l’equazione per f (x ).

2 ∈

Test di Monotonia. Se f C[a, b] è derivabile in (a, b) allora

0

• ⇐⇒ ≥ ∈

f è crescente f (x) 0 per ogni x (a, b);

0

• ⇐⇒ ≤ ∈

f è decrescente f (x) 0 per ogni x (a, b);

0

• ∈ ⇒

f (x) > 0 per ogni x (a, b) f è strettamente crescente;

0

• ∈ ⇒

f (x) < 0 per ogni x (a, b) f è strettamente decrescente.

64 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

Prima di dimostrare il test osserviamo che nel punto 3 e 4 non vale l’equivalenza, basta

0

3 2

considerare f (x) = x per x che è strettamente crescente nonostante che f (x) = 3x

R

si annulla per x = 0.

Dimostreremo soltanto il primo punto. “⇒”: Se f è crescente, allora

Dimostrazione. ≥f (x)

z }| { −f

f (x + h) (x)

0 0 ≥

f (x) = f (x) = lim 0.

+ h

+

h→0 |{z}

>0

0 ≥ ∈ ∈

“⇐”: Sia f (x) 0 per ogni x (a, b). Allora per x , x [a, b] con x < x esiste

1 2 1 2

c (a, b) tale che 0 ·(x − ≥

f (x ) = f (x ) + f (c) x ) f (x ),

2 1 2 1 1

| {z } | {z }

≥0 >0

cioè f è crescente.

3 2

→ − −

Consideriamo la funzione f : f (x) := x 3x + 6x 3. Allora

Esempio. R R,

0 2 2 2

− − − ∈

f (x) = 3x 6x + 6 = 3(x 2x + 1) + 3 = 3(x 1) + 3 > 0 per ogni x R

e quindi f è strettamente crescente e di conseguenza iniettiva. Inoltre lim f (x) =

x→±∞

0

±∞ → 6

e quindi f : è anche suriettiva e quindi invertibile. Visto che f (x) = 0 dal

R R −1 →

risultato sulla derivabilità della funzione inversa (cfr. pagina 57) segue che f : R R

−1 0 1 −3

dove y = f (x ). Per esempio, per y = vale

è derivabile con (f ) (y ) = 0 0 0

0 0

f (x )

0

y = f (0), cioè x = 0 e quindi

0 0 1 1

−1 0

(f ) (−3) = = .

0

f (0) 6

Dal test di monotonia segue anche facilmente la seguente

5.8. Se f, g C[a, b] sono derivabili in (a, b) e

Proposizione 0 0

≥ ≥ ∈

f (a) g(a) e f (x) g (x) per ogni x (a, b)

≥ ∈

allora f (x) g(x) per ogni x [a, b]. 0 0 0

− − ≥

Definiamo h := f g. Allora h (x) = f (x) g (x) 0 e quindi h

Dimostrazione. − ≥ − ≥

è crescente con h(a) = f (a) g(a) 0. Ciò implica h(x) = f (x) g(x) 0, quindi

≥ ∈

f (x) g(x) per ogni x [a, b].

→ ∈

Criterio per Estremi Locali. Sia f : (a, b) derivabile e sia x (a, b) un punto

R 0

0

critico di f (cioè f (x ) = 0). Allora x è un punto di

0 0

0

• massimo locale, se f (x) cambia in x segno da “+” a “−”;

0

0

• minimo locale, se f (x) cambia in x segno da “−” a “+”;

0

max locale min locale

0

0

0 0

)

)

) )

(x)<0

f f

f (x)<0 f

(x)>0 (x)>0

f crescente f crescente

f decrescente f decrescente

--

-

- +

+ x

x 0

0 Criterio per estremi locali.

Figura 35.

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE 65

L’affermazione segue dal test di monotonia: se vale la prima condi-

Dimostrazione.

zione, allora f poco prima di x è crescente mentre poco dopo è decrescente e quindi

0

x è un punto di massimo locale. Similmente segue la seconda affermazione, cfr. anche

0

i grafici.

ln(x)

Sia f : (0, +∞) f (x) := . Allora f è derivabile con

Esempio. R, x

1

· − ·

x 1 ln(x) −

1 ln(x)

0 x

f (x) = = .

2 2

x x

0 ⇐⇒ ⇐⇒

Quindi f (x) = 0 ln(x) = 1 x = e, cioè x = e è l’unico punto critico di f .

0

Inoltre, 0

• ∈ ⇒

ln(x) < 1 per x (0, e) f (x) è positiva prima di x = e,

0

0

• ∈ ⇒

ln(x) > 1 per x (e, +∞) f (x) è negativa dopo x = e

0

0 ⇒

cioè f (x) cambia in x = e segno da “+” a “−” x = e è un punto di massimo locale.

0 0

ln(x)/x

1 1 2 3 4 5 6 7 x

0 e

–1

–2

–3 ln(x)

Grafico di f (x) = .

