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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti di analisi complessa ( )

z cos i sen e

Possiamo però vedere questo anche con un po’ di calcoli. Siano = ρ ϑ + ϑ

( )

w r cos i sen , per cui z e w r , e calcoliamo il quadrato di z w

= α + α = ρ = +

2 2 2 2 2

( ) ( )

z w r 2 r cos cos sen sen r 2 r cos

+ = ρ + + ρ ϑ α + ϑ α = ρ + + ρ ϑ − α

Ora osserviamo che se z w 0 allora è ovvio che z w z w (infatti z w è

− ≤ − ≤ + +

sempre positivo), se viceversa z w 0 possiamo passare ai quadrati e la disuguaglianza

− >

triangolare equivale a 2 2 2

( ) ( )

z w z w z w

− ≤ + ≤ +

Scriviamola in termini di ed r:

ρ 2 2

2 2

( ) ( ) ( )

r r 2 r cos r

ρ − ≤ ρ + + ρ ϑ − α ≤ ρ +

che è sempre vera. Le disuguaglianze triangolari torneranno molto utili nel prosieguo.

La disponibilità di una distanza ci permette di definire degli insiemi molto utili sul piano

complesso:

definiamo intorno di raggio di un punto z l’insieme dei punti del piano che distano da z

δ 0 0

, ovvero

meno di δ { }

( )

I z : z

; z z

= − < δ

0 0

δ

definiamo di un insieme A un punto z tale per cui esiste un suo intorno

• PUNTO INTERNO 0

di raggio tutto contenuto nell’insieme A;

δ

definiamo dell’insieme A un punto z tale per cui esiste un suo intorno di

• PUNTO ISOLATO 0

raggio tutto esterno all’insieme A eccetto che per il punto z stesso;

δ 0

definiamo per l’insieme A un punto z tale per cui qualunque suo

• PUNTO FRONTIERA 0

intorno di raggio comunque piccolo contiene punti appartenenti all’insieme A e punti

δ

non appartenenti ad esso;

definiamo per l’insieme A un punto z tale per cui qualunque

• PUNTO DI ACCUMULAZIONE 0

suo intorno di raggio comunque piccolo contiene punti appartenenti all’insieme A

δ

diversi da z stesso.

0 I-11

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Vediamo che sono le stesse definizioni dell’analisi reale. In particolare osserviamo che un

punto frontiera è o un punto isolato o un punto di accumulazione per l’insieme. Naturalmente

non è detto che un punto di accumulazione sia un punto frontiera (perché?).

L’insieme dei punti frontiera di A è detto A, usualmente indicata con .

A

FRONTIERA DI

L’insieme unione di A e della sua frontiera è detto A. Attenzione, un punto

CHIUSURA DI

frontiera non è necessario che appartenga all’insieme. L’insieme dei punti interni di A è detto

A, lo indicheremo (quando e se servirà) come . L’insieme (dove con

int A A

C −

INTERNO DI

intendiamo il campo complesso) è l’insieme o più in breve il

C COMPLEMENTARE

di A. Il complemento della chiusura di A è detto A. Cioè è

COMPLEMENTO ESTERNO DI

composto da tutti quei punti che non appartengono ad A né sono punti frontiera per A. In

definitiva un insieme A divide i punti di in: interno di A, esterno di A e frontiera di A. Un

C

insieme che contiene solo punti interni, cioè che non contiene nessun suo punto frontiera, è un

. Il complementare di un aperto è un insieme

insieme aperto, o più brevemente un APERTO

chiuso, cioè un insieme che contiene la propria frontiera, vale a dire tutti i suoi punti frontiera.

Un insieme è se esiste un numero reale e positivo M tale che per tutti i punti z

LIMITATO

appartenenti all’insieme si abbia z M ; altrimenti è .

< ILLIMITATO

Un insieme è se non può essere rappresentato come unione di due insiemi disgiunti

CONNESSO

A e B ognuno non contenente punti frontiera dell’altro. Intuitivamente vuol dire che è un

unico pezzo di piano. Un insieme si dice se è connesso anche il

SEMPLICEMENTE CONNESSO

suo complemento, ovvero se ogni curva chiusa tutta contenuta nell’insieme circonda solo

punti dell’insieme stesso. Intuitivamente: se oltre ad essere in un solo pezzo non ha buchi.

.

