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DEFINIZIONE DI VETTORE (3)

• Si dice che due segmenti orientati (A,B) e (C,D) sono

equipollenti se il quadrilatero ABDC è un parallelogramma

(oppure se A = C e B = D; in questo caso (A,B) e (C,D)

sono in realtà lo stesso segmento orientato) B

B D D

A

A C C

Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D’Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008

DEFINIZIONE DI VETTORE (4)

• Notiamo che, se i segmenti orientati (A,B) e (C,D) sono

equipollenti, allora anche i segmenti orientati (A,C) e (B,D)

sono equipollenti (infatti anche ACDB è un parallelogramma)

B D B D

A C A C

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DEFINIZIONE DI VETTORE (5)

E E

• L’applicazione di in che ad un segmento

orientato associa un segmento equipollente si

chiama traslazione.

• Possiamo immaginare la traslazione come un

trasporto. Ad esempio il segmento orientato (A,B),

viene trasportato in (C,D) mantenendo fissa la sua

lunghezza e il suo

orientamento. Tutti B D

i punti del segmento

subiscono lo stesso

spostamento A C

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DEFINIZIONE DI VETTORE (6)

S

• Consideriamo adesso l’insieme

di tutti i possibili segmenti orientati B

E

costruiti con coppie di punti di

• Si chiama vettore AB, e si indica

S

con AB, il sottoinsieme di di

tutti i segmenti orientati equipollenti A

ad (A,B) si rappresenta

• Il vettore AB vettore AB

graficamente mediante una freccia

orientata da A a B

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DEFINIZIONE DI VETTORE (7)

• Poiché tutti i segmenti orientati appartenenti ad una classe

di equivalenza sono equipollenti tra loro, per rappresentare

un vettore possiamo utilizzare indifferentemente uno

qualunque di essi. Si dice che ogni segmento orientato

rappresenta il vettore a cui appartiene

• Esempio 1: i segmenti orientati equipollenti (A,B), (C,D) ed

(E,F), mostrati per illustrare la proprietà di transitività,

rappresentano tutti lo stesso vettore: AB = CD = EF

• Esempio 2: I segmenti orientati (G,H) e (K,J) non sono

equipollenti, quindi GH KJ K

H J

G

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DEFINIZIONE DI VETTORE (8)

• Un vettore è caratterizzato in modo univoco da tre proprietà:

è la direzione del fascio di rette parallele sulle

– Direzione:

quali giacciono i segmenti orientati rappresentanti del

vettore. La direzione è ben definita perché tutti i segmenti

orientati rappresentanti di un dato vettore sono paralleli

B D

A C

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DEFINIZIONE DI VETTORE (9)

– Verso: è l’orientamento dei segmenti orientati

rappresentanti del vettore. Anche il verso del vettore è

ben definito perché gli orientamenti dei segmenti orientati

rappresentanti del vettore sono coerenti

F B D

E A C

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DEFINIZIONE DI VETTORE (10)

– Modulo: è la lunghezza dei segmenti orientati

rappresentanti del vettore, ovvero la distanza tra due

punti di un segmento orientato. Anche il modulo del

vettore è ben definito perché le lunghezze dei segmenti

orientati rappresentanti del vettore sono uguali

AB = AB = distanza tra A e B

= lunghezza del segmento AB

B D

A C

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DEFINIZIONE DI VETTORE (11)

Osservazioni

V

• L’insieme dei vettori è diverso dallo spazio

E

euclideo tridimensionale . In altri termini, un

vettore non è un elemento dello spazio euclideo

tridimensionale. Lo spazio euclideo tridimensionale

è servito per costruire l’insieme dei vettori, ma è

distinto da quest’ultimo.

• Una volta costruiti i vettori, possiamo fare

astrazione del metodo usato per costruirli. In

particolare, li considereremo indipendenti dai

segmenti orientati, e semplicemente caratterizzati

dalle loro tre proprietà: modulo, direzione, e verso.