Figura 36. x

Caratterizzazione di Funzioni Costanti. Se f : (a, b) e derivabile, allora

R

0

⇐⇒ ∈

f è costante f (x) = 0 per ogni x (a, b)

“⇒” Questa implicazione è banale visto che per f è costante il rap-

Dimostrazione.

porto incrementale è 0 e quindi anche ammette limite 0. “⇐” Usando il test di monotonia

dall’ipotesi ( 0

⇒ ≥ ∈ ⇒

f (x) 0 per ogni x (a, b) f è crescente, inoltre

0 ∈

f (x) = 0 per ogni x (a, b) 0

⇒ ≤ ∈ ⇒

f (x) 0 per ogni x (a, b) f è decrescente.

Questa caratterizzazione sembra banale ma tuttavia è utile per dimostrare risultati che

non sono cosı̀ ovvi. \ {0} →

Definiamo f :

Esempio. R R, 1 6

f (x) := arctan(x) + arctan , x = 0.

x

Allora f è derivabile con −1

1 1 1 1

0 · − 6

+ = =0 per ogni x = 0.

f (x) = 2

2 2 2 2

1+ x x 1+ x x +1

1

1+ x

A questo punto, però, non possiamo concludere che f è costante visto che il dominio

\ {0} ∪

X := non è un intervallo. Comunque X = (−∞, 0) (0, +∞) è l’unione di due

R

66 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

intervalli e quindi f è costante sia sul intervallo (−∞, 0) che su (0, +∞). Quindi esistono

c , c tale che

R

1 2 f (x) = c per ogni x > 0 e f (x) = c per ogni x < 0.

1 2

Per calcolare le costanti c , c (che, come vedremo sono diversi) basta scegliere un valore

1 2

opportuno x > 0 e x < 0 poiché in ogni caso f (x ) = c e f (x ) = c . Per la funzione

1 2 1 1 2 2

−1

f possiamo per esempio scegliere x = 1 e x = e cosı̀ risulta

2

1

arctan(x) + arctan = f (x) =

x

( π

π

· = per ogni x > 0,

f (1) = arctan(1) + arctan(1) = 2 4 2

= −π π

· −

f (−1) = arctan(−1) + arctan(−1) = 2 = per ogni x < 0.

4 2

Criterio per Funzioni Lipschitziane.

⊆ → ≥

5.9. Se per f : X esiste una costante L 0 (della costante di

Definizione R R

Lipschitz ) tale che ≤ · |x − | ∈

− L x per ogni x , x X

f (x ) f (x ) 2 1 1 2

2 1

allora f si dice funzione lipschitziana con costante L.

È semplice verificare che ogni funzione lipschitziana è continua mentre

Osservazione.

il contrario non vale. Ciò si vede riscrivendo la relazione nella definizione come

f (x ) f (x )

2 1 ≤ ∈ 6

L per ogni x , x X, x = x ,

1 2 1 2

x x

2 1

che in pratica significa che la pendenza di qualsiasi retta secante attraverso i punti

(x , f (x )) e (x , f (x )) ha (in modulo) al massimo pendenza L. Se ora consideriamo

1 1 2 2 √ ∈

→ x e scegliamo x = 0 e x (0, 1] si vede che la

il grafico di f : [0, 1] f (x) =

R, 1 2

+

pendenza della retta secante tende per x 0 a +∞ e quindi f non è lipschitziana.

2

Dal Teorema di Lagrange segue il seguente Criterio. 0

→ |f ≤ ∈

5.10. Sia f : [a, b] derivabile tale che (x)| L per ogni x (a, b).

Proposizione R 1

Allora f è lipschitziana con costante L. In particolare ogni f C [a, b] è lipschitziana.

∈ 6 ∈

Siano x , x [a, b], x = x . Allora per Lagrange esiste c (a, b)

Dimostrazione. 1 2 1 2

tale che f (x )−f (x ) 0

2 1 ≤ ∈

L per ogni x , x X

= f (c) 1 2

−x

x 2 1

0

1

∈ ∈

Se f C [a, b], allora f C[a, b] è limitata per il teorema di Weierstraß.

Le Regole di de l’Hospital

Partiamo con il seguente importante

Calcolare il limite

Problema. f (x)

lim g(x)

x→x 0 ±∞

0

che al limite rappresenta una forma indeterminata del tipo oppure .

±∞

0

Per esempio sin(x) 0 ln(x) +∞

lim = oppure lim = .

x 0 x +∞

x→+∞

x→0

Nonostante i due limiti precedenti si possano calcolare anche direttamente, le seguen-

ti regole ne semplificano molto lo svolgimento. Non presentiamo la dimostrazione che

comunque si basa sempre sul Teorema di Lagrange.

−∞ ≤ ≤ →

5.11 (Regole di de l’Hospital ). Siano a < b +∞ e f, g : (a, b)

Teorema R

tale che LE REGOLE DI DE L’HOSPITAL 67

• ±∞,

lim f (x) = lim g(x) = 0 oppure =

+ +

x→a x→a 0

• 6

f, g sono derivabili con g (x) = 0 per ogni x vicino ad a,

0

f (x)

• ∈

lim =: l esiste.

R

0

g (x)

+

x→a

Allora anche f (x)

lim = l.

g(x)

+

x→a ∈

La stessa conclusione vale anche per limiti del tipo lim e lim per x (a, b).