Un insieme aperto e connesso è detto una REGIONE

Teorema (non lo dimostreremo):

DUE PUNTI QUALUNQUE DI UNA REGIONE POSSONO SEMPRE ESSERE CONGIUNTI

.

CON UN POLIGONO TUTTO CONTENUTO ENTRO LA REGIONE

Si può dimostrare anche che si può fare con un poligono formato da soli segmenti paralleli

agli assi coordinati (diciamo: segmenti orizzontali e verticali).

I-4. La sfera di Riemann e il punto all’infinito

Immaginiamo una sfera di raggio unitario col centro nell’origine, tagliata quindi a metà dal

piano complesso, e consideriamo il diametro perpendicolare al piano stesso. Questo diametro

intersecherà la superficie sferica in due punti, uno “al di sopra” ed uno “al di sotto” del piano.

Scegliamone uno, quello al di sopra, e chiamiamolo N, come polo Nord. Se tracciamo una

I-12

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semiretta uscente questo punto e passante per un generico punto z del piano, essa intersecherà

la superficie sferica in un punto P . Si crea in questo modo una corrispondenza biunivoca tra i

z

punti del piano e quelli della superficie sferica. I punti del piano interni al cerchio definito

dall’intersezione della sfera col piano saranno in corrispondenza con i punti della superficie

emisferica inferiore, e in particolare l’origine con il “polo Sud”, i punti esterni con quelli della

semisfera superiore. E il punto N (il “polo Nord”)? Esso corrisponde all’infinito, e in

particolare al “punto all’infinito”, considerato unico. Inoltre un intorno di N corrisponde sul

piano ad un ’ .

INTORNO DELL INFINITO

Figura I-5: la sfera di Riemann

Se all’insieme dei numeri complessi aggiungiamo il punto all’infinito otteniamo il PIANO

, cui spesso ci riferiremo nel prosieguo.

COMPLESSO ESTESO I-13

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II. Funzioni complesse di variabile complessa

Una funzione complessa di variabile complessa è una regola che associa un numero

complesso w ad ogni numero z di un insieme S del piano complesso. In questo senso

( )

scriveremo, con la notazione già familiare nel campo reale, w f z e diremo che w è il

=

valore della funzione f nel punto z del dominio S della funzione stessa.

Ora z naturalmente ha una parte reale ed un coefficiente dell’immaginario, e lo scriveremo

come al solito ; poiché w a sua volta è un numero complesso, anch’esso avrà una

z x i y

= +

parte reale ed un coefficiente dell’immaginario, che saranno funzioni a loro volta di z, e

( ) ( )

quindi di x ed y, e potremo sempre scrivere w u x , y iv x , y . Quindi avremo a che fare

= + 2

con una coppia di funzioni reali di due variabili reali. Ad esempio, consideriamo w z :

=

( )

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

w x i y x y i 2 xy u x , y x y ; v x , y 2 xy

= + = − + = − =

Mentre le funzioni reali di una variabile reale si possono descrivere sul piano x-y con un

grafico, e le funzioni reali di due variabili, con un po’ più di lavoro, si possono rappresentare

(e sicuramente immaginare) nello spazio x-y-z, questo diventa impossibile per le funzioni

complesse di variabile complessa: potremmo rappresentare separatamente la parte reale ed il

coefficiente dell’immaginario, in uno spazio tridimensionale x-y-u oppure x-y-v, certamente,

ma non è possibile rappresentare (né visualizzare mentalmente) lo spazio a 4 dimensioni che

richiederebbe la rappresentazione completa della funzione. Si può procedere disegnando

separatamente il piano z e il piano w ed indicando le corrispondenze tra i punti dell’uno e

dell’altro. Anche in questo senso la funzione f è detta una dell’insieme S

MAPPATURA

sull’insieme S’ del piano w. La mappatura è detta , o , se ogni w è

uno a uno biunivoca

( ) ( )

l’immagine di un solo z: in simboli f z f z se e solo se z z ; è detta se ogni

= = su S’

1 2 1 2

punto di S’ appartiene al codominio della funzione (cioè, ogni punto di S’ corrsisponde

tramite la funzione ad almeno un punto z di S).

