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Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

Spesso, tuttavia, l’aggregazione di serie storiche è effettuata euristicamente ed

è quindi passibile di critiche di diverso tipo; tra queste, le più rilevanti sembrano

essere le seguenti

i) talvolta, tendenza, stagionalità ed oscillazioni di alta frequenza sono

eliminate male e nascondono le effettive fluttuazioni cicliche;

ii) le componenti cicliche delle serie storiche sono generalmente sfasate tra di

loro, cosicché l'indice composito viene ad avere poca definizione e i punti di

svolta sono determinati come medie su di un intervallo che spesso è così

largo da rendere difficile la loro individuazione;

iii) i pesi delle combinazioni lineari sono spesso determinati "ad hoc", senza

l'uso di un qualche appropriato criterio di ottimizzazione che possa tener

conto della diversa importanza delle serie nei confronti del ciclo.

Sforzi tesi a rendere più rigorosa la costruzione di questi indici sintetici sono

stati fatti da Burley (1971), che mostrò in una nota come sia l'analisi in componenti

principali nel dominio frequenziale, sia la demodulazione complessa possano essere

utilizzate per eliminare le oscillazioni non cicliche nelle serie originali. Ancora nel

dominio delle frequenze Sargent e Sims (1977) svilupparono una metodologia per la

stima di indici osservabili e non osservabili del ciclo economico. È inoltre degno di

nota ricordare che l'analisi in componenti principali è stata usata da Braun (1973)

nel dominio temporale e da Geweke (1977) in quello delle frequenze, mentre

Granger e Hatanaka (1964, capitolo 12) hanno utilizzato la demodulazione

complessa nell'analisi del ciclo.

Oggetto di questo capitolo è l'illustrazione di una procedura rigorosa per la

costruzione di un indice composito del ciclo economico che sia tale da superare i

{ }

( )

problemi sopra esposti. Si dà infatti alle serie storiche originali ,

z t

j

= , la possibilità di traslare tra di loro, dando luogo alla nuova

j 1, 2, …, k

combinazione lineare k

( ) ( )

= α = (3.1.1)

w t y t t 1, 2, …, n

j j

=1

j

{ }

( )

dove appunto le sono le serie originali traslate. La procedura illustrata in

y t

j α

questo capitolo permette di determinare i pesi della combinazione e

j { }

( )

congiuntamente le traslazioni cui devono essere soggette le in modo che

z t

j

{ ( )

}

~ abbia varianza massima.

w t Pagina 3-3

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

3.2. Filtraggio preliminare delle serie originali

Affinché l’indice composito aggreghi le oscillazioni cicliche contenute nelle serie

economiche originali è opportuno depurare preventivamente queste degli altri

caratteri: la tendenza, le stagionalità e le accidentalità. Per effettuare questa

{ }

( )

depurazione è necessario innanzitutto supporre che ciascuna serie ,

z t

j

( )

= λ

, possegga uno pseudo-spettro al fine di poter eliminare la

z

j 1, 2, …, k g j

tendenza con il filtro alle differenze prime (2.5.9) applicato volte. In secondo luogo

d

si eliminano le oscillazioni non cicliche in uno dei due modi seguenti:

• Si può supporre che le oscillazioni cicliche di interesse siano contenute nella

[ ]

Λ ≡ λ λ

banda di frequenze , filtrando così le fluttuazioni relative alla

,

[ ] 1 2

λ

banda nell'ipotesi che costituiscano essenzialmente la tendenza, e

0 , [ ]

1 λ π

quelle relative alla banda nell’ipotesi che costituiscano le stagionalità

,

2

e le accidentalità. { }

( )

• Si possono depurare le serie con il filtro alle differenze dodicesime

z t

( ) ( )

j

( )

− = − + + + + se le serie hanno cadenza mensile,

12 2 11

1 L 1 L 1 L L .... L ( ) ( )

( )

− = − + + +

oppure con l'altro alle differenze quarte se le

4 2 3

1 L 1 L 1 L L L

{ }

( )

serie hanno cadenza trimestrale, ottenendosi serie filtrate , costituite

x t

j

essenzialmente da oscillazioni che hanno frequenza ciclica contenuta in

[ ]

Λ ≡ λ λ .