0

x→x

x→b 0

Prima di svolgere alcuni esempi facciamo le seguenti

0 f (x)

f (x)

• non esiste non si può dedurre che anche lim

Se lim

Osservazione. 0

g (x) g(x)

+

+ x→a

x→a

non esiste. Cioè l’Hospital offre soltanto una condizione sufficiente ma non neces-

saria per l’esistenza di un limite. Per verificare ciò consideriamo

limitato

z }| {

sin(x)

x + sin(x) =1

= lim 1 +

lim x x

x→+∞

x→+∞ |{z}

→+∞

che quindi converge mentre 0

x + sin(x) 1 + cos(x)

lim = lim

0

(x) 1

x→+∞ x→+∞

non esiste.

• L’Hospital non si deve applicare a forme determinate. Per esempio

0

1+ x 1 (1 + x) 1

6

lim = = lim = lim = 1.

0

2 + x 2 (2 + x) 1

x→0 x→0 x→0

H

Consideriamo ora alcuni esempi in cui il simbolo “

=” significa che abbiamo applicato

l’Hospital, cioè derivato numeratore e denumeratore.

• Sia α > 0. Allora

Esempi. 1

ln(x) 1

H

+∞ x

lim = = lim = lim = 0.

+∞

α α−1 α

· ·

x α x α x

x→+∞ x→+∞

x→+∞

• Usando piccoli trucchi si possono anche studiare limiti che all’inizio non sono della

±∞

00 oppure . Per esempio, per α > 0 vale

forma indeterminata ±∞ 1 α

ln(x) x

H

−∞

α x

· ·

lim x ln(x) = 0 (−∞) = lim = = lim = lim = 0.

+∞

−α −α−1

−αx −α

x

+ + + +

x→0 x→0 x→0 x→0

• Puó succedere anche che dopo un’applicazione di l’Hospital si ottiene nuovamen-

te una forma indeterminata ammessa. In questi casi si può provare ad applicare

l’Hospital più volte. Per esempio

− −

x sin(x) 1 cos(x) sin(x) cos(x) 1

H H H

0 0 0

lim = = lim = = lim = = lim = .

0 0 0

3 2

x 3x 6x 6 6

x→0 x→0 x→0 x→0

Qui la seconda e terza applicazione di l’Hospital si potrebbe evitare ricordando i

limiti notevoli (1) e (2) a pagina 42. Però confrontando i procedimenti si vede che

le regole di l’Hospital hanno semplificato notevolmente il calcolo di questi limiti.

g(x)

• Per calcolare limiti del tipo lim f (x) si procede come segue:

x→x 0

lim g(x)·ln f (x)

g(x) g(x)·ln f (x)

x→x

lim f (x) = lim e = e 0

x→x x→x

0 0

dove l’ultima uguaglianza segue dalla continuità della funzione esponenziale.

68 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

Per dare un esempio concreto consideriamo

x+ex

ln 0

1 lim ln(1)

ln(0+e )

0

x sin(x)

x + e

lim = e = e

= e = e

sin(x) x→0 0 0 0

x→0 ·(1+ex

1 )

x+ex

lim

H cos(x)

= e x→0

2

= e .

Approssimazione Lineare di Funzioni →

Torniamo ora al problema iniziale posto a pagina 53: Data f : (a, b) e un punto

R

x (a, b), trovare

0

(i) la retta tangente t al grafico di f nel punto P = (x , f (x )), e

0 0 0

· ≤

(ii) un’approssimazione lineare g(x) = α x + β (cioè g è un polinomio di grado 1)

per f (x) per x vicino a x .

0

Abbiamo risolto (i): Se f è derivabile, allora la retta tangente t è data dall’equazione

0 · −

t(x) = f (x ) + f (x ) (x x ).

0 0 0 ≤

Quindi la retta tangente definisce un polinomio di grado 1 e di conseguenza si può

avere l’idea di usare proprio g(x) := t(x) come approssimazione lineare. Come vedremo

in seguito, questa scelta è infatti in un certo senso la migliore possibile. Per verificare

ciò scriviamo 0 · − + r(x)

f (x) = t(x) + r(x) = f (x ) + f (x ) (x x )

0 0 0 |{z}

| {z }

approssimazione lineare resto (o errore)

cioè r(x) = f (x) t(x). t )

t(x) = r(x)

f

f(x)

f(x )

0 x

x

0 Il resto r(x).

Figura 37.

Studiamo le proprietà di r(x):

• r(x ) = 0 cioè nel punto x l’approssimazione dà il valore esatto,

0 0

• vale −

r(x) f (x) f (x )

0 0

−f → →

(x ) 0 per x x .

= 0 0

− −

x x x x

0 0

| {z }

0

→f (x )

0 − →

Cioè r(x) tende a 0 più rapidamente di x x per x x .

0 0

Per confrontare meglio il comportamento di due funzioni facciamo la seguente

5.12. Se

Definizione f (x)

lim =0

g(x)

x→x 0 →

allora si dice che f è o-piccolo di g per x x e in questo caso si scrive f (x) = o(g(x))

0

→ →

per x x o più brevemente f = o(g) per x x .

0 0

LA FORMULA DI TAYLOR 69

• o(·) si chiama simbolo di Landau.

Osservazioni.

• →

f = o(g) per x x significa per

0 → → →

– infinitesimi che f (x) 0 più rapidamente che g(x) 0 per x x ;

0

→ ±∞ → ±∞ →

– infiniti che f (x) più lentamente che g(x) per x x .