Poiché abbiamo una distanza e abbiamo potuto definire gli intorni, possiamo definire limiti e

continuità in modo del tutto analogo al caso reale:

Sia la funzione f definita su una regione G, e sia z un punto in G. Si dice che la funzione

0

( )

f z tende al limite A per z che tende a z se per qualunque reale e positivo (piccolo a

ε

0

piacere) si può trovare un numero reale e positivo tale che per qualunque z in un intorno di

δ

( )

raggio di z si abbia f z A .

− < ε

δ 0 I-14

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In simboli: + + ( ) ( )

( )

lim f z A : f z A z I z

= ⇐ ∀ ε ∈ ℜ ∃ δ ∈ ℜ − < ε ∀ ∈

z z 0

→ δ

0

Una funzione si dice continua nel punto z se

0 ( ) ( )

lim f z f z

=

z z 0

→ 0 ( )

vale a dire: esiste il limite per z z , esiste il valore della funzione f z , e i due valori

→ 0 0

coincidono.

In alternativa si può direttamente scrivere che una funzione f è continua in z se

0

+ + ( ) ( ) ( )

: f z f z z I z

∀ ε ∈ ℜ ∃ δ ∈ ℜ − < ε ∀ ∈

0 0

δ

Una funzione continua in tutti i punti di un insieme G si dice continua in G. Una funzione

continua (senza altre precisazioni) è continua in tutti punti del suo insieme di definizione.

Riprendendo il discorso della mappatura, la definizione di limite implica che un intorno di

raggio del punto z viene mappato (a parte al più il punto z stesso) dalla funzione in un

δ 0 0

insieme tutto contenuto in un intorno di raggio del limite. Se la funzione è continua tale

ε

mappatura comprende anche l’immagine di z .

0

Si lascia come esercizio dimostrare che valgono le regole usuali dei limiti, già note dal caso

reale: [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

lim f z g z lim f z lim g z

• ± = ±

z z z z z z

→ → →

0 0 0

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

lim f z g z lim f z lim g z

• × = ×

z z z z z z

→ → →

0 0 0

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim f z / g z lim f z / lim g z , purché lim g z 0

• = ≠

z z z z z z z z

→ → → →

0 0 0 0

Dimostrate anche che qualunque polinomio è continuo in .

C

È appena il caso di aggiungere che nel campo complesso non ha senso parlare di limiti destro

e sinistro.

II-1. Derivata complessa ( ) ( )

La derivata è definita come nel campo reale: la derivata f ' z della funzione f z nel punto

0

z è data dal limite

0 ( ) ( )

f z h f z

+ −

0 0

( )

f ' z lim

=

0 h 0

→ h I-15

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purché tale limite esista. La funzione è detta in una regione G se ha derivata in

OLOMORFA

tutti i punti di tale insieme. Se ha derivata in tutti i punti del dominio è detta .

INTERA

Osserviamo che una funzione che ha derivata in z è ivi continua, infatti, applicando le

0

regole per i limiti ( ) ( )

f z h f z

 

+ −

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim f z h lim h f z f ' z lim h f z f z

+ = × + = + =

 

h 0 0 h 0 0 0 h 0 0 0

→ → →

h

 

Anche qui, possiamo dimostrare (e dovete dimostrarlo) che valgono le regole di derivazione

note dall’analisi reale:

d [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

f z g z f ' z g ' z

• ± = ±

dz

d [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f z g z f ' z g z f z g ' z

• × = × + ×

dz ( ) ( ) ( ) ( )

d f ' z g z f z g ' z

× − ×

[ ]

( ) ( )

f z / g z

• = 2

dz [ ]

( )

g z

Notiamo che nel campo complesso h può tendere a zero da qualunque direzione, e

naturalmente perché il limite esista unico occorre che il risultato sia il medesimo da tutte le

direzioni. Se h è reale, introducendolo nella definizione di derivata avremo (con ovvio

significato dei simboli) ( ) ( )

f x h , y f x , y

+ − ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f z f z u x , y i v x , y

f ' z lim

= = = = +

h 0 x x x

→ h x

( )

(osservate la notazione f z per “derivata parziale rispetto ad x di f”: la useremo

x

regolarmente d’ora in poi, quando ci riferiremo a derivate parziali). Se invece h è puramente

immaginario, chiamiamolo ik, troviamo

( ) ( )

f x , y k f x , y 1

+ − ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f ' z lim f z i f z v x , y i u x , y