,

1 2

Si osservi che operando o con l’uno o con l’altro modo di depurazione il risultato

{ }

( )

che si ottiene è sostanzialmente lo stesso: serie storiche che contengono

x t

j

oscillazioni di frequenza ciclica. Con il primo modo si eliminano completamente le

[ ]

Λ ≡ λ λ

oscillazioni di frequenza non ciclica al di fuori della banda ; con il

,

1 2

secondo modo si eliminano quelle che rappresentano la tendenza (di frequenza

λ

approssimativamente compresa tra 0 e ) mentre si mantengono le altre, anche

1

λ π

con frequenza compresa tra e ma con esclusione delle oscillazioni stagionali.

2

L’ampiezza di queste altre è trascurabile, stante l'eliminazione delle stagionalità, e

di qui la sostanziale equivalenza dei due modi di depurazione.

Una seconda osservazione riguarda la rilevanza di rappresentare il ciclo

economico non tramite una sola oscillazioni di data frequenza, bensì con una

somma di oscillazioni di frequenza contenuta in una banda relativamente larga,

permettendo al ciclo di essere rappresentato da una fluttuazione che cambia di

frequenza al variare del tempo. Pagina 3-4

Modulo XI – Serie storiche: il dominio frequenziale

3.3. L’aggregazione ottimale nel dominio frequenziale

Siano state dunque le serie originali depurate delle oscillazioni non cicliche, e siano

state così ottenute le serie stazionarie costituite essenzialmente dalle oscillazioni

cicliche. In tale maniera il problema i) è superato. In questo paragrafo vengono

utilizzati due teoremi che espongono le condizioni necessarie e sufficienti per

{ ( )

}

~

costruire l'indicatore di varianza massima che sia combinazione lineare delle

w t

serie originali opportunamente traslate tra di loro. Così anche i difetti in ii) e iii)

sono eliminati.

Successivamente sono evidenziate le condizioni di ottimalità definite nei due

teoremi, ed è illustrato il modo naturale con cui emerge il concetto di serie di

riferimento tra le k originali. Poiché, tuttavia, tali condizioni non sono in generale

soddisfatte nelle applicazioni di carattere economico, è esposto il modo in cui un

indice composito può essere costruito in forma approssimativa, mediante il criterio

di minimi quadrati.

I teoremi sopra indicati operano nel dominio frequenziale e quindi le serie

{ }

( ) devono essere preliminarmente trasformate in questo dominio, ottenendosi

x t

j { }

( )

λ α

le serie . Una volta che siano stati determinati i pesi della combinazione

X j j

{ }

( )

λ

lineare (3.1.1) e le traslazioni ottimali che producono le serie , a partire dalle

Y j

{ } { } { }

( ) ( ) ( )

λ λ

, le sono riportate nel dominio temporale dando luogo alle .

X Y y t

j j j

L'indice (3.1.1) è così costruito. { }

( )

Per trasformare le serie nel dominio frequenziale è sufficiente

x t

j

trasformarle secondo Fourier [ ]

n

( ) ( ) { }

λ = ⋅ − λ λ ∈ − π π (3.3.1)

X x t exp i t ,

j j

=

t 1 ( )

ϑ λ

Le trasformate sono quindi traslate di , dando luogo alle serie

j [ ]

( ) ( ) { }

λ = λ ⋅ − λ λ ∈ − π π (3.3.2)

Y X exp i t ,

j j { } { }

( ) ( )

λ λ

Si osservi che le ampiezze delle oscillazioni in e sono uguali; le

Y X

j j ( )

ϑ λ

oscillazioni differiscono soltanto nelle fasi, con sfasamenti pari a .

j

In termini spettrali si può usare l'uguaglianza (2.2.2) che in questo caso è

[ ]

( ) ( ) ( )

λ = λ ⋅ λ λ ∈ − π π

2 (3.3.3)

yj xj

g H g ,

{ }

( ) ( )

λ = ⋅ ϑ λ

dove , e che matricialmente si scrive, in virtù della (2.7.4)

H exp i

j j ( ) [ ]

( ) ( ) ( )

λ = λ λ λ λ ∈ − π π

· · (3.3.4)

G H G H ,

y x Pagina 3-5


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AUTORE

Atreyu

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+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Questo appunto, tratto dal corso di lezioni di econometria tenute dal professor Francesco Carlucci, analizza l'aggregazione di più serie economiche nel campo delle serie storiche. Nello specifico i temi trattati sono: Filtraggio preliminare delle serie originali, L’aggregazione ottimale nel dominio frequenziale, La procedura operativa della costruzione dell’indice del ciclo economico.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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