0

ln(x)

• → → →

ln(x) = o(x) per x +∞ poiché 0 per x +∞.

Esempi. x

• − →

1 cos(x) = o(x) per x 0 poiché

− −

1 cos(x) 1 cos(x) 1

· → · →

= x 0=0 per x 0.

2

2

x x |{z}

→0

| {z }

12

2 2

• → ±∞ →

x = o(x ) per x mentre x = o(x) per x 0.

• → → ⇐⇒ →

f (x) 0 per x x f (x) = o(1) per x x .

0 0

• Tornando al problema di approssimazione lineare possiamo ora dire che r(x) =

− →

o(x x ) per x x .

0 0

Con gli o-piccoli si possono caratterizzare le funzioni derivabili.

→ ∈

5.13. Per una funzione f : (a, b) e x (a, b) le seguenti afferma-

Proposizione R 0

zioni sono equivalenti.

(a) f è derivabile in x .

0

∈ · − −

(b) Esiste A tale che f (x) = f (x ) + A (x x ) + o(x x ).

R 0 0 0

0

In questo caso A = f (x ).

0

Quindi questa proposizione stabilisce che l’approssimazione lineare t(x) data dalla retta

tangente t è l’unica che lascia un resto r(x) che per x x tende a 0 più rapidamente

0

che la distanza x x tra x e x . Cioè per ogni altra scelta di approssimazione con un

0 0

polinomio di grado 1 il resto tende a zero più lentamente. In questo senso t(x) è la

migliore approssimazione lineare possibile di f (x) per x vicino a x .

0

Consideriamo alcuni x

• Se f (x) = e e x = 0, allora la derivabilità di f implica

Esempi. 0

0

x 0 0

· ·

e = f (0) + f (0) x + o(x) = e + e x + o(x), cioè

x →

e = 1 + x + o(x) per x 0.

• Se f (x) = sin(x) e x = 0, allora la derivabilità di f implica

0

0 · ·

sin(x) = f (0) + f (0) x + o(x) = sin(0) + cos(0) x + o(x), cioè

sin(x) = x + o(x) per x 0.

• Se f (x) = ln(1 + x) e x = 0, allora la derivabilità di f implica

0

0 1

· ·

ln(1 + x) = f (0) + f (0) x + o(x) = ln(1) + x + o(x), cioè

1+0 →

ln(1 + x) = x + o(x) per x 0.

La Formula di Taylor

Abbiamo quindi risolto anche il problema dell’approssimazione lineare, cioè di approssi-

mare il valore f (x) di un funzione (possibilmente molto complicata) vicino al punto x

0

con un polinomio t(x) (cioè con una funzione molto semplice) di grado 1.

A questo punto si può avere l’idea di limitare il grado dell’approssimazione non a 1 ma

a un numero n qualsiasi. Cioè si può generalizzare il problema dell’approssimazione

N

lineare nel seguente modo: → ∈ ∈

Data f : (a, b) x (a, b) e n approssimare f (x) per x vicino a

Problema. R, N,

0 ≤

x con un polinomio T (x) di grado n

0 n

Per n = 1 abbiamo visto che T (x) = t(x) è la migliore scelta possibile. Per risolvere il

1

problema per n dobbiamo prima introdurre le

N

70 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

Derivate Successive. 0

5.14. Se f è derivabile e tale che f è nuovamente derivabile, allora

Definizione

possiamo definire 2

d f

0

0 00 2

f =: f = derivata seconda =: D f =: .

2

dx

Se si può continuare in questa maniera n volte otteniamo n

d f

(n) n .

f = derivata n-esima =: D f =: n

dx

0 (0)

∈ ≥

Inoltre, se I è un’intervallo e n definiamo C (I) := C(I) (e f := f ) e per n 1

N f è derivabile n-volte

n →

C (I) := f : I R (n)

e f è continua

n

Se f C (I) si dice anche che f è derivabile n-volte con continuità (qui la continuità si

(n)

riverisce alla derivata n-esima f e non a f ). 0

Se f (x) = sin(x), allora f è derivabile con f (x) = cos(x) che è anche deri-

Esempio. 00 0 −

vabile. Quindi otteniamo f (x) = cos (x) = sin(x) che è nuovamente derivabile. Cosı̀

0

000 − −

otteniamo f (x) = sin (x) = cos(x) che è sempre derivabile. Quindi esiste anche

0

(4) −

la derivata quarta che indichiamo con il simbolo f (x) = cos (x) = sin(x) = f (x).

Quindi dopo 4 derivazioni si ritorna alla funzione originale.

Dopo questo intermezzo sulle derivate successive possiamo tornare al problema dell’ap-

prossimazione di f (x) per x vicino a x attraverso un polinomio di grado n. Per

0

ottenere un’idea come si può risolvere questo problema consideriamo i casi n = 0 e

n = 1.

• ≤

Per n = 0 la migliore approssimazione con un polinomio di grado 0 (cioè con

una costante) è ovviamente T (x) := f (x ) = T (x ), cioè T e f hanno in x il

0 0 0 0 0 0

valore in comune: T (x ) = f (x ).