= = = − = −

h 0 y y y

→ ik i y

Naturalmente, perché esista la derivata complessa occorre, come abbiamo detto, che il

risultato non dipenda dalla direzione di avvicinamento allo 0, e quindi occorre che i due

I-16

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( ) ( )

risultati trovati coincidano: , e perché queste due quantità siano uguali occorre

f z i f z

= −

x y

uguagliare le parti reali e i coefficienti dell’immaginario, cioè:

( ) ( )

u x , y v x , y

=

x y

( ) ( )

v x , y u x , y

= −

x y

Queste sono dette C -R . Quindi abbiamo il teorema appena

CONDIZIONI DI AUCHY IEMANN

provato: ( )

f z z

necessaria

Condizione perché la funzione abbia derivata nel punto è

0

che le sue componenti u e v soddisfino le condizioni di Cauchy-Riemann.

Attenzione, : possono essere soddisfatte le condizioni di

non è una condizione sufficiente

Cauchy-Riemann ma non esistere la derivata (cioè, la derivata potrebbe avere lo stesso valore

se la facciamo in direzione x o in direzione y, ma magari in un’altra direzione ancora risulta

invece diversa). Tuttavia esiste una condizione sufficiente: infatti ecco un teorema in merito:

( ) ( ) ( )

f z u x , y i v x , y z

= +

Sia definita in una regione G contenente il punto ,

0

( ) ( )

u x , y v x , y

e in tale punto le sue componenti e abbiano derivate parziali

rispetto ad x e ad y continue e rispettino le condizioni di Cauchy-Riemann.

( )

f ' z

In tal caso esiste la derivata .

0

Facciamo ancora un’osservazione: rileggendo bene il teorema vediamo subito che non basta

che u e v siano funzioni anche del tutto regolari (cioè continue con le loro derivate dell’ordine

che si vuole) perché sia analitica, bensì occorre che siano tra di loro nella relazione

u i v

+

precisata dalle condizioni di Cauchy-Riemann. Inoltre, derivando ulteriormente (se

possiedono derivate seconde) e componendo i risultati si ottengono le seguenti equazioni:

( ) ( ) ( ) ( )

u x , y u x , y 0 v x , y v x , y 0

+ = + =

xx yy xx yy

cioè u e v devono essere FUNZIONI ARMONICHE

Derivata nulla

In modo simile al caso reale, se una funzione ha derivata nulla in una regione G in cui è

olomorfa, la funzione è ivi costante. Infatti se la derivata è nulla, vuol dire che sono nulle le

( ) ( )

derivate parziali di u x , y e v x , y , sia rispetto ad x che rispetto ad y; quindi la funzione è

sempre costante lungo un segmento parallelo ad uno degli assi. Poiché possiamo congiungere

I-17

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qualunque coppia di punti della regione con una spezzata composta da segmenti paralleli agli

assi (ricordate?), la funzione assume lo stesso valore in qualunque coppia di punti, quindi in

tutto G.

C’è però qualcosa in più rispetto al caso reale: basta che sia costante la parte reale, o la parte

immaginaria, o il modulo, o l’argomento, e la funzione è costante. Infatti, se, poniamo, è

( )

costante u x , y allora sono zero le sue derivate parziali; ma per le condizioni di Cauchy-

Riemann (che devono valere in G, poiché la funzione in tale regione è olomorfa per ipotesi)

( )

risultano nulle anche le derivate parziali di v x , y , e quindi è nulla la derivata. Analogamente

( )

per v x , y . Lasciamo come esercizio dimostrare la proprietà per gli altri due casi.

C

II-2. Le funzioni elementari in

Vediamo come diventano alcune delle funzioni familiari nel campo reale quando si passa al

campo complesso.

Esponenziale ( )

Una possibile definizione dell’esponenziale reale è: la funzione f x soluzione del problema

differenziale ( )

df x ( ) ( )

f x f 0 1

= =

dx

Proviamo ad applicare lo stesso metodo qui nel campo complesso, cerchiamo la funzione che

sia soluzione del problema differenziale

( )

df z ( ) ( )

f z f 0 1

= =

dz

Prima di procedere osserviamo che la restrizione all’asse reale di tale funzione obbedisce

all’equazione differenziale del campo reale, e dunque coincide con l’esponenziale reale.

