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Lezione 25

n

L’insieme R

Indichiamo con

2 l’insieme dei punti del piano cioè

R 2 {(x ∈ ×

x x x

= , ) : , =

R R} R R;

1 2 1 2

3 l’insieme dei punti dello spazio cioè

R 3 {(x ∈ × ×

x x x x x

= , , ) : , , =

R R} R R R;

1 2 3 1 2 3

n l’insieme dei punti con n componenti (dette n–uple) cioè

R n {(x ∈ × × · · · ×

x x x i 1, 2, n}

= , , . . . , ) : = . . . , =

R R, R R R

n

1 2 i | {z }

n volte

n u, v

I punti dello spazio si indicheranno con le lettere in neretto

R

ecc., mentre per le loro componenti si utilizzerà la stessa lettera non in

neretto mettendo in basso l’indice della componente (u è la

i dsm

u).

componente i–esima del punto

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 25 3 / 18

Lezione 25 n

Struttura di ordine su R n

Struttura di ordine su R

Definizione

u v u v,

Due punti e si dicono uguali, e scriveremo se hanno lo

=

stesso numero di componenti e se le componenti di uguale posto

n

u, v

coincidono. Quindi e

R

u v u v u v

= , = , . . . , = .

n n

1 1 2 2 6

u v.

Se ciò non avviene i due punti si dicono diversi e scriviamo =

La relazione di uguaglianza tra punti è una relazione di equivalenza

(come avviene tra numeri). dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 25 4 / 18

Lezione 25 n

Struttura di ordine su R

Più delicato è il problema riguardante l’ordinamento.

Definizione n

u, v u v

Dati diremo che è maggiore di

R u v,

in senso stretto, e scriveremo se

>

u v u v u v

> , > , . . . , > ,

n n

1 1 2 2

u v,

in senso largo, e scriveremo se

=

≥ ≥ ≥

u v u v u v

, , . . . , .

n n

1 1 2 2

∈ ≥

Attenzione! Se due numeri a, b sono in relazione a b ed inoltre

R 2

6

a b, allora a b. La stessa cosa non succede tra punti anche in .

= > R

6 6

Ad esempio 2) 2) e 2) 2) ma 2) 2).

(3, (2, (3, = (2, (3, > (2,

= dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 25 5 / 18

Lezione 25 n

Struttura di ordine su R

Esiste anche una relazione intermedia tra quelle appena viste:

6

u v u v u v u

scriveremo che se ma (in altre parole il punto è

=

=

v).

“preferito” al punto

Tuttavia, a differenza di ciò che succede tra i numeri reali, tutte e tre

queste relazioni d’ordine non sono totali ma solamente parziali, cioè

esistono coppie di punti che non sono confrontabili tra loro.

u v

Esempio- I vettori 1) e 2) non sono tra loro confrontabili.

= (2, = (1,

n

È possibile definire su un ordinamento totale (ad esempio quello

R

lessicografico) ma non avrà mai le stesse proprietà dell’ordinamento

tra numeri. dsm

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Lezione 25

Somma vettoriale n

Struttura algebrica su R

Passiamo a descrivere le operazioni di base tra punti dello stesso

n

insieme .

R

Definizione n

u v

Siano u u e v v due punti di ; la

= (u , , . . . , ) = (v , , . . . , ) R

n n

1 2 1 2 n

u v

somma (vettoriale) tra e ha come risultato un terzo punto di ,

R

u v,

indicato di componenti

+ u v v u v u v

+ = (u + , + , . . . , + )

n n

1 1 2 2

−2, −5)

u v

Esempio. La somma tra i punti 1) e 3,

= (4, = (2,

−2 −4).

u v 2, 3, 1 1,

+ = (4 + + + (−5)) = (6, dsm

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Lezione 25

Somma vettoriale

Proprietà (della somma vettoriale)

n

u, v u v v u.

(s1) Commutativa: per ogni si ha + = +

R n

u, v, w v) w u w).

(s2) Associativa: per ogni si ha (u + + = + (v +

R n

0

(s3) Elemento neutro: esiste un unico punto tale che, per ogni

R

n

u u 0 0 u u; 0

, si ha il punto ha tutte le componenti

+ = + =

R

nulle ed è detto origine. n

∈ −u,

u

(s4) Elemento opposto: per ogni esiste un unico punto

R

u,

detto opposto di tale che

u u 0;

+ (−u) = (−u) + =

−u u

il punto ha tutte le componenti uguali a quelle di ma con il

segno opposto. dsm

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Lezione 25

Moltiplicazione per uno scalare

Definizione n

∈ v v

Siano a e v v un punto di ; il prodotto di per lo

= (v , , . . . , )

R R

n

1 2 n · v,

scalare a ha come risultato un secondo punto di , indicato a di

R

componenti · v

a av av

= (av , , . . . , ).

n

1 2 −5)

v

Esempio. Il prodotto del punto 3, per lo scalare a 3 è

= (2, =

· · · · −15).

v

3 2, 3 3, 3 9,

= (3 (−5)) = (6,

·

Da ora in poi si ometterà il segno per indicare la moltiplicazione. dsm

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Lezione 25

Moltiplicazione per uno scalare

Proprietà (della moltiplicazione per uno scalare) ∈

(p1) Distributiva rispetto alla somma tra numeri: per ogni a, b e

R

n

v si ha b)v av bv;

(a + = +

R ∈

(p2) Distributiva rispetto alla somma tra vettori: per ogni a e

R

n

u, v v)

si ha a(u au av;

+ = +

R n

∈ ∈

v

(p3) Associativa: per ogni a, b e si ha a(bv) = (ab)v;

R R

n

v v.

(p4) Elemento neutro: per ogni si ha 1v =

R

Inoltre discendono le seguenti conseguenze:

legge dell’annullamento del prodotto

⇐⇒ v

av 0 a 0 oppure 0.

= = =

n

−v ∈

v

per ogni .

(−1)v = R dsm

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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Introduzione all'algebra lineare: lo spazio [math]\mathbb{R}n[/math] e i vettori di esso. Proprietà di ordinamento dello spazio [math]\mathbb{R}^n[/math]. Struttura algebrica dello spazio vettoriale reale di dimensione n [math]\mathbb{R}^n[/math]: somma tra vettori, moltiplicazione di un vettore per uno scalare e loro proprietà. Spazi vettoriali: definizione; interpretazione geometrica della somma di vettori (regola del parallelogramma) e di prodotto di uno scalare per un vettore.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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