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DEFINIZIONE DI VETTORE (12)

Osservazioni (fine)

• Avremmo potuto costruire i vettori partendo da uno

spazio euclideo di dimensione diversa, ad esempio

il piano euclideo. Avremmo ottenuto l’insieme dei

vettori definiti sul piano euclideo, di dimensione 2.

Allo stesso modo potremmo definire i vettori sullo

spazio euclideo di dimensione 4. L’insieme dei

vettori ha la stessa dimensione dello spazio

euclideo usato per definirli.

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OPERAZIONI TRA VETTORI

• Nell’insieme dei vettori possiamo definire

delle operazioni analoghe a quelle che si

possono effettuare tra numeri reali:

– Somma e differenza di due vettori

– Prodotto di un vettore per un numero reale

– Prodotto scalare di due vettori

– Prodotto vettoriale

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SOMMA DI DUE VETTORI (1)

• Consideriamo due vettori AB e BC. La somma di

questi due vettori è il vettore AC che è definito

dalla relazione:

AC = AB + BC

dove il simbolo “+” indica la somma vettoriale

• Il vettore somma va dalla coda del primo vettore

alla punta del secondo B

A C

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SOMMA DI DUE VETTORI (2)

• Come si sommano i vettori AB e DE? D

B E

A

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SOMMA DI DUE VETTORI (3)

• Effettuo prima la traslazione del segmento

orientato (D,E) sul segmento orientato (B,F)

D

B

A E

F

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SOMMA DI DUE VETTORI (4)

• Si noti che BF = DE, quindi

AB + DE = AB + BF = AF D

B

A E

F

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SOMMA DI DUE VETTORI (5)

• Un’altra possibilità è di effettuare la

traslazione di (D,E) su (A,H) D

B E

A H

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SOMMA DI DUE VETTORI (6)

• Poi si trova il punto G tale che ABGH sia un

parallelogramma D

B E

A G

H

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SOMMA DI DUE VETTORI (7)

• Si noti che (B,G) è equipollente a (A,H) e

quindi è equipollente a (D,E) D

B E

A G

H

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SOMMA DI DUE VETTORI (8)

• Quindi, poiché BG = DE,

AB + DE = AB + BG = AG D

B E

A G

F

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SOMMA DI DUE VETTORI (9)

• Questo metodo di somma dei vettori è detto

regola del parallelogramma

B

A G

F

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SOMMA DI TRE VETTORI (1)

• Possiamo estendere la definizione di somma

di due vettori a tre o più vettori? e CD e EF ?

• Come si sommano tre vettori AB

• Dati questi tre vettori vi sono due possibilità:

calcolare

(AB + CD) + EF

oppure

+ (CD + EF)

AB

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SOMMA DI TRE VETTORI (2)

• Si può dimostrare che la somma vettoriale è

associativa, ovvero:

+ CD) + EF = AB + (CD + EF)

(AB

• Per indicare la somma dei tre vettori AB, CD e EF

possiamo semplicemente scrivere:

+ CD + EF

AB

(senza parentesi)

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SOMMA DI TRE VETTORI (3)

• In pratica, per costruire il vettore AB + CD + EF

possiamo procedere in questo modo: effettuiamo la

traslazione di CD …

B C

A D

G F

E

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SOMMA DI TRE VETTORI (4)

• … poi effettuiamo la traslazione di EF …

B H

A G F

E

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SOMMA DI TRE VETTORI (5)

• … infine, la somma dei vettori AB, CD e EF si ottiene

indifferentemente costruendo (AB + CD) + EF oppure

AB + (CD + EF) B H

A G H

B

A G

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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

La dispensa fa riferimento alle lezioni di fisica, tenute dal Prof. Filippo Zappasodi, nell'anno accademico 2010.
Il documento è dedicato all'algebra vettoriale.
Tra gli argomenti affrontati: vettori, modulo, somma vettoriale, proprietà della somma vettoriale, differenza, moltiplicazione, spazio euclideo.


DETTAGLI
Esame: FISICA
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in farmacia
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di FISICA e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Zappasodi Filippo.

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