0 0 0

• Per n = 1 il problema diventa quello dell’approssimazione lineare che abbiamo

risolto precedentemente: Se f è derivabile in x allora la migliore approssimazione ci

0

0 0 0

· −

dà t(x) =: T (x) = f (x ) + f (x ) (x x ). Quindi T (x ) = f (x ) e T (x) = f (x )

1 0 0 0 1 0 0 0

1

cioè T e f hanno in x il valore e derivata prima in comune:

1 0 T (x ) = f (x ),

1 0 0

0 0

T (x ) = f (x ).

0 0

1

Quindi per n 2 supponiamo che f sia n-volte derivabile e poi cerchiamo un polinomio

T che con f ha in x valore e tutte le derivate fino alla n-esima in comune:

n 0 

T (x ) = f (x ),

n 0 0 

0 0 

T (x ) = f (x ), 

0 0

n 

 ⇐⇒ : f e T hanno contatto di ordine n in x

.. n 0

. 

(n) (n) 

T (x ) = f (x ).

0 0

n

Visto che questo sistema consiste da n + 1 equazione e il polinomio T da determinare

n

ha n + 1 coefficienti a , . . . a come incognite, il seguente risultato è plausibile.

R

0 n LA FORMULA DI TAYLOR 71

n

∈ ∈

5.15. Se f C (a, b) e x (a, b) allora esiste un’unico polinomio T

Proposizione 0 n

di grado n che ha un contatto di ordine n in x con f . Questo polinomio si chiama

0

polinomio di Taylor di ordine n con centro x generato da f ed è dato da

0

00 (n)

f (x ) f (x )

0 0

0 2 n

· − · − · −

T (x) = f (x ) + f (x ) (x x ) + (x x ) + . . . + (x x )

n 0 0 0 0 0

2! n!

n (k)

f (x )

0

X k

· −

= (x x ) .

0

k!

k=0

Infine, se x = 0, allora T viene anche chiamato polinomio di McLaurin.

0 n

Verifichiamo soltanto che per n = 3 il polinomio T definito sopra ha

Dimostrazione. 3

3

∈ ∈

contatto di ordine 3 con f C (a, b) in x (a, b). Infatti

0

00 000

f (x ) f (x )

0 2 3

0 0

· − · − · − ⇒

T (x) = f (x ) + f (x ) (x x ) + (x x ) + (x x ) T (x ) = f (x ),

3 0 0 0 0 0 3 0 0

2 3!

000

f (x )

0 0 00 0 0

2

0

· − · − ⇒

T (x) = f (x ) + f (x ) (x x ) + (x x ) T (x ) = f (x ),

0 0 0 0 0 0

3 3

2

00 00 000 00 00

· − ⇒

T (x) = f (x ) + f (x ) (x x ) T (x ) = f (x ),

0 0 0 0 0

3 3

000 000 000 000

T (x) = f (x ) T (x ) = f (x ).

0 0 0

3 3

x n (k) x

∈ ∈

Sia f (x) = e . Allora f C (R) per ogni n con f (x) = f (x) = e per

Esempio. N

(k) 0

≤ ≤ ≤ ≤

ogni 0 k n. Quindi risulta per x = 0 che f (x ) = e = 1 per ogni 0 k n e di

0 0

conseguenza n

3 n k

2 X

x x x

x + + . . . + = .

T (x) = 1 + x +

n 2 3! n! k!

k=0

x

e

20 (x)

T 4

15 (x)

T 3

10 T (x)

2

5 (x)

T 1

T (x)

0 x

- - -

3 2 1 1 2 3 x

I primi polinomi di McLaurin di f (x) = e .

Figura 38.

Prima di considerare altri esempi ci poniamo il seguente

Quanto vale il resto (o errore) dovuto all’approssimazione con il polinomio

Problema.

di Taylor, cioè −

R (x) := f (x) T (x) = ?

n n

Consideriamo prima i casi che abbiamo già studiati.

n = 0: Per il Teorema di Lagrange esiste c tra x e x tale che

0

0

− − · −

R (x) = f (x) T (x) = f (x) f (x ) = f (c) (x x )

0 0 0 0 0

= o(1) = o (x x ) .

0

n = 1: Visto che T (x) = t(x) = approssimazione lineare (cfr. pagina 68) segue

1 1

R (x) = r(x) = o (x x ) .

1 0

72 5. CALCOLO DIFFERENZIALE

Nel caso generale n vale la seguente generalizzazione di queste rappresentazioni di

N

R (x).

n n+1

∈ ∈

5.16 (Formula di Taylor ). Sia f C (a, b) e sia x (a, b). Allora per

Teorema 0

R (x) := f (x) T (x) vale

n n

• n

− →

R (x) = o (x x ) per x x (Resto di Peano)

n 0 0

• esiste c tra x e x tale che

0 (n+1)

f (c) n+1

· −

R (x) = (x x ) (Resto di Lagrange)

n 0

(n + 1)!

• ∈

Per la formula di Taylor con il resto di Peano basta che f

Osservazioni.

n

C (a, b).

• La Formula di Taylor con il

– Resto di Peano è un affermazione qualitativa, cioè afferma soltanto con che

velocità il resto R (x) tende a 0 per x x ;

n 0

– Resto di Lagrange è un affermazione quantitativa, che permette anche valutare

la grandezza del resto (si noti tuttavia che c non è noto).