Bene, scriviamo l’equazione in termini delle componenti u e v della funzione incognita:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x , y i v x , y u x , y i v x , y u 0 i v 0 1

+ = + + =

x x

ma anche, come sappiamo,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

v x , y i u x , y u x , y i v x , y u 0 i v 0 1

− = + + =

y y I-18

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uguagliando parti reali e coefficienti dell’immaginario:

( ) ( ) ( )

u x , y u x , y u 0 1

= =

x ( ) ( ) ( )

v x , y v x , y v 0 0

= =

x

e la seconda equazione diventa ( ) ( )

v x , y u x , y

=

y ( ) ( )

u x , y v x , y

= −

y

Cominciamo dal primo sistema: notiamo che si tratta di PDE nel campo reale, la cui soluzione

è facilmente ottenuta osservando che è presente solo la derivata rispetto ad x:

x

( ) ( )

u x , y p y e

= x

( ) ( )

v x , y q y e

=

ove p e q sono “costanti” di integrazione, costanti cioè nell’integrazione rispetto ad x, ma

nulla sappiamo relativamente alla dipendenza da y.

Abbiamo delle condizioni al contorno, però, applicando le quali vediamo subito che

( )

p 0 1

=

( )

q 0 0

=

Utilizziamo ora la seconda forma, quella con le derivate rispetto ad y:

x x

( ) ( )

q ' y e p y e

=

x x

( ) ( )

p ' y e q y e

= −

Eliminando l’esponenziale (si può, essendo per definizione sempre positiva)

( ) ( )

q ' y p y

 =

 ( ) ( )

p ' y q y

= −

Manipolando un po’ (Deriviamo la prima, sostituiamo p’ tramite la seconda, e viceversa)

troviamo un’equazione ordinaria (ODE) di secondo grado per ognuna delle due variabili:

( ) ( ) ( ) ( )

p ' ' y p y p 0 1

; p ' 0 0

= − = =

( ) ( ) ( ) ( )

q ' ' y q y q 0 0

; q ' 0 1

= − = =

da cui la soluzione x

( ) ( )

p y cos y u x , y e cos y

 

= =

 

( )

q y sen y x

= ( )



 v x , y e sen y

= I-19

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Abbiamo perciò trovato la funzione che risponde alla richiesta iniziale: risolvere l’equazione

differenziale di definizione x

( ) ( ) ( )

exp z exp x i y e cos y i sen y

= + = +

Da questa si vede immediatamente che:

per (cioè, la restrizione all’asse reale) la funzione trovata si riduce all’esponenziale

y 0

• =

reale.

x 0

=

per (vale a dire per valori di z puramente immaginari, cioè sull’asse immaginario)

• la funzione trovata diviene: ( )

exp i y cos y i sen y

= +

che è la nota E . Notiamo che una conseguenza è:

FORMULA DI ULERO i π

e 1

= −

Come corollario, possiamo scrivere: z x i y x i y

+

e e e e

= =

Lasciamo allo studente dimostrare che più in generale vale la classica regola del prodotto

z z z z

+

e e e

1 2 1 2

=

e analogamente per il rapporto.

questo, ci permette di semplificare ulteriormente la notazione trigonometrica dei

Inciso:

numeri complessi, infatti i ϑ

( )

cos i sen e

ρ ϑ + ϑ = ρ

Utilizzeremo indifferentemente l’uno o l’altro modo di scriverli.

Vediamo però che l’esponenziale complessa presenta un problema rispetto all’analoga

funzione nel campo reale: non è biunivoca. Infatti due punti del piano di Gauss che abbiano la

stessa parte reale e differiscano nel coefficiente dell’immaginario per un qualunque multiplo

intero di corrispondono allo stesso punto immagine:

2 π z i 2 k z

+ π

e e

=

Questo è un bel problema perché preclude la possibilità di definire una funzione inversa! O

per meglio dire, l’eventuale mappatura inversa non è una funzione nel senso tradizionale,

infatti non sarebbe vero che ad ogni valore dell’ascissa corrisponde un solo valore

I-20

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dell’ordinata. In questo caso ad ogni valore di z corrisponderebbe addirittura un’infinità

numerabile di valori di w. Nel campo complesso si accetta di definire una funzione che non è

univoca, e in tal caso si parla di , una funzione polidroma è una mappatura che ad

POLIDROMIA

un punto z fa corrispondere più di un punto w.

