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Lezione 9

Alcuni esempi

Esercizio 2 + +

2x x 3

Calcolare, se esiste, il seguente limite lim 2 −

3x 5

x→+∞

+∞ . Mettendo in evidenza

Applicando il risultato precedente si ottiene +∞ 2

il monomio di grado massimo sia al numeratore (x ) sia al

2

denominatore (x ) si ha 3

1

2

2 +

+

x 2

+ +

2x x 3 2

x x

= =

lim lim 5

2

− 2

3x 5 −

x 3

x→+∞ x→+∞ 2

x

3

1 +

+

2 + +

2 0 0 2

2

x x = =

= lim .

5 −

3 0 3

3

x→+∞ 2

x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 10 / 17

Lezione 9

Alcuni esempi

Esercizio 2 + +

2x x 3

Calcolare, se esiste, il seguente limite lim 3 2

x x

x→+∞

+∞

Applicando il risultato precedente si ottiene . Mettendo in evidenza

+∞ 2

il monomio di grado massimo sia al numeratore (x ) sia al

3

denominatore (x ) si ha 1 3

2

2 + +

x 2

+ +

2x x 3 2

x x

= =

lim

lim 3 2 1

x x 3 −

x→+∞

x→+∞ x 1 x

1 3

+ +

2 + +

2 0 0

2

x x =

= = 0.

lim 1 (+∞)(1 −

0)

x→+∞ x 1 x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 11 / 17

Lezione 9

Teoremi del confronto

Iniziamo ad introdurre alcuni strumenti per il calcolo dei limiti.

Teorema (del confronto)

R ′

: −→ ∈ D (A)

Siano f g A e x tali che

, 0

(x) ≤ ∀x ∈

f g(x), A.

(x) = +∞ = +∞;

Se lim f allora lim g(x)

x→x x→x

0 0

= −∞ (x) = −∞.

se lim g(x) allora lim f

x→x x→x

0 0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 12 / 17

Lezione 9

Teoremi del confronto

Esercizio (x +

Calcolare, se esiste, il seguente limite lim sen x)

x→+∞

Poiché non esiste il limite del secondo addendo non possiamo

applicare il metodo della somma dei limiti. Tuttavia

R

+ ≥ − ∀x ∈

x sen x x 1,

e (x − = +∞.

lim 1)

x→+∞

Quindi, per il Teorema del confronto esiste il limite e vale

(x + = +∞.

lim sen x)

x→+∞ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 13 / 17

Lezione 9

Teoremi del confronto

25 f(x)=x+sen x

20 g(x)=x−1

15

10

5

0

−5

−10

−15

−20

−25

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

→ +∞ (x ) = +

Figure: Limite per x della funzione f x sen x dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 14 / 17

Lezione 9

Teoremi del confronto

Il Teorema del confronto è una semplificazione del seguente risultato.

Teorema (dei 2 carabinieri)

R ′

: −→ ∈ D (A)

Siano f g, h A e x tali che

, 0

(x) ≤ ≤ ∀x ∈

f g(x) h(x), A.

Se (x) = =

lim f e lim h(x)

ℓ ℓ

x→x x→x

0 0

allora =

g(x)

lim ℓ.

x→x

0 dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 15 / 17

Lezione 9

Teoremi del confronto

Esercizio sen x

Calcolare, se esiste, il seguente limite lim x

x→+∞

Poiché non esiste il limite del numeratore non possiamo applicare il

metodo del rapporto tra i limiti. Tuttavia

sen x 1

1 ≤ ≤ ∀x

− 0

, >

x x x

e 1 1

− = =

lim lim 0.

x x

x→+∞ x→+∞

Quindi, per il Teorema dei 2 carabinieri esiste il limite e vale

sen x = 0.

lim x

x→+∞ dsm

Marco Castellani (L’Aquila) Matematica Generale Lezione 9 16 / 17


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Atreyu

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DESCRIZIONE DISPENSA

In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Operazioni algebriche sulla retta estesa: somma, prodotto, quoziente, potenza. Algebra dei limiti e teoremi relativi: limite della somma, limite del prodotto, limite del quoziente, limite della potenza. Forme indeterminate per la somma, il prodotto, il quoziente e le potenze. Teoremi del confronto dei limiti e teorema dei 2 Carabinieri. Esempi ed applicazioni.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione delle imprese
SSD:
Università: L'Aquila - Univaq
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università L'Aquila - Univaq o del prof Castellani Marco.

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