• ≤

Se per un polinomio p(x) di grado n vale

n

− − →

f (x) p(x) = o (x x ) per x x ,

0 0 ≤

allora p(x) = T (x). In altre parole T (x) è l’unico polinomio di grado n che

n n n

→ −

lascia un resto che tende più rapidamente a 0 per x x che (x x ) . In questo

0 0

senso la scelta di T (x) come approssimazione di f (x) per x vicino a x è ottima.

n 0

Questa osservazione ci permetterà in seguito di calcolare T (x) senza calcolare

n

alcuna derivata. n

• −

Una rappresentazione esplicita del tipo f (x) = T (x) + o((x x ) ) si chiama

n 0

sviluppo di Taylor di f di ordine n e centro x .

0

Calcoliamo appunto alcuni sviluppi di Taylor. x

• Dall’esempio precedente segue per f (x) = e e x = 0 che

Esempi. 0

n

3 n k

2 X

n n

x x x x x →

e = 1 + x + + + ... + + o(x ) = + o(x ) per x 0.

2 3! n! k!

k=0

2 3

x x

x 3 →

Per esempio e = 1 + x + + + o(x ) per x 0.

2 6 0

• Abbiamo già visto nell’esempio su pagina 70 che per f (x) = sin(x) vale f (x) =

00 000 (4)

− −

cos(x), f (x) = sin(x), f (x) = cos(x) e f (x) = sin(x) = f (x). Quindi

n

∈ ∈ ∈

f C (R) per ogni n e per ogni k vale

N N

(2k) (2k+1) k k

±

f (0) = sin(0) = 0 e f (0) = (−1) cos(0) = (−1) .

Ciò implica n

3 5 2n+1 2k+1

x x x x

X

n k

− ∓ ·

T (x) = x + . . . + (−1) = (−1)

2n+1 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)!

k=0

e quindi 3 5 2n+1

x x x

n 2n+1

− ∓

sin(x) = x + . . . + (−1) + o(x )

3! 5! (2n + 1)!

n 2k+1

x

X k 2n+1

· →

= (−1) + o(x ) per x 0.

(2k + 1)!

k=0 LA FORMULA DI TAYLOR 73

(2n+2)

Siccome per ogni n vale f (0) = 0 segue T (x) =

Osservazione. N 2n+2

T (x) e di conseguenza

2n+1 2n+2 2n+2

f (x) = T (x) +o(x ) = T (x) + o(x ).

2n+2 2n+1

| {z }

=T (x)

2n+1

Cosı̀ risulta lo sviluppo

n 2k+1

x

X 2n+2

k →

· + o(x ) per x 0.

sin(x) = (−1) (2k + 1)!

k=0

Per esempio per n = 1 vale =0

z }| {

(4)

3

x f (0) 4

− ·

T (x) = x + x = T (x)

4 3

3! 4!

e quindi 3

x 4

− →

sin(x) = x + o(x ) per x 0.

6 3

x 3

Lo sviluppo precedente è migliore dello sviluppo sin(x) = x + o(x ) in quanto

6

4 3

per x 0 l’espressione x tende più rapidamente a zero che x .

Questo guadagno di un grado nel o(·) si ottiene anche per altri sviluppi di McLaurin

(cioè per x = 0) di funzioni pari oppure dispari in quanto

0

– tutte le derivate di ordine pari di una funzione dispari in x = 0 si annullano

0

(come sopra per il sin),

– tutte le derivate di ordine dispari di una funzione pari in x = 0 si annullano

0

(per esempio per il cos).

Di conseguenza in uno sviluppo di McLaurin di una

k

– funzione pari compariranno soltanto termini x con k pari, mentre per

k

– funzione dispari compariranno soltanto termini x con k dispari.

Nella stessa maniera seguono i seguenti sviluppi.

• Come già sopra indicato vale per f (x) = cos(x) (= funzione pari) e x = 0 che

0

T (x) = T (x). Quindi

2n 2n+1 n 2k

x

X 2n+1

k →

· + o(x ) per x 0.

(−1)

cos(x) = (2k)!

k=0 2 4

x x 5

− →

Per esempio per n = 2 otteniamo cos(x) = 1 + + o(x ) per x 0.

2 24

• Per le funzioni iperboliche sinh (= dispari) e cosh (= pari) valgono i seguenti

sviluppi che sono molto simili a quelli delle funzioni circolari sin e cos:

n 2k+1

x

X 2n+2 →

+ o(x ) per x 0,

sinh(x) = (2k + 1)!

k=0

n 2k

x

X 2n+1 →

cosh(x) = + o(x ) per x 0.

(2k)!

k=0 3 2 4

x x

x 4 5 →

Per esempio sinh(x) = x + + o(x ) e cosh(x) = 1 + + + o(x ) per x 0.

6 2 24

• Per f (x) = arctan(x) (= funzione dispari) e x = 0 vale T (x) = T (x).

0 2n+1 2n+2

Quindi n 2k+1

x

X k 2n+2

· →

arctan(x) = (−1) + o(x ) per x 0.

2k + 1

k=0

74 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 3 5

x x 6

− →

Per esempio per n = 2 otteniamo arctan(x) = x + + o(x ) per x 0.