Per capire meglio l’esponenziale guardiamo un istante questa figura (da W. Derrick, Complex

analysis and applications)

Figura I-6: mappatura della funzione esponenziale

Vediamo che la striscia del piano z formata dai punti aventi parte immaginaria compresa

[ )

nell’intervallo , viene mappata sull’intero piano privato dell’origine. In particolare,

C

− π π

il tratto di asse immaginario viene mappato sulla circonferenza di raggio 1, i numeri con parte

reale negativa nel cerchio di w 1 e quelli con parte reale positiva nel piano privato del

<

cerchio w 1 . Ogni segmento parallelo all’asse immaginario viene mappato in un cerchio di

≤ [ )

centro nell’origine. Purtroppo la striscia ,

3 viene mappata esattamente nello stesso

π π

insieme e così tutte le altre, infinite strisce di ampiezza corrispondenti agli infiniti

2 π

[

( ) ( ) )

intervalli 2 k 1 , 2 k 1 per tutti i k interi. Sottolineiamo: questa indeterminatezza non è

− π + π

un problema per l’esponenziale (come nel campo reale una analoga indeterminatezza non è un

problema per le funzioni trigonometriche); tuttavia diventerà un problema quando cercheremo

di trovare la funzione inversa (ed anche nel campo reale abbiamo un problema simile con le

funzioni trigonometriche inverse). Una possibile soluzione si trova nelle SUPERFICI DI

R : nel caso presente immaginiamo infiniti piani complessi privati dell’origine, uno

IEMANN

sopra l’altro. Immaginiamo di tagliare ogni piano a partire dall’origine e lungo il semiasse

reale negativo. In ogni incolliamo il lembo inferiore del taglio (quello

PIANO TAGLIATO

( )

2 k , intendiamo, cioè l’argomento minimo del piano) al

corrispondente all’argomento −1 π ( )

lembo superiore del piano sottostante (anch’esso corrispondente all’argomento 2 k , che

−1 π I-21

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però su quel piano è l’argomento massimo). Ripetendo questo per tutti gli infiniti piani

otteniamo una sorta di scala a chiocciole, o di spirale. In questo caso, possiamo far

corrispondere ogni striscia del piano della z ad una di queste repliche del piano della

complesso che costituiscono il codominio della funzione esponenziale, ottenendo una

corrispondenza biunivoca. In questa superficie di Riemann l’argomento varia con continuità

( )

, , e per ogni aumento di sale di una rampa, vedete la figura seguente (da W.

in 2

− ∞ +∞ π

Derrick, Complex analysis and applications)

Figura I-7: superficie di Riemann per l’esponenziale

Notate anche che su questo insieme la funzione esponenziale è continua con le sue derivate di

ogni ordine. Vediamo una bella rappresentazione grafica della superficie:

Figura I-8: altra rappresentzione della superficie di Riemann per l’esponenziale I-22

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Funzioni trigonometriche

Osserviamo che i y i y

e e 2 cos y

+ =

i y i y

e e 2 i sen y

− =

Da cui le formule i y i y

e e

+

cos y = 2

i y i y

e e

sen y = 2 i

Queste possono essere usate per definire l’estensione al campo complesso delle funzioni seno

e coseno: i z i z

e e

+

cos z = 2

i z i z

e e

sen z = 2 i

Per la loro stessa definizione è chiaro che la restrizione all’asse reale coincide con le analoghe

funzioni reali. Vediamo le derivate: i z i z

d e e

cos z i sen z

= = −

dz 2

i z i z

d e e

+

sen z i cos z

= =

dz 2 i

si comportano dunque come nel caso reale. Lasciamo allo studente dimostrare che valgono le

consuete formule per somma e differenza di argomenti, somma dei quadrati, prostaferesi e

quant’altro.

Le altre funzioni trigonometriche sono definite al solito modo in termini di queste due. Ad

esempio la tangente: sen z

tg z = cos z

e pertanto si comportano anch’esse come nel caso reale relativamente alla derivata ed alle

relazioni tra funzioni trigonometriche. I-23


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Metodi matematici per l'energetica del Prof. Domiziano Mostacci, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: elementi di analisi complessa; integrazione nel campo complesso; integrali complessi; teorema di Cauchy e formula integrale di Cauchy; Teorema della media di Gauss.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria energetica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici per l'energetica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Mostacci Domiziano.

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