3 5

• →

Scegliendo f : (−1, +∞) f (x) := ln(1 + x) e x = 0 si ottiene

R, 0

n k

x

X n

k+1 →

·

ln(1 + x) = + o(x ) per x 0.

(−1) k

k=1

• ∈ ∈

Per α e k definiamo il coefficiente binomiale generalizzato

R N

 1 se k = 0

α 

:= · − · − · · −

α (α 1) (α 2) . . . (α k + 1)

k altrimenti.

 · · · ·

1 2 3 ... k

1

1

1 ·( −1) 18 α

− →

Per esempio = = . Allora per f : (−1, +∞) f (x) := (1 + x)

2 2

2 R,

1·2

2

per α e x = 0 si ottiene

R 0 n

X α

α k n

· →

(1 + x) = x + o(x ) per x 0

k

k=0

che è una generalizzazione della formula del binomio di Newton (cfr. pagina 10)

1

∈ e n = 2 otteniamo

per esponenti α Per esempio, scegliendo α =

R. 2

√ 1 1 1

1 0 1 2 2

· · ·

1 + x = (1 + x) = x + x + x + o(x )

2 2 2

2 0 1 2

2

x

x 2

− →

+ o(x ) per x 0.

=1+ 2 8

La Formula di Taylor è molto importante come si vede anche dalle seguenti

Applicazioni della Formula di Taylor

n

∈ ≥ ∈

Criterio per Estremi Locali. Sia f C (a, b) per n 2 e sia x (a, b) tale che

0

0 00 (n−1) (n) 6

f (x ) = 0 = f (x ) = . . . = f (x ) e f (x ) = 0.

0 0 0 0

Se n è pari, allora f ammette in x un

0

(n)

• minimo locale, se f (x ) > 0,

0

(n)

• massimo locale, se f (x ) < 0.

0

Se n è dispari, allora x non è un punto di estremo locale di f .

0 0

Il caso più importante è n = 2: Se f (x ) = 0 e

0

00

• ⇒

f (x ) > 0 x è un punto di minimo locale,

0 0

00

• ⇒

f (x ) < 0 x è un punto di massimo locale.

0 0 Per La Formula di Taylor con Resto di Peano vale

Cenno della Dimostrazione. =0

z }| {

(n−1) (n)

f (x )

f (x )

0 n−1 n

0 0

· − · − · −

f (x ) (x x ) + . . . + (x x ) + (x x )

f (x) = f (x ) +

0 0 0 0 0

n!

(n−1)!

n

+ o (x x )

0

| {z }

=“piccolo errore” trascurabile

n

≈ · −

f (x ) + c (x x ) per x vicino a x

0 0 0

(n)

f (x )

0

e con c = . Quindi anziché studiare se x è un punto di estremo locale di f (x)

0

n! n

· −

basta considerare la stessa questione per il polinomio p(x) = f (x ) + c (x x ) . A

0 0

questo punto ci sono tre casi, cfr. il seguente grafico.

n

⇐⇒

(1) n pari e c > 0 ( f (x ) > 0): Allora x è un punto di minimo locale;

0 0

n

⇐⇒

(2) n pari e c < 0 ( f (x ) < 0): Allora x è un punto di massimo locale;

0 0

(3) n dispari: Allora x non è un punto di estremo locale.

0

APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 75

p(x) p(x)

p(x) c>0

f (x )

0 f (x )

0

f (x )

0 c<0

x x x

x x

x 0 0

0 ⇒ ⇒

(1) n pari c > 0 min (2) n pari c < 0 max (3) n dispari

Criterio per estremi locali.

Figura 39.

0 00 0

2

• ⇒

Consideriamo f (x) = x . Allora f (x) = 2x e f (x) = 2 f (0) = 0 e

Esempi.

00 ⇒

f (0) > 0 (cioè n = 2 = pari) x = 0 è un punto di minimo di f .

0

0 00 000 0

3 2

• ⇒

Consideriamo f (x) = x . Allora f (x) = 3x , f (x) = 6x e f (x) = 6 f (0) =

00 000 6 ⇒

0 = f (0) e f (0) = 0 (cioè n = 3 = dispari) x = 0 non è un punto di estremo

0

di f . 0

• ∈

Sia f (x) = x·sin(x)−cos(2x), x Allora f (x) = x·cos(x)+1·sin(x)+sin(2x)·2

R.

0

e quindi f (0) = 0, cioè x = 0 è un punto critico di f . Per decidere la sua natura

0

calcoliamo anche le derivate successive in x = 0:

0

00 00

· · · · ⇒ ·

f (x) = x (− sin(x)) + 1 cos(x) + cos(x) + 2 cos(2x) 2 f (0) = 0 + 1 + 1 + 2 2 =

6 > 0 x = 0 è un punto di minimo locale di f .

0

Calcolo dei Limiti. Generalizziamo prima il concetto di asintoticità dalle successioni

alle funzioni. f (x) = 1, allora si dice che f (x) e g(x) sono asintotiche e

5.17. Se lim

Definizione g(x)

x→x 0

∼ ∼ →

si scrive f (x) g(x) (o anche solo f g) per x x .

0

∼ →

Se f g per x x , allora f (x) e g(x) hanno lo stesso comportamento

Osservazione. 0

→ → ⇐⇒ → →

asintotico, cioè f (x) l per x x g(x) l per x x .

0 0

Come per le successioni anche per le funzioni vale il

∼ ∼ →

5.18 (Principio di Sostituzione). Se f f e g g per x x , allora

Teorema 1 2 1 2 0

· ∼ · → · ⇐⇒ ·

f g f g per x x , in particolare lim f (x) g (x) = l lim f (x) g (x) = l

1 1 2 2 0 1 1 2 2

x→x x→x

0 0

f f f (x) f (x)

1 2 1 2

∼ → ⇐⇒

per x x , in particolare lim = l lim = l

0

g g g (x) g (x)

x→x x→x

0 0

1 2 1 2

Quindi in prodotti e rapporti si possono sostituire espressioni con altre espressioni asinto-

tiche senza cambiare il comportamento asintotico, in particolare senza cambiare il limite

se esiste. • ∼ →

sin(x) x per x 0 poiché

Esempi. sin(x) = 1.

lim x

x→0

2

x

• − ∼

1 cos(x) poiché

2 − −

1 cos(x) 1 1 cos(x) 1

· ·

lim = lim = 2 = 1.

1

2 2

x x 2

x→0 x→0

2

2

Come già per le successioni, il principio di sostituzione !!! NON !!! vale per somme,

∼ ∼ →

differenze o potenze, cioè se f f e g g per x x allora

1 2 1 2 0

• 6⇒ ± ∼ ± →

f (x) g (x) f (x) g (x) per x x ,

1 1 2 2 0

g (x) g (x)

1 2

• 6⇒ ∼ →

f (x) f (x) per x x .

1 2 0


PAGINE

156

PESO

3.38 MB

AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Concetti fondamentali di analisi matematica. Nozioni di logica matematica; concetto di insieme e le principali operazioni; il principio di induzione; progressione geometrica; fattoriale e coefficienti binomiali; formula del binomio di Newton e il triangolo di Tartaglia; i numeri naturali N, interi Z, razionali Q e reali R; valore assoluto e disuguaglianza triangolare; minimo e massimo, estremo inferiore ed estremo superiore, l’assioma di completezza. Successioni numeriche: Successioni convergenti, divergenti, oscillanti e limitate; regole per il calcolo dei limiti; numeri reali estesi R, 0+ e 0-; forme determinate e indeterminate; infinitesimi e infiniti, confronto tra infinitesimi e tra infiniti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri, successioni monotone, il numero di Nepero; successioni asintotiche e il principio di sostituzione. Serie numeriche: Serie convergenti, divergenti ed irregolari; criterio necessario per la convergenza; serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, serie a termini di segno variabili, il criterio di Leibniz, convergenza semplice e convergenza assoluta; serie armonica, armonica generalizzata, geometrica ed esponenziale.
Funzioni reali di una variabile reale: Funzioni iniettive, suriettive, biettive, pari e dispari, periodiche e monotone; funzione inversa; funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, potenza, funzione esponenziale, iperboliche, circolari, grafici; somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni; funzioni monotone e limitate; punti di accumulazione, limiti delle funzioni reali, limite destro e sinistro; regole per il calcolo di limiti; limiti e ordinamento: teorema del confronto e dei carabinieri per le funzioni; limiti notevoli. Funzioni continue di una variabile: Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi, il metodo di bisezione; continuità delle funzioni elementari e delle loro inverse:
logaritmi, inverse delle funzioni circolari e iperboliche; funzioni continue su un intervallo chiuso
e limitato: teorema di Weierstraß. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Rapporto incrementale; definizione di derivata e significato geometrico, retta tangente; regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari e delle loro inverse; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di
Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; funzioni con derivata zero;
funzioni lipschitziane; le regole di de l’Hospital; approssimazione lineare di una funzione; il differenziale; le derivate successive; i simboli di Landau; funzioni con contatto di ordine n; polinomio di Taylor e di Mac Laurin; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; i polinomi di Taylor delle funzioni elementari; applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti con il principio di sostituzione, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari. Studio di funzione: Estremi locali, zeri, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, concavità e convessità, punti di flesso. Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L’integrale di Riemann e significato geometrico; somme inferiori e superiori, caratterizzazione delle funzioni integrabili; classi di funzioni integrabili; proprietà dell’integrale; teorema della media, la funzione integrale e il teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive e integrale indefinito; metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza; criterio integrale per le serie. Funzioni reali di più variabili: Funzioni reali di più variabili, grafico; norma in Rn e limiti in Rn; funzioni continue di più variabili; derivate direzionali e derivate parziali; gradiente; continuità e derivabilità, approssimazione lineare, piano tangente; funzioni a valori vettoriali: Funzioni di più variabili a valori vettoriali, la Jacobiana, regola della catena, trasformazioni regolari di coordinate: coordinate polari, circolari e sferiche, trasformazioni regolari, invertibilità locale di trasformazioni. Calcolo Integrale per funzioni di più variabili: Integrazione di funzioni di due variabili, integrale di Riemann, misura di un insieme, proprietà dell’integrale, domini semplici e regolari, teorema di Fubini, interpretazione geometrica; cambiamento di variabili, integrazione in coordinate polari; cenno su integrali tripli.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria edile - architettura (ordinamento U.E.)
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Engel Klaus Jochen Otto.

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